WYZNACZANIE WSPÓA
CZYNNIKA WYPA
YWU NA PODSTAWIE POMIARU CZASU
OPRÓŻNIANIA ZBIORNIKA
1.Wprowadzenie
Prędkość wypływu cieczy doskonałej ze zbiornika przez mały otwór jest opisana równaniem:
w = 2gH , (1)
gdzie: H- odległość miedzy zwierciadłem cieczy i otworem wypływowym,
g - przyspieszenie ziemskie.
Zależność (1) można wyprowadzić posługując się równaniem Bernoulliego dla przekrojów 1
i 2 ( rys.1):
2
w1 p12
w2 p2
A1, w1, p1
+ + H = + . (2)
2g Ág 2g Ág
Z prawa ciągłości strugi wynika, że,
w1 A1 = w2 A2 , (3)
czyli:
A2
w1 = w2 . (4)
A1
A2, w2, p2
Rys.1. Wypływ cieczy ze zbiornika
Wyrażenie (4) podstawiamy do równania (2) i po przekształceniu otrzymujemy wzór na
prędkość w2:
2[ÁgH - (p2 - p1)]
w2 = . (5)
2
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
A2 Å‚Å‚
ÁïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
A1 śł
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Jeżeli otwór wypływowy jest bardzo mały, to wtedy 1- (A1/A2)2 E" 1. Przy wypływie z
otwartego zbiornika można przyjąć, że p1 = p2 = Potoczenia. Uwzględniając te uproszczenia w
równaniu (5) można je sprowadzić do postaci (1):
dH
H
w2 = 2gH . (6)
Prędkość wypływu cieczy rzeczywistej jest zawsze mniejsza niż cieczy doskonałej.
Spowodowane jest to siłami tarcia (lepkością), a także zwężeniem strumienia cieczy w pewnej
odległości od otworu. Dla cieczy rzeczywistej można zatem zapisać:
w = Õw2 = Õ 2gH . (7)
Współczynnik Õ nosi nazwÄ™ współczynnika wypÅ‚ywu. Jego wartość zależy od ksztaÅ‚tu
otworu wypÅ‚ywowego i jego usytuowania wzglÄ™dem Å›cian zbiornika. Przybiera wartość 0 < Õ <
1.
Korzystając z równania (6) można wyprowadzić wzór na czas wypływu cieczy ze zbiornika
o dowolnym kształcie.
W różniczkowym czasie dÄ poziom cieczy w zbiorniku obniżyÅ‚ siÄ™ o wartość dH. Jeżeli
powierzchnia przekroju zbiornika na poziomie H wynosi A1, to objętość cieczy, która wypłynęła
ze zbiornika w czasie dÄ wynosi:
dV =-dH Å" A1 . (8)
Ciecz ta wypłynęła przez otwór o powierzchni A2, z prędkością w, a więc z drugiej strony
dV = wA2dÄ . (9)
Porównując wzory (8) i (9) otrzymujemy:
- AdH = wA2dÄ , (10)
1
a po przekształceniu
AdH
1
dÄ =- . (11)
wA2
Prędkość wypływu w opisana jest równaniem (6). Mamy więc
AdH
1
dÄ =- . (12)
ÕA2 2gH
LewÄ… stronÄ™ równanie caÅ‚kujemy od 0 do Ä, prawÄ… odpowiednio od H1 ( poziom poczÄ…tkowy
przy Ä = 0) do H2 (poziom po czasie Ä)
Ä H 2
1 AdH
1
. (13)
+"dÄ = - +"
ÕA2 2g H
0 H1
Po scałkowaniu otrzymujemy;
H1
1 AdH
1
Ä = . (14)
+"
ÕA2 2g H
H2
Jeżeli przekrój zbiornika A1 nie jest funkcją wysokości H ( zbiornik cylindryczny, pro-
stopadłościenny), to wtedy;
2 A1
Ä = H1
( - H2 (15)
)
ÕA2 2g
W szczególnoÅ›ci, gdy H2=0, Ä jest czasem opróżniania takiego zbiornika:
2 A1 H1
Ä = . (16)
ÕA2 2g
Tak wiec znając wymiary zbiornika, czyli powierzchnię otworu A2 i zależność A1 =f(H) oraz
współczynnik wypÅ‚ywu Õ, można wyznaczyć czas wypÅ‚ywu cieczy miÄ™dzy dwoma dowolnymi
poziomami H1 i H2 a znając czas wypływu między określonymi poziomami i znając wymiary
zbiornika, można obliczyć współczynnik wypÅ‚ywu Õ
2. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczanie współczynnika wypływu na podstawie pomiaru czasu
opróżniania zbiornika.
3. Aparatura
Schemat stanowiska doświadczalnego przedstawia rysunek 2. Głównym elementem jest
zbiornik pomiarowy 5, zbudowany z dwóch części stożkowych, oddzielonych częścią
cylindryczną. Zbiornik jest zaopatrzony w wyskalowany w centymetrach płynowskaz 7. Wylot
zbiornika ma uchwyt pozwalający na przymocowanie do niego końcówek 6. Końcówki mają
różne przekroje ( kołowy, kwadratowy, i trójkątny) i tą samą długość. Wewnątrz zbiornika
znajduje się zawór 4, służący do zamykania wylotu podczas napełniania zbiornika.
Manipulowanie zaworem odbywa siÄ™ za pomocÄ… dz
wigni 3. Obieg wody zapewnia pompa
wirowa 2, tłocząca wodę ze zbiornika obiegowego 1.
3
5
7
4
6
1
2
Rys.2. Schemat aparatury doświadczalnej.
1- zbiornik obiegowy, 2- pompa, 3-dz
wignia,4- zawór wylotowy, 5-zbiornik pomiarowy, 6- końcówka wymienna, 7-
poziomowskaz
4. Metodyka pomiarów
Ćwiczenie należy wykonać następująco: przymocować do wylotu zbiornika odpowiednią
końcówkę, zamknąć zawór 4 przez przesunięcie dz
wigni 3 w górne położenie i otworzyć zawór
na przewodzie doprowadzającym wodę do zbiornika. Włączyć pompę i napełnić zbiornik do
poziomu ok. 140 cm na płynowskazie. Następnie otworzyć zawór 4 przez przesunięcie dz
wigni
w dolne położenie i jednocześnie włączyć stoper. Obserwując płynowskaz należy zmierzyć
czas całkowitego opróżnienia zbiornika, zapisując jednocześnie czas wypływu co 5 działek
płynowskazu, czyli co 5 cm.
Po opróżnieniu zbiornika wymienia się końcówkę, zamyka zawór 4 i w identyczny sposób
wykonuje następny pomiar. Należy wykonać dwa pomiary dla każdej końcówki, a także dla
zbiornika bez końcówki.
5.Opracowanie wyników pomiarów
Obliczenie współczynnika wypÅ‚ywu Õ przeprowadza siÄ™ na podstawie zmierzonego czasu
wypÅ‚ywu Ä i wymiarów zbiornika przedstawionych na rys.3. Po przeksztaÅ‚ceniu równania (13)
otrzymamy:
d=0.5m
Ä…3
D=0.7m
Ä…1
Rys.3. Podstawowe wymiary zbiornika
H3
A dH
1
Õ = . (17)
+"
A0Ä 2g H
0
gdzie : A0 oznacza powierzchnię przekroju otworu wylotowego wynoszącą dla poszczególnych
końcówek :
- okrÄ…gÅ‚ej - 3.08Å"10-4 m2
- kwadratowej - 2.526Å"10-4 m2
- trójkÄ…tnej - 1.684Å"10-4 m2
Całkę we wzorze (16) oblicza się w sposób następujący.
3
H =1.885m
2
H =0.992m
1
H =0.585m
0
H =0.26m
Z własności całek wiadomo, że:
H3 H0 H1 H2 H3
AdH AdH AdH AdH AdH
=+++ (18)
+"+"+"+"+"
H H H H H
00 H0 H1 H2
Podziału takiego dokonano dlatego, że w każdej części zbiornika inna jest zależność między
powierzchniÄ… lustra cieczy A, a aktualnym jej poziomem H, liczonym od poziomu otworu
wylotowego z końcówki.
W górnej części stożkowej zależność A = f (H) jest następująca:
2
1
îÅ‚ Å‚Å‚
A3 = Ą D -( - H2 tgą3 śł =
)
ïÅ‚2 H ûÅ‚
ðÅ‚
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
= Ą D2 - D H - H2 tgą3 + (H - H2 )2 tg2ą3 śł . (19)
()
ïÅ‚4 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Tak więc
H3 H3
A3dH Ä„ 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
=- ()
. (20)
+"+"
ïÅ‚4 D2 D H - H2 tgÄ…3 + (H - H2 )2 tg2Ä…3 śł
2
HH ðÅ‚ ûÅ‚
H2 H2
Rozwiązanie całki przy pewnych założeniach upraszczających daje w rezultacie:
H3
AdH îÅ‚ 1
3 3 3
= Ä„DïÅ‚ H3 - H2 D + H2tgÄ…3öÅ‚ - tgÄ…3 H3 - H2 śł . (21)
ìÅ‚ ÷Å‚
()ëÅ‚ 1
()Å‚Å‚
+"
íÅ‚ Å‚Å‚
2 3
H
ðÅ‚ ûÅ‚
H2
W części cylindrycznej powierzchnia A jest stała i wynosi:
1
A2 = Ä„D2 , (22)
4
tak więc rozwiązanie odpowiedniej całki w równaniu (18) ma postać:
H2 H2
A2dH Ä„D2dH 1
== Ä„D2 H2 - H1 . (23)
()
+"+"
2
H H
H1 H1
W dolnej części stożkowej zależność powierzchni lustra cieczy A1 od jej poziomu H jest
następująca:
2
2
A1 = Ä„ H - H0 tg2Ä…1 = Ä„tg2Ä…1 H - 2H0H + H0 2 . (24)
() ( )
Całka w równaniu (18) odpowiadająca tej części zbiornika, ma więc postać
H1 H1
AdH dH
1 2
= Ä„tg2Ä…1 2 - 2H0H + H0 . (25)
)
+"+"(H
H H
H0 H0
a po rozwiÄ…zaniu
H1
AdH 1 2
îÅ‚
1
5 5 3 3 2
= 2Ä„tg2Ä…1 ïÅ‚5 H1 - H0 - H0 H1 - H0 + H0 H1 - H0 śł (26)
() () ()Å‚Å‚
+"
3
H ðÅ‚ ûÅ‚
H0
Całkę dla końcówki wypływowej, czyli pierwszy człon prawej strony równania (18) można
pominąć, gdyż jej wartość jest bardzo mała w porównaniu z pozostałymi członami.
Po wstawieniu zależności (21), (23) i (26) do równania (18), a następnie do wzoru (17)
otrzymuje się końcową zależność pozwalającą na obliczenie współczynnika wypływu ze
zbiornika z końcówką:
Å„Å‚
1 îÅ‚ 1
3 3
Õ = H3 ìÅ‚ ÷Å‚
)ëÅ‚ 1
òÅ‚Ä„DïÅ‚( - H2 D + H2tgÄ…3öÅ‚ - tgÄ…3 H3 - H2 śł +
)Å‚Å‚
(
íÅ‚ Å‚Å‚
2 3
A0Ä 2g
ðÅ‚ ûÅ‚
ół
1 2
îÅ‚
5 5 3 3
+ Ä„D2 H2 - H1 + 2Ä„tg2Ä…1 ïÅ‚5 H1 - H0 - H0 H1 - H0 +
()1
() ()
2 3
ðÅ‚
Å‚Å‚ üÅ‚
2
+ H0 H1 - H0 śł (27)
() żł
ûÅ‚ þÅ‚
W przypadku zbiornika bez końcówki H0 = 0 i równanie (27) upraszcza się do postaci
Å„Å‚
1 îÅ‚ 1
3 3
Õ = H3 ìÅ‚ ÷Å‚
)ëÅ‚ 1
òÅ‚Ä„DïÅ‚( - H2 D + H2tgÄ…3öÅ‚ - tgÄ…3 H3 - H2 śł +
()Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 3
A0Ä 2g
ðÅ‚ ûÅ‚
ół
üÅ‚
1
5
+ ĄD2 H2 - H1 Ątg2ą1 H1 żł (28)
( )+ 2
2 5
þÅ‚
Wielkość H3 w równaniach (27) i (28) określa początkowy poziom lustra po napełnieniu
zbiornika przed pomiarem. W równaniu (28) wielkości H1, H2 i H3 muszą być pomniejszone w
stosunku do wielkości użytych w równaniu (27) o długość końcówki , czyli o 0.26 m.
Na podstawie równaÅ„ (27) i (28) należy obliczyć współczynnik wypÅ‚ywu Õ dla zbiornika z
różnymi końcówkami oraz bez końcówki używając średniej wartości czasu opróżniania. Dla
każdego przypadku należy również wykonać wykres zależnoÅ›ci H = f(Ä).
Wyniki pomiarów i obliczeń należy zestawić w tabeli.