Zderzenia
Znane są początkowe pędy i energie kinetyczne cząstek przed zderzeniem.
Należy znalez
ć wartości (w przypadku pędu  kierunek) tych wielkości po zderzeniu.
W obszarze działają siły zderzeniowe (impulsowe). Natura tych sił może być różna; są to siły
grawitacyjne, elektromagnetyczne, jądrowe. Siły zewnętrzne są tak małe, że można je pominąć i
traktować zderzające się ciała jako układ odosobniony.
Z teorii Hertza (1881 r.) wynika, że czas zderzenia zależy od względnej prędkości kul przed zderzeniem.
1
D�t =� kv5
gdzie:
k  zależy od właściwości materiału kul i jest proporcjonalne do ich promieni
Czas zderzenia np. protonu z jądrem atomowym wynosi około 10-22s,
zaś czas zderzenia komety ze Słońcem  setki lat.
D�t
Dla kul stalowych o średnicy d = 203 mm oraz prędkości v = 0,6 m/s wynosi 0,000675 s.
Dwie kule stalowe o promieniach równych promieniowi kuli ziemskiej, poruszające się z prędkością
D�t
v = 0,01 m/s mają czas zderzenia = 28 godzin.
D�t
Czas działania sił impulsowych nazywamy czasem zderzenia
b  parametr zderzenia
Rozważmy zderzenia w układzie odniesienia względem którego jedno ciało spoczywa (v2 = 0).
gdzie:
m1,m - masy punktów materialnych
2
j�1,j�2 - kąty rozproszenia
 I. zasada zachowania energii
2 ,2 ,2
m v m v m v
1 1 1 1 2 2
+� 0 =� +� +� e�
2 2 2
Jeśli , to zderzenia nazywamy doskonale sprężystymi.
e� =� 0
,,
II. zasada zachowania pędu m v +� 0 =� m v +� m v
1 1 1 1 2 2
,,
x : m1v1 +� 0 =� m1v1 cosj�1 +� m2v2 cosj�2
,,
y : 0 +� 0 =� -m1v1 sinj�1 +� m2v2 sinj�2
j�1 =�180
j�2 =� 0
j� =� 0
Jeśli b = 0 zderzenie nazywamy centralnym. Wtedy , zaś lub ,
1
cosj� =�1
sinj� =� sinj� =� 0 cosj�1 =�ą�1
zatem , zaś , .
2
12
Rozważmy przypadek (zderzenie centralne, doskonale sprężyste):
e� =� 0; b =� 0; j� =� 0; j� =� 0
12
Otrzymujemy dwa równania:
2 ,2 ,2
m v m v m v
1 1 1 1 2 2
=�+�
1
2 2 2
,,
2
m1v1 =� m1v1 +� m2v2
1.
2 , ,
��
2.
(� )�
1
��m v1 - v12 =� m2v22
��
,,
(� )�
��m v1 - v1 =� m2v2
1
��
Równania te dzielimy stronami
, ,
(podstawiamy do równania 2)
v +� v =� v
1 1 2
,,
m1v1 =� m1v1 +� m2v1 +� m2v1
,
m1 - m2 v1 =� m1 +� m2 v1
(� )� (� )�
m1 - m2
,
v1 =� v1
m1 +� m2
m1 - m2 ,
v1 +� v1 =� v2
m1 +� m2
m1v1 +� m2v1 +� m1v1 - m2v1
,
v2 =�
m1 +� m2
2mv1
,
1
v2 =�
m1 +� m2
,,
m1v1 =� m1v1 +� m2v1 +� m2v1
Dyskusja:
,
m1 - m2 v1 =� m1 +� m2 v1
(� )� (� )�
1. m1 = m2
m1 - m2
,
2. m1 << m2
v1 =� v1
3. m1 >> m2 m1 +� m2
Ad.1 v1 =0 v2 =v1
m1 << m2 Ł� m1/m2 Ł� 0
Ad.2
m1
m1
2
-1
m2
m2
,
,
v2 =� v1 ��
v1 =� v1 ��
0
-v1
m1 m1
+�1 +�1
m2
m2
Ad.3 - proszę przeanalizować samodzielnie
v ą� 0
W przypadku, gdy
2
m - m 2m
,
1 2 2
v =� v +� v
1 1 2
m +� m m +� m
1 2 1 2
2m m - m
,
1 2 1
v =� v +� v
2 1 2
m +� m m +� m
1 2 1 2
Jaką część energii kinetycznej traci neutron (m1) przy zderzeniu centralnym z jądrem atomowym (m2).
Zakładamy, że 2 .
v =� 0
1
2
e�k =� mv1 - początkowa energia kinetyczna neutronu
1
2
1
, ,2
e� =� mv
- energia kinetyczna neutronu po zderzeniu z jądrem
k 1 1
2
m1 - m2
,
v1 =� v1
m1 +� m2
Względny ubytek energii kinetycznej neutronu:
2
ć� - m
��
m
1 22
11
2 ,2
v
���� 1
m v - m v
' ,2
1 1 1 1
m +� m
e� - e� v
Ł� 1 2 ł�
k k 22 1
=� =�1- =�1-
22
1
e� 2 vv
k 11
mv
1 1
2
Przy zderzeniu neutronu z jądrem:
'
e� - e� 4mm
'
k k 1 2
=� e�k - e�k 4��1�� 206
2
=�� 0,02 (2%)
e� m +� m
ołowiu
( )
k 1 2
e�k 2072
'
e� - e� 4�� 2��1
k k
=�� 0,88 (88%)
2
deuteru
e� 3
k
'
e� - e� 4��1��1
k k
=��1 (100%)
wodoru 2
e� 2
k
1
m v +� m v
v =�
1 1 2 2
s
v =�
s
4
m +� m
1 2
1
m - m
1 2
v1' =�- v
v' =� v
1
2
m +� m
1 2
2m
1
1
v ' =� v
2
v2' =� v
m +� m
1 2
2
3
3
v =� v
v' =�- v
1
1
4
4
1
1
v =�- v
v' =� v
2
2
4 4
Gdzie podziało się
pozostałe 8 J ???
Zderzenia niesprężyste (e� ą� 0)
M =� m +� m
12
m v +� m v
1 1 2 2
m v +� m v =� Mv �� v =�
1 1 2 2
M
2 2 2
m v m v Mv
1 1 2 2
+� =� +� e�
2 2 2
v =� 0
2
22
m v Mv
1 1
e� =�-
22
2
2
m v M m v +� m v
1 1 1 1 2 2
e� =� - ����
����
22 M
Ł�ł�
2 2 2
m v m v
1 1 1 1
e� =�-
22M
22
��
m +� m - m
m v m m v
ć�1- �� 1 21
1 1 1 1 1
e� =� =�
����
����
����
22 M
M
Ł�ł�
Ł�ł�
2
m m v m m
1 2 1 1 2
e� =� m� =�
m +� m 2 m +� m
1 2 1 2
2
v
1
e� =� m� m� - masa zredukowana
2
mv =� (m +� M )V
mv
V =�
m +� M
2
(m +� M )V
(m +� M ) gh =�
2
2
mv2
gh =�
2(m +� M )2
2(m +� M )2 gh =� m2v2
2(m +� M )2 gh m +� M
v =�=� 2gh
m2 m