MATEMATYKA FINANSOWA
Rachunek odsetek prostych
Wykorzystywany w okresie krótkim do 1 roku
Wzór ogólny
t
r
K
O
O
*
*
=
Wzór przy uwzględnieniu odniesienia czasowego
T
t
t
r
K
O
O
*
*
*
=
np. w przypadku okresu dziennego
360
*
*
t
r
K
O
O
=
Zadanie 1
Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie procentowej
18% w skali roku.
500
360
60
*
18
,
0
15
*
*
*
18
,
0
%
18
60
2
15
=
=
=
=
=
=
=
=
=
O
O
O
K
T
t
r
O
K
T
t
r
K
O
r
t
O
Zadanie 2
Przy jakiej stopie procentowej przypada 4 zł odsetek od kwoty 200 zł za 30 dni
%
24
24
,
0
360
30
*
200
4
*
*
*
30
200
4
=
=
=
=
=
=
=
=
r
T
t
K
O
r
T
t
r
K
O
t
K
O
O
O
O
Wzór na kapitał końcowy
)
*
1
(
*
T
t
r
K
K
O
n
+
=
Wzór na kapitał końcowy, gdy odnosimy się do okresów rocznych
)
*
1
(
*
n
r
K
K
O
n
+
=
Zadanie 3
Wpłacono do banku kwotę 850 zł wkład ten jest oprocentowany wg stopy procentowej
14% w skali roku. Jaki będzie stan konta w dwóch latach
1088
)
2
*
14
,
0
1
(
*
850
2
14
,
0
%
14
850
2
=
+
=
=
=
=
=
K
n
r
K
O
Zadanie 4
Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złożony na 11% podwoi się
9
11
,
0
*
750
750
1500
*
*
*
*
*
)
*
1
(
*
1500
750
*
2
11
,
0
%
11
750
=
−
=
−
=
=
−
+
=
+
=
=
=
=
=
=
n
r
K
K
K
n
n
r
K
K
K
n
r
K
K
K
n
r
K
K
K
r
K
O
O
n
O
O
n
O
O
n
O
n
n
O
Wzór na odsetki przy regularnych kwotach wpłat
[
]
2
)
1
(
*
*
1
..
)
1
(
*
*
1
*
*
..
)
1
9
*
*
*
*
+
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
n
n
m
r
K
n
n
m
r
K
m
r
K
m
n
r
K
m
n
r
K
O
gdzie :
K – kwota wpłaty
r – stopa procentowa
n – ilość wpłat
m – częstotliwość wpłat
Wzór na kapitał końcowy
n
K
O
K
n
*
+
=
Zadanie 5
Jaką wielkość należy wpłacać przez 3 kwartały, aby zgromadzić wraz z odsetkami kwotę
1500 zł, roczna stopa procentowa wnosi 10%
476
4
*
2
)
1
3
(
*
3
*
1
,
0
3
1500
2
)
1
(
*
*
*
2
)
1
(
*
*
*
1
,
0
%
10
4
3
1500
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
=
=
=
=
=
K
m
n
n
r
n
K
K
n
K
n
n
m
r
K
K
n
K
O
K
r
m
n
K
n
n
n
n
Zadanie 6
Wyznaczyć wartość lokaty 10000 zł po upływie roku, jeżeli w pierwszych 5 miesiącach
stopa procentowa wynosiła 12% a w kolejnych siedmiu 10%
11080
)
1
*
108
,
0
1
(
*
10000
)
*
1
(
*
1
%
8
,
10
108
,
0
7
5
1
,
0
*
7
12
,
0
*
5
*
=
+
=
+
=
=
=
=
+
+
=
=
∑
∑
n
O
n
i
i
i
S
K
n
r
K
K
n
t
r
t
r
Zadanie 7
Kupujesz urządzenie za 10000 zł zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie procentowej,
27% jaką kwotę zapłacisz regulując zobowiązanie
5
,
10337
)
360
45
*
27
,
0
1
(
*
10000
)
*
1
(
*
27
,
0
%
27
45
10000
=
+
=
+
=
=
=
=
=
n
O
n
O
K
T
t
r
K
K
r
t
K
Zadanie 8
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmieniała się, co 2 lata i wynosiła
odpowiednio 17%, 15%, 13% jaką kwotę dysponujesz powyżej wymienionym okresie
utrzymywania lokaty
190
)
6
*
15
,
0
1
(
*
100
)
*
1
(
*
6
%
15
15
,
0
6
13
,
0
*
2
15
,
0
*
2
17
,
0
*
2
*
=
+
=
+
=
=
=
=
+
+
=
=
∑
∑
n
O
n
i
i
i
S
K
n
r
K
K
n
t
r
t
r
Zadanie 9
Przez ile kwartałów powinno się wpłacać kwotę po 50 zł aby stan konta przy
oprocentowaniu 35% w skali roku wyniósł 941,25 zł
36
2
12
2
5
,
837
25
,
701406
)
7530
(
*
5
,
17
*
4
)
5
,
417
(
4
0
7530
5
,
417
5
,
17
0
4
*
25
,
941
*
8
*
50
*
35
,
0
*
50
*
35
,
0
*
50
0
2
*
2
*
*
*
*
*
*
2
*
*
)
1
(
*
*
*
2
*
2
)
1
(
*
*
*
2
1
2
2
2
2
2
−
=
∆
−
−
=
=
∆
+
−
=
=
∆
=
−
−
=
−
=
∆
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
+
+
=
+
+
=
+
=
a
b
n
a
b
n
ac
b
n
n
n
n
n
m
K
m
n
K
n
r
K
n
r
K
m
n
K
n
n
r
K
K
m
n
K
n
n
m
r
K
K
n
K
O
K
n
n
n
n
Zadanie 10
Ulokowano w banku kwotę 600 zł w dniu 5 marca nominalna stopa procentowa 36%,
jaką kwotę pobierze lokato dawca w dniu 9 maja tego samego maja, jeśli odsetki nie są
kapitalizowane
dzień
miesiąc
9
5
5
3
4
2
2 miesiące i 4 dni = 2*30+4 = 64 dni
4
,
638
)
360
64
*
36
,
0
1
(
*
600
)
*
1
(
*
=
+
=
+
=
n
O
n
K
T
t
r
K
K
Zadanie 11
Ile powinno się trzymać kapitał, aby wzrósł on, co najmniej 2,5 raz, ale nie więcej niż 3
razy przy rocznej stopie procentowej 14%
71
,
10
14
,
0
5
,
1
5
,
1
*
5
,
2
*
1
:
5
,
2
)
*
1
(
*
5
,
2
3
≥
≥
≥
≥
+
≥
+
≥
≥
n
n
n
r
n
r
K
K
n
r
K
K
K
K
O
O
O
O
n
O
(
)
28
,
14
;
71
,
10
28
,
14
14
,
0
2
2
*
3
*
1
:
3
)
*
1
(
*
∈
≤
≤
≤
≤
+
≤
+
n
n
n
n
r
n
r
K
K
n
r
K
O
O
O
Zadanie 12
Pod koniec każdego z 5 kolejnych miesięcy wpłacamy na rachunek bankowy 500 zł przy
oprocentowaniu, 10% jaką kwotę będziemy dysponować na koniec 5 miesiąca.
5
,
2562
5
*
500
2
)
1
5
(
5
*
12
1
,
0
*
500
*
2
)
1
(
*
*
%
16
5
12
500
=
+
+
=
+
+
=
=
=
=
=
n
n
K
n
K
n
n
m
r
K
K
r
n
m
K
Rachunek oprocentowania składanego
Zadanie 1
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmniejszała się, co 2 lata i wynosiła
odpowiednio 17,15,13. Jaką kwotą dysponujesz po wyżej wymienionym okresie lokaty w
przypadku?
a) kapitalizacji rocznej
b) oprocentowania ciągłego
a)
b)
Zadanie 2
Chcesz ulokować 1000 zł na 2 lata, cztery banki oferują poniższe warunki dla lokat
Bank A – oprocentowanie proste, r = 20%, kapitalizacja na koniec okresu
Bank B – oprocentowanie nominalne 19%, kapitalizacja kwartalna
Bank C – oprocentowanie efektywne 20,5%
Bank D – oprocentowanie nominalne 18,5%, kapitalizacja ciągła
Który z banków oferuje najlepsze warunki. Dla każdego z banków znaleźć
oprocentowanie efektywne.
16
,
231
)
13
,
0
1
(
*
04
,
181
04
,
181
)
15
,
0
1
(
*
89
,
136
89
,
136
)
17
,
0
1
(
*
100
)
1
(
*
2
6
2
4
2
2
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
K
K
K
r
K
K
n
O
n
96
,
245
*
100
*
*
*
100
*
*
*
100
*
*
100
*
*
100
*
100
*
100
*
9
,
0
6
26
,
0
3
,
0
34
,
0
6
13
,
0
*
2
3
,
0
34
,
0
6
3
,
0
34
,
0
4
15
,
0
*
2
34
,
0
4
34
,
0
2
17
,
0
*
2
2
*
=
=
=
=
=
=
=
=
=
e
K
e
e
e
K
e
e
e
K
e
e
K
e
e
K
e
K
e
K
e
K
K
r
n
O
n
54
,
1449
)
4
19
,
0
1
(
*
1000
)
1
(
*
:
1400
)
2
*
2
,
0
1
(
*
1000
)
*
1
(
*
:
4
*
2
*
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
n
m
n
O
n
n
O
n
K
m
r
K
K
B
K
n
r
K
K
A
73
,
1447
*
1000
*
1000
*
:
025
,
1452
)
205
,
0
1
(
*
1000
)
1
(
*
:
37
,
0
185
,
0
*
2
*
2
=
=
=
=
=
+
=
+
=
e
K
e
K
e
K
K
D
K
r
K
K
C
n
n
r
n
O
n
n
n
ef
O
n
Najkorzystniej ulokować pieniądze w banku C
r
ef
< r przy zastosowaniu rachunku odsetek prostych
r
ef
> r przy zastosowaniu kapitalizacji m-razy (dziennej, miesięcznej lub kwartalnej)
r
ef
> r przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej
Zadanie 3
Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego 18% i
kapitalizacji półrocznej. Po jakim czasie kwota na rachunku będzie dwukrotnie większa
%
32
,
20
2032
,
0
1
1
:
%
5
,
20
:
%
39
,
20
2039
,
0
1
)
4
19
,
0
1
(
1
)
1
(
:
%
3
,
18
183
,
0
1
1000
1400
1
:
185
,
0
4
2
2
=
=
−
=
−
=
=
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
−
=
−
=
e
r
e
r
D
r
C
r
m
r
r
B
r
K
K
r
A
ef
r
ef
ef
ef
m
ef
ef
O
n
ef
n
m
n
m
n
O
O
m
n
O
n
m
r
K
m
r
K
K
m
r
K
K
2
*
O
*
*
)
2
8
,
01
1
(
2
)
1
(
2
:
)
1
(
*
2
)
1
(
*
+
=
+
=
+
=
+
=
06
,
4
09
,
1
log
2
2
log
)
2
18
,
0
1
log(
2
2
log
)
2
18
,
0
1
log(
*
2
2
log
)
2
18
,
0
1
log(
2
log
2
=
=
+
=
+
=
+
=
n
n
n
n
Zadanie 4
Ilość pieniędzy złożonych na rachunku wzrasta po półtora roku o 50% przy kapitalizacji
miesięcznej. Jaka była by stopa nominalna i efektywna
Zadanie 5
Wpłacasz 100 zł na 5 lat. Jaka stopa efektywnego oprocentowania zapewni podwojenie
oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej
Zadanie 6
Pewien kapitał złożono na procent składany, kapitalizacja odsetek następuje, co kwartał a
efektywna roczna stopa procentowa jest równa 33%. Ile wynosi zgodna stopa
procentowa a ile nominalna stopa
%
31
31
,
0
1
)
12
2733
,
0
1
(
1
)
1
(
%
33
,
27
2733
,
0
4
*
)
1
5
,
1
(
)
12
1
(
5
,
1
)
12
1
(
5
,
1
)
1
(
5
,
1
:
)
1
(
*
5
,
1
)
1
(
*
12
18
18
18
12
*
5
,
1
*
*
*
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
ef
m
ef
m
n
O
m
n
O
O
m
n
O
n
r
m
r
r
r
r
r
m
r
K
m
r
K
K
m
r
K
K
20
20
4
*
5
*
*
*
:
)
4
1
(
2
)
4
1
(
2
)
1
(
2
:
)
1
(
*
2
)
1
(
*
r
r
m
r
K
m
r
K
K
m
r
K
K
m
n
O
m
n
O
O
m
n
O
n
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
%
84
,
14
1484
,
0
1
)
4
1408
,
0
1
(
1
)
1
(
%
08
,
14
1408
,
0
4
*
)
1
2
(
4
20
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
−
=
ef
m
ef
r
m
r
r
r
Zadanie 7
Na rachunku umieszczasz 100 zł, kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania
efektywnego 15%. Pieniądze wycofujesz po 8 miesiącach. Jaką kwotę otrzymasz
Zadanie 8
Po 3 latach na rachunku jest 1000 zł. Jaką kwotę wpłacono przy nominalnej stopie
procentowej, 16% jeżeli kapitalizacja była?
a) roczna
b) ciągła
a)
b)
%
389
,
7
07389
,
0
4
2955
,
0
%
55
,
29
2955
,
0
4
*
)
1
)
1
33
,
0
(
(
*
)
1
)
1
(
(
)
1
(
1
1
)
1
(
4
=
=
=
=
=
=
−
+
=
−
+
=
+
=
+
−
+
=
m
r
r
r
m
r
r
m
r
r
m
r
r
m
m
ef
m
ef
m
ef
77
,
109
)
4
1422
,
0
1
(
*
100
)
4
1422
,
0
1
(
*
100
)
1
(
*
%
22
,
14
1422
,
0
4
*
)
1
)
1
15
,
0
(
(
*
)
1
)
1
(
(
)
1
(
1
1
)
1
(
67
,
2
4
*
12
8
*
4
=
+
=
+
=
+
=
=
=
−
+
=
−
+
=
+
=
+
−
+
=
n
n
m
n
O
n
m
ef
m
ef
m
ef
K
K
m
r
K
K
r
m
r
r
m
r
r
m
r
r
65
,
640
)
16
,
0
1
(
1000
)
1
(
)
1
(
*
3
=
+
=
+
=
+
=
O
n
n
O
n
O
n
K
r
K
K
r
K
K
Rachunek oprocentowania składanego
Zadanie 1
Wyznaczyć nominalną stopę procentową dla kapitału w wysokości 2000 zł, który po
dwóch latach przyniósł 500 zł odsetek przy rocznej stopie kapitalizacji.
Zadanie 2
Wpłacasz 500 zł na 5 lat, jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni podwojenie
Twoich oszczędności przy kapitalizacji tygodniowej.
=
=
=
=
=
48
,
0
16
,
0
*
3
*
*
1000
1000
*
e
K
e
K
e
K
K
e
K
K
O
O
r
n
n
O
r
n
O
n
%
8
,
11
118
,
0
1
2000
2500
1
1
:
)
1
(
:
)
1
(
2500
500
2000
2
n
=
=
−
=
−
=
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
r
K
K
r
r
K
K
r
K
K
K
r
K
K
O
K
K
n
O
n
n
O
n
n
O
n
O
n
O
n
O
n
Zadanie 3
Bank zmienił oprocentowanie z 20% na 22%. Równocześnie wydłużył kapitalizacje z
kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy
sytuacji jego klientów.
Stopa efektywna w drugim przypadku przy stopie nominalnej 22% i kapitalizacji
półrocznej jest wyższa niż w przypadku pierwszym, tak więc sytuacja klienta nie została
pogorszona.
Dyskonto handlowe i matematyczne
Zadanie 4
W jakim okresie czasu stopa dyskontowa wynosząca 20% i stopa procentowa 25% są
sobie równoważne
Tylko dla okresu 1 roku stopy te są sobie równoważne
Powyżej jednego roku D
H
> D
M
Powyżej jednego roku D
H
< D
M
%
86
,
14
1486
,
0
1
)
52
138
,
0
1
(
1
)
1
(
%
8
,
13
138
,
0
52
*
)
1
2
(
*
)
1
2
(
1
2
:
)
1
(
2
:
)
1
(
2
52
52
*
5
*
*
*
*
*
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
−
=
−
=
+
=
+
=
+
=
ef
m
ef
m
n
m
n
m
n
m
n
O
m
n
O
O
r
m
r
r
r
m
r
m
r
m
r
K
m
r
K
K
%
21
,
23
2321
,
0
1
)
2
22
,
0
1
(
%
55
,
21
2155
,
0
1
)
4
20
,
0
1
(
1
)
1
(
2
4
=
=
−
+
=
=
=
−
+
=
−
+
=
ef
ef
m
ef
r
r
m
r
r
1
4
5
25
,
0
1
2
,
0
1
1
1
=
−
=
−
=
−
=
=
n
r
d
n
D
D
M
H
Zadanie 5
Bank oferuje 17% oprocentowanie oszczędności w skali roku przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaka co najmniej powinna być stopa dyskontowa w skali roku zakupu
papierów wartościowych, aby rentowność tej operacji była wyższa od rentowności lokaty
bankowej?
Zadanie 6
Jaka jest stopa procentowa (rentowność) oraz stopa dyskontowa zakupu za 900 papierów
wartościowych o nominale 1000 zł i terminie jego wykupu za 5 miesięcy?
%
33
,
15
1533
,
0
1
*
1811
,
0
1
1811
,
0
*
1
%
11
,
18
1811
,
0
1
)
4
17
,
0
1
(
1
)
1
(
4
>
>
+
>
+
>
=
=
−
+
=
−
+
=
d
d
d
n
r
r
d
r
m
r
r
ef
ef
ef
m
ef
1
1
1
*
*
1
*
1
*
*
1
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−
=
n
K
K
d
K
K
n
d
K
K
n
d
K
n
d
K
n
d
K
K
n
O
n
O
n
O
O
n
O
n
Zadanie 7
Za ile najmniej powinieneś kupić papier wartościowy o nominale 10000 zł i terminie
wykupu 15 dni, aby osiągnąć rentowność 25%
Zadanie 8
Możliwy jest zakup papieru wartościowego przy stopie dyskontowej 25% lub rentowności
30%. Na ile dni przed terminem wykupu ta druga możliwość jest korzystniejsza. Proszę
wyznaczyć dyskonto handlowe i matematyczne dla okresu 120 dni przy wartości
nominalnej 100 zł
Dla okresu n < 240 wybór jest korzystny
%
66
,
26
2666
,
0
12
5
*
2403
,
0
1
2403
,
0
*
1
%
03
,
24
2403
,
0
416
,
0
1
,
0
416
,
0
1
,
0
416
,
0
1
9
,
0
12
5
1
1000
900
1
=
=
−
=
−
=
=
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
r
n
d
d
r
d
n
K
K
d
n
O
07
,
9897
360
15
*
25
,
0
1
10000
*
1
=
+
=
+
=
O
n
O
K
n
r
K
K
09
,
9
360
120
*
3
,
0
1
360
120
*
3
,
0
*
100
*
1
*
33
,
8
360
120
*
25
,
0
*
100
*
*
dni
240
roku
67
,
0
3
,
0
1
25
,
0
1
1
1
=
+
=
+
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
M
O
M
H
O
H
D
n
r
n
r
K
D
D
n
d
K
D
n
n
r
d
n
Zadanie 9
Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej
100 zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2
Zadanie 10
Firma otrzymała ofertę zakupu środka trwałego przy natychmiastowej zapłacie gotówką
4000 zł albo przy zapłacie 4800 za dwa lata. Firma ma możliwość uzyskania kredytu
bankowego na okres 2 lat oprocentowanego 21% w skali roku przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaką decyzję powinno podjąć kierownictwo tej firmy?
Firma powinna zapłacić za dwa lata kwotę 4800 zł.
Model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu (bez wyprzedzenia) i z góry
z (wyprzedzeniem)
Zadanie 1
Jaka będzie wartość 500 zł po 2 latach przy kwartalnych ratach z dołu oraz góry, jeżeli
nominalna stopa procentowa wynosi 32%, a odsetki kapitalizowane są kwartalnie
W = 500
n = 2
m = 4
r = 32%
%
09
,
24
2409
,
0
360
30
*
100
2
*
*
*
=
=
=
=
=
d
n
K
D
d
n
d
K
D
O
H
O
H
54
,
1781
2
*
2
*
21
,
0
1
21
,
0
*
33
,
6023
71
,
1419
2
*
2
*
21
,
0
1
21
,
0
*
4800
33
,
6023
)
4
21
,
0
1
(
400
2
1
4
*
2
=
+
=
=
+
=
=
+
=
H
H
n
D
D
K
78
,
5743
)
4
32
,
0
1
(
*
315
,
5318
)
1
(
315
,
5318
4
32
,
0
1
)
4
32
,
0
1
(
500
1
)
1
(
4
*
2
2
*
=
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
g
n
d
n
g
n
d
m
n
d
n
K
m
r
K
K
K
m
r
m
r
W
K
Zadanie 2
Cena samochodu wynosi 35000 zł, jakiej równej wysokości wkłady wnoszone na koniec
kolejnych miesięcy pozwolą zgromadzić w ciągu 2 lat niezbędny fundusz na jego zakup.
Bank stosuje miesięczną kapitalizację przy miesięcznej stopie procentowej wynoszącej
2%
Zadanie 3
Przy jaki okres czasu należy wpłacać z góry stałą kwotę 100 zł przy rocznej stopie
procentowej 24% i kapitalizacji rocznej, aby uzbierać dokładnie 500 zł
521
,
1150
02
,
0
1
)
02
,
0
1
(
35000
1
)
1
(
02
,
0
1
)
1
(
12
*
2
*
*
=
−
+
=
−
+
=
=
−
+
=
W
m
r
m
r
K
W
m
r
m
r
m
r
W
K
m
n
d
n
m
n
d
n
1466
,
3
0934
,
0
2939
,
0
24
,
1
log
124
244
log
)
24
,
0
1
log(
)
1
)
24
,
0
1
(
100
24
,
0
*
500
log(
)
1
log(
)
1
)
1
(
*
log(
)
1
log(
)
1
)
1
(
*
log(
log
)
1
(
1
)
1
(
*
1
)
1
(
)
1
(
*
)
1
(
:
1
)
1
)(
1
(
*
*
1
)
1
(
)
1
(
=
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
+
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
+
=
−
+
+
=
n
r
r
W
r
K
n
r
n
r
W
r
K
r
r
W
r
K
r
r
W
r
K
r
W
r
r
W
r
K
r
r
r
r
W
K
g
n
g
n
n
g
n
n
g
n
n
g
n
n
g
n
Zadanie 4
Przez 5 lat będziemy otrzymywać rocznie 500 zł oblicz ile warte są te pieniądze obecnie
jeśli:
a)
płatności występują bez wyprzedzenia
b)
płatności występują z wyprzedzeniem
Zakłada się, że nominalna stopa procentowa wynosić będzie 25%, a kapitalizacja ma
miejsce jeden raz w roku
a)
b)
Wpłaty niezgodne
1.
Kapitalizacja odsetek jest częstsza niż wpłaty
a)
model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu bez wyprzedzenia
b)
model rat równych przy kapitalizacji rocznej z góry z wyprzedzeniem
kapitalizacja śródroczna
kapitalizacja ciągła
66
,
1344
)
25
,
0
1
(
515
,
4103
)
1
(
)
1
(
515
,
4103
25
,
0
1
)
25
,
0
1
(
500
1
)
1
(
5
5
2
=
+
=
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
d
O
n
d
n
O
n
O
d
n
d
n
d
n
K
r
K
K
r
K
K
K
r
r
W
K
83
,
1680
)
25
,
0
1
(
39
,
5129
)
1
(
39
,
5129
)
25
,
0
1
(
515
,
4103
)
1
(
5
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
g
O
n
g
n
O
g
n
d
n
g
n
K
r
K
K
K
r
K
K
ef
n
ef
d
n
r
r
W
K
1
)
1
(
−
+
=
ef
n
ef
g
n
r
r
r
W
K
1
)
1
(
)
1
(
−
+
+
=
1
)
1
(
−
+
=
m
ef
m
r
r
1
−
=
r
ef
e
r
np.
okres wpłat co kwartał a okres kapitalizacji co miesiąc czyli m = 3/1 = 3
okres wpłat co rok a okres kapitalizacji co pół roku czyli m = 1/0,5 = 2
Zadanie 5
Na koniec każdego półrocza wpłacano na konto kwotę 500 zł, wyznaczyć przyszłą wartość
sumy wkładów oszczędnościowych po 4 latach, jeżeli bank stosuje kapitalizacje kwartalną
przy rocznej stopie procentowej 16%
r = 0,08 dlatego że wpłaty są półroczne i roczną stopę procentową należy podzielić przez
2
Zadanie 6
Wpłacasz 300 zł co pół roku przy stopie procentowej 10% jaką kwotę otrzymasz po 3
latach jeżeli bank stosuje kapitalizację ciągłą wpłaty dokonywane są bez wyprzedzenia (z
dołu)
cji
kapitaliza
okres
wpat
okres
=
m
m
n
n
*
=
08
,
0
2
16
,
0
1
)
1
(
=
=
−
+
=
r
r
r
W
K
ef
n
ef
d
n
15
,
5349
0816
,
0
1
)
0816
,
0
1
(
500
8
4
*
2
*
%
16
,
8
0816
,
0
1
)
2
08
,
0
1
(
2
3
6
1
)
1
(
8
2
=
−
+
=
=
=
=
=
=
−
+
=
=
=
−
+
=
d
n
ef
m
ef
K
m
n
n
r
m
m
m
m
r
r
74
,
2046
0512
,
0
1
)
0512
,
0
1
(
300
6
2
*
3
*
%
12
,
5
0512
,
0
1
1
05
,
0
2
1
,
0
1
)
1
(
6
05
,
0
=
−
+
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
=
=
−
+
=
d
n
ef
r
ef
ef
n
ef
d
n
K
m
n
n
e
r
e
r
r
r
r
W
K
Zadanie 1
Zwracasz 10000 zł przy stopie procentowej 24% dług spłacisz z dołu w 8 miesięcznych
równych ratach. Wyznacz kwotę raty jeżeli kapitalizacja odsetek jest:
a)
dzienna
b)
miesięczna
a)
wpłaty niezgodne
b)
wpłaty zgodne
32
,
1164
02019
,
0
1
)
02019
,
0
1
(
10000
1
)
1
(
1
)
1
(
8
1
*
8
*
%
019
,
2
02019
,
0
1
)
30
02
,
0
1
(
30
1
30
%
2
12
24
1
)
1
(
1
)
1
(
8
30
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
=
=
=
=
=
−
+
=
=
=
=
=
−
+
=
−
+
=
W
r
r
K
W
r
r
W
K
n
m
n
n
r
m
r
m
r
r
r
r
W
K
ef
n
ef
d
n
ef
n
ef
d
n
ef
m
ef
ef
n
ef
d
n
107
,
1165
02
,
0
1
)
02
,
0
1
(
10000
%
2
12
24
1
)
1
(
1
)
1
(
12
*
12
8
*
*
=
−
+
=
=
=
−
+
=
−
+
=
W
m
r
m
r
m
r
K
W
m
r
m
r
W
K
m
n
d
n
m
n
d
n
Zadanie 2
Lokujesz 10000 zł na 10 lat, stopa oprocentowania 17%, stopa inflacji 14%. Kapitalizacja
na końcu roku. Jaką nominalną oraz realną kwotę będziesz dyskontować po podanym
okresie
Zadanie 3
Lokujesz przez 10 lat po 100 zł
a)
na początku każdego roku
b)
na końcu każdego roku
Oprocentowanie wynosi 5%, inflacja 3,5%. Kapitalizacja na końcu roku. Jaką realną
kwotę będziesz dysponować po tym okresie
a)
b)
=
+
=
+
=
=
−
+
+
=
−
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
+
=
10
10
10
10
)
0263
,
0
1
(
10000
)
1
(
0263
,
0
1
14
,
0
1
17
,
0
1
1
1
1
lub
)
14
,
0
1
(
)
17
,
0
1
(
10000
)
1
(
)
1
(
28
,
48068
)
17
,
0
1
(
10000
)
1
(
r
n
r
O
r
r
r
r
n
n
O
r
n
n
O
n
K
r
K
K
r
i
r
r
K
i
r
K
K
K
r
K
K
12
,
9363
)
035
,
0
1
(
05
,
0
1
)
05
,
0
1
(
)
05
,
0
1
(
1000
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
10
10
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
+
=
+
+
=
−
+
+
=
r
n
n
n
n
n
n
O
r
n
g
n
K
i
r
r
r
W
i
K
i
r
K
K
r
r
r
W
K
Szybsze rozwiązanie podpunktu b to wynik z podpunktu a podzielić przez (1+r)
Zadanie 4
Ile powinno się ulokować w banku, aby móc kupić za 5 lat mieszkanie o obecnej wartości
60000 zł, stopa procentowa dla oszczędności oferowana przez bank wynosi 16%, stopa
inflacji (wzrost cen mieszkania) równa jest 9%, kapitalizacja raz w roku
Zadanie 1
Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 90000 zł oprocentowanego na 16%
kredyt ten ma być spłacony w 6 równych kwotach płatności uiszczanych na końcu roku
Kolejne lata Dług na
początku
okresu
Rata
kapitałowa
Rata
odsetkowa
Kwota
płatności
Dług na
koniec okresu
1
90000
10025,14
14400
24425,14
79974,86
2
79974,86
11629,16
12795,97
24425,14
68345,70
3
68345,70
13489,83
10935,31
24425,14
54855,87
4
54855,87
15648,21
8776,93
24425,14
39207,66
5
39207,66
18151,92
6273,22
24425,14
21055,74
6
21055,74
21056,23
3368,91
24425,14
0
Σ
56550,34
Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu – rata kapitałowa
32
,
8917
)
035
,
0
1
(
05
,
0
1
)
05
,
0
1
(
1000
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
10
10
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
=
+
+
=
−
+
=
r
n
n
n
n
n
n
O
r
n
d
n
K
i
r
r
W
i
K
i
r
K
K
r
r
W
K
4
,
43954
)
16
,
0
1
(
44
,
92317
)
1
(
44
,
92317
)
09
,
0
1
(
60000
)
1
(
)
1
(
5
5
5
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
K
r
K
K
K
i
K
K
r
K
K
n
n
n
O
n
n
O
n
14
,
24425
1
)
16
,
0
1
(
16
,
0
)
16
,
0
1
(
90000
1
)
1
(
)
1
(
6
6
=
−
+
+
=
−
+
+
=
A
r
r
r
S
A
N
N
Zadanie 2
Pewien przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości 2000 zł oprocentowanie nominalne
kredytu 36% w skali roku kredyt ten należy spłacić w ciągu 4 lat w ratach kapitałowych o
stałej wysokości płatnych na koniec każdego roku. Dokonać amortyzacji kredytu
Kolejne lata Dług na
początku
okresu
Rata
kapitałowa
Rata
odsetkowa
Kwota
płatności
Dług na
koniec okresu
1
2000
500
720
1220
1500
2
1500
500
540
1040
1000
3
1000
500
360
860
500
4
500
500
180
680
0
Σ
1800
Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu – rata kapitałowa
Zadanie 3
Kredyt w wysokości 10000 zł ma zostać spłacony w 4 równych rocznych ratach
kapitałowych. Stopa procentowa 14%. Kapitalizacja odsetek miesięczna. Ustalono że
okres spłaty kredytu rozpoczyna się po upływie 2 lat od momentu jego zaciągnięcia.
Sporządzić plan amortyzacji tego długu jeżeli karencję objęte są spłaty
a)
kapitału i odsetek
b)
samego kapitału
Wzór ogólny na spłatę kredytu przy zastosowaniu karencji
500
4
2000
=
=
=
T
N
S
T
%
93
,
14
1
)
12
14
,
0
1
(
1
)
1
(
12
=
−
+
=
−
+
=
ef
m
ef
r
m
r
r
c
c
r
S
S
)
1
(
+
=
Wzór ogólny na spłatę kredytu przy zastosowaniu karencji w przypadku spłat
niezgodnych
a)
Kolejne lata Dług na
początku
okresu
Rata
kapitałowa
Rata
odsetkowa
Kwota
płatności
Dług na
koniec okresu
1
10000
-
-
-
-
2
-
-
-
-
13209,87
3
13209,87
3302,47
1972,23
5274,70
9907,40
4
9907,40
3302,47
1479,17
4781,64
6604,93
5
6604,93
3302,47
986,11
4288,58
3302,47
6
3302,47
3302,47
493,11
3795,57
0
Σ
4930,61
Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu – rata kapitałowa
b)
Kolejne lata Dług na
początku
okresu
Rata
kapitałowa
Rata
odsetkowa
Kwota
płatności
Dług na
koniec okresu
1
10000
-
1493
1493
10000
2
10000
-
1493
1493
10000
3
10000
2500
1493
3993
7500
4
7500
2500
1119,75
3619,75
5000
5
5000
2500
746,50
3246,50
2500
6
2500
2500
373,25
2873,25
0
Σ
6718,5
Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu – rata kapitałowa
Zadanie 4
c
ef
c
m
c
c
r
S
S
m
r
S
S
)
1
(
lub
)
1
(
*
+
=
+
=
47
,
3302
4
87
,
13209
87
,
13209
)
1493
,
0
1
(
10000
2
=
=
=
=
+
=
T
N
S
T
S
c
c
2500
4
10000
=
=
=
T
N
S
T
Po 3 letnim okresie karencji obejmującym tylko raty kapitałowe dług w wysokości 80000
zł należy spłacać w jednakowych kwotach płatności po 30000 zł, bank stosuje
kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 10%. Ułożyć plan spłaty długu
Kolejne lata Dług na
początku
okresu
Rata
kapitałowa
Rata
odsetkowa
Kwota
płatności
Dług na
koniec okresu
1
80000
-
8000
80000
80000
2
80000
-
8000
80000
80000
3
80000
-
8000
80000
80000
4
80000
22000
8000
30000
58000
5
58000
24200
5800
30000
33800
6
33800
26620
3380
30000
7180
6,25
7180
7180
179,73
30000
0
41359,73
W okresie 6,25 stopę procentową należy podzielić r/4
Rata odsetkowa = Dług na początku okresu * stopa procentowa
Kwota płatności = Rata kapitałowa + rata odsetkowa
Dług na koniec okresu = Dług na początku okresu – rata kapitałowa
Zadanie 5
Który z banków oferuje lepsze warunki do zaciągnięcia kredytu jeżeli w pierwszym banku
stopa oprocentowania kredytu wynosi 20% a odsetki trzeba płacić co kwartał w drugim
banku nominalna stopa procentowa wynosi 22% a odsetki należy płacić co pół roku
[
]
25
,
3
1
,
1
log
3636
,
1
log
3636
,
1
log
1
,
1
log
log
:
3636
,
1
1
,
1
275
,
0
375
,
0
1
,
1
)
275
,
0
(
*
1
,
1
375
,
0
)
375
,
0
1
,
0
(
1
,
1
375
,
0
1
,
1
*
375
,
0
1
,
0
*
1
,
1
375
,
0
1
,
0
*
1
,
1
375
,
0
1
,
1
*
375
,
0
1
,
0
*
1
,
1
)
1
1
,
1
(
*
375
,
0
1
,
0
*
1
,
1
)
1
1
,
1
(
*
80000
30000
*
)
1
(
1
)
1
(
*
1
)
1
(
*
1
)
1
(
)
1
(
:
1
)
1
(
)
1
(
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
+
=
−
+
−
+
−
+
+
=
−
+
+
=
n
n
r
r
r
S
A
r
r
r
r
S
A
S
r
r
r
S
A
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
bank 1
bank 2
Lepsze warunki do zaciągnięcia kredytu oferuje bank 1
Zadanie 6
Bank udziela kredytów wg. stopy 20% przy miesięcznym poborze odsetek. Klient chciałby
zaciągnąć kredyt w wysokości 5000 zł na okres 12 miesięcy spłacając go jednorazowo
wraz z odsetkami na koniec jego trwania. Jeżeli bank zaakceptuje propozycję klienta to,
jakie powinna być stopa tego kredytu, aby jego koszt nie odbiegał od standardowo
udzielanych. Ile powinien zwrócić po upływie roku kredytobiorca
1
)
1
(
−
+
=
m
ef
m
r
r
%
55
,
21
1
)
4
2
,
0
1
(
4
=
−
+
=
ef
r
%
21
,
23
1
)
2
22
,
0
1
(
2
=
−
+
=
ef
r
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony)
matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony) id
Matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony
matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony)
,matematyka finansowa, wzory i zadania Rachunek odsetek prostych
Finanse przedsiębiorstw zadania (23 strony)
Matematyka finansowa - wzory i zadania-wydanie nowe, Nauka, Matematyka
,matematyka finansowa, wzory i zadania Rachunek oprocentowania składanego
,matematyka finansowa, wzory i zadania Dyskonto handlowe i matematyczne
Matematyka finansowa - wzory i zadania
matematyka finansowa wzory i zadania , kapital, odse
,matematyka finansowa, wzory i zadania Model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu
więcej podobnych podstron