Jan Tobijasiewicz - Laboratorium Metod Numerycznych 12.03.12r.

Lab 2. Błędy, uwarunkowania, poprawność algorytmów

Wstęp

Podczas zajęć badałem wpływy przybliżeń na poprawność działania algorytmów, oraz

poprawność wykonywanych przez nie obliczeń. Za pomocą programu Matlab i załączonych
do treści laboratorium m-plików, szukałem rozwiązań: równania kwadratowego, układu
równań liniowych oraz całki nieoznaczonej.

Równanie kwadratowe

W tym ćwiczeniu należało znaleźć pierwiastki równania kwadratowego danego wzorem:

Za pomocą metod analitycznych otrzymałem następujące wyniki:

∆= 2

ଶ

− 4

= 12

=

−

± √∆

2

⇒x

ଵ

=

−1 − √3;x

ଶ

=

−1 + √3

Za pomocą załączonego m-pliku można było uzyskać rozwiązania tego równania z różną
dokładnością. M-plik został przeze mnie zmodyfikowany w następujący sposób:

format

long

a2 = 1;
a1 = 2;
a0 = -2;

delta = a1^2 - 4*a2*a0

x1 = zeros(5,1);
x2 = zeros(5,1);
y1 = zeros(5,1);
y2 = zeros(5,1);

x1(1,1) = (-a1 - sqrt(delta))/(2*a2);
x2(1,1) = (-a1 + sqrt(delta))/(2*a2);
y1(1,1) = a2*x1(1,1)^2 + a1*x1(1,1) + a0;
y2(1,1) = a2*x2(1,1)^2 + a1*x2(1,1) + a0;

for

m = 2:5

p_z_delta(m) = round(sqrt(delta)*(10^m))/(10^m);

x1(m,1) = (-a1 - p_z_delta(m))/(2*a2);

x2(m,1) = (-a1 + p_z_delta(m))/(2*a2);

y1(m,1) = a2*x1(m,1)^2 + a1*x1(m,1) + a0;

y2(m,1) = a2*x2(m,1)^2 + a1*x2(m,1) + a0;

end

x1
x2
y1
y2

Oto otrzymane wyniki:

delta = 12

x1 =

-2.732050807568877

-2.730000000000000

-2.732000000000000

-2.732050000000000

-2.732050000000000

x2 =

0.732050807568877

0.730000000000000

0.732000000000000

0.732050000000000

0.732050000000000

y1 =

0

-0.007100000000000

-0.000175999999999

-0.000002797500000

-0.000002797500000

y2 =

-0.000000000000000

-0.007100000000000

-0.000176000000000

-0.000002797500000

-0.000002797500000

Widać, że jedynie dla symbolicznego zapisu sqr(3) matlab poprawnie zinterpretował

wartość y1 oraz y2 jako równe zero. Jeśli przyjąć dokładność y2 jako punkt odniesienia, to w

przypadku przybliżenia wartości

√3 do dwóch miejsc po przecinku to wartość miejsc

zerowych jest aż o 13 rzędów większa niż wartość jaką moglibyśmy już uznać za zero.

Jeśliby użyć tak zaokrąglonej liczby jako warunku do wyjścia z pętli stworzyłoby się

niestabilny algorytm. Widać na tym przykładzie jak łatwo przy zbyt wielkich zaokrągleniach
stracić sens liczby zero.

Układ trzech równań liniowych

W tym ćwiczeniu należało odnaleźć rozwiązania układu równań w postaci:

Należy zauważyć, że w przypadku b) popełniamy spory błąd wykonując odcięcie

zamiast zaokrąglenia. Wartości jakie można otrzymać z obliczeń analitycznych to:

dla przypadku a: x

1

= -174 ; x

2

= 972 ; x

3

= -840

dla przypadku b: x

1

~ -1377,8 ; x

2

~ 7217,5 ; x

3

~ -6663,5

Niedokładność wprowadza nam rozwiniecie dziesiętne ułamka

ଵ

ଷ

zgodnie z poleceniem

ćwiczenia wykonywałem kolejne przybliżenia jego wartości:

1.0.1 - Wyniki oraz błąd bezwzględny obliczeń

Przybliżenie

૚

૜

:

0.33

0.333

0.3333

0.33333

x

1

:

x

2

:

x

3

:

ε

dla x

1

:

ε

dla x

2

:

ε

dla x

3

:

-1377.77…
7217.46…
-6663.49…
691%
642%
693%

-191.4388…
1062.585…
-924.4863…
10.02%
9.32%
10.06%

-175.606…
980.345
-847.834
0.92%
0.85%
0.92%

-174.159…
972.827…
-840.772…
0.09%
0.08%
0.09%

Dokładność otrzymanych wyników określiłem poprzez błąd bezwzględny ε.

=

| −

଴

|

଴

∙ 100%

Gdzie:

- wartość przybliżona,

଴

- wartość dokładna.

Jako wartość dokładną przyjmuje wyliczone analitycznie wartości dla przypadku bez

rozwinięć dziesiętnych. Można zauważyć, że z każdą dodatkową cyfrą znaczącą, wartość
błędu bezwzględnego obniża się o rząd wielkości, pokazuje to jak ważna jest dobór
odpowiedniej precyzji zaokrągleń. Na podanym przykładzie niepoprawne przybliżenie
prowadziło do 6-cio krotnego przekłamania, coś takiego nie jest dopuszczalne w nawet
najprostszych obliczeniach. Na podstawie otrzymanych wyników można też stwierdzić że już
dla 5 cyfr znaczących otrzymuje się wyniki z błędem na poziomie około jednego promila.

Badanie stabilności numerycznej

Ćwiczenie to miało na celu porównaniu metod analitycznych z numerycznymi przy

rozwiązywania całki oznaczonej danej wzorem:

௡

+ 5

ଵ

଴

Gdzie: n – parametr naturalny z przedziału [1,8]

Za pomocą metod symbolicznych w programie matlab obliczyłem dokładne wartości

ośmiu całek:

>>%n=1
>> pretty(int(x/(x + 5),x,0,1))

/ 6 \
1 - 5 log| - |
\ 5 /

>>%n=2
>> pretty(int(x^2/(x + 5),x,0,1))

9
25 log(6) - 25 log(5) - -
2

>>%n=3
>> pretty(int(x^3/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 137
125 log| - | + ---
\ 6 / 6

>>%n=4
>> pretty(int(x^4/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 1367
- 625 log| - | - ----
\ 6 / 12

>>%n=5
>> pretty(int(x^5/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 34187
3125 log| - | + -----
\ 6 / 60

>>%n=6
>> pretty(int(x^6/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 11395
- 15625 log| - | - -----
\ 6 / 4

>>%n=7
>> pretty(int(x^7/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 398829
78125 log| - | + ------
\ 6 / 28

>>%n=8
>> pretty(int(x^8/(x + 5),x,0,1))

/ 5 \ 3988283
- 390625 log| - | - -------
\ 6 / 56

W tabeli 1.2 są umieszczone wartości całek w zależności od parametru n, tabela zawiera
również wartości wyliczone za pomocą m-pliku

1.0.2 - Wyniki

Parametr n:

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

Wartość

całki:

0.0884

0.0580

0.0431

0.0343

0.0285

0.0243

0.0212

0.0188

Za pomocą m-pliku otrzymałem diagramy słupkowe(wykresy 1.3) przedstawiające

wartości obliczonych całek, m-plik został przeze mnie zmodyfikowany tak by dla każdej z
metod liczyć przypadki dla n od 1 do 8, należy pamiętać że pierwszy słupek przedstawia

wartość

log

ହ

଺

, kolejne przedstawiają już odpowiednie wartości w zależności od parametru n:

Wartości całek w przypadku pierwszego wzoru liczone były rekurencyjnie zaczynając

od wartości dla n=1 czyli:

1 − 5 log

ହ

଺

. Wzór drugi liczył rekurencyjnie w dół zaczynając od

uproszczonej wartości dla n=8, czyli:

ଵ

଺଴

. Łatwo zauważyć, że ograniczenie dokładności do 3

cyfr znaczących nie wpłynęło znacznie na poprawność wyników (odnosząc się do „wzór 1
bez ograniczeń” gdzie wartości są liczone z dużą precyzją) w przypadku wzoru nr.2,
natomiast dla pierwszego wzoru wyniki są przekłamane prawie sześciokrotnie. Jest to
spowodowane propagacją błędu zaokrąglenia jaki pojawia się na początku procedury
rekurencyjnej. Ta niedokładność wraz z każdym krokiem staje się coraz większa, w ósmym
kroku wynik różni się o cztery rzędy wielkości! Niemożna jednak powiedzieć, że algorytm
jest niestabilny ponieważ istnieje taka dokładność dla której wyniki są bliskie wzorcowym.
Przy dziewięciu cyfrach znaczących nie widać już różnicy w wynikach otrzymanych za
pomocą wzoru nr.1 i nr.2 (wykresy 1.4)

1.0.3 - Wyniki dla dokładności 10^3

1.4 - Wykresy dla dokładności 10^9

Wnioski

Podczas obliczeń numerycznych należy zwracać uwagę nie tylko na poprawność

stworzonego algorytmu ale też na fakt, że zaprogramowane przez nas operacje nigdy nie będą
się wykonywać z nieskończoną dokładnością. Wykonane przeze mnie ćwiczenia pokazały, że
błędy przybliżeń oraz ich propagacje mogą diametralnie zmienić wyniki przeprowadzonych
działań. Należy w miarę możliwości porównywać otrzymywane wyniki z odrębnym modelem
matematycznym lub innymi dostępnymi danymi, dobrze jest też próbować rozwiązać dany
problem na kilka sposobów i wybrać najoptymalniejszy.