ZDERZENIA KUL
Przede wszystkim musimy wyobrazić sobie, co się dzieje z kulami podczas ich
zderzania. Oczywiście odkształcaja się przy tym. W rezultacie tej deformacji
powstaje siła starająca wprowadzić kule w położenie początkowe. Jest to siła
podobna do siły sprężystości sprężyny odpychających kule od siebie.
Postarajmy się określić tę siłe sprężystości. Rozpatrzmy neutralne zderzenia
kul, tj. takie w których środki zderzających się kul leżą na prostej, wzdłuż której
poruszają się. Założymy, że obszar powstawania deformacji jest niewielki i mozemy
go przedstawić w postaci cylindra o promieniu r i wysokości 2r:
Niech przesunięcie środka kuli w czasie od chwili zetknięcia do ich zatrzymania
wynosi x. Siła sprężystości  sprężyny wyraża się pr. Hoocke'a:
­Ä…l
F =ES
l
gdzie E  moduł Younga
S - Ćąr2
l=r
­Ä…l=x F ~ Erx
stÄ…d =>
(Tutaj wielkość Er odgrywa rolę stałej sprężystości k)
~ oznacza równość co do rzędu wielkości
Wyraz
my teraz r przez x, w tym celu załóżmy znowu w przybliżeniu, że kula
odkształca się tylko w części ABC:
r 2R-x
=
Z podobieństwa trójkątow ABD i ADG wynika, że
x r
gdzie R  promień kuli
Ponieważ x<ćą
1
3
2
Podstawiając to do wzoru na siłę: F ~ ER x (2)
2
Wyróżniamy wielkość x przez znane stałe i prędkość V
W chwili zatrzymania się kuli cała jej energia kinetyczna przechodzi w potencjalną
energię deformacji. Energia potencjalna jest równa pracy sił sprężystości na
odcinku drogi x:
1
5
U ~ FX ~ ER2 x
2
1
1 5
Oznacz to, że mv2=U ~ ER2 x
2 2
4
m= Ćą R3 ÇÄ…
Ale masa kuli
3
1 2
mv2= Ćą3 ÇÄ… v2 ~ R3rov2
Zgodnie z tym
2 3
2 4 2
5
śąÇÄ… v2źą5
ÇÄ…5 v
x ~ R = R
i stÄ…d
2
E
5
E
E
2
Wygodnie jest oznaczyć: =U
ÇÄ…
Tak określona wielkość U jest równa, co do rzędu wielkości, predkości dżwieku w substancji kuli. Np. dla
stali , a prędkość dz
wieku w stali
E=2,1Å"1011 N /m2 , ÇÄ…=7,8Å"103 kg/m3 , U =5,2Å"103 m/ s
wynosi ok.
6Å"103 m/s
4
v
Przyjmując także oznaczenia, mamy: x ~ R śą źą5
U
Podstawiając tę zależność do wzoru (2) otrzymujemy:
6
v
(3) F ~ ER2śą źą5
U
Ocenimy teraz czas zderzenia siÄ™ kul:
4
v
R śą źą5
1
(4)
x u R U
t ~ ~ ~ śą źą5
v v U v
m
v=5
Niech dla prędkości o wartości zderzają się dwie stalowe kulki o
s
promieniach R=1cm (masa takiej kulki wynosi ~ 30g). Ze wzorów (3) i (4):
1
5
10-2 5Å"103
t ~ [s] ~ 2Å"10-5 s
śą źą
5Å"10-3 5Å"10-2
6
5
F ~ 2Å"1011Å"10-4 5Å"10-2 [N ] ~ 20N
śą źą
5Å"103
Zauważmy, że im większa jest prędkość kulek, tym krótszy jest czas ich zderzenia.
Istnieje również i inny sposób oceny czasu zderzenia wobec analogii do sprężyny,
założymy, że czas zderzenia kul równy jest półokresowi drgań kuli o masie m na
sprężynie o stałej k~Er czyli:
T m
t ~ =Ćą (5)
2 ćąk
Półokres jest tym mniejszy im większa jest stała (k)
Ocena wielkości tu przedstawionych nie jest słuszna przy dancyh prędkościach kul.
W takim przypadku odkształcenie jest tak duże, że przestaje obowiązywać prawo
Hoockey'a. Dla stali prawo to jest sÅ‚uszne dla wzglÄ™dnych odksztaÅ‚ceÅ„ ­Ä…l /ld"10-2
Z tego warunku można określić maksymalną prędkość zderzenia kul. Największa
deformacja kul ( sprężyny ):
2
l x
­Ä… ~ ~śą1 źą r 5d"10-2 skÄ…d
śą źą
l r u
cm
vd"10-5u ~ 5Å"10-2 m =5
s s
Można też dokonać podobnej analizy czasu i siły oddziaływania dla zderzenia
końcami dwóch jednakowych cylindrów o długości l i promieniu R. W tym
przypadku obszar względnie dużej deformacji  rozchodzi się w objętość każdego
cylindra w całość.
Postarajcie się samodzielnie oszacować wyniki (obliczenia są dużo prostsze niż dla
kul). Powinniście otrzymać wyniki:
l
t1 ~ F ~ ER2 v
,
1
u u
Siła oddziaływania przy zderzeniu cylindrów okazuje się większa niż przy zderzeniu
kul:
F1 u 1
5
~ ,
śą źą
F v
a czas przy l~R, jest mniejszy:
t1 v 1
5
~
śą źą
t u
Dla cylindrów stalowych zderzających się z prędkością o wartości 5 cm/s
1
u
5
=10
śą źą
v
Najwiekszą różnicą tych rezultatów jest to, że w odróżnianiu od kul, czas zderzenia
nie zależy tu od prędkości cylindrów.
Trzeba jednak pamiętać, że zjawiska zachodzące przy zderzaniu się cylindrów są
bardziej skomplikowane niż zderzeniu się kul.
Odkształcona objętość może rozprzestrzeniać się w substancji nie momentalnie,
ale z prędkości dz
wieku (u).
Dlatego deformacja pręta  cofa się dopiero po czasie ~ l/u, a w czasie zderzenia
po pręcie biegnie fala odkształcenia.
Przy zderzeniu się kul deformacja rozchodzi się w objętości  sprężyny w czasie:
2
r R v
5
ÉÄ… ~ ~
śą źą
u u u
3
ÉÄ… r
5
czas zderzenia (t) jest dużo większy: ~ j"1
śą źą
t u
Dlatego tez można uważać, że deformacja rozchodząca się w kuli jest
natychmiastowa.
Problemy:
1. Ocenić t i F dla kulek gumowych o promieniu R=1cm, zderzających się z
E ~ 106 N ÇÄ…=103 kg
prędkością o wartości v=10cm/s (dla gumy , ).
m2 m3
2. Oszacować czas uderzenia o ściany dobrze napompowanej piłki futbolowej.
3. Gumowa kulka o prędkości o prędkości V0 pada na dwie stykające się kulki
stalowe o takiej samej masie. Środki (mas) kulek leżą na jednej prostej. Jakie
będą prędkości kulek po zderzeniu.
Odpowiedzi:
1. t ~ 10-3 s , F ~ 105 N
2. Ciśnienie p wewnątrz piłki specjalnie się nie zmienia. Siła
F =Ćąr2 p=2Ćą R xp
stÄ…d współczynnik sprężystoÅ›ci: k =2 Ćą R ÇÄ…
Wg wzoru (5)
m Ćąm
t=Ćą =
ćą2 Ćą R ÇÄ… ćą2Rp
RH"10cm
PrzyjmujÄ…c dla piÅ‚ki m=0,4kg, , ÇÄ…=1atÒ! tH"10-2 s
3. Przy zderzeniu się kulki stalowej i gumowej, dużo silniej odkształca się
gumowy. (Podczas zderzenia)
Czas zderzenia kulki stalowej z gumową jest dużo większy od czasu zderzenia
dwóch stalowych kulek o tej samej (masie) prędkości. Dlatego stalowe kulki po
zderzeniu poruszają się tak, jakby np. zostały ostrożnie popchnięte palcem, czyli z
jednakowymi prędkościami. Z pomocą zasady zachowania pędu i energii mamy:
mv0=mv1ƒÄ…2mv2
1 1
mv0= v2ƒÄ…2Å"1 mv2
1 2
2 2 2
gdzie v1  prędkość gumowej kulki po zderzeniu
v2  prędkośc stalowch kulek
1 2
v1=-1 v0 , v1=- v0 , v2= v0
Po rozwiÄ…zaniu otrzymujemy
3 3 3