Pochodne funkcji WZiE, sem.I, 2008-09
Zastosowanie pochodnych funkcji mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Korzystając z definicji, obliczyć pochodne następujących funkcji w podanym punkcie x0:
x +1
1.1 f (x) = 4x2 + 2x, x0 = -2 1.2 f (x) = , x0 = 3 1.3 f (x) = 2 3x - 5, x0 = 3
x - 2
Ą
1.4 f (x) = sin x, x0 = .
3
Zad.2 Obliczyć pochodne następujących funkcji:
2
3
x7 3 x-1 �" x
2.1 f (x) = - - 2x6 + x5 - 3 2.2 f (x) = 2.3 f (x) = ex �" (3x-3 + x)
3
7 5
x4
5x2 - x 4
2.4 f (x) = 2.5 f (x) = 2.6 f (x) = x5 + 5ln x + 5
x2 + 2x - 3 x4 + 4x
2x
2.7 f (x) = cos 4x + ln3 x 2.8 f (x) = arctg(ln x) + e-sin x 2.9 f (x) =
cos x
2.10 f (x) = x2 �" arcsin 3x 2.11 f (x) = ln2 x + ln x2 2.12 f (x) = ln arctg e2x
2 x + 4
2.13 f (x) = 2 + 5ln3 5x 2.14 f (x) = arcctg 2.15 f (x) = arccos
1- 4x
x
4
�ł �ł
ln x
�ł �ł
2.16 f (x) = arccos2(8x - 2) 2.17 f (x) = 2sin x �" log2(x2 - 4) 2.18 f (x) = ln�ł �ł
2 x
�ł łł
5x - 6
2.19 f (x) = sin2(log3 x) 2.20 f (x) = ln�ł 2x + 4x2 +1�ł 2.21 f (x) =
�ł �ł
�ł łł 2x + 4
x2 +1 -1
2.22 f (x) = ln 2.23 f (x) = (ln x)x 2.24 f (x) = xarcsin x
x
x
2.25 f (x) = (cos x)sin x 2.26 f (x) = cos(xln x) 2.27 f (x) = cos x .
Zad.3 Obliczyć drugie pochodne następujących funkcji:
1
2
3.1 f (x) = ln(ln x) 3.2 f (x) = tg x + ln cos x 3.3 f (x) = arctg2x
2
3.4 f (x) = x �" 7x 3.5 f (x) = cos4 x 3.6 f (x) = xx .
2
Zad.4 Dana jest krzywa f (x) = e-x i jej punkt P = (1, e-1) . Napisać równanie stycznej i normalnej w
punkcie P do danej krzywej.
Zad.5 Wyznaczyć współrzędne takiego punktu A, \
e styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest
równoległa do prostej k:
5.1 f (x) = -e4x, k : 4x + y = 0 5.2 f (x) = - ln(3x + 2), k : 3x + 5y = 0
5.3 f (x) = - 3x +1, k : 3x + 8y + 2 = 0 5.4 f (x) = cos 2x , x " (-Ą , Ą ), k : x - y + 3 = 0
Zad.6 Wyznaczyć współrzędne takiego punktu A, \
e styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest
prostopadła do prostej k:
10 1
6.1 f (x) = ln(4x +1), k : 3x + 8y -16 = 0 6.2 f (x) = sin2 x, x " (0, 2Ą ), k : x + 8y - 3 = 0
3 2
Zad.7 Pod jakim kątem przecinają się krzywe:
1 1
7.1 f (x) = x2 + x - 2, g(x) = x2 - x 7.2 f (x) = , g(x) = x2 .
x 8
Zad.8 Zbadać ró\
niczkowalność funkcji:
x(x
ńł -1)
x
ńł -1 , x < 0
, x < 1
�ł
8.1 f (x) = 8.2 f (x) = 8.3 f (x) = x2 - x .
�ł �ł 2
ółln(1+ x) , x e" 0
�ł
x -1 , x e" 1
ół
Zad.9 Wyznaczyć parametry a i b, dla których podane funkcje są ró\
niczkowalne w R:
ńł
x +1,
ńł x d" 0
�ł aex + b , x d" 0
9.1 f (x) = 9.2 f (x) = .
�ł �ł
�ł - x , x > 0
óła sin x + b cos x, x > 0
ół2
Zad.10 Korzystając z ró\
niczki funkcji obliczyć przybli\
one wartości podanych wyra\
eń:
4
10.1 arcctg(0,99) 10.2 ln(1,03) 10.3 arccos(0,51) 10.4 15,98 .
Zad.11 Obliczyć granice:
x - arctgx ex - e-x - 2x Ą - 2arctgx
11.1 lim 11.2 lim 11.3 lim
x0 x0 - sin x 1
x"
x �ł
x3
ln�ł1+
�ł �ł
x
�ł łł
ln sin 2x ln(1- x) cos ln(x -1)
11.4 lim 11.5 lim 11.6 lim
x0+ ln sin x x1- ln(sin(1- x)) x1+ - e)
ln(ex
1
�łctgx �ł �ł x 1 �ł ex sin x - x(1+ x)
11.7 lim - �ł �ł
11.8 lim - �ł
11.9 lim
�ł
x0 x1 -1 ln x
x0
x x
�ł łł �ł łł x3
1 1
�ł �ł
�łe �ł
x x-3
11.10 lim x -1 11.11 lim (x - 3) �" e 11.12 lim sin(2x -1) �" tgĄx
�ł �ł
x" x0,5
x3+
�ł łł
tgx x2 x
1 2 1
�ł1+ �ł
11.13 lim�ł �ł 11.14 lim�ł arctgx�ł 11.15 lim
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x0 x0 x"
x Ą
x2
�ł łł �ł łł �ł łł
6
x
11.16 lim x1+2 ln x 11.17 lim xsin x 11.18 lim (sin x)
x0+ x0+ x0+
1
e5x - cos 7x ln(1+ 7x).
�ł 2 x
11.19 lim �"arccos x�ł 11.20 lim 11.21 lim
�ł �ł
x0 x"
Ą
x0+ cos5x - e7x ln(1+ 6x)
�ł łł
Zad.12 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
3x2 - 4
12.1 f (x) = 12.2 f (x) = e2x - x2 12.3 f (x) = x3 �" ex
9 - x2
1
x
x
12.4 f (x) = x2 �" e 12.5 f (x) = 2arctgx - ln(x2 +1) 12.6 f (x) = + arcctgx
2
1
12.7 f (x) = x4 -10x2 +16ln x 12.8 f (x) = ln3 x + 6 ln2 x 12.9 f (x) = + 5arctgx
x
12.10 f (x) = 2x3 - 3x2 -12x +12 ln x 12.11 f (x) = 6arctg(x - 3) - 2x + ln(x2 - 6x +10) .
Zad.13 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
x2 4
13.1 f (x) = , x "< e ; e > 13.2 f (x) = 4x - 5arctgx , x "< 0 ; 1 >
ln x
13.3 f (x) = (2 - x) x2 +1 , x "< 0 ; 2 > 13.4 f (x) = 100 - x2 , x "< -6 ; 8 >
1- x
13.5 f (x) = arctg , x "< 0 ;1 > 13.6 f (x) = 2x3 - 3x2 - 36x - 8 , x "< -3 ; 6 > .
1+ x
Zad.14 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji oraz współrzędne punktów przegięcia:
14.1 f (x) = -3x4 - 4x3 + 6x2 + x 14.2 f (x) = x3 �" e- x
14.3 f (x) = x2 - 8ln(1+ ex) 14.4 f (x) = x2 - 2x + 2x ln x
14.5 f (x) = -7 ln(7x2 + 7) 14.6 f (x) = x3 +12arctgx .
Zad.15 Wyznaczyć równania asymptot wykresu funkcji:
1
2x2 - x +1 3
15.1 f (x) = 15.2 f (x) = e1- x2 15.3 f (x) = 2x +
x + 3
ex -1
2x +1
15.4 f (x) = x �" ex 15.5 f (x) = arcctgx 15.6 f (x) = x �" arctg2x
x
x
15.7 f (x) = 15.8 f (x) = x �" (Ą - 2arctgx) 15.9 f (x) = ln(1+ e-x ) .
Ą - 2arctgx