Ć w i c z e n i e 39
CZAS TRWANIA ZDERZENIA
39.1. Opis teoretyczny
Rozpatrzmy dwie jednorodne kule poruszające się w tym samym kierunku ruchem postępowym
wzdłuż prostej wyznaczonej przez ich środki geometryczne. Niech jedna z kul o masie m1 porusza
się z prędkością v1, a druga o masie m2 z prędkością v2 )# v1 (rys. 39.1). Przedstawione założenia
dotyczÄ… zderzenia centralnego kul.
v1 v2
m1
m2
Rys. 39.1. Zderzenie centralne (sytuacja przed zderzeniem).
Załóżmy, że kule wykonane są z materiału niesprężystego, tzn. po zderzeniu odkształcenie będzie
trwałe i kule zwarte w chwili zderzenia poruszać się będą ze wspólną prędkością V (rys.39.2). Zja-
wisko takie nazywamy zderzeniem niesprężystym
V
m1 +m2
Rys. 39.2. Zderzenie niesprężyste (stan po zderzeniu).
Rozpatrując obydwie kule jako zamknięty układ ciał, możemy z zasady zachowania pędu wyzna-
czyć wartość prędkości V połączonych kul:
m1 v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 ) V
m1 v1 + m2 v2
V = (39.1)
m1 + m2
Jeżeli zderzające się kule wykonane są z materiału sprężystego (np. ze stali) to w chwili zderzenia
następuje ich odkształcenie, poruszają się przez pewien czas razem z prędkością V, następnie wsku-
tek działania sił sprężystości wracają do pierwotnej postaci odpychając się od siebie, co powoduje,
* *
że poruszają się z prędkościami v1 i v* (rys. 39.3) przy czym prędkość v1 )# V , a prędkość
2
v* *# V .
2
*
v1 v*
2
m1
m2
Rys. 39.3. Zderzenie sprężyste (stan po zderzeniu).
Zderzenie sprężyste charakteryzuje się tym, że oprócz pędu zostaje zachowana również energia
kinetyczna.
(U w a g a ! Zderzeniami rządzą prawa zachowania pędu i zachowania energii)
2 *
m1 v1 m2 v2 m1 (v1 )2 m2 (v* )2
2 2
+ = + (39.2)
2 2 2 2
*
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v* (39.3)
2
*
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy v1 i v*
2
* *
m1 (v1 - v1 ) (v1 + v1 ) = m2 (v* - v2 ) (v* + v2 )
2 2
*
m1 (v1 - v1 ) = m2 (v* - v2 )
2
*
v1 + v1 = v* + v2
2
*
v* = v1 - v2 + v1
2
* *
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v1 - m2 v2 + m2 v1
*
v1 (m1 + m2 ) = m1 v1 + m2 v2 + m2 v2 - m2 v1
v1 (m1 - m2 ) + 2 m2 v2
*
v1 = = 2 V - v1
(m1 + m2 )
v* = 2 V - v2
2
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie czasu trwania zderzenia dwóch metalowych kulek.
39.2. Opis układu pomiarowego
Rysunek 39.4 przedstawia schemat ideowy przyrzÄ…du pomiarowego do wyznaczania czasu trwania
zderzenia. W czasie zderzenia sprężystego energia kinetyczna zostaje zmieniona na energię spręży-
stości kulek, którą po zderzeniu znajdujemy z powrotem w ich energii kinetycznej. Przekazywanie
energii odbywa siÄ™ w czasie T. Czas trwania zderzenia mierzymy wykorzystujÄ…c w tym celu zjawi-
sko rozładowania kondensatora.
Rys.39.4 Obwód do pomiaru czasu trwania zderzenia.
Z  zasilacze , A  elektromagnesy
Rys. 39.4. Obwód do pomiaru czasu trwania zderzenia. Z  zasilacze , A  elektromagnesy
Zwierając klucz W ładujemy kondensator do napięcia U0. Następnie rozwieramy klucz W.
(U w a g a ! Przed zwarciem klucza W należy włączyć elektromagnesy i rozchylić kulki
tak, aby zostały przyciągnięte przez elektromagnesy. Jeżeli tego nie zrobimy to usły-
szymy sygnał dz
więkowy, brzęczenie przekaz
nika umieszczonego w drewnianej obu-
dowie i nie uda się nam naładować kondensatora)
Kondensator jest naładowany a różnicę potencjałów na jego okładkach wskazuje woltomierz. Prze-
kręcając następnie pokrętło komutatora K zwalniamy kulki, które po zderzeniu powinny ponownie
zwierać się z elektromagnesami. W momencie zderzenia, kulki stykając się powodują zwarcie okła-
dek kondensatora i kondensator rozładowuje się poprzez opór R. Napięcie między okładkami male-
je od wartości U0 do wartości U w czasie trwania zderzenia T. W momencie zderzenia obwód elek-
tryczny możemy przedstawić tak jak na rys. 39.5. Czas trwania zderzenia T znajdujemy z wyraże-
nia:
U0
T = R C ln (39.4)
U
C
V
R
Rys. 39.5. Schemat obwodu elektrycznego w momencie zderzenia.
W czasie zderzenia kule deformują się. Deformacja polega na wgnieceniu do wnętrza kuli części
objętości mającej kształt czaszy o wysokości h i promieniu r (rys. 39.6).
RK
h
2 r
Rys. 39.6. Deformacja kuli w czasie zderzenia.
Promień r jest największym promieniem koła zetknięcia kul. Wielkość deformacji kuli h możemy
obliczyć zakładając, że od chwili zetknięcia się kul ich ruch jest ruchem jednostajnie opóz
nionym i
T
po czasie t = prędkość kul maleje do zera
2
a t2
h = v0 t - (39.5)
2
Opóz
nienie ruchu jednostajnie opóz
nionego znajdziemy z zależności:
v0
0 = v0 - a t Ò! a = -
t
Wobec tego:
v0 t2 v0 t
h = v0 t - = (39.6)
2 t 2
Prędkość v0 obliczymy z zasady zachowania energii mechanicznej w polu grawitacyjnym Ziemi. W
chwili początkowej kule przytrzymywane przez elektromagnesy znajdują się o H wyżej od ich po-
łożenia najniższego (rys.39.7).
H
H2
H1
Rys. 39.7. Określenie różnicy wysokości położenia kul przed i podczas zderzenia
H = H2 - H1 .
Energia potencjalna kul zostaje zamieniona na energiÄ™ kinetycznÄ…
2
m v0
m g H =
2
StÄ…d v0 = 2 g H
Promień r znajdziemy z twierdzenia Pitagorasa (rys. 39.6)
2
R = (R - h)2 + r2
k k
stÄ…d r2 = 2 R h - h2
k
Ze względu na małą wysokość czaszy kulistej h drugi wyraz w powyższym wzorze możemy zanie-
dbać jako bardzo mały w porównaniu z pierwszym i otrzymamy:
r = 2 Rk h (39.7)
39.3. Przebieg pomiarów
1. A
ączymy obwód według rys. 39.4.
2. Mierzymy suwmiarką odległość H1 kul od ławy (rys. 39.7).
3. Włączamy prąd w obwodzie elektromagnesów (włączamy zasilacz) i na mierniku zasilacza
ustawiamy natężenie prądu 1A.
4. Odchylamy kule tak, aby w położeniu odchylonym utrzymywał je elektromagnes.
5. Mierzymy suwmiarką odległość kul od ławy (H2) i wyznaczamy H = H2 - H1. Samodzielnie
oszacować błąd wyznaczenia H.
6. Włączamy drugi zasilacz i ładujemy kondensator do napięcia zakresu Uo = 100-120 V. Napięcie
wskazuje woltomierz (rys.39.4). Kondensator Å‚adujemy przyciskajÄ…c klucz telegraficzny W.
7. Przekręcając klucz komutatora o 90o powodujemy na chwilę przerwanie obwodu elektromagne-
sów i zwolnienie kul, a po ich zderzeniu klucz komutatora ponownie zwiera obwód elektroma-
gnesów i utrzymuje kule w położeniu odchylonym.
8. Na woltomierzu odczytujemy napięcie między okładkami kondensatora U po częściowym roz-
Å‚adowaniu.
U w a g a ! Odczytu napięć Uo i U oraz przełączenia klucza komutatora, należy dokonywać na
tyle szybko, aby nie następowało zauważalne rozładowanie kondensatora przez powietrze.
9. Pomiary Uo i U powtarzamy piętnastokrotnie.
39.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Obliczyć wartości średnie Uo i U oraz błędy kwadratowe tych średnich wielkości .
2. Obliczyć czas zderzenia kul T oraz parametry określające wielkość ich deformacji (h, r).
3. Wyznaczyć średnie błędy kwadratowe wszystkich wyznaczonych wielkości (patrz wzór (W.2.10)
we wstępie).
Dane: masa kuli - m = 299,0 Ä… 0,1 g
promień kuli - Rk = 20,64 ą 0,01 mm
pojemność kondensatora - C = 3,0 Ä… 0,1 µF
wartość rezystancji - R = 100 ą 1&!
39.5. Pytania kontrolne
1. Omówić zderzenia niesprężyste i sprężyste. Wykazać, że w zderzeniu niesprężystym energia
kinetyczna nie jest zachowana.
2. Wyprowadzić wzór (39.4).
3. Podać prawo Hooke,a-Cauchy,ego.
4. Podać definicję linii zderzenia oraz zderzeń prostego, ukośnego i centralnego.
L i t e r a t u r a
[1] Huber M.T.: Teoria sprężystości. PWN, Warszawa 1954.
[2] Jaworski B.M., Dietłaf A.A., Miłkowska L.B.: Kurs fizyki. PWN. Warszawa 1970.