A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
36
2 Teoria Gier
2.1 Wstęp
Przejdziemy do, moim zdaniem, najciekawszej klasy problemów
decyzyjnych - do podejmowaniem decyzji w warunkach niepewności. I
choć problemów z rzeczywistości społeczno-gospodarczej, technicznej itp.,
które prowadzą do modeli należących do tej klasy jest bardzo wiele skupimy
się na grupie najważniejszych z nich - do problemów określanych jako gry.
Problemy te uznaję za najważniejsze z paru powodów. Pierwszy to ten, że tak
naprawdę dopiero na przykładzie gier widać osiągnięcia teorii decyzji –
możemy prześledzić jej podstawową (moim zdaniem) rolę, rolę której do tej
pory nie było widać. Zobaczymy, że teoria ta nie tylko mówi jak osiągnąć
zakładany cel ale, co znacznie ważniejsze, jaki cel należy osiągnąć. W
problemach należących do szeroko rozumianej grupy problemów
optymalizacyjnych cel jest jasny – wynika z samego postawienia problemu.
Trudność polega jedynie znalezieniu sposoby by go osiągnąć. W problemach
nazywanych grami cel do którego należy dążyć może być i na ogól jest dla
wielu decydentów nieznany. W wielu sytuacjach po prostu nie wiemy na co
możemy liczyć, bo sytuacja jest zbyt złożona. W konsekwencji możemy np.
niesłusznie oczekiwać zbyt wiele lub przeciwnie – nieracjonalnie zadowolić
się rozwiązaniem tak naprawdę mało satysfakcjonującym.
Drugi powód, dla którego można uznać gry za najważniejszą
współcześnie grupę problemów decyzyjnych jest taki, że w świecie
globalnym, w którym przychodzi żyć współczesnym społeczeństwom
występują
coraz
lepiej
uświadamiane
sobie
przez
decydentów,
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
37
współzależności pomiędzy rozmaitymi zjawiskami, tak społecznymi jak
gospodarczymi i technicznymi. W związku z tym coraz więcej pojawia się
problemów, dla których schemat podejmowania decyzji w warunkach
pewności czy ryzyka jest już niewystarczający – należy wykorzystać modele
teorii gier. Stąd np. coraz więcej prestiżowych nagród za osiągnięcia w
rozmaitych dziedzinach ekonomii uzyskują matematycy zajmujący się teorią
gier. Dotyczy to m.in. nagród Nobla, które za osiągnięcia z teorii gier
otrzymali w 1994 roku
c)
John C. Harsanyi (1920 - 2000),
d)
John F. Nash (ur. 1928) i
e)
Reinhard Selten (ur. 1930)
Nash wprowadził rozróżnienie między grami kooperatywnymi, gdzie
możliwe jest wiążące dla obu stron rozwiązanie i grami niekooperatywnymi,
gdzie nie ma możliwości prowadzenia takich rozwiązań. Osiągnięciem Nasha
było ustalenie, gdzie znajduje się stan równowagi dla gier drugiego typu.
Selten jako pierwszy zastosował równowagę Nasha do analizy konkurencji
pomiędzy nielicznymi dostawcami. Harsanyi opracował metody analizy gier,
gdy uczestnicy nie dysponują kompletną informacją. Położył tym samym
fundament pod ekonomię informacji.
Z kolei w roku 2005 laureatami nagrody Nobla w dziedzinie nauk
ekonomicznych zostali
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
38
•
Robert J. Aumann
•
Thomas C. Schelling
Uhonorowani zostali za ich teorię o "decyzji interaktywnej".
Szwedzka Królewska Akademia Nauk przyznała im nagrodę "za rozszerzenie
naszego rozumienia konfliktu i współpracy poprzez analizę teorii gier". Prace
Aumanna i Schellinga pozwoliły na zastosowanie teorii gier do poszukiwania
odpowiedzi na pytanie, dlaczego niektóre grupy, organizacje i kraje odnoszą
sukcesy we współpracy, natomiast inne popadają w konflikty. W książce z
1950 r. "The Strategy of Conflict" Schelling opisał teorię gier jako ramy dla
nauk społecznych. Pisał o tym, że zdolność do odwetu czy odwzajemniania
może być bardziej użyteczna niż zdolność opierania się atakowi, i że
niepewność odwetu jest bardziej wiarygodna niż jego pewność. Te
stwierdzenia okazały się użyteczne w rozwiązywaniu konfliktów i unikaniu
wojen. Prace Schellinga były wykorzystywane zarówno w opracowywaniu
strategii przez firmy, jak i podejmowaniu politycznych decyzji. Robert
Aumann zajmował się w swoich badaniach długoterminowymi relacjami i
teorią powtarzanych gier. Jego prace wyjaśniają przyczyny istnienia wielu
instytucji, zarówno organizacji gospodarczych, jak i zorganizowanej
przestępczości; mają też znaczenie dla negocjacji płacowych i światowych
porozumień handlowych.
Mógłby ktoś spytać jak od zabawy (bo czymże są w powszechnym
mniemaniu gry?) dochodzi się do nagrody Nobla. Warto więc sprostować
kilka nieporozumień związanych z ta teorią i jej historią. Warto, bo jest kilka
nieścisłości w informacjach podawanych w niektórych książkach
poświęconych tej tematyce. Na przykład zwykle podaje się, że teoria gier
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
39
wzięła swój początek z analizy rozgrywek gier karcianych, szachów itp. Otóż
tak nie jest – to akurat wiadomo – wystarczy przeanalizować nadal dostępne
prace pierwszych twórców tej teorii. Gra w rozumieniu omawianej tu teorii
to matematyczny model sytuacji konfliktowej. Z gier karcianych teoria gier
wzięła jedynie swą, pewnie od początku marketingową nazwę. Powszechnie
uznaną datą narodzin teorii gier jest rok 1944, kiedy ukazała się monografia
Johna von Neumanna i Oskara Morgensterna „Theory of Games and
Economic Behavior
” . Właśnie Johna von Neumanna uważa się – słusznie –
za ojca tej teorii (a właściwie Janosa von Neumanna – był Węgrem, do USA
wyjechał na stałe przed początkiem II Wojny Światowej). Zasługą von
Neumanna jest jednolite przedstawienie fundamentów tej teorii oraz jej
rozpropagowanie, co zostało osiągnięte przez wskazanie licznych zastosowań
praktycznych w tym głównie w ekonomii. To właśnie skłoniło zarówno
społeczność naukową jak i praktyków menedżerów do głębokiego nią
zainteresowania. On też, w wymienionym fundamentalnym dziele,
sformułował i zaksjomatyzował teorię użyteczności w wersji zbliżonej do tej,
którą przedstawiłem na poprzednich wykładach.
Nie jest natomiast prawdą, że dziełem Johna von Neumanna są
pierwsze prace naukowe z teorii gier. Palmę pierwszeństwa pod tym
względem należy przyznać pewnie matematykowi Ernstowi Zermelo,
znanemu przezde wszystkim jako twórca podwalin pod nowoczesna teorie
mnogości. W 1913 zapoczątkował on matematyczna analizę sytuacji
konfliktowych artykułem w którym omówił zastosowanie teorii mnogości do
teorii gry w szachy. Podał w nim pierwsze twierdzenia o istnieniu punktu
równowagi. Następnie Emile Borel, jeden z pionierów teorii miary, napisał
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
40
ważne prace z teorii gier, które zdaniem niektórych biografów zainspirowały
von Neumanna. Jedną z pierwszych (może trzecią?) pracą z tego zakresu jest
artykuł opublikowany w 1925 roku przez wybitnego polskiego matematyka
Hugo Steinhausa. Sformułował w nim pewien problem gry która rozumiał
już w taki sam sposób jak współczesna teoria, zdefiniował pojecie strategii
graczy i podał jego rozwiązanie. Można podejrzewać, że i jego praca
wpłynęła na zainteresowania i koncepcje von Neumanna, gdyż von
Neumann znał Steinhausa osobiście – poznał go we Lwowie, gdzie
kilkakrotnie przebywał w okresie międzywojennym. Swoje pierwsze
pomysły i wyniki z teorii gier zaprezentował von Neumann na konferencji w
rok po ukazaniu się pracy Stenhausa, zostały one następnie opublikowane w
roku 1928.
Tak jak wspomnieliśmy, nazwa teorii może być bardzo myląca.
Prawdę powiedziawszy na początku rozważania w niej prowadzone nie były
związane z grami towarzyskimi (np. karcianymi). Na przykład artykuły
wspomnianego Steinhausa dotyczyły tzw. problemu podziału. W języku nie
matematycznym sformułować go można następująco: jak podzielić tort
pomiędzy n (np. pięciu) uczestników spotkania tak, by każdy z nich dostał
(w swojej opinii czyli wg. własnej użyteczności) co najmniej 1/n i czy można
to w ogóle zrobić!. Dokładniej, jakie strategie dzielenia i brania tortu
powinien przyjąć dany gracz, by zapewnić sobie co najmniej jedną n-tą
całości. Ta klasa problemów z teorii gier jest rozważana przez różnych
matematyków całego świata po dzień dzisiejszy. Stanowi ona model
ważnych problemów gospodarczych i politycznych. Trudno powiedzieć, że
ten - jeden z pierwszych - artykułów z teorii gier dotyczył gier towarzyskich!
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
41
Prawdę powiedziawszy, żaden z tych pierwszych artykułów gier
towarzyskich nie dotyczył. Zresztą później w ramach tej teorii sięgano do
problemów związanych z grami towarzyskimi jedynie w celach
ilustracyjnych.
Teoria gier miała oczywiście swoich prekursorów, którzy formułowali
i rozwiązywali różne problemy, które były grami w sensie dzisiejszej teorii,
ale nie jako gry były te problemy postrzegane. O dwóch z nich wypada
wspomnieć, bo nazwiska ich pojawią się w dalszej części wykładu. Chodzi
mi o prekursorów zarówno teorii gier jak i neoklasycznej teorii w ekonomii
(teorii równowag), działających w XIX i początku XX wieku: Antoine
Cournot’a i Vilfredo Pareto – matematyków i ekonomistów, których
nazwiska na trwałe znalazły sobie miejsce w historii rozwoju obu tych
dziedzin nauki.
2.2 Gry – formalne definicje, klasyfikacja i założenia
Definicja gry
Przejdźmy już do samej teorii gier i problemów w niej rozważanych –
gier. Z punktu widzenia teorii grą nazywamy sytuację decyzyjną, w której:
1)
Uczestniczy n autonomicznych w swych decyzjach decydentów –
graczy.
Oznaczać ich będziemy jako P
1
, P
2
, …, P
n
,
2)
Danych jest n zbiorów S
1
, S
2
, …, S
n
, będących zbiorami alternatyw
decyzyjnych poszczególnych graczy – w teorii gier zwane są te
alternatywy strategiami. Zatem gracz P
i
może wybrać dowolną
strategię ze zbioru S
i
. Postać tych zbiorów wynika z reguł gry (tzn. to
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
42
co może zrobić gracz wynika z natury problemu, która określa
wspomniane reguły gry)
3)
Na podstawie ustalonych wyborów strategii przez poszczególnych
graczy reguły gry przyporządkowują każdemu z nich wypłatę.
Wypłaty gracz otrzymuje w użytecznościach. Mówimy inaczej, i
bardziej precyzyjnie, że reguły gry określają każdemu z graczy P
i
jego funkcję wypłaty M
i
. Zapis M
i
(s
1
,s
2
, …, s
n
) oznacza zatem
wypłatę dla gracza P
i
w sytuacji, gdy gracz P
1
wybierze strategię s
1
,
gracz P
2
wybierze strategię s
2
,…, gracz n-ty wybierze strategię s
n
.
Problem decyzyjny w którym mamy określone zbiory S
1
, S
2
, …, S
n
,
będące zbiorami strategii graczy oraz funkcje M
1
, M
2
, …, M
n
, określające
wypłaty graczy nazywamy grą w postaci normalnej. Z formalnego punktu
widzenia otrzymaliśmy zatem następującą definicję
Definicja. Gra w postaci normalnej to odwzorowanie
n
N
R
S
S
S
M
→
×
×
×
K
2
1
:
Odwzorowanie M można oczywiście zapisać w postaci
)
,
,
,
(
2
1
N
M
M
M
M
K
=
. Interpretacja poszczególnych symboli została
wprowadzona wcześniej. Gry w postaci normalnej często zapisujemy w
postaci
>
<
k
N
M
M
M
S
S
S
K
K
,
,
;
,
,
,
2
1
2
1
.
Definicja. Strategie nielosowe nazywać będziemy strategiami czystymi.
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
43
Rozkłady prawdopodobieństwa określone na zbiorze strategii czystych
nazywamy strategiami mieszanymi.
Klasyfikacja gier
Podział gier ze względu na liczbę decydentów:
1.
gry dwuosobowe
2.
gry n-osobowe
Decydentów w teorii gier nazywamy graczami. Nie powinno się nazywać
ich przeciwnikami. Różnica jest istotna i, bynajmniej, nie jest ona tylko
natury etycznej czy też związana z poprawnością polityczną. Wrócimy do
tego w dalszej części wykładu w jednej z uwag.
Podział gier ze względu na charakter konfliktu:
1.
gry ściśle antagonistyczne
2.
gry nieściśle antagonistyczne
Podział gier ze względu na zapis i sposób analizy:
1.
gry w postaci ekstensywnej
2.
gry w postaci normalnej
Podział gier ze względu na możliwość współpracy pomiędzy graczami, której
skutki gwarantowane są regułami gry:
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
44
1.
kooperacyjne – występuje możliwość porozumienia między
graczami
2.
niekooperacyjne
Szczególnie ważną klasę gier stanowią gry dwuosobowe. Na
wykładzie zapisywać je będziemy w postaci
>
<
2
1
,
,
,
M
M
B
A
, gdzie A -
zbiór strategii pierwszego gracza o mocy równej
m
, tzn.
m
A =
, B -zbiór
strategii drugiego gracza o mocy równej
n
, tzn.:
n
B =
.
Definicja. Gra macierzową nazywamy grę dwuosobową
>
<
2
1
,
,
,
M
M
B
A
,
w której moce zbiorów strategii są skończone, tzn.
∞
<
A
,
∞
<
B
.
Nazwa bierze się stąd, że jeżeli ponumerujemy strategie graczy to ich
wypłaty
R
B
A
M
→
×
:
1
oraz
R
B
A
M
→
×
:
2
są macierzami:
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
1
1
2
1
1
1
22
1
21
1
1
1
12
1
11
1
mn
n
n
n
M
M
M
M
M
M
M
M
M
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
45
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2
2
2
2
1
2
22
2
21
2
1
2
12
2
11
2
mn
n
n
n
M
M
M
M
M
M
M
M
M
gdzie
)
,
(
j
i
k
k
ij
b
a
M
M
=
, dla
,
A
a
i
∈
B
b
j
∈
, k=1,2
Cz
ę
sto stosujemy te
ż
zapis taki, jak w definicji postaci normalnej, czyli taki
w którym powy
ż
sze dwie macierze zapisywane s
ą
jako jedna macierz M,
której elementami s
ą
pary liczb macierz
)
,
(
2
1
ij
ij
ij
M
M
M =
Przy analizie problemów decyzyjnych w wi
ę
kszo
ś
ci przypadków
b
ę
dziemy przyjmowali nast
ę
puj
ą
ce zało
ż
enia o graczach:
1.
Ka
ż
dy gracz zna funkcje wypłaty wszystkich graczy. Oznacza to,
ż
e
zna alternatywy dost
ę
pne jemu i pozostałym graczom oraz wie jak
wynik zale
ż
y od tych wyborów. Ponadto wynika st
ą
d,
ż
e zna funkcje
u
ż
yteczno
ś
ci pozostałych graczy, czyli zna ich struktur
ę
preferencji.
2.
Je
ż
eli wynik gry zale
ż
y od działania mechanizmu losowego, wtedy
gracz zdaje sobie spraw
ę
z ró
ż
nych mo
ż
liwo
ś
ci i prawdopodobie
ń
stw
ich zaj
ś
cia.
3.
Gracze s
ą
racjonalni, czyli d
ążą
do maksymalizacji swoich
u
ż
yteczno
ś
ci, stosuj
ą
si
ę
do reguł gry oraz potrafi
ą
wła
ś
ciwe
analizowa
ć
problemy.
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
46
By unikn
ąć
wielu do
ść
powszechnych
nieporozumień
dotycz
ą
cych
kwestii rozwa
ż
anych w ramach tej teorii i poruszanych przez nas dalej na
wykładzie przeka
żę
jeszcze kilka uwag.
Uwaga 1.
Wypłaty w grach b
ę
d
ą
u nas wypłacane w
u
ż
yteczno
ś
ciach
. Tak zreszt
ą
jest w całej teorii, czego niekiedy nie podkre
ś
la
si
ę
wystarczaj
ą
co mocno, nawet wielu zapoznaj
ą
cych si
ę
z t
ą
teori
ą
tego po
prostu nie wie – bo nie zetkn
ę
ło si
ę
wcze
ś
niej z poj
ę
ciem preferencji i
u
ż
yteczno
ś
ci. A konsekwencje tego,
ż
e wypłaty s
ą
u
ż
yteczno
ś
ciach s
ą
powa
ż
ne i bardzo ró
ż
ne. Po pierwsze: nieporównywalno
ść
wypłat dla
ró
ż
nych graczy. Na przykład nie ma sensu mówi
ć
ż
e gracz P1 dostał wi
ę
cej ,
bo 100, podczas gdy gracz P2 mniej, bo 50. Liczby te słu
żą
jedynie
wskazaniu przez jednego –danego- gracza co woli. Zatem je
ś
li gracz P1
dostał 100 a mógł 120, to uzyskał stan natury, który mu mniej odpowiada.
Je
ś
li gracz drugi dostał 50 a mógł 49 to sko
ń
czył gr
ę
w stanie natury, który
wolał. Drug
ą
konsekwencj
ą
zasady,
ż
e wypłaty s
ą
w u
ż
yteczno
ś
ciach jest to,
ż
e problem mo
ż
emy rozwa
ż
y
ć
w całej jego zło
ż
ono
ś
ci uwzgl
ę
dniaj
ą
c nawet
bardzo subtelne ró
ż
nice ró
ż
nych stanów natury uzyskanych po podj
ę
tych
decyzjach i ich ró
ż
n
ą
atrakcyjno
ść
dla decydentów. Oto prosty przykład.
Przykład 1
.
Znany architekt otrzymał propozycj
ę
wykonania projektu, za który
wynagrodzenie wyniesie 40 000 zł. Mo
ż
e go wykona
ć
w cało
ś
ci, mo
ż
e te
ż
poprosi
ć
do pomocy w pracach technicznych bezrobotnego s
ą
siada, z zawodu
technika kre
ś
larza, który
ż
yje ze skromnego zasiłku. Za pomoc, której jest w
stanie udzieli
ć
kre
ś
larz 1500 zł jest hojn
ą
zapłat
ą
. Jednak panowie, zaj
ę
ci
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
47
swoimi problemami, nie uczestnicz
ą
w
ż
yciu osiedlowym i niewiele wiedz
ą
o innych mieszka
ń
cach bloku. Inaczej
ż
ona architekta. Widz
ą
c,
ż
e m
ąż
jest
nie
ś
wiadom sytuacji (a tym bardziej kre
ś
larz) na
ś
wietliła j
ą
obu panom.
Teraz obaj staj
ą
przed dylematem: czy w rozmowie z
ż
on
ą
architekta zgodzi
ć
si
ę
na współprac
ę
czy nie.
Kto
ś
mógłby pomy
ś
le
ć
,
ż
e w powy
ż
szej sytuacji decyzyjnej w
wyniku dokonanych wyborów mo
ż
liwe s
ą
dwa stanu: panowie współpracuj
ą
i architekt dostaje 38 500zł a technik 1500zł lub panowie nie współpracuj
ą
i
architekt bierze 40 000 zł a technik nic. Tak jest z punktu widzenia wypłat
pieni
ęż
nych. Ale je
ś
li bierzemy pod uwag
ę
atrakcyjno
ść
ró
ż
nych sytuacji
powstałych w wyniku dokonania wyborów, to mo
ż
liwe s
ą
nast
ę
puj
ą
ce stany
natury:
stan A:
architekt wyra
ż
a ch
ęć
współpracy, technik nie ( z sobie
wiadomych powodów), architekt zarabia 40 000, technik dostaje 0
stan B:
architekt chce współpracowa
ć
, technik te
ż
, architekt dostaje
38 500, technik dostaje 1500
stan C:
architekt nie chce współpracy, technik chce – architekt ma 40 000,
technik dostaje 0
stan D:
. obaj nie chc
ą
– architekt ma 40 000, technik dostaje 0
Zale
ż
nie od charakteru, wra
ż
liwo
ś
ci społecznej i ch
ę
ci do pracy
panowie mog
ą
mie
ć
rozmaite układy preferencji na tych stanach natury. Je
ś
li
np. architekt jest osoba wra
ż
liw
ą
(ale bez przesady), pieni
ą
dze maj
ą
dla niego
znaczenie drugorz
ę
dne (cho
ć
oczywi
ś
cie mu na nich zale
ż
y) i zale
ż
y mu na
opinii
ż
ony i
ś
rodowiska to jego układ preferencji mo
ż
e by
ć
taki:
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
48
A > B > D > C
co odzwierciedla taka przykładowa funkcja u
ż
yteczno
ś
ci architekta
u
(A)=6, u(B)=4, u(D)=2, u(C)=0
Niech teraz a1 i t1 oznaczaj
ą
strategie współpracy (odpowiednio dla
architekta i technika), za
ś
a2 i t2 oznaczaj
ą
strategie odmowy. Macierz gry
dla architekta jest zatem nast
ę
puj
ą
ca :
2
0
6
4
2
1
2
1
a
a
t
t
Je
ś
li z kolei preferencje technika s
ą
podyktowane wielk
ą
potrzeb
ą
uzyskania przychodów, to mog
ą
wygl
ą
da
ć
nast
ę
puj
ą
co
B>A~C~D
i przykładowa posta
ć
jego funkcji u
ż
yteczno
ś
ci mo
ż
e by
ć
nast
ę
puj
ą
ca
u
(B)=100, u(B)=50, u(D)=50, u(C)=50
Przy utrzymaniu oznacze
ń
strategii otrzymujemy nast
ę
puj
ą
c
ą
macierz
wypłat dla technika:
50
50
50
100
2
1
2
1
a
a
t
t
Ostatecznie rozwa
ż
any problem mo
ż
emy zapisa
ć
jako nast
ę
puj
ą
ca
gr
ę
(kto nie pami
ę
ta znaczenia poni
ż
szego zapisu niech zajrzy np. do
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
49
wykładu nr 16 z ubiegłego roku):
(
) (
)
(
) (
)
50
,
2
50
,
0
50
,
6
100
,
4
2
1
2
1
a
a
t
t
Nazwijmy j
ą
gr
ą
G1.
Rozwa
ż
my t
ą
sama sytuacj
ę
decyzyjn
ą
przejmuj
ą
c,
ż
e charaktery
graczy s
ą
inne i w konsekwencji inne u
ż
yteczno
ś
ci poszczególnych stanów.
Załó
ż
my teraz,
ż
e architekt jest osob
ą
aspołeczn
ą
(nawet zło
ś
liw
ą
),
niech
ę
tny
ż
onie, nie znosz
ą
cy, gdy mu si
ę
odmawia. To co si
ę
dla niego liczy
to praca i pieni
ą
dze. Jego układ preferencji jest taki:
C > D > B > A
Takie preferencje architekta odzwierciedla na przykład taka funkcja
u
ż
yteczno
ś
ci
u
(A)=5, u(B)=10, u(D)=20, u(C)=40
W takim przypadku macierz gry dla architekta jest nast
ę
puj
ą
ca
20
40
5
10
2
1
2
1
a
a
t
t
Je
ś
li z kolei preferencje technika s
ą
podyktowane rozdarciem
pomi
ę
dzy niech
ę
ci
ą
do pracy a potrzeb
ą
pieni
ę
dzy to jego układ preferencji
mógłby by
ć
taki:
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
50
D > B ~ A > C
i przykładowa posta
ć
jego funkcji u
ż
yteczno
ś
ci mo
ż
e by
ć
nast
ę
puj
ą
ca
u
(D)=10, u(B)=5, u(A)=5, u(C)= 0
i otrzymali
ś
my nast
ę
puj
ą
c
ą
macierz wypłat dla technika:
10
0
5
5
2
1
2
1
a
a
t
t
Rozwa
ż
any problem doprowadził zatem tym razem do zupełnie innej
gry G2:
(
)
(
)
(
) (
)
10
,
20
0
,
40
5
,
5
5
,
10
2
1
2
1
a
a
t
t
Widzimy,
ż
e gdyby
ś
my rozwa
ż
ali wypłaty jedynie w warto
ś
ciach
pieni
ęż
nych, to nie byliby
ś
my wstanie zapisa
ć
rozmaitych niuansów
wynikaj
ą
cych z rzeczywistych upodoba
ń
decydentów, jak
ż
e wa
ż
nych z
punktu widzenia rozwi
ą
zania gry. Niedługo przekonamy si
ę
,
ż
e rozwi
ą
zanie
gry G1 jest zupełnie inne ni
ż
gry G2.
Na podsumowanie analizy sytuacji decyzyjnej architekta i technika
wró
ć
my do nieporównywalno
ś
ci wypłat. Np. analizuj
ą
c gr
ę
G1
bezsensownym byłoby stwierdzi
ć
,
ż
e technik ma sytuacje lepsz
ą
od
architekta, bo dostaje co najmniej 50, ma szanse na 100, podczas gdy
architekt dostanie co najwy
ż
ej 6! Pami
ę
tajmy, u
ż
yteczno
ś
ci graczy czyli ich
wypłat w grze nie porównujemy. Jeszcze do tego wrócimy w kolejnych
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
51
uwagach.
S
ą
jednak pewne sytuacje decyzyjne, w których aby odzwierciedli
ć
pewne realne sytuacje (np. stan gro
ź
by czy szanta
ż
u), zakłada si
ę
,
ż
e wypłaty
realizowane s
ą
w jednostkach u
ż
yteczno
ś
ci uznawanych za porównywalne,
jak np. wypłaty w ustalonych jednostkach monetarnych (złotych) dla ludzi o
zbli
ż
onych sytuacjach materialnych, temperamentach i zasadach moralnych.
Ale wtedy zało
ż
enie to trzeba wyra
ź
nie zaznaczy
ć
, gdy
ż
jest to sytuacja
wyj
ą
tkowa i tak naprawd
ę
trudna do osi
ą
gni
ę
cia w rzeczywisto
ś
ci.
Uwaga 2.
Kolejne nieporozumienie polega na tym, i
ż
mylnie s
ą
dzi
si
ę
niekiedy,
ż
e gry macierzowe (ogólniej; gry w postaci normalnej) nie
uwzgl
ę
dniaj
ą
sytuacji, gdy realizacja problemu decyzyjnego przebiega
wieloetapowo, trwa w czasie i gracz kolejne swoje decyzje podejmuje po
kolejnych decyzjach innych graczy. Krótko mówi
ą
c mylnie s
ą
dzi si
ę
,
ż
e
zało
ż
enie i
ż
gracz dokonuje jednokrotnego wyboru strategii ogranicza liczb
ę
sytuacji decyzyjnych, które mo
ż
na za pomoc
ą
gier modelowa
ć
, wykluczaj
ą
c
z tej grupy problemów te, w których decyzje nie s
ą
podejmowane w jednej
chwili. Otó
ż
dowodzi
się
, przy bardzo ogólnych i naturalnych zało
ż
eniach,
ż
e ka
ż
d
ą
gr
ę
, któr
ą
mo
ż
na zapisa
ć
w postaci ekstensywnej (tj. w postaci
drzewa gry) mo
ż
na zapisa
ć
w postaci normalnej. Zatem ka
ż
d
ą
gr
ę
wieloetapow
ą
tak
ą
jak szachy, po
ś
cig jednego obiektu za drugim, gr
ę
karcian
ą
(np. w wojn
ę
) itp. Mo
ż
na zapisa
ć
i rozwa
ż
a
ć
w postaci normalnej.
Słowo strategia sygnalizuje wła
ś
nie ten fakt. W teorii gier mówimy,
ż
e
gracze wybieraj
ą
strategi
ę
(a nie np. akcj
ę
lub decyzj
ę
) aby podkre
ś
li
ć
,
ż
e
działania podejmowane w wyniku owych jednokrotnych wyborów graczy
mog
ą
by
ć
wieloetapowe i rozło
ż
one w czasie. Dowód wspomniany przez
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
52
mnie polega wła
ś
nie na tym,
ż
e pokazuje si
ę
i
ż
ka
ż
demu, dowolnemu,
wieloetapowemu ci
ą
gowi decyzji mo
ż
na wzajemnie jednoznacznie
przyporz
ą
dkowa
ć
strategi
ę
opisuj
ą
c
ą
co b
ę
dziemy robi
ć
w kolejnej sytuacji,
w której znajdziemy si
ę
po ci
ą
gu poprzednich decyzji.
Uwaga 3.
Cz
ę
sto nie jest rozumiane ,
ż
e te same w swej istocie problemy, mog
ą
by
ć
zapisane za pomoc
ą
ró
ż
nych macierzy. Pami
ę
tamy z wykładu o funkcji
u
ż
yteczno
ś
ci,
ż
e te same preferencje gracza mog
ą
by
ć
reprezentowane przez
ró
ż
ne funkcje u
ż
yteczno
ś
ci, w konsekwencji ró
ż
ne z pozoru gry s
ą
modelami
tej samej sytuacji decyzyjnej. Inaczej mówi
ą
c, ta sama sytuacja decyzyjna
mo
ż
e prowadzi
ć
do ró
ż
nych jej zapisów. Ale rozwi
ą
zania zawsze s
ą
te same,
niezale
ż
nie od zapisu gry. Przykładem mo
ż
e by
ć
rozwa
ż
ana sytuacja
decyzyjna architekta i technika. Gr
ę
któr
ą
nazwali
ś
my tam G1 mo
ż
na te
ż
zapisa
ć
w nast
ę
puj
ą
cych postaciach:
(
)
(
)
(
) (
)
−
10
,
0
10
,
5
10
,
10
20
,
5
2
1
2
1
a
a
t
t
lub
(
) (
)
(
) (
)
9
,
12
9
,
10
9
,
16
10
,
14
2
1
2
1
a
a
t
t
i na wiele innych sposobów.
Widzimy,
ż
e niezale
ż
nie od zapisu problemu, rozwi
ą
zaniem za
ka
ż
dym razem s
ą
strategie współpracy obu graczy.
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
53
Uwaga 4.
W grach rozwa
ż
nych w teorii nie ma graczy wygranych i
przegranych
. Nie mówimy (i nie my
ś
limy) w kategoriach kto wygrał! Wyraz
„wygrana” je
ś
li pojawia si
ę
w tej teorii oznacza wygran
ą
w sensie wypłaty
(ile wygrałe
ś
?) a nie wygran
ą
w sensie zwyci
ę
stwa (z kim wygrałe
ś
). To
bardzo wa
ż
ne podej
ś
cie i znacznie ogólniejsze od tego, znanego nam z gier
towarzyskich. Gra rozwa
ż
ana jest w teorii jako problem decyzyjny z punktu
widzenia konkretnego gracza. Przyjrzyjmy si
ę
jeszcze raz problemowi
architekt-technik z tego punktu widzenia, tzn. popatrzmy na ten problem jako
na problem decyzyjny, przypomnijmy sobie nasz pierwszy wykład. Zbiór
alternatyw decyzyjnych architekta to a1 i a2. Zbiór wyników to A, B, C, D.
Układ preferencji (zakładaj
ą
c stan rzeczy jak w grze G1) jest nast
ę
puj
ą
cy
A > B > D > C
I w tym momencie ju
ż
widzimy,
ż
e z punktu widzenia architekta jest
to „normalny” problem decyzyjny. Nie ma nim miejsca dla technika
(uwzgl
ę
dniony on ju
ż
został w relacji preferencji i w „niepewnym”
powi
ą
zaniu akcji z wynikami). Architekt w tym momencie my
ś
li ju
ż
tylko o
sposobie osi
ą
gni
ę
cia jak najbardziej atrakcyjnego stanu natury.
Nawiasem mówi
ą
c wybór jednostek u
ż
yteczno
ś
ci jest wła
ś
nie dlatego
oboj
ę
tny,
ż
e gracz nie patrzy, co dostanie inny gracz (pami
ę
tamy,
u
ż
yteczno
ś
ci s
ą
nieporównywalne) tylko na to, co sam osi
ą
gnie.
Uwaga 5.
Czytaj
ą
c niektóre ksi
ąż
ki dotycz
ą
ce teorii gier, mo
ż
na napotka
ć
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
54
stwierdzenia mówi
ą
ce o tym,
ż
e wyniki tej teorii maj
ą
ograniczone
zastosowanie, a to dlatego,
ż
e cz
ę
sto s
ą
sprzeczne z obserwowanymi
zachowaniami ludzi
– czyli ze wzgl
ę
du na konflikt mi
ę
dzy teori
ą
normatywn
ą
a behawioraln
ą
. Tak oczywi
ś
cie bywa, ludzie to na ogół nie s
ą
matematycy znaj
ą
cy si
ę
na teorii gier i fakt,
ż
e nie post
ę
puj
ą
tak, jak radzi im
teoria, nie jest dziwny. Dotyczy to zreszt
ą
ka
ż
dej innej teorii – to,
ż
e
przedsi
ę
biorcy nie stosuj
ą
zasad mikroekonomii nie
ś
wiadczy
ź
le o tej teorii,
podobnie fakt,
ż
e badania operacyjne rzadko s
ą
wykorzystywane przez
mened
ż
erów czy wojskowych te
ż
nie zaprzecza niepodwa
ż
alnym warto
ś
ciom
wyników i metod stosownych w prakseologii. Nie chciałbym w tym miejscu
problemu spłyca
ć
, bo niektóre obserwacje omawiane w teorii behawioralnej
s
ą
rzeczywi
ś
cie bardzo ciekawe. Jest te
ż
wiele innych powodów, dla których
zastosowania ka
ż
dej
teorii nie s
ą
tak szerokie jak mo
ż
na by sobie tego
ż
yczy
ć
.
Jest jednak grupa stwierdze
ń
do
ść
niepokoj
ą
cych, bo wynikaj
ą
cych z
przyj
ę
cia złego modelu sytuacji decyzyjnej, co z kolei wynika z
niezrozumienia podstaw tej teorii. Rozwa
ż
aj
ą
c dany problem rzeczywisty
nieprawidłowo
przedstawia si
ę
go za pomoc
ą
okre
ś
lonej gry, nast
ę
pnie
uzyskany model (gr
ę
) rozwi
ą
zuje si
ę
i krytykuje uzyskane rozwi
ą
zanie przez
porównanie z praktyk
ą
(z zachowaniami ludzi) nie widz
ą
c,
ż
e skoro si
ę
rozwi
ą
zywało inny w istocie problem, to i nie dziwota,
ż
e to co si
ę
otrzymało
nie pasuje do rzeczywisto
ś
ci.
To tak, jak by
ś
my zamodelowali sytuacj
ę
architekta i technika, z
przykładu 1, za pomoc
ą
wypłat pieni
ęż
nych, jako rozwi
ą
zanie otrzymali,
ż
e
architekt ma odmówi
ć
współpracy z technikiem, a nast
ę
pnie , po uzyskaniu
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
55
tego rozwi
ą
zania, stwierdzili,
ż
e jest ono sprzeczne z obserwacjami
zachowa
ń
ludzi, bo w eksperymencie przeprowadzonym „gdzie
ś
tam”
wi
ę
kszo
ść
stwierdziła,
ż
e współprac
ę
by zaproponowała –argumentuj
ą
c,
ż
e
nikt „o zdrowym rozs
ą
dku” nie naraziłby si
ę
ż
onie i lokalnej społeczno
ś
ci
wykazuj
ą
c tak du
ż
y egoizm! Przecie
ż
tu nie ma
ż
adnej sprzeczno
ś
ci z
wynikami teorii, jest jedynie niezrozumienie jej ze strony t
ę
gr
ę
rozwi
ą
zuj
ą
cego. Gdyby uwzgl
ę
dnił rzeczywiste preferencje wi
ę
kszo
ś
ci ludzi
to otrzymałby gr
ę
G1, w której teoria zaleca jako optymaln
ą
dla architekta
strategi
ę
współpracy!
Podstawowe koncepcje rozwiązania gry
Koncepcja strategii dominujących
Definicja
. Dla gracza P
k
strategia
i
a
jest nie gorsza od strategii
j
a
je
ż
eli dla
dowolnego wyboru strategii s
i
, i=1,…,N
i
≠
k
graczy pozostałych zachodzi
M
k
(s
1
,s
2
, …, a
i
,…, s
N
)
≥
M
k
(s
1
,s
2
, …, a
j
,…, s
N
)
Definicja
. Dla gracza P
k
strategia a
i
jest lepsza od strategii a
j
je
ż
eli jest nie
gorsza i ponadto istnieje pewien wybór strategii s
i
, i=1,…,N,
i
≠
k
graczy
pozostałych dla którego zachodzi
M
k
(s
1
,s
2
, …, a
i
,…, s
N
) > M
k
(s
1
,s
2
, …, a
j
,…, s
N
)
Je
ż
eli strategia a
i
jest lepsza od strategii a
j
to mówimy,
ż
e strategia a
i
dominuje strategi
ę
a
j
oraz ,
ż
e strategia a
j
jest dominowana przez strategi
ę
a
i
.
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
56
Definicja.
Strategi
ę
, która jest zdominowana przez inn
ą
strategi
ę
nazywamy
strategi
ą
niedopuszczaln
ą
. W przeciwnym wypadku strategia nazywana jest
dopuszczaln
ą
albo niezdominowan
ą
.
Oczywi
ś
cie gracz mo
ż
e a nawet powinien ograniczy
ć
si
ę
do strategii
niezdominowanych. Czasami okazuje si
ę
,
ż
e konsekwentne stosowanie
kryterium dominacji jednoznacznie wskazuje sposób wyboru strategii przez
dla graczy. Tak jest np. w nast
ę
puj
ą
cym przykładzie.
Przykład.
Dana jest gra
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
−
5
,
17
10
,
1
10
,
5
19
,
9
7
,
4
11
,
0
18
,
8
15
,
3
5
,
14
9
,
3
6
,
8
)
5
,
12
(
)
17
,
14
(
)
12
,
3
(
)
7
,
5
(
)
6
,
12
(
Je
ż
eli gracze s
ą
racjonalni (czyli wiedz
ą
,
ż
e zgodnie z zało
ż
eniami o
graczach, drugi gracz post
ę
puje te
ż
racjonalnie) i konsekwentnie stosuj
ą
kryterium dominacji kolejno otrzymujemy nast
ę
puj
ą
ce postaci tej gry.
Poniewa
ż
gracz pierwszy ma niedopuszczalna strategi
ę
nr 1 wi
ę
c wystarczy
rozwa
ż
a
ć
gr
ę
:
(
)
(
) (
)
(
)
−
)
5
,
7
(
)
10
,
1
(
)
10
,
5
(
)
19
,
9
(
)
7
,
4
(
)
11
,
0
(
)
18
,
8
(
15
,
3
5
,
14
9
,
3
6
,
8
)
5
,
12
(
Poniewa
ż
obaj zdaj
ą
sobie spraw
ę
z tej sytuacji wi
ę
c w zasadzie mamy
„now
ą
” gr
ę
. W tej „nowej” grze gracz drugi ma niedopuszczaln
ą
strategi
ę
nr
4 zatem wystarczy ograniczy
ć
si
ę
do kolejnej gry
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
57
−
)
10
,
1
(
)
10
,
5
(
)
19
,
9
(
)
11
,
0
(
)
18
,
8
(
)
15
,
3
(
)
9
,
3
(
)
6
,
8
(
)
5
,
12
(
Konsekwentnie rozumuj
ą
c w ten sposób ostatecznie otrzymujemy, gr
ę
[
]
)
9
,
3
(
Ostatecznie okazało si
ę
,
ż
e gracz 1 powinien wybra
ć
strategi
ę
nr 2 a gracz 2
strategi
ę
nr 3 ( w grze wyj
ś
ciowej oczywi
ś
cie).