Kolokwium nr 1
Grupa 1 WILiÅš
RZ
D A 04-11-2004
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących ciągów:
n n n
n 5 4 3
( ) + ( ) + ( )
2n2 + 2 2
6 5 4
a). an = n2 ln , b). an = , c). an = .
1 1 1 1
2n2 - 3 1 + + + + ... +
n2 + 5n - 1 - n2 + 3
31 32 33 3n
Zadanie 2. Wyznaczyć wartość parametrów a i b tak, aby funkcja była ciągła:
Å„Å‚1
ôÅ‚4 arcctg(Ä„ + ln x) dla x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚ x(x + 1)
f (x) = + arctg b dla - 2 d" x d" 0 .
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
Ä„ 4 - x2
+ a dla x < -2
ôÅ‚
4
x + 6 - 2
ół
-1 -1
Zadanie 3. Wyznaczyć funkcję odwrotną f , dziedzinę i przeciwdziedzinę f i f gdy:
Ä„
a). f (x) = log2 x -1, b). f (x) = arccos(x - 1) + .
2
Zadanie 4. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice:
1 6
x 1+2 ln x
a). lim x(e -1) , b). lim x .
x-" x0+
Zadanie 5. Obliczyć pochodne podanych funkcji:
3
3
1+2 x
a). y = (sin 2x)ln x + e , b). y = arctg( )+ x4 x .
x3
T: Podać definicję ciągu ograniczonego. Sformułować jedno z twierdzeń dotyczących zbieżności ciągów
ograniczonych i podać przykład ilustrujący wybrane twierdzenie.
Kolokwium nr 1
Grupa 1 WILiÅš
RZ
D B 04-11-2004
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących ciągów:
n+1
1 1 1 1
1 + + + + ... +
6 2n + 3
21 22 23 2n
a). an = , b). an = , c). an = lnëÅ‚ öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
n n n
n 2 4 3
2n - 1
íÅ‚ Å‚Å‚
3n - 9n2 + 6n + 1
( ) + ( ) + ( )
3 5 4
Zadanie 2. Wyznaczyć wartość parametrów a i b tak, aby funkcja była ciągła:
Å„Å‚
x(x + 1)
+ arctg b dla - 2 d" x d" 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚
1
ôÅ‚
f (x) = arcctg(Ä„ + ln x) dla x > 0 .
òÅ‚
ôÅ‚4
ôÅ‚ - x2 Ä„
4
ôÅ‚a x + 6 - 2 + 4 dla x < -2
ół
-1 -1
Zadanie 3. Wyznaczyć funkcję odwrotną f , dziedzinę i przeciwdziedzinę f i f gdy:
Ä„
a). f (x) = 2- x + 2 , b). f (x) = arc sin(x + ) -1 .
2
Zadanie 4. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice:
3
1 x2 -1
a). lim ( - ctg x) , b). lim x .
x
xo- x1+
Zadanie 5. Obliczyć pochodne podanych funkcji:
2
x4 4
a). y = (cos 3x)ln x + Ä„ , b). y = arcctg( )+ x3 x .
3x-1
T: Podać definicję ciągu monotonicznego. Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym.
2n + 1
Zbadać monotoniczność ciągu an = .
3n + 1