Transformacje częstotliwościowe
Transformacja Fouriera
Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:
"
"
gdzie �=2 Ą f i w efekcie X ( f )= x (t)e- j 2 Ą f t dt
X (�)= x(t)e- j�tdt +"
+"
-"
-"
tr. odwrotna
"
1
xśąt źą= X śą�ąźą ej �ą t d �ą
+"
2Ćą
-"
Przypadek dyskretny:
N -1 k
- j 2Ćą n
N
X śąk źą= x śąnźąe gdzie 0d"kd" N -1 (dyskretne częstotliwości)
"
n=0
j �ą
z zależności Eulera e =cosśą�ąźą- j sin śą�ąźą otrzymujemy równanie równoważne:
N -1
k k
X śąk źą= x śąnźą cosśą 2 Ćą n źą- j sinśą 2Ćą n źą
"
[ ]
N N
n=0
Oba powyższe wzory stanowią definicję DFT
k
f = F
formuła wyznaczania rzeczywistych częstotliwości
k s
N
tr. odwrotna:
N -1 k
j 2 Ćą n
1
N
xśą nźą= X śąk źąe gdzie 0d"nd"N -1
"
N
k =0
Funkcja X (k )=A(k )j � (k) nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą
x śą nźą
Fouriera ( DFT ) sygnału gdzie:
#"X śąk źą#"= Aśąkźą
widmo amplitudowe (moduł)
arg śą X śąk źąźą=�ąśąk źą
widmo fazowe (argument)
Widmowa gęstość mocy
P (k)=#"X (k )#"2
- 1 -
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
N- 1 2 Ćą
- j śąk�ąN źąn
N
X śąk�ąN źą= X śąk źą= xśąnźą e
"
k=0
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
x śą nźą=a yśąnźą�ąb z śąnźą
dla mamy
X śąk źą=a Y śą kźą�ąb Z śąk źą
4) przesunięcie w czasie
x śą nźą= y śąn�ąn0źą
dla mamy
N -1 k
- j 2 Ćą śąn�ąn0źą
N
X śąk źą= yśą nźąe
"
n=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)
śąk�ą k0źą
N -1
- j 2Ćą n
1
N
dla mamy
X śąk źą=Y śą k �ąk0źą= Y śą k�ąk0źąe
"
N
k=0
k
0
j 2 Ćą n
N
xśą nźą=e yśą nźą
6) splot (w dziedzinie czasu)
x śą nźą= yśąnźą"zśąnźą
dla mamy
X śąk źą=Y śąk źąZ śą k źą
(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)
7) splot w częstotliwości
x śą nźą= yśąnźą zśą nźą
dla mamy
X śąk źą=Y śą kźą"Z śąk źą
- 2 -
Interpretacja geometryczna DFT
N -1 k
- j 2Ćą n
N
X śąk źą= x śąnźąe
"
n=0
2 Ćą k
F =2 Ćą f =
wiemy, że oraz stąd
s
N
2 Ćą k k
f = = F
s
N N
Kombinacja liniowa elementów bazy
w= �ąśą nźąv śąnźą
"
n
Zatem
ą(n)= x(n)=[ x(0), x(1),..., x( N -1)] oraz
k
- j 2 Ćą n
N w śą kźą=? ??
to
vśą nźą=e
Pytania:
k
- j 2 Ćą n
N
1) Czy wektory tworzą bazę przestrzeni ?
!N
vśą nźą=e
2) Jaką bazę (ortonormalną czy ortogonalną) ?
N=512; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);
v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);
v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,v0,';k=0;',n,v1,';k=1;',n,v2,';k=2;',n,v3,';k=3;');
v0*v0', v1*v1', v1*v2'
N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';
E = e^(-j*2*pi*k*n/N);
E*E'
- 3 -
Przykłady
Impuls Kroneckera
x śą nźą=�ąśą nźą
N -1 k
- j 2Ćą n
N
X śąk źą= �ą śąnźąe =1 e- j 0=1
"
n=0
N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;
X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
Funkcja grzebieniowa
"
�ąT śąn źą= �ą śąn-kT źą
"
k=-"
N -1 k N -1 k
- j 2 Ćą n - j 2 Ćą n
N , k=0
N N
X śąk źą= �ąT śą nźąe = e =
" "
{
0, k`"0
n=0 n=0
N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;
X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
(w obu przypadkach X(k) jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)
Dla sygnałów rzeczywistych x"RN (wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo
j �ąśąk źą
posiada dodatkowo własności:
X śąk źą=Aśą kźą
=========================================================
Aśą k źą= Aśą-k źą - widmo amplitudowe jest parzyste
�ąśą k źą=- �ąśą - k źą - widmo fazowe nieparzyste
=========================================================
N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.01*randn(1,N); plot(x);
X=fft(x);
f=((0:N-1)./N)*Fs;plot(f,abs(X));plot(f,10*log10(abs(X)));
plot(f,unwrap(arg(X)));
Y=[X,X];
fy=((-N:N-1)./N)*Fs;
plot(fy,abs(Y));
plot(fy,unwrap(arg(Y)));
f=((-N/2:N/2-1)/N)*Fs;plot(f,10*log10(abs(fftshift(X))));
- 4 -
Przekształcenie Hilberta
x śą nźą=h śąnźą"x śąnźą
H
gdzie
1
h śąnźą=
Ćą n
N -1 N -1
�ą j , f "ą0
1 1
FT {hśąnźą}= e- j 2 Ćą n k / N= e- j 2 Ćą n f =H śą f źą=
" " 0, f =0
Ćą n Ćą n
n=0 n=0 {
- j , f ą0
sygnał analityczny
xa śąnźą= x śąnźą�ą jxH śąn źą
(wyjaśnić o sygnale kwadraturowym) IQ
FT {xaśąnźą}=?
N=200;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*1*n);plot(x);
y=hilbert(x);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';real(y);',n,imag(y),';imag(y);');
N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.5*randn(1,N);
y=hilbert(x);
X=fftshift(fft(x));Y=fftshift(fft(y));
f=((-N/2+1:N/2)./N)*Fs;
plot(f,abs(X),';X;',f,abs(Y),';Y;');
j �ąśąnźą
xa śąnźą= Aśąnźą e
gdzie
Aśą nźą
to amplituda chwilowa sygnału
�ąśąnźą
to faza chwilowa sygnału
Ponadto definiuje się częstotliwość (pulsację) chwilową sygnału (w przypadku ciągłym)
d
�ąśątźą= �ąśątźą=�ą' śątźą
dt
1. przypadek sygnału szerokopasmowego
trudno zinterpretować amplitudę chwilową i fazę chwilową
2. przypadek sygnału wąskopasmowego
j �ąśąn źą j �ą0 n j �ą0 n
xa śąnźą=[ Aśąnźą e e- j �ą0n]e =ąą śąnźąe
gdzie
j śą�ąśąnźą-�ą0nźą
nazywamy obwiednią zespoloną sygnału (ang. complex envelope)
ąąśą nźą=Aśą nźąe
�ą0
problem wyboru
- 5 -