Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

1

Modelowanie produkcji 

 

 

Drzewo produktu 

 
Proces produkcji jednego produktu finalnego b

ę

dziemy przedstawia

ć

 graficznie, odzwiercie-

dlaj

ą

c kolejne etapy wytwarzania produktu.   

 
 
 
Proces produkcji jednego produktu ko

ń

cowego b

ę

dziemy przedstawia

ć

 graficznie za pomoc

ą

  

drzewa produktu

. Elementami graficznymi drzewa s

ą

: 

 

 

w

ę

zły

 - stanowiska pracy lub całe etapy produkcji, na których powstaj

ą

 półprodukty i 

produkt ko

ń

cowy,  

 

 

strzałki 

mi

ę

dzy w

ę

złami - przepływ materiałowy mi

ę

dzy wyró

ż

nionymi stanowiskami 

lub etapami produkcji. 

Do strzałek b

ę

dziemy dopisywa

ć

 liczby, które b

ę

d

ą

 odzwiercie-

dla

ć

 

liczbowe zale

ż

no

ś

ci przepływów.   

 
 
 
Obraz powstawania produktu jest obiektem znanym w teorii grafów jako drzewo.  
 
Dlatego te

ż

 graf odzwierciedlaj

ą

cy powstawanie produktu nazywamy 

drzewem produktu

.  

 
 
Warunki dla modeli liniowych: 
 
1. 

Nakłady na wej

ś

ciu musz

ą

 by

ć

 proporcjonalne do ilo

ś

ci powstaj

ą

cych wyrobów

. 

 
 
2.  Czas  wytwarzania  wyrobu  musi  by

ć

  jednoznacznie  okre

ś

lony  (przynajmniej  w  sensie 

statystycznym) i 

nakłady czasu musz

ą

 by

ć

 proporcjonalne do ilo

ś

ci powstaj

ą

cych wy-

robów

. 

  
Pierwsze dwa punkty s

ą

 nazywane 

prawami proporcjonalno

ś

ci 

 
3.  Nakłady i czasy wytwarzania dla dwóch produktów s

ą

 odpowiednimi sumami nakładów i 

czasów wytwarzania poszczególnych produktów  

 
Trzeci punkt  jest nazywany 

prawem sumowania 

 
Prawa proporcjonalno

ś

ci i sumowania s

ą

 podstaw

ą

 klasy zada

ń

 nazywanych liniowy-

mi.  

 

Uwaga.  Nie  ka

ż

d

ą

  produkcj

ę

  mo

ż

na  przedstawi

ć

  za  pomoc

ą

  modelu  liniowego.  Doty-

czy to m.in. produkcji przetwórczej czy chemicznej. 

 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

2

Prezentacja graficzna: 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wprowadzone  liczby  nazywamy 

współczynnikami  bezpo

ś

rednich  nakładów  jednostko-

wych

.  

 
Drzewa  produktów  pozwalaj

ą

  wyznaczy

ć

  wektorowe  funkcji  okre

ś

laj

ą

ce 

zapotrzebowanie 

materiałowe

.  

 
W  terminologii  zarz

ą

dzania  produkcj

ą

  korzysta  si

ę

  z  angielskiej  nazwy   

Bill  of  Mate-

rials

  (BOM). 

 
W pierwszej kolejno

ś

ci wyznaczamy  tzw. 

listy materiałowe

, czyli 

wektor ilo

ś

ci surowców 

wej

ś

ciowych potrzebnych do wytworzenia jednej jednostki produktu

. 

PP 

A 

B 

1

 

q

A 

q

B 

15

 . 

x

  

A 

B 

x

 

10

.

x 

PP 

PP 

A 

B 

1

 

10

 

15

 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

3

 
Przykład. 
 

 

 
 
 

 

Lista materiałowa dla P

1

: 

 

S

1

 :  7,5 

. 

2 + 5 

. 

1 + 10  = 30, 

S

2

 :  10 

. 

2                      = 20, 

S

3

 :    5 

. 

2                      = 10, 

S

4

 :               10 

. 

1         = 10 

 

Wytworzenie  x

1

 jednostek P

1

 wymaga: 

 
S

1

 :  30

. 

x

1

, 

S

2

 :  20

. 

x

1

, 

S

3

 :  10

. 

x

1

, 

S

4

 :  10

. 

x

1

 

Prawo proporcjonalno

ś

ci 

 
 

 

 

 
 

 
 
 

Lista materiałowa dla P

2

: 

 

S

1

 :  10 

.

 3 + 10 = 40, 

S

2

 :  15 

. 

3          = 45 

 

Wytworzenie  x

2

 jednostek P

2

 wymaga: 

 
S

1

 :  40

. 

x

2

, 

S

2

 :  45

. 

x

2

, 

Prawo proporcjonalno

ś

ci 

 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

4

 

Sumowanie zapotrzebowania na surowce: 
Wytworzenie x

1

 jednostek P

1

 oraz x

2

 jednostek P

2

 wymaga: 

 
 

S

1

 :  30

. 

x

1

 + 40

. 

x

2

 

S

2

 :  20

. 

x

1

 + 45

. 

x

2

 

S

3

 :  10

. 

x

1 

 

S

4

 :  10

. 

x

1

 

 
Utworzyli

ś

my 

wektorowe  funkcje  zapotrzebowania  materiałowego  na  produkty  P

1

  oraz 

P

2

.  

(Prawo sumowania) 
 
Zapis tabelaryczny: 
 

 

P

1 

P

2 

 

x

1 

x

2

 

S

1 

30 

40 

S

2 

20 

45 

S

3 

10 

0 

S

4 

10 

0 

 
 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

5

 

Przykład 
 
Przedstawmy uproszczony proces produkcji 

fotela

. 

 
1.  Opis słowny 
 

Ko

ń

cowy  produkt

  powstaje  na  stanowisku,  na  którym  szkielet,  oparcie  i  siedzenie,  dostar-

czone  z  innych  stanowisk,  s

ą

  pokrywane  tkanin

ą

  obiciow

ą

  i  ł

ą

czone  w  jedn

ą

  cało

ść

,  która 

staje si

ę

 fotelem. 

  

Szkielet

  jest  wykonywany  na  osobnym  stanowisku.  Utworzenie  szkieletu  polega  na  zamon-

towaniu mechanizmów spr

ęż

ynowych na dostarczonym na to stanowisko stela

ż

u. 

 

Stela

ż

  jest  wykonywany  na  stanowisku  wieloczynno

ś

ciowym,  na  którym  nast

ę

puje  odpo-

wiednie przyci

ę

cie, uformowanie i oszlifowanie tarcicy oraz poł

ą

czenie wyci

ę

tych elementów 

w półprodukt b

ę

d

ą

cy stela

ż

em. 

 
 
2.  Wprowadzenie symboli dla stanowisk i półproduktów 
  
W rozpatrywanych przez nas zadaniach wygodnie jest rozró

ż

nia

ć

 trzy typy stanowisk. 

 
1)  Stanowiska, na których powstaj

ą

 

produkty ko

ń

cowe

. B

ę

dziemy je oznacza

ć

 symbolami 

produktów 

P

k

. 

2)  Stanowiska,  na  których  powstaj

ą

 

półprodukty

.  B

ę

dziemy  je  oznacza

ć

  symbolami  pół-

produktów 

PP

j

. 

3) 

Magazyn,  z  którego  s

ą

  pobierane  surowce  (materiały)

.  Dla  magazynu  nie  b

ę

dziemy 

wprowadza

ć

 specjalnego symbolu, natomiast surowce b

ę

dziemy oznacza

ć

 symbolami 

S

i

.

 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

6

 

W przypadku fotela wprowadzamy nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia i symbole. 

Dla produktu ko

ń

cowego: 

 

Tab. 1. Tabelaryczny zapis produktu P

1 

Symbol 

Nazwa obiektu 

Jednostka  

P

1

 

Fotel 

szt. 

 
Dla półproduktów: 

 

Tab. 2. Tabelaryczny zapis półproduktów  

 

Symbol 

Nazwa półproduktu 

Jednostka  

PP

1

 

Stela

ż

  

szt. 

PP

2

 

Szkielet fotela 

szt. 

PP

3

 

Siedzenie  i oparcie 

szt. 

 
Dla surowców: 

 

Tab. 3. Tabelaryczny zapis surowców  

 

Symbol 

Nazwa surowca 

Jednostka 

S

1 

Tarcica iglasta 

m

2 

S

2 

Pianka poliuretanowa 

mb  ( szer. 1,0m ; grubo

ść

 0,2m) 

S

3 

Mechanizm spr

ęż

ynowy 

szt. 

S

4 

Tkanina obiciowa materiałowa 

mb ( szer. 1,2m) 

S

5 

Ś

ruba 

szt. 

S

6 

Tkanina do obszycia pianki 

mb ( szer. 1,2m) 

S

7

 

Nici  

mb 

 
 
3.  Okre

ś

lenie dopływów materiałowych 

 
 
Dla  ka

ż

dego  ze  stanowisk  okre

ś

lamy  dopływy  materiałów.  Strzałkom  przyporz

ą

dkowujemy 

współczynniki bezpo

ś

rednich nakładów jednostkowych. 

 
Dla stanowiska P

1

 dopływy materiałowe i współczynniki s

ą

 przedstawione na rysunku 2. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 

3,4 

2 

1

 

S

4 

P

1 

PP

3 

PP

2 

Rys. 2. Dopływy materiałowe do P

1

 

Ź

ródło: opracowanie własne 

PP

2

 – szkielet fotela 

PP

3

 – siedzenie i oparcie 

S

4

  - tkanina obiciowa 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

7

 
Dla stanowiska PP

2

 dopływy i współczynniki s

ą

 przedstawione na rysunku 3. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Dla stanowiska PP

3

 dopływy i współczynniki s

ą

 przedstawione na rysunku 4. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dla stanowiska PP

1

 dopływy i współczynniki s

ą

 przedstawione na rysunku 5. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

52 

1,8 

1,6 

S

2 

S

6 

S

7 

PP

3 

Rys. 4. Dopływy materiałowe do PP

3

 

Ź

ródło: opracowanie własne 

2,6 

18 

S

1 

S

5 

PP

1 

Rys. 5. Dopływy materiałowe do PP

1

 

Ź

ródło: opracowanie własne 

PP

3

 - 

siedzenie  i oparcie

 

S

2

 – p

ianka poliuretanowa

 

S

6

 – tkanina do obszycia pianki 

S

7

  - nici 

PP

1

 - 

stela

ż

 

S

1

 – t

arcica iglasta

 

S

5

  - 

ś

ruba 

4 

16 

1 

S

3 

S

5 

PP

2 

PP

1 

Rys. 3. Dopływy materiałowe do PP

2

 

Ź

ródło: opracowanie własne 

PP

2

 - 

szkielet fotela

 

PP

1

 – stela

ż

 

S

5

 – 

ś

ruba 

S

3

  - m

echanizm spr

ęż

ynowy

 

Stanisław Krawczyk 
Modelowanie produkcji – przykład liczbowy      

8

 
 
4.  Tworzenie drzewa produktu 
Wykresy cz

ą

stkowe ł

ą

czymy w drzewo produktu.  

Dla rozpatrywanego produktu, którym jest fotel, otrzymujemy drzewo produktu przedstawio-
ne na rysunku 6. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2,6 

18 

52 

1,8 

1,6 

4 

16 

1 

3,4 

2 

1

 

 

S

4 

P

1 

PP

3 

PP

2 

poziom 1

 

poziom 0

 

poziom 2

 

S

3 

S

2 

S

5 

PP

1 

S

6 

S

7 

poziom 3

 

S

1 

S

5 

Rys. 6. Drzewo produktu P

1