10. Elementy teorii szeregów Fouriera
1. Wielomiany i szeregi trygonometryczne. Funkcję postaci
N

1
T (x) = a0 + an cos nx + bn sin nx
2
n=1
nazywamy wielomianem trygonometrycznym. Jak widać, wielomian trygonometryczny
jest funkcją okresową o podstawowym okresie 2Ą i ma nieskończenie wiele pochod-
nych, które są także wielomianami trygonometrycznymi. Niejawnymi przykładami wielo-
mianów trygonometrycznych są funkcje
1 cos 2x 1
T (x) = cos2 x = + , S(x) = sin x cos x = sin 2x.
2 2 2
Znamy już dobrze wielomiany
n

sin(n + 1)x sin nx
2 2
Tn(x) = sin kx = ,
x
sin
k=1 2
n

cos(n + 1)x sin nx
2 2
Sn(x) = cos kx =
x
sin
k=1 2
oraz
n

sin(n + 1)x cos nx
2 2
Un(x) = cos kx = .
x
sin
k=0 2
Innym bardzo ważnym ważnym przykładem jest funkcja
m

sin(2m + 1)x
2
Dm(x) = = 1 + 2 cos kx
x
sin
2 k=1
zwana jądrem Dirichleta. Zauważmy, że

2Ą
1
Dm(x) dx = 1.
2Ą 0
Niech teraz f : R R jest funkcją okresową o okresie 2Ą i całkowalną na odcin-
kach domkniętych. Klasę takich funkcji będziemy oznaczać przez R2Ą(R). W niniejszym
rozdziale zajmiemy się zagadnieniem aproksymacji takich funkcji szeregami trygonome-
trycznymi, to znaczy szeregami postaci
"

1
S(x) = a0 + an cos nx + bn sin nx,
2
n=1
gdzie

Ą Ą
1 1
(1) an = f(x) cos nx dx, bn = f(x) sin nx dx.
Ą -Ą Ą -Ą
Widzimy, że sumy częściowe szeregu trygonometrycznego są wielomianami trygonometrycznymi.
Tak zbudowany szereg trygonometryczny nazywa się szeregiem Fouriera funkcji f. Aby
to zaznaczyć, piszemy
"

1
f <" a0 + an cos nx + bn sin nx.
2
n=1
1
2
"
2. Jeśli |an| + |bn| < ", to szereg trygonometryczny S(x) jest zbieżny jednostajnie.
n=0
Ponadto, współczynniki szeregu wyrażają się wzorami (1).
Dowód. Jednostajna zbieżność szeregu S(x) wynika z kryterium Weierstrassa. Mamy
bowiem
|an cos nx + bn sin nx| |an| + |bn|.
Wiemy, że dla każdych n = m


Ą 2Ą
sin nx sin mx dx = cos nx cos mx dx = 0
Ą 0
i dla każdych m, n " N

Ą
sin nx cos mx dx = 0.
-Ą
Stąd wzory na współczynniki otrzymujemy całkując jednostajnie zbieżne szeregi S(x) cos nx
oraz S(x) sin nx wyraz po wyrazie.
Zwróćmy uwagę, że jeśli f " R2Ą(R), to dla każdego a " R

a+2Ą 2Ą
f(x) dx = f(x) dx,
a 0
więc obliczając współczynniki Fouriera według wzorów (1) możemy całkować po dowol-
nym przedziale długości 2Ą, na przykład po [0, 2Ą]. Czasem upraszcza to obliczenia.
Przykład. Niech

x
u(x) = m . x " R.
2Ą
Mamy

2Ą
1 x
a0 = dx = 1
Ą 2Ą
0
i dla n 1

2Ą 2

1 x x sin nx 2Ą 1

an = cos nx dx = - sin nx dx = 0

Ą 2Ą 2Ą2n 2Ą2n 0
0
0
oraz

2Ą 2

1 x x cos nx 2Ą 1 1

bn = sin nx dx = - + cos nx dx = - ,

Ą 2Ą 2Ą2n 2Ą2n 0 Ąn
0
0
więc
"

1 sin nx
u <" -
2 Ąn
n=1
jest szeregiem Fouriera naszej funkcji. Szereg ten, jak wiemy, jest zbieżny w każdym
punkcie. Ale czy do funkcji u? Zwróćmy też uwagę, że współczynniki tego szeregu nie
spełniają warunku bezwzględnej zbieżności, który postulowaliśmy w (2).
Przykład. Niech v będzie rozszerzeniem do funkcji okresowej funkcji x |x| z odcinka
[-Ą, Ą). W odróżnieniu od funkcji u funkcja v jest ciągła. Mamy

Ą Ą
1 2
a0 = |x|, dx = x dx = Ą
Ą -Ą Ą -Ą
3
i dla n 1

Ą Ą
1 2
an = |x| cos nx dx = x cos nx dx,
Ą -Ą Ą -Ą
skąd łatwo otrzymujemy
4
a2k-1 = - , a2k = 0.
Ą(2k - 1)2
Ponadto

Ą
1
bn = |x| sin nx dx = 0.
Ą -Ą
Zatem
"

Ą 4 cos(2k - 1)x
v <" - .
2 Ą(2k - 1)2
k=1
Ten szereg Fouriera jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie. Ale czy do funkcji v?
Wróćmy do ogólnej teorii i zapytajmy: Czy szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny do
funkcji f przynajmniej w niektórych punktach? A może wszędzie? Jeśli tak, to czy tylko
punktowo, czy jednostajnie?
Niestety nasz świat nie jest idealny. Zdarza się, że szereg funkcji Fouriera funkcji ciągłej
nie tylko nie jest zbieżny do funkcji, od której pochodzi, ale jest wręcz rozbieżny w bardzo
wielu punktach. Dlatego będziemy się starali ustalić kryteria, która zapewią zbieżność
w ustalonym punkcie, a także zbieżność punktową wszędzie; czasem nawet jednostajną.
Chcemy oczywiście także wiedzieć, czy szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji, od której
pochodzi.
2. Jądro Dirichleta. Naszą teorię zaczniemy od wyrażenia sum częściowych szeregu
Fouriera w zamkniętej formie, w której łatwiej będzie je badać. Doniosłą rolę gra tu jądro
Dirichleta.
Lemat 3. Niech f " R2Ą(R) i niech Sm(x) = Sm(f, x) będzie sumą częściową szeregu
Fouriera f. Wtedy

Ą
1
Sm(x) = f(t)Dm(x - t) dt.
2Ą -Ą
Dowód. Rzeczywiście,
m

1
a0 + an cos nx + bn sin nx
2
n=1

m
Ą

1 1
= f(t) + cos nt cos nx + sin nt sin nx dt
Ą -Ą 2
n=1

m
Ą

1
= f(t) 1 + 2 cos(x - t) dt
2Ą -Ą
n=1

Ą Ą
1 1
= f(t)Dm(x - t) dt = f(x + t)Dm(t) dt.
2Ą -Ą 2Ą -Ą

4
Czytelnik nie powienien się zdziwić, gdy powiemy, że w całej teorii kluczową rolę
odgrywać będzie całka Dirichleta

Ą
1
f(t + x)Dm(t) dt.
2Ą -Ą
Lemat 4 (Riemann-Lebesgue). Dla każdej funkcji f " R2Ą(R)

b
lim f(t) sin nt dt = 0.
n"
a
Dowód. Niech � > 0. Korzystjąc z aproksymacji funkcji całkowalnych funkcjami kawał-
kami liniowymi, możemy przyjąć, że funkcja f jest ciągła i okresowa, a więc jednostajnie
b-a
ciągła. Zatem istnieje N " N, takie że |t - s| < pociąga |f(t) - f(s)| < �. Podzielmy
N
b-a
przedział [a, b] na N odcinków Ik = [ak-1, ak], gdzie ak = a + k � . Wtedy
N

N
b

f(t) sin nt dt = f(t) sin nt dt
a Ik
k=1

N N

= [f(t) - f(ak)] sin nt dt + f(ak) sin nt dt.
Ik Ik
k=1 k=1
Składniki pierwszej sumy szacujemy przez




[f(t) - f(ak)] sin nt dt |Ik|�,

Ik
a drugiej przez



2 f

f(ak) sin nt dt .

Ik n
Stąd


b

2N f

f(t) sin nt dt (b - a) � + .

a n

Wniosek 5. Współczynniki Fouriera funkcji f " R2Ą(R) znikają w nieskończoności.
Lemat Riemanna-Lebesgue a pozwala dostrzec ważny związek między całką Dirichleta
i całką Hilberta.
Wniosek 6. Mamy

"
sin t Ą
dt = .
0 t 2
Dowód. Rzeczywiście,

(n+1/2)Ą Ą/2 Ą
sin t sin(n + 1/2)y
dt = dy = Dn(z) dz + �n,
0 t 0 y 0
gdzie

Ą/2
1 1
�n = sin(2n + 1)y � - dy.
0 sin y y
Nietrudno się przekonać, że funkcja
1 1
f(y) = - , 0 < y Ą/2,
sin y y
5
jest ciągła i ograniczona, bo limy0+ f(y) = 0,, a więc na mocy lematu Riemanna-
Lebesgue a �n 0. Zatem

" (n+1/2)Ą Ą
sin t sin t
dt = lim dt = Dn(z) dz = Ą/2.
n"
0 t 0 t 0

3. Zbieżność szeregów Fouriera.
Funkcję f : I R nazywamy lipschitzowską w punkcie a " I jeśli istnieją stałe C > 0
i � > 0, takie że
|f(x) - f(a)| C|x - a|
dla |x - a| < �.
Dowody twierdzeń o zbieżności szeregów Fouriera są dość trudne. Dlatego podajemy
tylko jedno z nich, pomijając dowód, który polega na starannym zbadaniu właściwości
całki Dirichleta.
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcja f " R2Ą(R) jest lipschitzowska w punkcie a, to jej szereg
Fouriera jest zbieżny do niej w tym punkcie. Jeśli jest lipschitzowska, jej szereg Fouriera
jest zbieżny do niej jednostajnie.
Wniosek 8. Jeżeli funkcja f " R2Ą(R) jest różniczkowalna w punkcie a, to jej szereg
Fouriera jest zbieżny do niej w tym punkcie.
Wniosek 9. Jeżeli funkcja f " C2Ą(R) jest kawałkami klasy C1, to jej szereg Fouriera
jest zbieżny do niej jednostajnie. W szczególności dotyczy to funkcji kawałkami liniowych.
Przykład. Rozważana wyżej funkcja v jest kawałkami liniowa, więc lipschitzowska.
Dlatego
"

Ą 4 cos(2k - 1)x
|x| = - , |x| Ą,
2 Ą(2k - 1)2
k=1
gdzie zbieżność szeregu jest jednostajna, co zresztą widzimy też gołym okiem. W szcze-
gólności, podstawiając x = 0, mamy
"

1 Ą2
= .
(2k - 1)2 8
k=1
Jako że
" "

1 3 1
= ,
(2k - 1)2 4 n2
k=1 n=1
otrzymujemy
"

1 Ą2
= .
n2 6
n=1
Funkcja u jest różniczkowalna poza punktami postaci 2kĄ. Dlatego
"

Ą - x sin nx
= , 0 < x < 2Ą,
2 n
n=1
6
choć tu zbieżność nie jest jednostajna. W szczególności, podstawiając x = 1, otrzymuje-
my
"

sin n Ą - 1
= .
n 2
n=1
4. Aproksymacja jednostajna i kwadratowa. Z jednostajnej zbieżności szeregu Fo-
uriera funkcji kawałkami liniowej płyną bardzo ważne wnioski.
Twierdzenie 10 (Weierstrass). Dla każdej funkcji f " C2Ą(R) i każdego � > 0,
istnieje wielomian trygonometryczny T , taki że
|F (x) - T (x)| < �, x " R.
Dowód. Niech � > 0. Skoro f : [0, 2Ą] R jest ciągła i f(0) = f(2Ą), istnieje funkcja g
kawałkami liniowa, taka że g(0) = g(2Ą) oraz
|f(x) - g(x) < �, 0 x 2Ą.
Wynika to łatwo z jednostajnej ciągłości f. Rozszerzmy g do funkcji okresowej. Jej szereg
Fouriera jest zbieżny do niej jednostajnie, więc dla pewnego n
|g(x) - Sn(g, x)| < �, x " R.
Ostatecznie
|f(x) - Sn(g, x)| < 2�, x " R,
gdzie T (x) = Sn(g, x) jest żądanym wielomianem trygonometrycznym.
Z twierdzenia o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi łatwo można wypro-
wadzić twierdzenie o aproksymacji wielomianami.
Wniosek 11 (Weierstrass). Dla każdej funkcji f " C([-1, 1]) i każdego � > 0, istnieje
wielomian P , taki że
|F (x) - P (x)| < �, x " [0, 1].
Dowód. Dla f " C([0, 1] niech F (x) = f(cos x). Wtedy F " C2Ą(R), więc dla zadanego
� > 0 istnieje wielomian trygonometryczny T , taki że F - T < �. Ponieważ F jest
parzysta, można przyjąć, że
N

T (x) = ak cos kx
k=0
i wobec tego istnieje wielomian P , taki że T (x) = P (cos x). Stąd
f - P = F - T < �.


b
12. Jeśli f, g " R([a, b]) i f(x)g(x) dx = 0, to
a
2
b b b
f(x) + g(x) dx = f(x)2 dx + g(x)2 dx.
a a a
7
Wniosek 13 (aproksymacja kwadratowa). Niech f " R2Ą(R). Jeśli TN jest wielo-
mianem trygonometrycznym stopnia N, a SN sumą częściową szeregu Fouriera funkcji
f, to
2 2
Ą Ą
f(x) - SN(x) dx f(x) - TN(x) dx,
-Ą -Ą
Dowód. Przez bezpośrednie całkowanie sprawdzamy, że

Ą
(14) f(x) - SN(x) TN(x) dx = 0,
-Ą
więc na mocy (12)
2 2 2
Ą Ą Ą
f(x) - TN(x) dx = f(x) - SN(x) dx + SN(x) - TN(x) dx,
-Ą -Ą -Ą
skąd natychmiast wynika nasza teza.
Istnieje wiele różnych sposobów mierzenia, jak bardzo różnią się od siebie dwie funkcje.
Na przykład
f - g = sup |f(x) - g(x)|
x"[a,b]
nazywa się odległością jednostajną. Jest też odległość całkowa

b
1
f - g 1 = |f(x) - g(x)| dx.
b - a a
Jeszcze inną odległością jest
1/2
b
1
f - g 2 = |f(x) - g(x)|2 dx
b - a a
zwana średnią odległością kwadratową. Wniosek 13 można więc sformułować i tak:
Wniosek 15. Spośród wszystkich wielomianów trygonometrycznych stopnia N suma czę-
ściowa szeregu Fouriera SN(f, x) najlepiej przybliża funkcję f " C2Ą(R) w sensie średniej
kwadratowej.
Wniosek 16 (tożsamość Parsevala). Dla każdej funkcji f " C2Ą(R) zachodzi równość


a2 " 1
0
+ a2 + b2 = f(x)2 dx.
n n
2 Ą
n=1
Dowód. Dla � > 0 niech T będzie wielomianem trygonometrycznym stopnia N, takim że
f - T < �. Niech
N
a0
SN(x) = + an cos nx + bn sin nx
2
n=1
będzie sumą częściową szeregu Fouriera. Bezpośrednim rachunkiem przekonujemy się, że

2Ą

1 a2 N
0
f(x)SN(x) dx = + a2 + b2
n n
Ą 0 2
n=1
i podobnie jak w (14)

2Ą
SN(x) f(x) - SN(x) dx = 0.
0
8
Zatem na mocy (12)
2
2Ą 2Ą

1 a2 N 1
0
f(x)2 dx = + a2 + b2 + f(x) - SN(x) dx
n n
Ą 0 2 Ą 0
n=1
2
2Ą

a2 N 1
0
+ a2 + b2 + f(x) - T (x) dx,
n n
2 Ą 0
n=1
skąd

2Ą

a2 N 1 a2 N
0 0
+ a2 + b2 f(x)2 dx + a2 + b2 + �2.
n n n n
2 Ą 0 2
n=1 n=1
Jako że � może być dowolnie małe, stąd już wynika teza.
Uwaga. Z naszego dowodu widać, że nierówność


a2 " 1
0
+ a2 + b2 f(x)2 dx
n n
2 Ą
n=1
zwana nierównością Bessela obowiązuje dla wszystkich f " R2Ą(R). Widzimy też, że
chociaż szereg współczynników Fouriera nie zawsze jest bezwzględnie sumowalny, to jed-
nak zawsze jest sumowalny z kwadratem.
Wniosek 17. Jeśli wszystkie współczynniki Fouriera funkcji f " C2Ą(R) znikają, to f
jest funkcją zerową.

x
Przykład. Wróćmy do funkcji u(x) = m , dla której
2Ą

2Ą 2Ą
1 1 2
u(x)2 dx = x2 dx = .
Ą 0 4Ą3 0 3
Wstawiając obliczone wcześniej wartości współczynników Fouriera do równania Parse-
vala, otrzymujemy
"

1 1 2
+ = ,
2 Ą2n2 3
n=1
a stąd raz jeszcze
"

1 Ą2
= .
n2 6
n=1
6. Absolutna zbieżność szeregu Fouriera. Widzieliśmy już przykład funkcji, której
szereg Fouriera jest absolutnie zbieżny. Pokażemy teraz, że tak jest dla wszystkich funkcji
1
klasy C2Ą(R). Najpierw jednak wyjaśnijmy związek między współczynnikami Fouriera
funkcji i jej pochodnej.
1
18. Niech f " C2Ą(R) i niech
"
a0
f <" + an cos nx + bn sin nx
2
n=1
9
oraz
"

f <" An cos nx + Bn sin nx.
n=1
Wtedy
An = nbn, Bn = -nan, n " N.
Dowód. Przekonujemy się o tym bezpośrednim rachunkiem, całkując przez części.
A teraz zapowiedziane twierdzenie.
1
Twierdzenie 19. Szereg Fouriera funkcji f " C2Ą(R) jest absolutnie zbieżny.
Dowód. Mamy
N N

|An| |Bn|
|an| + |bn| = + ,
n n
n=1 n=1
więc na mocy nierówności Schwarza
1/2 1/2
N N N

1
|an| A2
n
n2
n=1 n=1 n=1
oraz
1/2 1/2
N N N

1
2
|bn| Bn .
n2
n=1 n=1 n=1
Ponieważ f jest funkcją ciągła,
" "

2
A2 < ", Bn < ",
n
n=1 n=1
co pokazuje, że szereg współczynników f jest zbieżny bezwzględnie.
Przykład. Funkcja
w(x) = (Ą2 - x2)2, |x| Ą,
rozszerzona okresowo na R jest klasy C1, co Czytelnik zechce sprawdzić samodzielnie.
Dlatego jej szereg Fouriera jest absolutnie zbieżny. Obliczenie współczynników Fouriera
polecamy Czytelnikowi jako świetne choć nieco żmudne ćwiczenie.
1
Innym przykładem funkcji f " C2Ą(R) jest
f(x) = esin x.
Ta funkcja ma także absolutnie zbieżny szereg Fouriera.