Materiały pomocnicze do dwiczeo w LPF
Nella Mirowska
W praktyce laboratoryjnej często potrzebna jest znajomośd różnych wielkości fizycznych, których
wartości nie są stałe, lecz zmieniają się np. wraz ze zmianą temperatury. Do takich wielkości należą m.in.
gęstośd, lepkośd i napięcie powierzchniowe cieczy. Poniżej przedstawiono tabele z danymi liczbowymi oraz
wykresy temperaturowych zależności tych wielkości dla wody i gliceryny. Dla każdego wykresu podano
równanie linii najlepszego dopasowania (linii regresji), na podstawie którego można obliczyd wartośd danej
wielkości fizycznej w dowolnej temperaturze z przedziału dopasowania. Rolę argumentu funkcji tj. zmiennej
niezależnej x w równaniu y = f(x) pełni temperatura, zaś zmienna zależna y jest poszukiwaną wartością
wielkości fizycznej. Podstawiając za x interesującą nas wartośd temperatury (z przedziału dopasowania!!!)
możemy obliczyd wartośd y wielkości poszukiwanej. Na przykład, korzystając z równania figurującego na
wykresie zależnoÅ›ci · = f(t), obliczmy dla wody wartoÅ›d napiÄ™cia powierzchniowego à = y w temperaturze
t = x = 28,3°C:
y = 0,0003"28,32-0,1418"28,3+75,6654 = 0,2403-4,0129+75,6654 = 71,8924 H" 71,89.
UwzglÄ™dniajÄ…c mnożnik 10-3 podany w tabeli, zapiszemy wynik w postaci Ã(t=28,3°C) = 71,89"10-3[N/m]. Tak
otrzymana wartoÅ›d à jest oczywiÅ›cie poprawniejsza, niż gdybyÅ›my z tabeli przyjÄ™li Ã(30°C) = 71,18"10-3[N/m]
dla temperatury najbliższej tj. dla t = 30°C lub obliczyli jÄ… jako np. Å›redniÄ… ÃÅ›r = 71,575"10-3[N/m] dla dwóch
najbliższych temperatur 25°C i 30°C. Widad, że miÄ™dzy wartoÅ›ciÄ… poprawnÄ… Ã(t=28,3°C) a wartoÅ›ciami
przybliżonymi Ã(30°C) i ÃÅ›r jest spora rozbieżnoÅ›d, która wynika z nieliniowego charakteru zależnoÅ›ci Ã=f(t)
Stopieo dopasowania linii regresji do danych zawartych w tabeli (są to punkty na wykresie) określa
parametr R2, a właściwie współczynnik korelacji R. Im wartośd współczynnika R jest bliższa |1|(wtedy
również R2H"1), tym dopasowanie jest dokładniejsze. W rozpatrywanym przykładzie otrzymano R2= 0,999
(czyli R = 0,9995), co świadczy o bardzo wysokim stopniu dopasowania wielomianu drugiego stopnia do
punktów na wykresie z przedziaÅ‚u temperatur 0*°C+÷100*°C +.
W dalszej części przedstawiono tabele innych nieliniowych zależności i odpowiadające im wykresy
oraz równania linii najlepszego dopasowania w wybranym przedziale wartości x:
- zależnoÅ›d współczynnika zaÅ‚amania od dÅ‚ugoÅ›ci fali Å›wietlnej n = f(lð) dla dwóch typów szkÅ‚a (flint i crown),
- zależnoÅ›d skrÄ™cenia pÅ‚aszczyzny polaryzacji od dÅ‚ugoÅ›ci fali Å›wietlnej Åš = f(lð) dla kwarcu,
- zależnośd przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej g = f(Ś),
Sposób obliczania wartości funkcji y tj. wartości wielkości n, Ś lub g dla wybranego argumentu x,
czyli odpowiednio lð lub Åš jest analogiczny do wczeÅ›niej podanego dla napiÄ™cia powierzchniowego wody.
1
WODA
Zależność gęstości wody od temperatury (pod ciśnieniem 101325*Pa+):
t*°C+ rð[ðkg/m3] ð
gÄ™stość wody Á= f(t)
Á *kg/m3]
1000,000
ð
0 999,841
y = -1E-07x4 + 4E-05x3 - 0,007x2 + 0,051x + 999,8
R² = 1
1 999,900
995,000
2 999,941
4 999,973
990,000
5 999,965
10 999,700
985,000
15 999,099
980,000
16 998,943
17 998,774
Serie1
975,000
18 998,595
Wielob. (Serie1)
19 998,405
970,000
20 998,203
21 997,992
965,000
22 997,770
23 997,538
960,000
24 997,296
25 997,044 955,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
t [°C]
26 996,783
27 996,512
28 996,232
29 995,944
30 995,646
35 994,030
ZależnoÅ›d Á = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. GÄ™stoÅ›d wody
40 992,210
maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją
45 990,220
czwartego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1). Wyraz
nie widad silną nieliniowośd
50 988,040
wystÄ™pujÄ…cÄ… szczególnie w przedziale 0÷30*°C+, dlatego przedziaÅ‚ ten jest
60 983,210
reprezentowany wiÄ™kszÄ… iloÅ›ciÄ… wartoÅ›ci tablicowych Á*kg/m3].
70 977,780
80 971,800
90 965,310
95 961,890
100 958,350
2
Zależność napięcia powierzchniowego wody od temperatury:
T [K] t *°C + sð [N/m]x 10-3 ð
napięcie powierzchniowe wody
à *N/m+ x 10-3
à = f(t)
78
273,15 0 75,65
278,15 5 74,9
76
283,15 10 74,22 y = -0,0003x2 - 0,1418x + 75,6654
74
R² = 1,0000
288,15 15 73,49
72
291,15 18 73,05
70
293,15 20 72,75
298,15 25 71,97
68
Serie1
303,15 30 71,18
66
Wielob. (Serie1)
308,15 35 70,4
64
313,15 40 69,56
318,15 45 68,76 62
323,15 50 67,91
60
328,15 55 67,04
58
333,15 60 66,18
t [°C]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
338,15 65 65,31
343,15 70 64,4
348,15 75 63,5 ZależnoÅ›d à = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+.
Napięcie powierzchniowe wody maleje ze wzrostem temperatury.
353,15 80 62,6
Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest
373,15 100 58,85
bardzo dobre (R2 = 1).
3
Zależność lepkości wody od temperatury:
t *°C+ · *Pa"s+x 10-3
5 1,510
10 1,303
15 1,134
20 1,002
25 0,891
30 0,798
35 0,720
40 0,654
45 0,597
50 0,548
55 0,500
60 0,469
65 0,430
70 0,406
75 0,380
80 0,356
85 0,330
90 0,316
95 0,299
100 0,283
ZależnoÅ›d · = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. LepkoÅ›d wody silnie maleje ze
wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest
bardzo dobre (R2 = 0,999).
4
GLICERYNA
stężenie gÄ™stość w 25°C współczynnik lepkoÅ›ci · *Pa"s+
C [%] Á*kg/m3] 20 *°C+ 25 *°C+ 30 *°C+
100 1262 1,49500 0,94200 0,62200
99 1259 1,19400 0,77200 0,50900
98 1257 0,97100 0,62700 0,42300
97 1254 0,80200 0,52200 0,35300
96 1252 0,65900 0,43400 0,29600
95 1249 0,54400 0,36500 0,24800
80 1209 0,06180 0,04570 0,03480
50 1127 0,00603 0,00502 0,00423
25 1067 0,00209 0,00180 0,00159
10 1024 0,00131 0,00115 0,00102
0 997 0,00100 0,00089 0,00080
Zależność gęstości gliceryny od stężenia:
Á = f(C)
Á *kg/m3]
1300
y = 2,641x + 997,7
1250
R² = 0,999
1200
1150
Serie1
1100
Liniowy (Serie1)
1050
1000
950
0 20 40 60 80 100 C [%]
ZależnoÅ›d Á = f(C) przy staÅ‚ej temperaturze jest liniowa w przedziale stężenia 0÷100[%]. GÄ™stoÅ›d gliceryny
rośnie ze wzrostem jej stężenia C*%+. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją liniową jest bardzo
dobre (R2 = 0,999).
5
Zależność lepkości gliceryny od stężenia w różnych temperaturach :
·=f(C)
·*Pa"s+
1,60000
t = 20°C
1,40000
1,20000
1,00000
t = 25°C
Serie1
0,80000
Serie2
Serie3
0,60000
t = 30°C
0,40000
0,20000
0,00000
0 20 40 60 80 100 C[%]
LepkoÅ›d gliceryny roÅ›nie ze wzrostem jej stężenia. Szczególnie silny wzrost · = f(C) obserwowany jest dla
stężeo powyżej 90%. Wzrost temperatury osłabia tę tendencję.
Zależność lepkości gliceryny od temperatury:
t *°C+ ·*Pa"s+
·*Pa"s+
· = f(t) dla 100%
4
10 3,95 y = 2,9E-06x4 - 4,7E-04x3 + 2,9E-02x2 - 8,2E-01x +
3,5 9,7E+00
20 1,495
R² = 1,0E+00
25 0,942
3
30 0,622
2,5
50 0,18
2
Serie1
Wielob. (Serie1)
1,5
1
0,5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t [°C]
Lepkośd gliceryny (przykładowo o stężeniu 100% ) silnie maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie
wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
6
SZKA
O
Zależność współczynnika zaÅ‚amania n od dÅ‚ugoÅ›ci fali Å›wietlnej lð:
crown
n
ðlð [nm] ð
n=f(lð) - crown
n
ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð
1,535
687 1,5118 y = -4,94E-10x3 + 9,86E-07x2 - 6,90E-04x +
1,68E+00
656 1,5127
R² = 1,00E+00
1,53
589 1,5153
527 1,5186
1,525
486 1,5214
Serie1
431 1,5267
1,52
Wielob. (Serie1)
397 1,5312
1,515
1,51
400 450 500 550 600 650 700 750
lð[nm]
Zależność współczynnika zaÅ‚amania n od dÅ‚ugoÅ›ci fali Å›wietlnej lð:
flint
lð [nm] ð n
n=f( lð) - flint
n
ð ð ð ð ð ð ð ð ð
1,6400
687 1,6020
1,6350
y = -1,32E-09x3 + 2,55E-06x2 - 1,70E-03x +
656 1,6038
2,00E+00
589 1,6085
1,6300
R² = 1,00E+00
527 1,6145
1,6250
486 1,6200
1,6200
431 1,6308
Serie1
1,6150
397 1,6404
Wielob. (Serie1)
1,6100
1,6050
1,6000
400 450 500 550 600 650 700 750
lð[nm]
Oba typy szkła charakteryzuje spadek wartości współczynnika załamania n ze wzrostem długości fali
Å›wietlnej lð, przy czym silniejszÄ… tendencjÄ™ wykazuje flint. Dopasowania wartoÅ›ci zawartych w tabelach
funkcjami trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
7
 Kwarc  zależność skrÄ™cenia pÅ‚aszczyzny polaryzacji Åš od dÅ‚ugoÅ›ci fali Å›wietlnej lð:
lð [nm] ð Åš[ð°+ ð
Åš[°]
Åš = f(lð)
ð ð ð ð ð ð ð
55,000
ð
687 15,750
50,000
y = -1,00E-06x3 + 1,99E-03x2 - 1,37E+00x +
656 17,317
3,45E+02
45,000
589 21,717
R² = 1,00E+00
40,000
527 27,717
486 32,767
35,000
Serie1
431 42,533
30,000
Wielob. (Serie1)
397 51,183
25,000
20,000
15,000
10,000
350 400 450 500 550 600 650 700 750 lð[nm]
PowyższÄ… zależnoÅ›d Åš = f(lð) przedstawiono dla pÅ‚ytki kwarcowej o gruboÅ›ci 1*mm+ tj. dla gruboÅ›ci
jednostkowej kwarcu. Widad, że kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji silnie maleje ze wzrostem długości fali
świetlnej spolaryzowanej liniowo. Zwiększenie tej grubości o wielokrotnośd grubości jednostkowej wpłynie
na osłabienie natężenia fali świetlnej, lecz nie zmieni kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji. Inne niż
jednostkowe zmiany grubości płytki kwarcowej spowodują już zmianę wartości kąta skręcenia płaszczyzny
polaryzacji.
Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
8
PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE
Przyjęło się, że wartośd przyspieszenia ziemskiego dla całego obszaru Polski, której średnia wysokośd nad
poziomem morza to173[m], wynosi 9,81[m/s2+. Często taka dokładnośd jest za mała, bowiem wartośd
g[m/s2] zależy od szerokości geograficznej rozpatrywanego miejsca oraz od jego wysokości nad poziomem
morza(n.p.m.). PoÅ‚ożenie geograficzne Polski mieÅ›ci siÄ™ w przedziale okoÅ‚o 49°÷54°, a wysokoÅ›d n.p.m. jest
zróżnicowana (niziny, wyżyny, góry, jeziora). Warto prześledzid, jak oba te czynniki  wysokośd i szerokośd
geograficzna  wpływają na wartośd przyspieszenia geograficznego.
Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej :
Åš[°+ g [m/s2 ]
g [m/s2] g = f(Åš)
9,84000
0 9,78038
9,83000
10 9,78204
Serie1
20 9,78652
9,82000
Wielob. (Serie1)
30 9,79338
9,81000
40 9,80180
9,80000
45 9,80620
50 9,81121
9,79000
y = -1,57E-07x3 + 2,11E-05x2 - 5,98E-05x +
60 9,81924
9,78E+00
9,78000
R² = 1,00E+00
70 9,82614
9,77000
80 9,83065
0 20 40 60 80 100 Åš *°]
90 9,83210
Widad, że zależnoÅ›d g = f(Åš) dla szerokoÅ›ci geograficznych z przedziaÅ‚u 45°÷ 55° można uznad za liniowÄ….
Potwierdza to wykres i wysoki stopieo dopasowania danych zawartych w tabeli funkcjÄ… liniowÄ… (R = 0,9999):
g = f(Åš)
g [m/s2]
9,81600
9,81400
9,81200
y = 0,0009x + 9,7660
9,81000
R² = 0,9999
9,80800
Serie1
Liniowy (Serie1)
9,80600
9,80400
9,80200
9,80000
38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 Åš *°]
9
Powyższe dane dotyczą tak zwanych umownych wartości g *m/s2], czyli zredukowanych do poziomu morza.
Właśnie takie wartości (umowne, zredukowane, normalne) można najczęściej znalez
d w tablicach.
Obliczenie dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego w danym miejscu, gdy znana jest wysokośd nad
poziomem morza i szerokośd geograficzna, umożliwia wzór podany przez Heiskanena :
g(Åš,z) =9,78049(1+0,005293sin2Åš-0,000007sin22Åš)-0,000003086z
gdzie: gŚ - przyspieszenie ziemskie w [m/s2+ na szerokości geograficznej Ś,
Åš - szerokoÅ›d geograficzna w *°+,
z - wysokośd nad poziomem morza w *m+,
mnożnik 9,78049 to wartośd zbliżona do przyspieszenia ziemskiego na równiku
(gtabl = 9,78038[m/s2]dla Åš=0°).
Na podstawie tego wzoru obliczono i umieszczono w tabeli wartości g(Ś,z) oraz wartości umownego
(zredukowanego) przyspieszenia ziemskiego g(Ś) dla wybranych miejscowości w Polsce. Zamieszczono
również, dla porównania, kilka wartości tablicowych gtabl(Ś,z). Jak widać, wartości g(Ś) i gtabl(Ś,z) są
niemal identyczne. Otrzymane wyniki przedstawiono również graficznie.
gobl(Åš)
miasto m.n.p.m. Åš[°+ gtabl[m/s2] g(Åš,z) (umowne)
ElblÄ…g 5 54,167 9,8144 9,8144
Szczecin 25 53,438 9,8137 9,8137
Gdaosk 38 54,356 9,8145 9,8145 9,8144
Toruo 51 53,020 9,8133 9,8133 9,8131
Bydgoszcz 64 53,150 9,8134 9,8132
Poznao 90 52,400 9,8126 9,8126 9,8124
Kalisz 102 51,770 9,8121 9,8117
Wrocław 117 51,109 9,8113 9,8114 9,8111
Warszawa 121 52,232 9,8123 9,8124 9,8120
Białystok 132 53,133 9,8132 9,8127
Zielona Góra 146 51,940 9,8121 9,8116
Opole 166 50,667 9,8109 9,8104
Lublin 200 51,233 9,8112 9,8113 9,8107
A
ódz
203 51,817 9,8119 9,8118 9,8112
Kraków 214 50,060 9,8105 9,8102 9,8095
Katowice 266 50,259 9,8102 9,8094
KÅ‚odzko 357 50,440 9,8101 9,8090
Bielsko Biała 320 49,820 9,8097 9,8087
Jelenia Góra 345 50,900 9,8105 9,8095
Ustrzyki Dln 450 49,430 9,8089 9,8075
Zakopane 820 49,300 9,8076 9,8051
10
Zależnośd g(Ś,z) od szerokości geograficznej z uwzględnieniem wysokości n.p.m. przybliżono funkcją
liniową. Stopieo dopasowania, przy tak dużej ilości punktów, można uznad za wysoki (R = 0,9857).
Występujące odstępstwa (rozrzuty) punktów od linii regresji mogą wynikad z kilku powodów:
 nieskalibrowanie wielkości grawimetrycznych (punkty pomiaru wysokości i szerokości geograficznej nie
pokrywajÄ… siÄ™),
 zróżnicowanie rzez
by terenu w obrębie miejscowości (uwzględniano tzw. przeciętną wysokośd położenia
danej miejscowości n.p.m.),
 gęstośd i jakośd skał podłoża danego terenu,
 gęstośd skorupy ziemskiej w rejonie.
g (Åš,z) = f(Åš)
g [m/s2]
9,8150
9,8140
9,8130
9,8120
Serie1
9,8110
Liniowy (Serie1)
9,8100
y = 0,0011x + 9,7547
9,8090
R² = 0,9857
9,8080
48 50 52 54 56 Åš [°]
Kolejny wykres przedstawia zależnoÅ›d zredukowanego przyspieszenia g(Åš) od szerokoÅ›ci geograficznej Åš*°+
dla obszaru Polski.
g(Åš) = f(Åš)
g [m/s2]
9,8150
9,8140
9,8130
9,8120
Serie1
9,8110
Wielob. (Serie1)
9,8100
9,8090
y = -0,0001x2 + 0,0089x + 9,5451
9,8080
R² = 0,9676
9,8070
48 50 52 54 56
Åš [°]
11
Tym razem odpowiedniejsze okazało się dopasowanie nieliniowe (równaniem drugiego stopnia z dośd
wysokim współczynnikiem R2 = 0,9676). Widad, że dla miejscowości położonych w obszarze niższych
szerokoÅ›ci geograficzny (poniżej 51°) wartoÅ›d umownego przyspieszenia ziemskiego g(Åš) jest wyraz
nie
zaniżona w stosunku do poprawniej obliczonej wartości g(Ś,z). Jest to skutkiem chociażby dwóch
czynników wpływających jednocześnie na obniżenie wartości przyspieszenia ziemskiego: zmniejszenie Ś i
zwiększenie z tj. położenia miejscowości n.p.m.(patrz równanie Heiskanena). Jeszcze wyraz
niej to widać na
Å‚Ä…cznym wykresie zależnoÅ›ci g(Åš,z) i g(Åš) od szerokoÅ›ci geograficznej Åš[°], tj. na wykresie g = f(Åš)
przedstawionym poniżej:
g = f(Åš)
g [m/s2]
9,8160
9,8150
y = 0,0011x + 9,7547
9,8140
R² = 0,9857
9,8130
Serie1
Serie2
9,8120
Liniowy (Serie1)
9,8110
Wielob. (Serie2)
9,8100
y = -0,0001x2 + 0,0089x + 9,5451
9,8090
R² = 0,9676
9,8080
9,8070
Åš [°]
48 50 52 54 56
Zagadnienie wyznaczenia dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego jest, jak pokazano, dośd
skomplikowane i wymaga uwzględnienia wielu czynników oraz specjalistycznych badao z różnych dziedzin
naukowych. Warto zdawad sobie z tego sprawę i dlatego zwrócono uwagę na niektóre z nich. Tym niemniej,
w sytuacjach niezbyt rygorystycznych można dla caÅ‚ej Polski (zÅ›r = 173m.n.p.m.i Śśr = 51,6°) przyjąć wartość
g = 9,8117[m/s2] lub nawet g = 9,81[m/s2].
12