Mechanika ruchu ciała sztywnego
Na chwilę zapominając o zderzeniach
wyprowadzimy równania ruchu płaskiego
dla tego ciała. Działają na nie następujące
siły:
" Siła tłumiąca (oporu)
" Siła czynna
" Siła, która może pojawić się w
wyniku odbicia się od przeszkody
Dla każdego ciała w ruchu płaskim są trzy zmienne opisujące położenie:
" x = współrzędna x-owa środka masy
" y = współrzędna y-kowa środka masy
" � = kąt obrotu wokół środka masy
Ponadto dla każdego ciała określa się prędkości odpowiadające tym
zmiennym:
" x' = vx
" y' = vy
" �' = � = prędkość kątowa
Równania ruchu tego ciała zawierają całkowitą siłę F = (Fx, Fy) i moment
� działający na to ciało:
Fx = m x''
Fy = m y''
� = I �''
gdzie m = masa and I = moment bezwładności względem środka masy. Wektory
oznaczamy pogrubieniem.
Siła czynna
Zbudujemy teraz równania rychu dodając po jednej
sile na raz, zaczynając od siły czynnej. Niech T =
[Tx, Ty] będzie wektorem siły czynnej, który działa w
punkcie P ciała. Siła ta powoduje przyspieszenie
ciała zgodnie z II prawem Newtona:
m x'' = Tx
m y'' = Ty
1
W tych równaniach nie ma znaczenia gdzie na ciele siła jest przyłożona. Punkt P
może być gdziekolwiek, ponieważ ciało jest sztywne  I dlatego siła powoduje
przyspieszanie całego ciała. Z drugiej strony dla ruchu obrotowego jest bardzo
ważne gdzie ta siła jest przyłożona.
Moment bezwładności jest dla ruchu obrotowego ekwiwalentem masy. Mierzy,
jak trudno jest obracać ciało wokół danego punktu. Ponieważ nasz prostokąt
obraca się swobodnie wokół środka masy przyjmiemy środek za punkt,
względem którego będziemy obliczać moment bezwładności. Dla cienkiej
prostokątnej płyty oblicza się go ze wzoru
I = m (długość2 + wysokość2) D 12
Niech R = (Rx, Ry) będzie wektorem opisującym odległość od środka masy do P.
Moment obrotowy w punkcie P jest opisany iloczynem wektorowym
R � T = Rx Ty - Ry Tx
skąd mamy
I �'' = R � T
Faktycznie moment obrotowy jest wektorem, ale ponieważ pracujemy w 2
wymiarach to wiemy, że moment obrotowy jest zawsze prostopadły do
płaszczyzny, tak że wykorzystujemy tylko jego trzecią współrzędną . Tak więc
mamy tylko równanie dla trzeciej współrzędnej, bo
[Rx, Ry, 0] � [Tx, Ty, 0] = [0, 0, Rx Ty - Ry Tx]
Ogólnie iloczyn wektorowy definiuje się jako:
[x, y, z] � [u, v, w] = [y w - z v, -x w + z u, x v - y u]
Siła, która może pojawić się w wyniku odbicia się od przeszkody
Przeszkoda działa wzdłuż wektora od punktu P do miejsca styku a przeszkodą;
nazwiemy ten wektor L. Siłą odbicia to B = (Bx, By) = s L gdzie s stałą
odbicia. Działanie tej siły jest identyczne jak siły czynnej, więc dodajemy ją do
równań tak: .
m x'' = Tx + Bx
m y'' = Ty + By
I �'' = R�T + R�B
Siła tłumiąca
Tłumienie (opór, tarcie) powoduje siłę przeciwną do kierunku ruchu. Im
szybciej jedziesz, tym większy opór ruchu. Tak więc wielkość siły tłumienia jest
2
proporcjonalna do prędkości. Niech k będzie stałą proporcjonalnego tłumienia.
Dodając to do naszych równań ruchu daje
m x'' = Tx + Bx - k x' (1)
m y'' = Ty + By - k y' (2)
I �'' = R�T + R�B - k �' (3)
W symulacji bardziej realistycznej mogą być różne współczynniki tłumienie dla
ruchu obrotowego w porównaniu z ruchem postępowym. Ale tutaj używamy
tych samych stałych.
Równania (1-3) są równania ruchu dla jednego naszego prostokątnego ciała.
Dopóki nie pojawi się zderzenie, równania te funkcjonują bez zarzutu. Oto
podsumowanie niektórych zmiennych:
" m = masa
" k = stała tłumienia
" T = wektor siły czynnej
" B = wektor siły, która może pojawić się w wyniku odbicia się od
przeszkody
" R = wektor od środka masy do punktu P, gdzie działa siła czynna
Jak obliczyć energię i pęd
Wyjaśnimy tu jak obliczana jest energia i pęd obiektów. Jeśli nie ma utraty
energii mechanicznej na tarcie (tłumienie = 0) albo podczas zderzenia (zderzenia
sa często sprężyste, co oznacza współczynnik restytucji = 1) wtedy energia
mechaniczna układu się nie zmieni.
Zderzenie dwóch obiektów nie powinno zmienić momentu pędu. Jednakże
zderzenie ze ścianą zmieni moment pędu. ponieważ ściana nie jest brana jako
masa podczas obliczeń dotyczących pędu obiektów.
Energia kinetyczna ruchu postępowego jest równa m v2/2 gdzie v jest
wektorem prędkości środka masy obiektu. Kwadrat prędkości obliczamy
mnożąc skalarnie wektor prędkości przez siebie.
Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa I �2/2 gdzie I jest
momentem bezwładności, a � jest prędkością kątową.
3
Pęd w kierunku x-owym jest równy m vx, a w kierunku y-kowym m vy.
Moment pędu (kręt) jeata mierzony względem określonego punktu w
przestrzeni, np. początku układu współrzędnych. Jest określony wzorem:
I � k + r � m v
gdzie r jest wektorem opisującym odległość od początku układu do środka masy
obiektu. k jest wektorem jednostkowym (wersorem) osi 0z , prostopadłej do
płaszczyzny 0xy. Kręt ma dwie składowe: składnik związany z wirowaniem
I � k
i składnik związany z obrotem wokół początku układu, określony poprzez
iloczyn wektorowy
r � m v.
Mechanika zderzenia dwóch ciał w 2D
Załóżmy, że wierzchołek ciała A uderza w brzeg ciała B w punkcie P.
Zdefiniujemy następujące zmienne
" ma, mb = masy ciał A i B
" rap = wektor od środka masy ciała A do punktu P
" rbp = wektor od środka masy ciała B do punktu P
" �a1, �b1 = prędkości kątowe przed zderzeniem ciał A i B
" �a2, �b2 = prędkości kątowe po zderzeniem ciał A i B
" va1, vb1 = prędkości środków mas przed zderzeniem ciał A i B
" va2, vb2 = prędkości środków mas po zderzeniem ciał A i B
" vap1 = prędkość przed zderzeniem punktu zderzenia w ciele A
" vbp1 = prędkość przed zderzeniem punktu zderzenia w ciele B
4
" n = wektor normalny do brzegu ciała B
" t = wektor styczny do brzegu ciała B
" e = współczynnik restytucji (0 = zderzenie plastyczne, 1 = zderzenie
sprężyste)
Wykorzystamy teraz standardowy wzór na prędkość dowolnego punktu ciała
sztywnego poruszającego się ruchem płaskim (złożenie ruchu postępowego I
obrotowego), tu - punktu P. Najpierw prędkość przed zderzeniem:
vap1 = va1 + �a1 � rap
vbp1 = vb1 + �b1 � rbp
Prędkości po zderzeniu, vap2 i vbp2 :
vap2 = va2 + �a2 � rap
vbp2 = vb2 + �b2 � rbp
Prędkość kątowa ma kierunek osi 0z, więc iloczyn wektorowy liczymy
następująco:
� � r = [0, 0, �] � [rx, ry, 0] = [-� ry, � rx, 0]
Teraz znajdziemy prędkość z którą zderzają sie punkty obu ciał. Nazywamy ją
prędkością względną. Niech vab1 będzie prędkością względną przed zderzeniem,
a vab2 - . prędkością względną po zderzeniu. Definiujemy prędkości względne
następująco:
vab1 = vap1 - vbp1
vab2 = vap2 - vbp2
Korzystając z podanych powyżej wzorów możemy napisać
vab1 = va1 + �a1 � rap - vb1 - �b1 � rbp (4)
vab2 = va2 + �a2 � rap - vb2 - �b2 � rbp (5)
Zauważmy, że przed mającym nastąpić zderzeniem względne normalne
prędkości muszą być przeciwne (czyli obiekty muszą zbliżać się do siebie).
Niech e  współczynnik restytucji. ponieważ może wystąpić odbicie w kierunku
normalnej i w kierunku stycznej (bo są prędkości normalne i styczne), to
rozróżnimy dwa współczynniki restytucji:
5
en  normalny współczynnik restytucji i
et  styczny współczynnik restytucji (współczynnik poślizgu).
Przyjmiemy ważne założenie w postaci następującego związków:
vab2 � n = -en vab1 � n (6a)
vab2 � t = -et vab1 � t (6b)
Równania opisujące zderzenie
Aby rozwiązać problem zderzenia, wprowadzamy pojęcie impulsu siły 
(popędu). Popęd jest zmianą momentu pędu obiektu gdy duża siła działa przez
krótki okres czasu. Gdy się zcałkuje tę siłę po tym czasie, otrzymamy impuls
siły, czyli popęd:
t�
 = Wdt
+"
0
Dlaczego używamy konceptu impulse siły, a nie znanego konceptu wiążącego
siłę z przyspieszeniem F = m a ? Odpowiedz
jest taka, że nie wiemy, jakie siły
działają podczas zderzenia, gdyż wiąże się to z oddziaływaniami wewnątrz
materiału tych ciał.
Szczęśliwie możemy założyć, że zderzenie odbywa się na tyle szybko, że
położenie I orientacja ciał podczas zderzenia sie nie zmienia. Zmieniają się tylko
prędkości. Jako że zmiana prędkości oznacza zmianę pędu, mamy koncepcję
impulsu siły.
Popęd jest wektorem, bo siła jest wektorem. Okazuje się, ze najwygodniejszym
początkiem układu współrzędnych jest punkt zderzenia, a kierunkami osi 
kierunki styczny (jako oś 0x) i normalny (jako oś 0y). Trzeba zatem zrzutować
popęd na te osie i napisać równania pędu i popędu, które wynikają z zaistnienia
zderzenia:
ma(va2 - va1) = 
mb(vb2  vb1) =  
Po zrzutowaniu na kierunki t i n (styczny i normalny), to znaczy po
przemnożeniu onu równańskalarnie przez t i n, otrzymamy równania
następujące:
ma(van2 - van1) = n
6
ma(vat2 - vat1) = t
(7)
mb(vbn2  vbn1) =  n
mb(vbt2  vbt1) =  t
Współrzędne środków mas obu ciał, A i B, w układzie t i n oznaczymy jako (xa,
ya) oraz (xb, yb). Z równań (7) po wyeliminowaniu impulsu siły wynikają
następujące dwa równania:
ma(van2 - van1) + mb(vbn2  vbn1) = 0 (8a)
ma(vat2 - vat1) + mb(vbt2  vbt1) = 0 (8b)
Zmiany będą także dotyczyły krętu, gdyż pęd umieszcza się w środku masy
ciała, a więc powstanie w każdym ciele moment utworzony przez impuls siły na
ramieniu równym wektorowi opisującemu odległość od początku układu
współrzędnych do środka masy ciała:
Ia (�a2 - �a1) k = r x 
Ib (�b2 - �b1) k = - r x 
lub w zapisie na osi prostopadłej do płaszczyzny 0xy (rozpiętej na wektorach t i
n) (tutaj wektor rap = [-xa , -ya , 0] oraz rbp = [-xb , -yb , 0] z uwagi na to, że są
to wektory zaczepione w środku masy o końcach w początku układu
współrzędnych czyli w punkcie zderzenia:
Ia (�an2 - �an1) = -xa ny + ya tx
Ib (�bt2 - �bt1) = xb ny - yb tx
Po wyeliminowaniu impulsu siły przy wykorzystaniu równań pędu (7) wynikają
stąd równania
Ia (�an2 - �an1) + xa ma(van2 - van1) - ya ma(vat2 - vat1) = 0 (9a)
Ib (�bn2 - �bn1) + xb mb(vbn2 - vbn1) - yb mb(vbt2 - vbt1) = 0 (9b)
Normalny współczynnik restytucji en i styczny współczynnik restytucji et ,
określające związki pomiędzy prędkościami normalnymi i stycznymi przed i po
zderzeniu, dają następujące dodatkowe związki
7
vab2 � n = -en vab1 � n (6a)
vab2 � t = -et vab1 � t (6b)
które wobec związków
vab1 = va1 + �a1 � rap - vb1 - �b1 � rbp (4)
vab2 = va2 + �a2 � rap - vb2 - �b2 � rbp (5)
przyjmują postać
van2 - xa�a2 - vbn2 + xb�b2 = -en (van1 - xa �a1 - vb1 + xb�b1) (10a)
vat2 + ya�a2 - vbt2 - yb�b2 = -et (vat1 + ya �a1 - vb1 - yb�b1) (10b)
Równania (8), (9) i (10) można zapisać w zwartej postaci macierzowej:
ma 0 0 mb 0 0 van2
Ą# ń#Ą# ń#
ó# Ą#ó#v Ą#
0 ma 0 0 mb 0
at2
ó# Ą#ó# Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
xama - yama Ia 0 0 0 �a2
=
ó# Ą#ó# Ą#
0 0 0 xbmb - ybmb Ib Ą#ó#vbn2 Ą#
ó#
ó#
- 1 0 xa 1 0 - xb Ą#ó#vbt2 Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
0 - 1 - ya 0 1 yb Ś#Ł#�b2 Ś#
ó# Ą#ó# Ą#
Ł#
(11)
ma 0 0 mb 0 0 van1
Ą# ń#Ą# ń#
ó# Ą#ó#v Ą#
0 ma 0 0 mb 0
at1
ó# Ą#ó# Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
xama - yama Ia 0 0 0 �a1
=
ó# Ą#ó# Ą#
0 0 0 xbmb - ybmb Ib Ą#ó#vbn1 Ą#
ó#
ó#
en 0 - xaen - en 0 xben Ą#ó#vbt1 Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
0 et yaet 0 - et - ybet Ś#Ł#�b1 Ś#
ó# Ą#ó# Ą#
Ł#
lub
M2V2 = M1V1
gdzie postacie macierzy M i V wynikają ze wzoru (11). Przedstawiony model
jest bardzo wygodny przy rekonstrukcji danych przerd zderzeniem, gdy łatwo
jest oszaacować dane po zdarzeniu. Wówczas
V1 = M1-1 M2V2
8