A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

36

2 Teoria Gier

2.1 Wstęp

Przejdziemy do, moim zdaniem, najciekawszej klasy problemów

decyzyjnych - do podejmowaniem decyzji w warunkach niepewności. I

choć problemów z rzeczywistości społeczno-gospodarczej, technicznej itp.,

które prowadzą do modeli należących do tej klasy jest bardzo wiele skupimy

się na grupie najważniejszych z nich - do problemów określanych jako gry.

Problemy te uznaję za najważniejsze z paru powodów. Pierwszy to ten, że tak

naprawdę dopiero na przykładzie gier widać osiągnięcia teorii decyzji –

możemy prześledzić jej podstawową (moim zdaniem) rolę, rolę której do tej

pory nie było widać. Zobaczymy, że teoria ta nie tylko mówi jak osiągnąć

zakładany cel ale, co znacznie ważniejsze, jaki cel należy osiągnąć. W

problemach należących do szeroko rozumianej grupy problemów

optymalizacyjnych cel jest jasny – wynika z samego postawienia problemu.

Trudność polega jedynie znalezieniu sposoby by go osiągnąć. W problemach

nazywanych grami cel do którego należy dążyć może być i na ogól jest dla

wielu decydentów nieznany. W wielu sytuacjach po prostu nie wiemy na co

możemy liczyć, bo sytuacja jest zbyt złożona. W konsekwencji możemy np.

niesłusznie oczekiwać zbyt wiele lub przeciwnie – nieracjonalnie zadowolić

się rozwiązaniem tak naprawdę mało satysfakcjonującym.

Drugi powód, dla którego można uznać gry za najważniejszą

współcześnie grupę problemów decyzyjnych jest taki, że w świecie

globalnym, w którym przychodzi żyć współczesnym społeczeństwom

występują

coraz

lepiej

uświadamiane

sobie

przez

decydentów,

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

37

współzależności pomiędzy rozmaitymi zjawiskami, tak społecznymi jak

gospodarczymi i technicznymi. W związku z tym coraz więcej pojawia się

problemów, dla których schemat podejmowania decyzji w warunkach

pewności czy ryzyka jest już niewystarczający – należy wykorzystać modele

teorii gier. Stąd np. coraz więcej prestiżowych nagród za osiągnięcia w

rozmaitych dziedzinach ekonomii uzyskują matematycy zajmujący się teorią

gier. Dotyczy to m.in. nagród Nobla, które za osiągnięcia z teorii gier

otrzymali w 1994 roku

c)

John C. Harsanyi (1920 - 2000),

d)

John F. Nash (ur. 1928) i

e)

Reinhard Selten (ur. 1930)

Nash wprowadził rozróżnienie między grami kooperatywnymi, gdzie

możliwe jest wiążące dla obu stron rozwiązanie i grami niekooperatywnymi,

gdzie nie ma możliwości prowadzenia takich rozwiązań. Osiągnięciem Nasha

było ustalenie, gdzie znajduje się stan równowagi dla gier drugiego typu.

Selten jako pierwszy zastosował równowagę Nasha do analizy konkurencji

pomiędzy nielicznymi dostawcami. Harsanyi opracował metody analizy gier,

gdy uczestnicy nie dysponują kompletną informacją. Położył tym samym

fundament pod ekonomię informacji.

Z kolei w roku 2005 laureatami nagrody Nobla w dziedzinie nauk

ekonomicznych zostali

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

38

•

Robert J. Aumann

•

Thomas C. Schelling

Uhonorowani zostali za ich teorię o "decyzji interaktywnej".

Szwedzka Królewska Akademia Nauk przyznała im nagrodę "za rozszerzenie

naszego rozumienia konfliktu i współpracy poprzez analizę teorii gier". Prace

Aumanna i Schellinga pozwoliły na zastosowanie teorii gier do poszukiwania

odpowiedzi na pytanie, dlaczego niektóre grupy, organizacje i kraje odnoszą

sukcesy we współpracy, natomiast inne popadają w konflikty. W książce z

1950 r. "The Strategy of Conflict" Schelling opisał teorię gier jako ramy dla

nauk społecznych. Pisał o tym, że zdolność do odwetu czy odwzajemniania

może być bardziej użyteczna niż zdolność opierania się atakowi, i że

niepewność odwetu jest bardziej wiarygodna niż jego pewność. Te

stwierdzenia okazały się użyteczne w rozwiązywaniu konfliktów i unikaniu

wojen. Prace Schellinga były wykorzystywane zarówno w opracowywaniu

strategii przez firmy, jak i podejmowaniu politycznych decyzji. Robert

Aumann zajmował się w swoich badaniach długoterminowymi relacjami i

teorią powtarzanych gier. Jego prace wyjaśniają przyczyny istnienia wielu

instytucji, zarówno organizacji gospodarczych, jak i zorganizowanej

przestępczości; mają też znaczenie dla negocjacji płacowych i światowych

porozumień handlowych.

Mógłby ktoś spytać jak od zabawy (bo czymże są w powszechnym

mniemaniu gry?) dochodzi się do nagrody Nobla. Warto więc sprostować

kilka nieporozumień związanych z ta teorią i jej historią. Warto, bo jest kilka

nieścisłości w informacjach podawanych w niektórych książkach

poświęconych tej tematyce. Na przykład zwykle podaje się, że teoria gier

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

39

wzięła swój początek z analizy rozgrywek gier karcianych, szachów itp. Otóż

tak nie jest – to akurat wiadomo – wystarczy przeanalizować nadal dostępne

prace pierwszych twórców tej teorii. Gra w rozumieniu omawianej tu teorii

to matematyczny model sytuacji konfliktowej. Z gier karcianych teoria gier

wzięła jedynie swą, pewnie od początku marketingową nazwę. Powszechnie

uznaną datą narodzin teorii gier jest rok 1944, kiedy ukazała się monografia

Johna von Neumanna i Oskara Morgensterna „Theory of Games and

Economic Behavior

” . Właśnie Johna von Neumanna uważa się – słusznie –

za ojca tej teorii (a właściwie Janosa von Neumanna – był Węgrem, do USA

wyjechał na stałe przed początkiem II Wojny Światowej). Zasługą von

Neumanna jest jednolite przedstawienie fundamentów tej teorii oraz jej

rozpropagowanie, co zostało osiągnięte przez wskazanie licznych zastosowań

praktycznych w tym głównie w ekonomii. To właśnie skłoniło zarówno

społeczność naukową jak i praktyków menedżerów do głębokiego nią

zainteresowania. On też, w wymienionym fundamentalnym dziele,

sformułował i zaksjomatyzował teorię użyteczności w wersji zbliżonej do tej,

którą przedstawiłem na poprzednich wykładach.

Nie jest natomiast prawdą, że dziełem Johna von Neumanna są

pierwsze prace naukowe z teorii gier. Palmę pierwszeństwa pod tym

względem należy przyznać pewnie matematykowi Ernstowi Zermelo,

znanemu przezde wszystkim jako twórca podwalin pod nowoczesna teorie

mnogości. W 1913 zapoczątkował on matematyczna analizę sytuacji

konfliktowych artykułem w którym omówił zastosowanie teorii mnogości do

teorii gry w szachy. Podał w nim pierwsze twierdzenia o istnieniu punktu

równowagi. Następnie Emile Borel, jeden z pionierów teorii miary, napisał

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

40

ważne prace z teorii gier, które zdaniem niektórych biografów zainspirowały

von Neumanna. Jedną z pierwszych (może trzecią?) pracą z tego zakresu jest

artykuł opublikowany w 1925 roku przez wybitnego polskiego matematyka

Hugo Steinhausa. Sformułował w nim pewien problem gry która rozumiał

już w taki sam sposób jak współczesna teoria, zdefiniował pojecie strategii

graczy i podał jego rozwiązanie. Można podejrzewać, że i jego praca

wpłynęła na zainteresowania i koncepcje von Neumanna, gdyż von

Neumann znał Steinhausa osobiście – poznał go we Lwowie, gdzie

kilkakrotnie przebywał w okresie międzywojennym. Swoje pierwsze

pomysły i wyniki z teorii gier zaprezentował von Neumann na konferencji w

rok po ukazaniu się pracy Stenhausa, zostały one następnie opublikowane w

roku 1928.

Tak jak wspomnieliśmy, nazwa teorii może być bardzo myląca.

Prawdę powiedziawszy na początku rozważania w niej prowadzone nie były

związane z grami towarzyskimi (np. karcianymi). Na przykład artykuły

wspomnianego Steinhausa dotyczyły tzw. problemu podziału. W języku nie

matematycznym sformułować go można następująco: jak podzielić tort

pomiędzy n (np. pięciu) uczestników spotkania tak, by każdy z nich dostał

(w swojej opinii czyli wg. własnej użyteczności) co najmniej 1/n i czy można

to w ogóle zrobić!. Dokładniej, jakie strategie dzielenia i brania tortu

powinien przyjąć dany gracz, by zapewnić sobie co najmniej jedną n-tą

całości. Ta klasa problemów z teorii gier jest rozważana przez różnych

matematyków całego świata po dzień dzisiejszy. Stanowi ona model

ważnych problemów gospodarczych i politycznych. Trudno powiedzieć, że

ten - jeden z pierwszych - artykułów z teorii gier dotyczył gier towarzyskich!

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

41

Prawdę powiedziawszy, żaden z tych pierwszych artykułów gier

towarzyskich nie dotyczył. Zresztą później w ramach tej teorii sięgano do

problemów związanych z grami towarzyskimi jedynie w celach

ilustracyjnych.

Teoria gier miała oczywiście swoich prekursorów, którzy formułowali

i rozwiązywali różne problemy, które były grami w sensie dzisiejszej teorii,

ale nie jako gry były te problemy postrzegane. O dwóch z nich wypada

wspomnieć, bo nazwiska ich pojawią się w dalszej części wykładu. Chodzi

mi o prekursorów zarówno teorii gier jak i neoklasycznej teorii w ekonomii

(teorii równowag), działających w XIX i początku XX wieku: Antoine

Cournot’a i Vilfredo Pareto – matematyków i ekonomistów, których

nazwiska na trwałe znalazły sobie miejsce w historii rozwoju obu tych

dziedzin nauki.

2.2 Gry – formalne definicje, klasyfikacja i założenia

Definicja gry

Przejdźmy już do samej teorii gier i problemów w niej rozważanych –

gier. Z punktu widzenia teorii grą nazywamy sytuację decyzyjną, w której:

1)

Uczestniczy n autonomicznych w swych decyzjach decydentów –

graczy.

Oznaczać ich będziemy jako P

1

, P

2

, …, P

n

,

2)

Danych jest n zbiorów S

1

, S

2

, …, S

n

, będących zbiorami alternatyw

decyzyjnych poszczególnych graczy – w teorii gier zwane są te

alternatywy strategiami. Zatem gracz P

i

może wybrać dowolną

strategię ze zbioru S

i

. Postać tych zbiorów wynika z reguł gry (tzn. to

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

42

co może zrobić gracz wynika z natury problemu, która określa

wspomniane reguły gry)

3)

Na podstawie ustalonych wyborów strategii przez poszczególnych

graczy reguły gry przyporządkowują każdemu z nich wypłatę.

Wypłaty gracz otrzymuje w użytecznościach. Mówimy inaczej, i

bardziej precyzyjnie, że reguły gry określają każdemu z graczy P

i

jego funkcję wypłaty M

i

. Zapis M

i

(s

1

,s

2

, …, s

n

) oznacza zatem

wypłatę dla gracza P

i

w sytuacji, gdy gracz P

1

wybierze strategię s

1

,

gracz P

2

wybierze strategię s

2

,…, gracz n-ty wybierze strategię s

n

.

Problem decyzyjny w którym mamy określone zbiory S

1

, S

2

, …, S

n

,

będące zbiorami strategii graczy oraz funkcje M

1

, M

2

, …, M

n

, określające

wypłaty graczy nazywamy grą w postaci normalnej. Z formalnego punktu

widzenia otrzymaliśmy zatem następującą definicję

Definicja. Gra w postaci normalnej to odwzorowanie

n

N

R

S

S

S

M

→

×

×

×

K

2

1

:

Odwzorowanie M można oczywiście zapisać w postaci

)

,

,

,

(

2

1

N

M

M

M

M

K

=

. Interpretacja poszczególnych symboli została

wprowadzona wcześniej. Gry w postaci normalnej często zapisujemy w

postaci

>

<

k

N

M

M

M

S

S

S

K

K

,

,

;

,

,

,

2

1

2

1

.

Definicja. Strategie nielosowe nazywać będziemy strategiami czystymi.

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

43

Rozkłady prawdopodobieństwa określone na zbiorze strategii czystych

nazywamy strategiami mieszanymi.

Klasyfikacja gier

Podział gier ze względu na liczbę decydentów:

1.

gry dwuosobowe

2.

gry n-osobowe

Decydentów w teorii gier nazywamy graczami. Nie powinno się nazywać

ich przeciwnikami. Różnica jest istotna i, bynajmniej, nie jest ona tylko

natury etycznej czy też związana z poprawnością polityczną. Wrócimy do

tego w dalszej części wykładu w jednej z uwag.

Podział gier ze względu na charakter konfliktu:

1.

gry ściśle antagonistyczne

2.

gry nieściśle antagonistyczne

Podział gier ze względu na zapis i sposób analizy:

1.

gry w postaci ekstensywnej

2.

gry w postaci normalnej

Podział gier ze względu na możliwość współpracy pomiędzy graczami, której

skutki gwarantowane są regułami gry:

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

44

1.

kooperacyjne – występuje możliwość porozumienia między

graczami

2.

niekooperacyjne

Szczególnie ważną klasę gier stanowią gry dwuosobowe. Na

wykładzie zapisywać je będziemy w postaci

>

<

2

1

,

,

,

M

M

B

A

, gdzie A -

zbiór strategii pierwszego gracza o mocy równej

m

, tzn.

m

A =

, B -zbiór

strategii drugiego gracza o mocy równej

n

, tzn.:

n

B =

.

Definicja. Gra macierzową nazywamy grę dwuosobową

>

<

2

1

,

,

,

M

M

B

A

,

w której moce zbiorów strategii są skończone, tzn.

∞

<

A

,

∞

<

B

.

Nazwa bierze się stąd, że jeżeli ponumerujemy strategie graczy to ich

wypłaty

R

B

A

M

→

×

:

1

oraz

R

B

A

M

→

×

:

2

są macierzami:









































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

1

1

2

1

1

1

22

1
21

1

1

1

12

1

11

1

mn

n

n

n

M

M

M

M

M

M

M

M

M

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

45









































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

2

2

2

2

1

2

22

2

21

2

1

2

12

2

11

2

mn

n

n

n

M

M

M

M

M

M

M

M

M

gdzie

)

,

(

j

i

k

k

ij

b

a

M

M

=

, dla

,

A

a

i

∈

B

b

j

∈

, k=1,2

Cz

ę

sto stosujemy te

ż

zapis taki, jak w definicji postaci normalnej, czyli taki

w którym powy

ż

sze dwie macierze zapisywane s

ą

jako jedna macierz M,

której elementami s

ą

pary liczb macierz

)

,

(

2

1

ij

ij

ij

M

M

M =

Przy analizie problemów decyzyjnych w wi

ę

kszo

ś

ci przypadków

b

ę

dziemy przyjmowali nast

ę

puj

ą

ce zało

ż

enia o graczach:

1.

Ka

ż

dy gracz zna funkcje wypłaty wszystkich graczy. Oznacza to,

ż

e

zna alternatywy dost

ę

pne jemu i pozostałym graczom oraz wie jak

wynik zale

ż

y od tych wyborów. Ponadto wynika st

ą

d,

ż

e zna funkcje

u

ż

yteczno

ś

ci pozostałych graczy, czyli zna ich struktur

ę

preferencji.

2.

Je

ż

eli wynik gry zale

ż

y od działania mechanizmu losowego, wtedy

gracz zdaje sobie spraw

ę

z ró

ż

nych mo

ż

liwo

ś

ci i prawdopodobie

ń

stw

ich zaj

ś

cia.

3.

Gracze s

ą

racjonalni, czyli d

ążą

do maksymalizacji swoich

u

ż

yteczno

ś

ci, stosuj

ą

si

ę

do reguł gry oraz potrafi

ą

wła

ś

ciwe

analizowa

ć

problemy.

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

46

By unikn

ąć

wielu do

ść

powszechnych

nieporozumień

dotycz

ą

cych

kwestii rozwa

ż

anych w ramach tej teorii i poruszanych przez nas dalej na

wykładzie przeka

żę

jeszcze kilka uwag.

Uwaga 1.

Wypłaty w grach b

ę

d

ą

u nas wypłacane w

u

ż

yteczno

ś

ciach

. Tak zreszt

ą

jest w całej teorii, czego niekiedy nie podkre

ś

la

si

ę

wystarczaj

ą

co mocno, nawet wielu zapoznaj

ą

cych si

ę

z t

ą

teori

ą

tego po

prostu nie wie – bo nie zetkn

ę

ło si

ę

wcze

ś

niej z poj

ę

ciem preferencji i

u

ż

yteczno

ś

ci. A konsekwencje tego,

ż

e wypłaty s

ą

u

ż

yteczno

ś

ciach s

ą

powa

ż

ne i bardzo ró

ż

ne. Po pierwsze: nieporównywalno

ść

wypłat dla

ró

ż

nych graczy. Na przykład nie ma sensu mówi

ć

ż

e gracz P1 dostał wi

ę

cej ,

bo 100, podczas gdy gracz P2 mniej, bo 50. Liczby te słu

żą

jedynie

wskazaniu przez jednego –danego- gracza co woli. Zatem je

ś

li gracz P1

dostał 100 a mógł 120, to uzyskał stan natury, który mu mniej odpowiada.

Je

ś

li gracz drugi dostał 50 a mógł 49 to sko

ń

czył gr

ę

w stanie natury, który

wolał. Drug

ą

konsekwencj

ą

zasady,

ż

e wypłaty s

ą

w u

ż

yteczno

ś

ciach jest to,

ż

e problem mo

ż

emy rozwa

ż

y

ć

w całej jego zło

ż

ono

ś

ci uwzgl

ę

dniaj

ą

c nawet

bardzo subtelne ró

ż

nice ró

ż

nych stanów natury uzyskanych po podj

ę

tych

decyzjach i ich ró

ż

n

ą

atrakcyjno

ść

dla decydentów. Oto prosty przykład.

Przykład 1

.

Znany architekt otrzymał propozycj

ę

wykonania projektu, za który

wynagrodzenie wyniesie 40 000 zł. Mo

ż

e go wykona

ć

w cało

ś

ci, mo

ż

e te

ż

poprosi

ć

do pomocy w pracach technicznych bezrobotnego s

ą

siada, z zawodu

technika kre

ś

larza, który

ż

yje ze skromnego zasiłku. Za pomoc, której jest w

stanie udzieli

ć

kre

ś

larz 1500 zł jest hojn

ą

zapłat

ą

. Jednak panowie, zaj

ę

ci

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

47

swoimi problemami, nie uczestnicz

ą

w

ż

yciu osiedlowym i niewiele wiedz

ą

o innych mieszka

ń

cach bloku. Inaczej

ż

ona architekta. Widz

ą

c,

ż

e m

ąż

jest

nie

ś

wiadom sytuacji (a tym bardziej kre

ś

larz) na

ś

wietliła j

ą

obu panom.

Teraz obaj staj

ą

przed dylematem: czy w rozmowie z

ż

on

ą

architekta zgodzi

ć

si

ę

na współprac

ę

czy nie.

Kto

ś

mógłby pomy

ś

le

ć

,

ż

e w powy

ż

szej sytuacji decyzyjnej w

wyniku dokonanych wyborów mo

ż

liwe s

ą

dwa stanu: panowie współpracuj

ą

i architekt dostaje 38 500zł a technik 1500zł lub panowie nie współpracuj

ą

i

architekt bierze 40 000 zł a technik nic. Tak jest z punktu widzenia wypłat

pieni

ęż

nych. Ale je

ś

li bierzemy pod uwag

ę

atrakcyjno

ść

ró

ż

nych sytuacji

powstałych w wyniku dokonania wyborów, to mo

ż

liwe s

ą

nast

ę

puj

ą

ce stany

natury:

stan A:

architekt wyra

ż

a ch

ęć

współpracy, technik nie ( z sobie

wiadomych powodów), architekt zarabia 40 000, technik dostaje 0

stan B:

architekt chce współpracowa

ć

, technik te

ż

, architekt dostaje

38 500, technik dostaje 1500

stan C:

architekt nie chce współpracy, technik chce – architekt ma 40 000,

technik dostaje 0

stan D:

. obaj nie chc

ą

– architekt ma 40 000, technik dostaje 0

Zale

ż

nie od charakteru, wra

ż

liwo

ś

ci społecznej i ch

ę

ci do pracy

panowie mog

ą

mie

ć

rozmaite układy preferencji na tych stanach natury. Je

ś

li

np. architekt jest osoba wra

ż

liw

ą

(ale bez przesady), pieni

ą

dze maj

ą

dla niego

znaczenie drugorz

ę

dne (cho

ć

oczywi

ś

cie mu na nich zale

ż

y) i zale

ż

y mu na

opinii

ż

ony i

ś

rodowiska to jego układ preferencji mo

ż

e by

ć

taki:

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

48

A > B > D > C

co odzwierciedla taka przykładowa funkcja u

ż

yteczno

ś

ci architekta

u

(A)=6, u(B)=4, u(D)=2, u(C)=0

Niech teraz a1 i t1 oznaczaj

ą

strategie współpracy (odpowiednio dla

architekta i technika), za

ś

a2 i t2 oznaczaj

ą

strategie odmowy. Macierz gry

dla architekta jest zatem nast

ę

puj

ą

ca :













2

0

6

4

2

1

2

1

a

a

t

t

Je

ś

li z kolei preferencje technika s

ą

podyktowane wielk

ą

potrzeb

ą

uzyskania przychodów, to mog

ą

wygl

ą

da

ć

nast

ę

puj

ą

co

B>A~C~D

i przykładowa posta

ć

jego funkcji u

ż

yteczno

ś

ci mo

ż

e by

ć

nast

ę

puj

ą

ca

u

(B)=100, u(B)=50, u(D)=50, u(C)=50

Przy utrzymaniu oznacze

ń

strategii otrzymujemy nast

ę

puj

ą

c

ą

macierz

wypłat dla technika:













50

50

50

100

2

1

2

1

a

a

t

t

Ostatecznie rozwa

ż

any problem mo

ż

emy zapisa

ć

jako nast

ę

puj

ą

ca

gr

ę

(kto nie pami

ę

ta znaczenia poni

ż

szego zapisu niech zajrzy np. do

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

49

wykładu nr 16 z ubiegłego roku):

(

) (

)

(

) (

)













50

,

2

50

,

0

50

,

6

100

,

4

2

1

2

1

a

a

t

t

Nazwijmy j

ą

gr

ą

G1.

Rozwa

ż

my t

ą

sama sytuacj

ę

decyzyjn

ą

przejmuj

ą

c,

ż

e charaktery

graczy s

ą

inne i w konsekwencji inne u

ż

yteczno

ś

ci poszczególnych stanów.

Załó

ż

my teraz,

ż

e architekt jest osob

ą

aspołeczn

ą

(nawet zło

ś

liw

ą

),

niech

ę

tny

ż

onie, nie znosz

ą

cy, gdy mu si

ę

odmawia. To co si

ę

dla niego liczy

to praca i pieni

ą

dze. Jego układ preferencji jest taki:

C > D > B > A

Takie preferencje architekta odzwierciedla na przykład taka funkcja

u

ż

yteczno

ś

ci

u

(A)=5, u(B)=10, u(D)=20, u(C)=40

W takim przypadku macierz gry dla architekta jest nast

ę

puj

ą

ca













20

40

5

10

2

1

2

1

a

a

t

t

Je

ś

li z kolei preferencje technika s

ą

podyktowane rozdarciem

pomi

ę

dzy niech

ę

ci

ą

do pracy a potrzeb

ą

pieni

ę

dzy to jego układ preferencji

mógłby by

ć

taki:

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

50

D > B ~ A > C

i przykładowa posta

ć

jego funkcji u

ż

yteczno

ś

ci mo

ż

e by

ć

nast

ę

puj

ą

ca

u

(D)=10, u(B)=5, u(A)=5, u(C)= 0

i otrzymali

ś

my nast

ę

puj

ą

c

ą

macierz wypłat dla technika:













10

0

5

5

2

1

2

1

a

a

t

t

Rozwa

ż

any problem doprowadził zatem tym razem do zupełnie innej

gry G2:

(

)

(

)

(

) (

)













10

,

20

0

,

40

5

,

5

5

,

10

2

1

2

1

a

a

t

t

Widzimy,

ż

e gdyby

ś

my rozwa

ż

ali wypłaty jedynie w warto

ś

ciach

pieni

ęż

nych, to nie byliby

ś

my wstanie zapisa

ć

rozmaitych niuansów

wynikaj

ą

cych z rzeczywistych upodoba

ń

decydentów, jak

ż

e wa

ż

nych z

punktu widzenia rozwi

ą

zania gry. Niedługo przekonamy si

ę

,

ż

e rozwi

ą

zanie

gry G1 jest zupełnie inne ni

ż

gry G2.

Na podsumowanie analizy sytuacji decyzyjnej architekta i technika

wró

ć

my do nieporównywalno

ś

ci wypłat. Np. analizuj

ą

c gr

ę

G1

bezsensownym byłoby stwierdzi

ć

,

ż

e technik ma sytuacje lepsz

ą

od

architekta, bo dostaje co najmniej 50, ma szanse na 100, podczas gdy

architekt dostanie co najwy

ż

ej 6! Pami

ę

tajmy, u

ż

yteczno

ś

ci graczy czyli ich

wypłat w grze nie porównujemy. Jeszcze do tego wrócimy w kolejnych

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

51

uwagach.

S

ą

jednak pewne sytuacje decyzyjne, w których aby odzwierciedli

ć

pewne realne sytuacje (np. stan gro

ź

by czy szanta

ż

u), zakłada si

ę

,

ż

e wypłaty

realizowane s

ą

w jednostkach u

ż

yteczno

ś

ci uznawanych za porównywalne,

jak np. wypłaty w ustalonych jednostkach monetarnych (złotych) dla ludzi o

zbli

ż

onych sytuacjach materialnych, temperamentach i zasadach moralnych.

Ale wtedy zało

ż

enie to trzeba wyra

ź

nie zaznaczy

ć

, gdy

ż

jest to sytuacja

wyj

ą

tkowa i tak naprawd

ę

trudna do osi

ą

gni

ę

cia w rzeczywisto

ś

ci.

Uwaga 2.

Kolejne nieporozumienie polega na tym, i

ż

mylnie s

ą

dzi

si

ę

niekiedy,

ż

e gry macierzowe (ogólniej; gry w postaci normalnej) nie

uwzgl

ę

dniaj

ą

sytuacji, gdy realizacja problemu decyzyjnego przebiega

wieloetapowo, trwa w czasie i gracz kolejne swoje decyzje podejmuje po

kolejnych decyzjach innych graczy. Krótko mówi

ą

c mylnie s

ą

dzi si

ę

,

ż

e

zało

ż

enie i

ż

gracz dokonuje jednokrotnego wyboru strategii ogranicza liczb

ę

sytuacji decyzyjnych, które mo

ż

na za pomoc

ą

gier modelowa

ć

, wykluczaj

ą

c

z tej grupy problemów te, w których decyzje nie s

ą

podejmowane w jednej

chwili. Otó

ż

dowodzi

się

, przy bardzo ogólnych i naturalnych zało

ż

eniach,

ż

e ka

ż

d

ą

gr

ę

, któr

ą

mo

ż

na zapisa

ć

w postaci ekstensywnej (tj. w postaci

drzewa gry) mo

ż

na zapisa

ć

w postaci normalnej. Zatem ka

ż

d

ą

gr

ę

wieloetapow

ą

tak

ą

jak szachy, po

ś

cig jednego obiektu za drugim, gr

ę

karcian

ą

(np. w wojn

ę

) itp. Mo

ż

na zapisa

ć

i rozwa

ż

a

ć

w postaci normalnej.

Słowo strategia sygnalizuje wła

ś

nie ten fakt. W teorii gier mówimy,

ż

e

gracze wybieraj

ą

strategi

ę

(a nie np. akcj

ę

lub decyzj

ę

) aby podkre

ś

li

ć

,

ż

e

działania podejmowane w wyniku owych jednokrotnych wyborów graczy

mog

ą

by

ć

wieloetapowe i rozło

ż

one w czasie. Dowód wspomniany przez

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

52

mnie polega wła

ś

nie na tym,

ż

e pokazuje si

ę

i

ż

ka

ż

demu, dowolnemu,

wieloetapowemu ci

ą

gowi decyzji mo

ż

na wzajemnie jednoznacznie

przyporz

ą

dkowa

ć

strategi

ę

opisuj

ą

c

ą

co b

ę

dziemy robi

ć

w kolejnej sytuacji,

w której znajdziemy si

ę

po ci

ą

gu poprzednich decyzji.

Uwaga 3.

Cz

ę

sto nie jest rozumiane ,

ż

e te same w swej istocie problemy, mog

ą

by

ć

zapisane za pomoc

ą

ró

ż

nych macierzy. Pami

ę

tamy z wykładu o funkcji

u

ż

yteczno

ś

ci,

ż

e te same preferencje gracza mog

ą

by

ć

reprezentowane przez

ró

ż

ne funkcje u

ż

yteczno

ś

ci, w konsekwencji ró

ż

ne z pozoru gry s

ą

modelami

tej samej sytuacji decyzyjnej. Inaczej mówi

ą

c, ta sama sytuacja decyzyjna

mo

ż

e prowadzi

ć

do ró

ż

nych jej zapisów. Ale rozwi

ą

zania zawsze s

ą

te same,

niezale

ż

nie od zapisu gry. Przykładem mo

ż

e by

ć

rozwa

ż

ana sytuacja

decyzyjna architekta i technika. Gr

ę

któr

ą

nazwali

ś

my tam G1 mo

ż

na te

ż

zapisa

ć

w nast

ę

puj

ą

cych postaciach:

(

)

(

)

(

) (

)













−

10

,

0

10

,

5

10

,

10

20

,

5

2

1

2

1

a

a

t

t

lub

(

) (

)

(

) (

)













9

,

12

9

,

10

9

,

16

10

,

14

2

1

2

1

a

a

t

t

i na wiele innych sposobów.

Widzimy,

ż

e niezale

ż

nie od zapisu problemu, rozwi

ą

zaniem za

ka

ż

dym razem s

ą

strategie współpracy obu graczy.

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

53

Uwaga 4.

W grach rozwa

ż

nych w teorii nie ma graczy wygranych i

przegranych

. Nie mówimy (i nie my

ś

limy) w kategoriach kto wygrał! Wyraz

„wygrana” je

ś

li pojawia si

ę

w tej teorii oznacza wygran

ą

w sensie wypłaty

(ile wygrałe

ś

?) a nie wygran

ą

w sensie zwyci

ę

stwa (z kim wygrałe

ś

). To

bardzo wa

ż

ne podej

ś

cie i znacznie ogólniejsze od tego, znanego nam z gier

towarzyskich. Gra rozwa

ż

ana jest w teorii jako problem decyzyjny z punktu

widzenia konkretnego gracza. Przyjrzyjmy si

ę

jeszcze raz problemowi

architekt-technik z tego punktu widzenia, tzn. popatrzmy na ten problem jako

na problem decyzyjny, przypomnijmy sobie nasz pierwszy wykład. Zbiór

alternatyw decyzyjnych architekta to a1 i a2. Zbiór wyników to A, B, C, D.

Układ preferencji (zakładaj

ą

c stan rzeczy jak w grze G1) jest nast

ę

puj

ą

cy

A > B > D > C

I w tym momencie ju

ż

widzimy,

ż

e z punktu widzenia architekta jest

to „normalny” problem decyzyjny. Nie ma nim miejsca dla technika

(uwzgl

ę

dniony on ju

ż

został w relacji preferencji i w „niepewnym”

powi

ą

zaniu akcji z wynikami). Architekt w tym momencie my

ś

li ju

ż

tylko o

sposobie osi

ą

gni

ę

cia jak najbardziej atrakcyjnego stanu natury.

Nawiasem mówi

ą

c wybór jednostek u

ż

yteczno

ś

ci jest wła

ś

nie dlatego

oboj

ę

tny,

ż

e gracz nie patrzy, co dostanie inny gracz (pami

ę

tamy,

u

ż

yteczno

ś

ci s

ą

nieporównywalne) tylko na to, co sam osi

ą

gnie.

Uwaga 5.

Czytaj

ą

c niektóre ksi

ąż

ki dotycz

ą

ce teorii gier, mo

ż

na napotka

ć

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

54

stwierdzenia mówi

ą

ce o tym,

ż

e wyniki tej teorii maj

ą

ograniczone

zastosowanie, a to dlatego,

ż

e cz

ę

sto s

ą

sprzeczne z obserwowanymi

zachowaniami ludzi

– czyli ze wzgl

ę

du na konflikt mi

ę

dzy teori

ą

normatywn

ą

a behawioraln

ą

. Tak oczywi

ś

cie bywa, ludzie to na ogół nie s

ą

matematycy znaj

ą

cy si

ę

na teorii gier i fakt,

ż

e nie post

ę

puj

ą

tak, jak radzi im

teoria, nie jest dziwny. Dotyczy to zreszt

ą

ka

ż

dej innej teorii – to,

ż

e

przedsi

ę

biorcy nie stosuj

ą

zasad mikroekonomii nie

ś

wiadczy

ź

le o tej teorii,

podobnie fakt,

ż

e badania operacyjne rzadko s

ą

wykorzystywane przez

mened

ż

erów czy wojskowych te

ż

nie zaprzecza niepodwa

ż

alnym warto

ś

ciom

wyników i metod stosownych w prakseologii. Nie chciałbym w tym miejscu

problemu spłyca

ć

, bo niektóre obserwacje omawiane w teorii behawioralnej

s

ą

rzeczywi

ś

cie bardzo ciekawe. Jest te

ż

wiele innych powodów, dla których

zastosowania ka

ż

dej

teorii nie s

ą

tak szerokie jak mo

ż

na by sobie tego

ż

yczy

ć

.

Jest jednak grupa stwierdze

ń

do

ść

niepokoj

ą

cych, bo wynikaj

ą

cych z

przyj

ę

cia złego modelu sytuacji decyzyjnej, co z kolei wynika z

niezrozumienia podstaw tej teorii. Rozwa

ż

aj

ą

c dany problem rzeczywisty

nieprawidłowo

przedstawia si

ę

go za pomoc

ą

okre

ś

lonej gry, nast

ę

pnie

uzyskany model (gr

ę

) rozwi

ą

zuje si

ę

i krytykuje uzyskane rozwi

ą

zanie przez

porównanie z praktyk

ą

(z zachowaniami ludzi) nie widz

ą

c,

ż

e skoro si

ę

rozwi

ą

zywało inny w istocie problem, to i nie dziwota,

ż

e to co si

ę

otrzymało

nie pasuje do rzeczywisto

ś

ci.

To tak, jak by

ś

my zamodelowali sytuacj

ę

architekta i technika, z

przykładu 1, za pomoc

ą

wypłat pieni

ęż

nych, jako rozwi

ą

zanie otrzymali,

ż

e

architekt ma odmówi

ć

współpracy z technikiem, a nast

ę

pnie , po uzyskaniu

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

55

tego rozwi

ą

zania, stwierdzili,

ż

e jest ono sprzeczne z obserwacjami

zachowa

ń

ludzi, bo w eksperymencie przeprowadzonym „gdzie

ś

tam”

wi

ę

kszo

ść

stwierdziła,

ż

e współprac

ę

by zaproponowała –argumentuj

ą

c,

ż

e

nikt „o zdrowym rozs

ą

dku” nie naraziłby si

ę

ż

onie i lokalnej społeczno

ś

ci

wykazuj

ą

c tak du

ż

y egoizm! Przecie

ż

tu nie ma

ż

adnej sprzeczno

ś

ci z

wynikami teorii, jest jedynie niezrozumienie jej ze strony t

ę

gr

ę

rozwi

ą

zuj

ą

cego. Gdyby uwzgl

ę

dnił rzeczywiste preferencje wi

ę

kszo

ś

ci ludzi

to otrzymałby gr

ę

G1, w której teoria zaleca jako optymaln

ą

dla architekta

strategi

ę

współpracy!

Podstawowe koncepcje rozwiązania gry

Koncepcja strategii dominujących

Definicja

. Dla gracza P

k

strategia

i

a

jest nie gorsza od strategii

j

a

je

ż

eli dla

dowolnego wyboru strategii s

i

, i=1,…,N

i

≠

k

graczy pozostałych zachodzi

M

k

(s

1

,s

2

, …, a

i

,…, s

N

)

≥

M

k

(s

1

,s

2

, …, a

j

,…, s

N

)

Definicja

. Dla gracza P

k

strategia a

i

jest lepsza od strategii a

j

je

ż

eli jest nie

gorsza i ponadto istnieje pewien wybór strategii s

i

, i=1,…,N,

i

≠

k

graczy

pozostałych dla którego zachodzi

M

k

(s

1

,s

2

, …, a

i

,…, s

N

) > M

k

(s

1

,s

2

, …, a

j

,…, s

N

)

Je

ż

eli strategia a

i

jest lepsza od strategii a

j

to mówimy,

ż

e strategia a

i

dominuje strategi

ę

a

j

oraz ,

ż

e strategia a

j

jest dominowana przez strategi

ę

a

i

.

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

56

Definicja.

Strategi

ę

, która jest zdominowana przez inn

ą

strategi

ę

nazywamy

strategi

ą

niedopuszczaln

ą

. W przeciwnym wypadku strategia nazywana jest

dopuszczaln

ą

albo niezdominowan

ą

.

Oczywi

ś

cie gracz mo

ż

e a nawet powinien ograniczy

ć

si

ę

do strategii

niezdominowanych. Czasami okazuje si

ę

,

ż

e konsekwentne stosowanie

kryterium dominacji jednoznacznie wskazuje sposób wyboru strategii przez

dla graczy. Tak jest np. w nast

ę

puj

ą

cym przykładzie.

Przykład.

Dana jest gra

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

























−

5

,

17

10

,

1

10

,

5

19

,

9

7

,

4

11

,

0

18

,

8

15

,

3

5

,

14

9

,

3

6

,

8

)

5

,

12

(

)

17

,

14

(

)

12

,

3

(

)

7

,

5

(

)

6

,

12

(

Je

ż

eli gracze s

ą

racjonalni (czyli wiedz

ą

,

ż

e zgodnie z zało

ż

eniami o

graczach, drugi gracz post

ę

puje te

ż

racjonalnie) i konsekwentnie stosuj

ą

kryterium dominacji kolejno otrzymujemy nast

ę

puj

ą

ce postaci tej gry.

Poniewa

ż

gracz pierwszy ma niedopuszczalna strategi

ę

nr 1 wi

ę

c wystarczy

rozwa

ż

a

ć

gr

ę

:

(

)

(

) (

)

(

)





















−

)

5

,

7

(

)

10

,

1

(

)

10

,

5

(

)

19

,

9

(

)

7

,

4

(

)

11

,

0

(

)

18

,

8

(

15

,

3

5

,

14

9

,

3

6

,

8

)

5

,

12

(

Poniewa

ż

obaj zdaj

ą

sobie spraw

ę

z tej sytuacji wi

ę

c w zasadzie mamy

„now

ą

” gr

ę

. W tej „nowej” grze gracz drugi ma niedopuszczaln

ą

strategi

ę

nr

4 zatem wystarczy ograniczy

ć

si

ę

do kolejnej gry

A.Z.

G

RZYBOWSKI

W

YKŁADY Z

T

EORII

G

IER I

D

ECYZJI

Strona

57





















−

)

10

,

1

(

)

10

,

5

(

)

19

,

9

(

)

11

,

0

(

)

18

,

8

(

)

15

,

3

(

)

9

,

3

(

)

6

,

8

(

)

5

,

12

(

Konsekwentnie rozumuj

ą

c w ten sposób ostatecznie otrzymujemy, gr

ę

[

]

)

9

,

3

(

Ostatecznie okazało si

ę

,

ż

e gracz 1 powinien wybra

ć

strategi

ę

nr 2 a gracz 2

strategi

ę

nr 3 ( w grze wyj

ś

ciowej oczywi

ś

cie).