Elektrotechnika (materiały pomocnicze do ćwiczeń)

WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA
W WARSZAWIE
ELEKTROTECHNIKA
MATERIAAY POMOCNICZE
DO ĆWICZEC
WARSZAWA 2003
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
JEDNOSTKI MIAR UKAADU SI DLA WYBRANYCH WIELKOŚCI
ELEKTRYCZNYCH
Zależność
Wielkość Jednostka miary Definicje lub relacje między jednostki miary
nazwa oznaczenie jednostkami od jednostek
podstawowych.
Długość metr m Metr jest długością równą m
1650763,73 długości fali w próżni
promieniowania odpowiadającego
przejściu pomiędzy poziomami 2p10
a 5d5, atomu kryptonu 86.
Masa kilogram kg Kilogram jest masą kg
międzynarodowego wzorca tej
jednostki przechowywanego w
Międzynarodowym Biurze Miar w
Sevres.
Czas sekunda s Sekunda jest !:31556925,9747 s
częścią roku zwrotnikowego 1900
stycznia 0 godz. czasu efemeryd.
Prąd amper A Amper jest natężeniem prądu A
elektrycznego nie zmieniającego
się, który - płynąc w dwóch
równoległych prostoliniowych,
nieskończenie długich przewodach,
o przekroju okrągłym znikomo
małym, umieszczonych w próżni w
odległości 1m jeden od drugiego
wywołałby między tymi przewodami
siłę 2 10-7 N na każdy metr
długości.
Prędkość metr na m/s 1 m/s = 1m : 1s 1 m s-1
liniowa sekundę
Prędkość radian na rad/s 1 rad/s = 1 rad : 1s 1 s-1 rad
kątowa sekundę
Siła niuton N 1N = 1 kg 1 m/s2 1 m kg s-1
Praca, dżul J 1 J = 1 N 1m 1 m2 kg s-2
energia
Moc wat W 1 W = 1J :1s 1 m2 kg s-3
Aadunek kulomb C 1 C = 1 A !s 1 s A
elektryczny
Napięcie wolt V 1V = 1W : 1A 1m2 kg s-3 A-1
Pojemność farad F 1F = 1C : 1V 1m-2 kg-1s4 A2
Rezystancja om &! 1&! = 1V :1A 1m2 kg s-3 A-2
Strumień weber Wb 1WB = 1V 1s 1m2 kg s-2A-1
magnetyczny
Indukcja tesla T 1T = 1Wb : 1m2 1kg s-2 A-1
magnetyczna
Natężenie amper na A/m 1A/m = 1A:1m 1m-1 A
pola magn. metr
Indukcyjność henr H 1H = 1Wb : 1A 1m2 kg s-2 A-2
Częstotliwość herc Hz 1Hz = 1 : 1s 1s-1
2
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
PRZEDROSTKI I ODPOWIADAJCE IM MNOŻNIKI
mnożnik przedrostek znak mnożnik przedrostek znak
1012 tera T 10-1 decy d
109 giga G 10-2 centy c
106 mega M 10-3 mili m
103 kilo K 10-6 mikro ź
102 hekto H 10-9 nano n
101 deka da 10-12 piko p
1 - - 10-15 femto f
10-18 atto a
REZYSTYWNOŚC, KONDUKTYWNOŚĆ I WSPÓACZYNNIK TEMPERATUROWY
Rezystywność Konduktywność Współczynnik
temperaturowy
�
ł
Nazwa
ą20
przewodnika
2
� �" mm
� �" m
S�" m ą
20
2
m
mm
8
1,62 �"10-
Srebro
0,0162 61,8 0,004
8
Aluminium
34,8 0,004
2,87 �"10- 0,0287
8
Miedz
57,0 0,00393
1,75�"10- 0,0175
8
Żelazo
0,096 10,4 0,0059
9,6 �"10-
Konstantan
7 -5
55%Cu 45%Ni
0,48 2,08
4,8�"10- 2 �"10
Ferronikiel
0,83 1,21 0,001
-7
75%Fe, 25%Ni
8,3�"10
3
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
REZYSTYWNOŚĆ, PRZENIKALNOŚĆ I WYTRZYMAAOŚĆ ELEKTRYCZNA
DIELEKTRYKÓW
Rezystywność Przenikalność Wytrzymałość
�
Nazwa dielektryka elektryczna elektryczna
&!m Emax
względna �
r
kV/cm
18 20
Bursztyn 2,8 200
10 �10
10 12
Ebonit 2,5 � 5,0 200 � 250
10 �10
14 15
Olej 2,1 � 2,3 200 � 250
10 �10
15
Papier nasycony 3,5 � 4,5 700 � 800
10
olejem
11 12
Porcelana 5,0 � 6,5 200 � 300
10 �10
powietrze - 1,000594 30
F
Ą# ń#
-12
Przenikalność elektryczna próżni � = 8,854 �"10
o
ó#m Ą#
Ł# Ś#
H
Ą# ń#
-7
Przenikalność magnetyczna próżni ź = 4 �"Ą �"10
o
ó#m Ą#
Ł# Ś#
ZNAKI WIELOŚCI FIZYCZNYCH
N a z w a Z n a k
Czas t
Częstotliwość f
Elastancja S
Energia W
Gęstość prądu J,j
Indukcja elektryczna D
Indukcja magnetyczna B
Indukcyjność własna L
Indukcyjność wzajemna M
Liczba zwojów z
Aadunek elektryczny Q,q
Moc P
Natężenie pola elektrycznego E
Natężenie pola magnetycznego H
Natężenie prądu I,i
Napięcie U,u
Rezystancja R
Konduktancja G
Reluktancja Rź
Rezystywność opór właściwy �
4
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Konduktywność przewodność właściwa ł
Impedancja Z
Reaktancja X
Admitancja Y
Susceptancja B
Pojemność C
Pole przekroju s
Potencjał V
Permeancja �
Pulsacja �
Prędkość v
Przenikalność elektryczna �
Przenikalność magnetyczna ź
Przepływ �
Siła F
Strumień elektryczny �
Strumień magnetyczny Ś
Sprawność �
Temperatura
T,Ń
PRAWA I ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
Siła F działająca na ładunek q
F = q �" E
Prawo Coulomba
q �" q
1 2
F =
2
4Ą �" � �" r
gdzie r odległość między ładunkami, � przenikalność środowiska
Natężenie pola elektrycznego
F
E = .
q
Praca w polu elektrycznym
B
A = q E �" dl = -q(VA - VB).
+"
A
Potencjał pola elektrycznego w punkcie A
" A
VA = E �" dl = - E �" dl.
+"+"
A "
5
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zależność między natężeniem a potencjałem pola elektrycznego
dV
E = - .
dl
Twierdzenie Gaussa
� = D �" ds = q
+"
gdzie D =(�oE+P) indukcja pola elektrycznego.
Pojemność elektryczna
Q
C = ,
U
Elastancja
1
S = .
C
Szeregowe połączenie kondensatorów
1 1 1 1
= + + �"�"�" + ; Sz = S1 + S2 + �"�"�" + Sn .
Cz C1 C2 Cn
Równoległe połączenie kondensatorów
1 1 1 1
Cz = C1 + C2 + �"�"�" + Cn = + + �"�"�" +
Sz S1 S2 Sn
Energia pola elektrycznego
1
We = CU2 ;
2
Natężenie prądu
dq Q
i = dla prądu stałego I =
dt t
Prawo Ohma
U
I = = G �" U,
R
Rezystancja
� �" l
R =
s
� rezystywność lub oporność właściwa, l długość przewodu, s przekrój
poprzeczny przewodu
6
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Konduktancja
1 1 s s
G = = = ł ,
R � l l
ł konduktywność lub przewodność właściwa.
Zależność rezystancji od temperatury
( ) ( )
Rt = R20[1+ ą20 t - 20o + �20 t - 20o 2],
ą20,�20 współczynniki temperaturowe rezystancji odniesione do temperatury 20oC.
Prawo Joule a
P = U �" I = R �" I2 = GU2.
Ilość ciepła otrzymana z zamiany energii elektrycznej na energię cieplną
W = 0,239 �" R �" I2 �" t = 0,24 �" R �" I2 �" t.
Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie
prądów wypływających z węzła
g
"ą Ik = 0,
k=1
gdzie znak + - przy prądzie wpływającym do węzła, znak przy prądzie
wypływającym z węzła
Drugie prawo Kirchhoffa: w dowolnym obwodzie zamkniętym suma algebraiczna
spadków napięć jest równa sumie napięć zródłowych
n
"ą Uk = 0.
k=1
Twierdzenie Thevenina: natężenie prądu w odbiorniku R wynosi
Uo
I = ,
Rw + R
gdzie Uo napięcie zastępczego zródła napięcia równe napięciu stanu jałowego na
zaciskach a - b, Rw rezystancja wewnętrzna zastępczego zródła mierzona na
zaciskach a b.
Twierdzenie Nortona: napięcie na zaciskach odbiornika G wynosi
Izr
U =
Gw + G
gdzie: Izr = Uo/Rw = Iz, prąd zródłowy równy prądowi zwarcia na zaciskach a b, Gw
=1/Rw konduktancja wewnętrzna obwodu mierzona na zaciskach a b.
7
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Prawo obwodu magnetycznego
Ś
Ś =
Rź
Przepływ prądu równy sile magnetomotorycznej
Ś = I �" z ,
z liczba zwojów
Reluktancja - opór magnetyczny
l
R =
ź
ź �" s
i długość drogi, s przekrój, ź przenikalność magnetyczna drogi strumienia
magnetycznego
Permeancja przewodność magnetyczna
1
� =
R
ź
Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma strumieni magnetycznych w węzle jest równa zeru
n
"ą Śk = 0.
k=1
Drugie prawo Kirchhoffa: w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć
magnetycznych równa się sumie napięć zródłowych
n n
Hklk.
"R Śk = "
źk
k=1 k=1
Siła przyciągania zwory przez elektromagnes
B2s
F = ,
2źo
gdzie B indukcja magnetyczna, s przekrój magnesu, źo przenikalność
magnetyczna próżni
Rezystancja i konduktancja statyczna
U I
Rs = = f (I), Gs = = F(I)
I U
Rezystancja i konduktancja dynamiczna
"U dU "I dI
Rd = = , Gd = =
lim lim
"I0 "U0
"I dI "U dU
8
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Rezonans w obwodzie szeregowym RLC
Pulsacja i częstotliwość rezonansowa
1 1
�o = ; fo =
LC 2Ą LC
Reaktancja wypadkowa w stanie rezonansu
i
X = XL - XC = �oL - = 0
�oC
Natężenie prądu przy � = �o
U U
I = =
�# ś# R
i
ś#
R + jś#�oL - ź#
ź#
�oC
�# #
osiąga wartość maksymalną.
Napięcie maksymalne na kondensatorze UC przy �1
2 - d2
�1 = �o ;
2
Napięcie maksymalne na cewce UL przy �2
2
� = �
2 o
2
2 - d
Tłumienie obwodu
R R
d = =
L �
C
Impedancja charakterystyczna
L 1
� = = � L =
o
C � C
o
Dobroć obwodu.
1
= Q
�
Rezonans w obwodzie równoległym RLC
Susceptancja wypadkowa w obwodzie w stanie rezonansu
1
B = B - B = � C - = 0.
C L O
� L
o
9
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Prąd w obwodzie równoległym RLC w przypadku rezonansu
�# ś#
�# ś#ź#
1
ś#
I = U �" Y = Uś#G + jś#� C - ź#ź# = U �" G
o
ź#
ś#
� L
�# o #
�# #
osiąga wartość minimalną.
Impedancja i admitancja zespolona
U I 1
Z = ; Y = ; ZY = 1; Y = ;
I U Z
1
j� - j� - j�
Z = Z �" e ; Y = e = Y �" e ; � = � - �
u i
Z
- j�
Y = G + jB = Y �" e = Y cos� - Y sin �;
1 1
G = Y cos� = cos�; B = -Y sin � = - sin �;
Z Z
1 1 R (- X)
Y = = = + j ;
2 2 2 2
Z R + jX R + X R + X
R X
G = ; B = - .
2 2
Z Z
Moc zespolona
" " 2 2 2
S = UI = ZII = ZI = RI + jXI ;
2 2
P = RI ; Q = XI ;
" "
" " " 2 2 2
S = UI = U(YU) = Y UU = Y U = GU - jBU ;
2 2
P = GU ; Q = -BU ;
Moduł mocy zespolonej czyli moc pozorna
2 2
S = S = ZI = YU
Współczynnik mocy
Q X - B
� = arctg ; � = arctg = arctg .
P R G
10
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE
Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module
równym amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyznie liczbowej ze
stałą prędkością kątową �.
Wektor r na płaszczyznie liczbowej
Im
Re oś rzeczywista,
A
Im oś urojona
jb
j.- jednostka urojona
r
Postacie liczby zespolonej
Re
ą
0
" postać algebraiczna
a
z = a = jb
" postać trygonometryczna
z = r(cosą + j siną)
" postać wykładnicza
ją
z = re = r exp ją = r "ą
gdzie r = z = a2 + b2 moduł liczby zespolonej z
ą = arctg(b / a) argument liczby zespolonej z
exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej,
r "ą oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt ą.
Jeżeli z = a + jb to z" = a - jb jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z
z = z" = a2 + b2 = r.
ją
Jeżeli r = 1to liczba e jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem
11
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
ją ją 2
e = cosą + j siną e = cos2 ą + sin ą = 1.
Działania na liczbach zespolonych
dodawanie i odejmowanie
z1 + z2 = (a1 + jb1)+ (a2 + jb2 ) = (a1 + a2 )+ j(b1 + b2 )
z1 - z2 = (a1 + jb1)- (a2 + jb2 ) = (a1 - a2 )+ j(b1 - b2 )
mnożenie
z1z2 = (a + jb)(c + jd) = (ac - bd)+ j(ad + bc)
ją1 ją2 j(ą1+ą2 )
z1 �" z2 = r1e r2e = r1 �" r2e
j� j(ą +� )
z �" e = re
z + z�" z - z"
ją 2
z �" z" = re re- ją = r r = z �" z" , a = , b =
2 2 j
dzielenie
z1 a + jb (a + jb)(c - jd) (ac + bd)+ j(bc - ad)
= = =
2 2
z2 c + jd c2 + d c2 + d
z r exp ją r r
j(ą1-ą2 )
1 1 1 1 1
= = exp j(ą -ą ) = e
1 2
z r exp ją r r
2 2 2 2 2
z 1 1
j(ą -� )
= re = r "ą - � = e- ją
j�
e z r
n
ją jną
( )
zn = re = rne
potęgi liczby urojonej j = -1 przy k = o,ą1,ą2 �"�"�"
j4k +1 = j
j4k +2 = j2 = -1
1
j4k +3 = j3 = - j =
j
ą ś#
ą
j�# +Ą
ś# ź#
j
ją 2
�# #
2
z = re = re , z = re
12
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Działania na funkcjach zespolonych
j(�t +� ) j�
i
mnożenie funkcji I (t) = I e przez liczbę zespoloną Z = Ze
m m
j� j(�t +� ) j(�t +� +� )
i i
U (t) = Z I (t) = Ze I e = ZI e
m m
m m
j�
dzielenie funkcji U (t) przez liczbę zespoloną Z = Ze
m
j(�t +� )
u
Ue U
j(�t +� -� )
m
u
I (t) = = e
m
j�
Ze Z
iloczyn funkcji zespolonych o jednakowych pulsacjach
" " "
j�t
U (t)I (t) = U I e e- j�t = U I
m m m m m m
iloraz funkcji zespolonych
j�t
U (t) U e U U
m m m
= = =
j�t
I (t) I e I I
m m m
pochodna funkcji zespolonej względem zmiennej t
d d
j�t j�t
( )
I (t) = I e = j� I e = j� I (t)
m m m m
dt dt
całka funkcji zespolonej względem zmiennej t
1 1
j�t j�t
I (t)dt = I e dt = I e = I (t).
m m m m
+"+"
j� j�
13
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 1
Na wykonanie cewki zużyto 100 [m] przewodu miedzianego. Na jakie napięcie
A
można włączyć cewkę, jeżeli dopuszczalna gęstość prądu I = 3 ?.
mm2
Rezystywność miedzi � = 2,1�"10-8 �m w stanie nagrzania.
Rozwiązanie
��" l U I
Rezystancja : R = ; I = gęstość prądu j = zatem:
s R s
U = j�"��" l = 3�"0,021�"100 = 6,3V
Odp.: U=6,3V
Zadanie 2
Wyznaczyć rezystywność konstantanu w �m mając daną rezystywność
�mm2
� = 0,5 .
m
2 3 2
� �" mm � �" (10- m)
6 7
Rozwiązanie: � = = 0,50�"10- �m = 5�"10- �m
m m
7
Odp.: � = 5�"10- �m
Zadanie 3
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze 18oC wynosiła 4,5&!
a w stanie nagrzanym 5,3 &!. Do jakiej temperatury nagrzało się uzwojenie ?
Rozwiązanie:
�# ś#
R 1 1 1 1
2
ź#
Ń = ś# + Ń - , współczynnik temperaturowy miedzi ą = ,
2 1 o
o
ś# ź#
R ą ą 234,5 C
1 �# o # o
zatem
5,3
o
Ń = (234,5 +18)- 234,5 = 62,9 C .
2
4,5
Odp. Uzwojenie nagrzało się do temperatury 62,9oC.
Zadanie 4
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze 20 oC wynosiła 1,32
&!. Jaka będzie rezystancja tego uzwojenia po nagrzaniu go do temperatury 90 oC ?
Rozwiązanie:
234,5 + Ń 234,5 + 90
2
R = R = 1,32 = 1,68� .
2 1
234,5 + Ń 234,5 + 20
1
Odp. R2 = 1,68 &!.
14
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 5
W jakim czasie woda o temperaturze 15 oC nagrzeje się do temperatury 85 oC w
bojlerze o pojemności 80 l, jeżeli moc grzejnika wynosi 1,5 kW, a sprawność bojlera
0,89. Jaki jest koszt zagrzania wody przy taryfie 0,40 zł/kWh ?
Rozwiązanie:
m �" c(Ń - Ń ), gdzie c H" 1kcal / kg C
o
2 1
Do ogrzania wody potrzeba ciepła Q =
�
80 �"1�"(85 -15)
zatem Q = = 6292kcal
0,89
Równoważnik cieplny energii elektrycznej wynosi 0,2389 cal/J 3,6 106 J/kWh = 860
kcal/kWh
Cena jednostkowa energii elektrycznej 0,40 zł/kWh.
Q 6292
Q = 860 �" P �" t czas grzania wody t = = = 4,88 h
860 �" P 860 �"1,5
zużyta energia A = P �" t = 1,5�" 4,88 = 7,32 kWh, należność za energię 3,0 zł.
Zadanie 6
Silnik o mocy Pn = 3 kW na napięcie U = 400 V o sprawności � = 0,85. Obliczyć prąd
I pobierany przez silnik z sieci przy obciążeniu znamionowym oraz należność za
energię elektryczną w ciągu miesiąca przy 185 godzinach pracy i cenie jednostkowej
0,40 zł/kWh.
Rozwiązanie
P 3
n
Moc pobierana z sieci P = = = 3,53 kW,
S
� 0,85
3
P 3,53�"10
s
prąd pobierany z sieci I = = = 8,82 A,
U 400
energia elektryczna zużyta w ciągu miesiąca A = P �" t = 3,53�"185 = 653 kWh,
należność za energię elektryczną 261,2 zł.
Odp. I = 8,82 A należność za energię 261,2 zł.
Zadanie 7
W szereg z odbiornikiem o nieznanej rezystancji włączono do
I=2A
sieci opornik o rezystancji 40� . Napięcie sieci U = 220V i
prąd w obwodzie I = 2A . Jaka jest rezystancja odbiornika Ro ,
Odb. Ro
moc P pobierana przez odbiornik i moc tracona w oporniku?
U=220V
Rozwiązanie:
R=40�
I �" R = U - I �" R
o
,
15
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
U - I �" R 220 - 2�" 40
rezystancja odbiornika R = = = 80�,
o
I 2
2 2
moc pobierana przez odbiornik P = R �" I = 70�" 2 = 280W
o
U = I �" R = 2�" 70 = 140V
odb o
2 2
moc tracona w oporniku P = I R = 2 �" 40 = 160W.
Odp.: Ro=70�, P=280W, Pd=160W
Zadanie 8
Do zródła o parametrach E , Rw
przyłączono raz opornik o rezystancji R ,
drugi raz opornik
o rezystancji 2R . Stwierdzono w obu
E, Rw R E, Rw 2R
przypadkach ten sam pobór mocy . Jaki
Rw
P P
jest stosunek = ?
R
Rozwiązanie:
E E
2 2
moc pobierana przez odbiornik P = RI = 2RI , I = ,I = po
1 2 1 2
R + R 2R + R
w w
2 2
podstawieniu R = 2R .
w
R
w
Odp.: = 2
R
Zadanie 9
Napięcie baterii jest stałe i wynosi 24 V,
a oporność wewnętrzna jest stała i
wynosi 0,25&!. Obliczyć napięcie na
I=10A I=20A
zaciskach baterii, gdy: jest ona
ładowana prądem 10 A, oraz gdy jest
Rw=0,25� Rw
wyładowywana prądem 20 A.
Rozwiązanie U U
E=24V E=24V
U = E + IR = 24 +10�" 0,25 = 26,5V
ad w
U = E - IR = 24 - 20�" 0,25 = 19V
wy w
Odp.: Uład=26,5V, Uwył=19V
16
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 10
Odbiornik załączony do zródła napięcia E = 220 V,
Rw = 0,3&! pobiera moc P = 9,0 kW. Obliczyć
U
napięcie na odbiorniku.
E, Rw Odb. P
Rozwiązanie:
P = U �" I U = E - I �" R po podstawieniu otrzymujemy równanie
w
2
E m E - 4PR
220 m 193,9
2 2 w
U - EU + PR = 0, " = E - 4PR , U = =
w w 1,2
2 2
Odp. U = 207V
Zadanie 11
Narysować wykres potencjałów
dla obwodu przedstawionego na
c
rysunku.
b d
R3=15� R4=5�
E2 40V
R2=20�
a
R5=10�
R1=10�
E1=60V
E3=30V
0e
R6=10[�]
z
Rozwiązanie
Przyjmujemy potencjał jednego
V
punktu obwodu jako potencja
a
odniesienia, któremu
d
E1
przyporządkowuje się zwykle
b
e
E2
wartość V = 0 i względem niego
c
oblicza się potencjały w
dowolnych punktach obwodu.
R
0
R1 R2 R3 R4 R5 R6
17
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 12
W obwodzie pokazanym na rysunku
obliczyć napięcie U , jeżeli moc
pobierana przez opornik Ro wynosi
P = 0,2kW .
Rozwiązanie:
Prąd płynący przez oporniki Ro i R2
R1=10� R2=10�
P
I = ,
1
R
o
Spadek napięcia na opornikach Ro i R2
R3=10� Ro=50�
U
U = I (R + R )
1 1 0 1
P=100W
U
1
Prąd płynący przez opornikR3 I =
2
R
3
Spadek napięcia na oporniku R1
U = (I + I )�" R
2 1 2 1
Napiecie U na zaciskach obwodu
U = U + U = 260V
1 2
Odp.: U=260V
Zadanie 13
Obliczyć rezystancje zastępcze układów oporników pokazanych na rysunku o
następujących danych liczbowych: R1 = 100� , R2 = 200� , R3 = 300� , R4 = 400� .
R1
a) R4 b) c)
R1 R2
R2 R4 R2
R3 R3 R4
R3 R1
Rozwiązanie
R R R
1 2 3
R = + R = 54,5�
a 4
R R + R R + R R
1 2 2 3 3 1
R R R R
1 2 b1 4
R = + R , R = = 191,3�
b1 3 b
R + R R + R
1 2 b1 4
(R + R )(R + R )
1 2 3 4
R = = 210�
c
R + R + R + R
! 2 3 4
18
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Odp.: Ra=54,5�, Rb=191,3�, Rc=210�
Zadanie 14
Jaki opornik należy połączyć równolegle z opornikiem o rezystancji R1 = 30&! , aby
otrzymać rezystancje zastępczą Rz = 21&! ?
Rozwiązanie
R �" R R �" R 21�" 30
1 x z 1
R = ; �! R = = = 70� .
z
R + R R - R 30 - 21
1 x 1 z
Odp.: R=70�
Zadanie 15
W obwodzie pokazanym na
AB
rysunku podano tylko
oporności odbiorników z
pominięciem oporności R1=10�
R2=15�
przewodów łączących.
DF
Obliczyć prądy pobierane
E=120V
przez poszczególne
C E
oporności oraz prądy w
R3=60� R4=40�
przewodach A - B , C - D ,
D - E , E - F i G - H .
G H
Rozwiązanie
A
I B
R �" R
1 2
R = = 6�,
1,2
R + R
1 2
R �" R R1
R2
3 4
R = = 24�,
3,4
R + R
3 4
I2
I1
E
D
I = = 4A, F
E
R + R
1,2 3,4
I4
C
I3 E
U = U = I �" R =
A-C B-E 1,2
R3
R4
= 4 �" 6 = 24V
U 24
A-C
I = = = 2,4A
1
R 10
1 H
G
U 24
B-C
I = = = 1,6A,
2
R 15
2
19
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
U = U = I �" R = 4 �" 24 = 96V,
D-G F-H 3,4
U 96 U 96
D-G F-H
I = = = 1,6A, I = = = 2,4A,
3 4
R 60 R 40
3 4
I = I = 2,4A, I = I = 1,6A, I = I - I = 0,8A,
1 C-D 2 A-B D-E 1 3
I = I = I = 2,4A.
4 G-H E-F
Odp.: I1=ICD=2,4A, I2=IAB=1,6A, I3=1,6A, I4=2,4=IGH=IEF
Zadanie 16
Stosując metodę prądów oczkowych należy obliczyć prądy w obwodzie pokazanym
na rysunku.
Rozwiązanie:
1
2
R =4
� R =3
�
Obwód składa się z trzech gałęzi
i dwóch węzłów , zatem liczba
równań wynosi 3 2 + 1 = 2, co
E 1=10 V E 2=12 V
R 3=2
�
jest zgodne z liczbą oczek
niezależnych. Zadanie
sprowadza się do rozwiązania
dwóch równań napisanych
zgodnie z drugim prawem
Kirchhoffa
prądy oczkowe:
I = 1[A]
I
R �" I - R �" I = E
11 I 12 II 1
I = -2[A]
- R �" I + R �" I = -E II
12 I 22 II 2
prądy gałęziowe:
R = R + R = 4 + 2 = 6,
11 1 3
I = I = 1[A],
1 I
R = R + R = 3 + 2 = 5,
22 2 3
I = I = -2[A],
2 II
R = R = -R = 2
12 21 3
I = I - I = 1- (-2) = 3[A]
3 I II
6I - 2I = 10
I II
- 2I + 5I = -12
I II
20
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 17
Wyznaczyć prądy w
4&!
4&!
obwodzie pokazanym
na rysunku, stosując
8V
metodę prądów
8&!
6V
oczkowych
4&!
3&!
Rozwiązanie
8&!
2A
Przekształcamy obwód
R2=4&!
korzystając z zamiany R1= 4&!
zródła prądu na zródło
napięcia. Zaznaczamy
E2=8V
prądy oczkowe
R5=8&!
II R3=4&!
IIII
III
R4=3&!
R6=8&!
Obliczamy rezystancje własne i wzajemne oczek:
R = R + R = 4 + 4 = 8 R = R = 0
11 1 3 12 21
R = R + R + R = 4 + 3 + 8 = 15 R = R = -R = -4
22 2 4 5 13 31 3
R = R + R + R = 4 + 3 + 8 +15 R = R = -R = -3
33 3 4 6 23 32 4
Obliczamy prądy oczkowe
8�" I - 4 �" I = 6 I = 1,175
I III I
15�" I - 3�" I = -24 I = -1,431
II III II
- 4 �" I +15�" I = 24 -16 I = 0,846
I III III
Obliczamy prądy gałęziowe:
I1 = II = 1,175[A],
I2 = III = -1,431[A],
I3 = IIII = 0,846[A],
I4 = II - IIII = 1,175 - 0,846 = 0,329[A],
I5 = IIII - III = 0,846 - (-1,431) = 2,277[A].
21
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 18
Stosując metodę prądów oczkowych znalezć prąd w gałęzi przekątnej mostka.
R2
R1
R2
R6
R5
R5
E
R4
R3
Rozwiązanie
Wybieramy oczka niezależne i oznaczamy prądy oczkowe
IIII
R2
R1
II R2
R6
R5
R5
E
III
R4
R3
Rezystancje własne i wzajemne oczek
R = R + R + R ,
11 1 2 5
R = R = -R ,
12 21 5
R = R + R + R ,
22 3 4 5
R = R = -R ,
23 32 3
R = R = -R ,
13 31 2
R = R + R + R
33 2 3 6
Równania
+ R I - R I - R I = 0
11 I 12 II 13 III
- R I + R I - R I = 0
21 I 22 II 23 III
- R I - R I + R I = -E
31 I 32 II 33 III
W wyniku rozwiązania układu równań otrzymujemy:
22
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
C = R [(R + R )(R + R )+ R (R + R + R + R )]+ R R (R + R )+ R R (R + R )+
5 1 4 2 3 6 1 2 3 4 1 4 2 3 2 3 1 4
+ R (R + R )(R + R ),
6 1 2 3 4
E
I = - [R R + R (R + R + R )]
I 3 5 2 3 4 5
C
E
I = - [R R + R (R + R + R )].
II 2 5 3 1 2 5
C
Prąd w gałęzi przekątnej mostka
E
I = I - I = (R R - R R ). Z wyrażenia wynika, że prąd w gałęzi przekątnej
5 II I 2 4 1 3
C
mostka jest równy zeru, gdy spełniony jest warunek R R = R R jest to warunek
1 3 2 4
równowagi mostka!
Zadanie 19
Stosując metodę superpozycji obliczyć prądy w obwodzie pokazanym na rysunku.
1
2
R =4
� R =3
�
Obwód składa się z elementów liniowych,
zatem prąd w dowolnej gałęzi jest sumą
prądów przepływających przez gałąz pod
E 1=10 V E 2=12 V
R 3=2
�
wpływem działania kolejno zródeł
napięcia.
Rozwiązanie
obwód zasila zródło o SEM E1 = 10V
1
2
R =4
� R =3
�
E 10
'
1
I = = = 1,92[A]
1
R R 2�" 3
2 3
R + 4 + E 1=10 V
R 3=2
�
1
R + R 2 + 3
2 3
'
E - I R 10 -1,92�" 4
'
1 1 1
I = = = 0,77[A]
2
R 3
2
'
E - I R 10 -1,92�" 4
'
1 1 1
I = = = 1,15[A]
2
R 2
3
obwód zasila zródło o SEM E2 = 12V
1
R =4 2
R =3
�
�
E 12
"
2
I = = = 2,77[A]
2
R R 4 �" 2
1 3
R + 3 +
2
2
E =12V
3
R =2
�
R + R 4 + 2
1 3
"
E - I R 12 - 2,77 �" 3
"
2 2 2
I = = = 0,92[A]
1
R 4
1
23
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
"
E - I R 12 - 2,77 �" 3
"
2 2 2
I = = = 1,85[A]
3
R 2
3
prądy płynące w gałęziach:
' "
I = I + I = 1,92 + (-0,92) = 1[A] ,
1 1 1
' "
I = I + I = 0,77 + (-2,77) = -2[A],
2 2 2
' "
I = I + I = 1,15 +1,853[A].
3 3 3
Zadanie 20
W obwodzie przedstawionym na
rysunku obliczyć prądy płynące
w gałęziach, korzystając z zamiany
1
R =5
�
I zr
=5A
I zr=10A
zródeł prądu na zródła napięcia.
2
R =15
�
3
R =10
�
Rozwiązanie
Zamieniamy zródła prądu na zródła
I
napięcia:
E = I R = 10 �" 5 = 50V,
1 zr1 1
E = I R = 5�"15 = 75V,
E1 E2
2 zr 2 2
Prąd płynący przez odbiorniki
R2
R1
E - E 25
1 2
I = = = 0,83A.
R3
R + R + R 30
1 2 3
Odp.: I=0,83A
Zadanie 21
Pokazany na rysunku dwójnik zródłowy
a
A
obciążono na zaciskach a b opornikiem R1 =
10&! i zmierzono prąd I1 =2A, a przy obciążeniu
dwójnik
opornikiem R2 = 25 &! prąd I2 = 1A. Wyznaczyć
zródłowy
R=10
�
parametry zastępczego zródła napięcia Uo i Rw.
Rozwiązanie:
b
24
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
U = I (R + R ) lub U = I (R + R )
o 1 w 1 o 2 w 2
R (I - I ) = I R - I R
w 1 2 2 2 1 1
Po przekształceniu
I R - I R
2 2 1 1
R = = 5�
w
I - I
1 2
U = I (R + R ) = 2(5 +10) = 30V
o 1 w 1
Odp.: Rw = 5&!, Uo = 30V
Zadanie 22
Do zacisków a - b dwójnika zródłowego
przyłączono idealne zródło o napięciu E = 10V i
zmieniono prąd I1 = 0,5A, a po zmniejszeniu
napięcia zródłowego "E = 2V prąd zwiększył się
do I2 = 0,6A. Wyznaczyć napięcia na zaciskach a
b dwójnika zródłowego Uo w stanie jałowym i
U3 przy obciążeniu prądem I3 = 0,8A.
Rozwiązanie:
U - E U - (E - "E)
o o
I = ,I = ,
a
A
1 2
R R
w w
dwójnik
U - E U - (E - "E)
o o
R = =
zródłowy
w
E=10V
I I
1 2
Po przekształceniu
b
EI - (E - "E)I 10�" 0,6 - 8�" 0,5
2 1
U = = = 20V,
o
I - I 0,1
1 2
20 -10
R = 20�.
w
0,5
Napięcie przy obciążeniu prądem I3 = 0,8A
U = U - I �" R = 20 - 0,8�" 20 = 4V
3 o 3 w
Odp. Uo = 20V, U3 = 4V.
25
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Zadanie 23
Obwód pokazany na rysunku ma dwa zaciski a i
R1=5�
a
b. Obliczyć siłę elektromotoryczną oraz oporność
wewnętrzną zródła zastępczego, które po
przyłączeniu do zacisków spowoduje powstanie
w odbiorniku prądu o tej samej wartości, co przy
E=100V
R2=20�
zasilaniu odbiornika w układzie wyjściowym.
Obliczyć prąd pobierany przez odbiornik Ro o
oporności 16� przyłączony między zaciski a - b. b
Obliczyć największą moc, jaką może pobrać odbiornik przyłączony do zacisków a - b
w układzie przedstawionym na rysunku.
Rozwiązanie:
E 100
Ad a) parametry zastępczego zródła: U = �" R = �" 20 = 80V,
ab 2
R + R 5 + 20
1 2
R R 5�" 20
1�" 2
rezystancja R = = = 4�,
w
R + R 5 + 20
1 2
U 80
ab
ad b) prąd pobierany przez opornik Ro I = = = 4A,
R + R 4 +16
o w
ad c) korzystamy z warunku dopasowania zródła do odbiornika: R = R , zatem
w odb
U 80
ab
I = = = 10A moc max pobierana przez odbiornik
2 �" R 2 �" 4
w
2 2
P = R �" I = 4 �"10 = 400W.
max w
Odp.: a) Uab=80V, Rw=4�; b) I=4A; c) Pmax=400W
Zadanie 24
Zastąpić w obwodzie zródło napięcia zródłem
prądu. Obliczyć prąd
w oporniku o oporności Ro = 16� przyłączonym
do zacisków a i b .
R1=5�
a
Rozwiązanie:
Obliczamy parametry zródła prądu:
E=100V
R2=20�
E 100
I = = = 20A,
zr
R 5
1
1 1 1 1
b
G = + = + = 0,25S
z
R R 5 20
1 2
prąd płynący przez opornik Ro przyłączony do
zacisków a-b:
26
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
1 1
G = = = 0,0625S,
o
R 16
o
G I 20�" 0,0625
o zr
I = = = 4A.
G + G 0.25 + 0,0625
o z
Odp.: I=4A
Zadanie 25
Charakterystyka prądowo napięciowa elementu nieliniowego wyraża się
b
zależnością U = a �" I . Jakie są wartości stałych a i b, jeżeli przy napięciu 100 V
prąd wynosi 0,75 A, a przy napięciu 200 V prąd wynosi 2,46 A ?
Rozwiązanie
U = a �" I exp b
1 1
U = a �" I exp b
2 2
�# ś#
U I
1 1
ś# ź#
= exp b po podstawieniu 0,5 = 0,305exp b
ś# ź#
U I
2 �# 2 #
log0,500
b = = 0,583,
log0,305
U 100
1
a = = = 118,3.
I exp b 0,75exp0,583
1
Odp. a = 118,3, b = 0,583.
Zadanie 26
Charakterystyka prądowo napięciowa elementu nieliniowego wyraża się
3
zależnością u = a i . Wyznaczyć rezystancję statyczną Rs i rezystancję
dynamiczną Rd w funkcji a) napięcia, b) prądu.
Rozwiązanie
Dla oporności statycznej w funkcji napięcia i prądu
u u a3 a
Rs = = = = ,
u3
i u2 3
i2
a3
Dla oporności dynamicznej w funkcji napięcia i prądu
27
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
'
du a a3
Rd = = (a3 i) = = .
di 3u2
33 i2
Zadanie 27
Obliczyć pojemność zastępczą i ładunek trzech kondensatorów o pojemnościach 4,6
i 8źF połączonych równolegle, jeżeli do zacisków obwodu doprowadzono napięcie
200V.
C1
C3
C2
U = 200V
Rozwiązanie
Pojemność zastępcza Cz = C1 + C2 + C3 = 4 + 6 + 8 = 18[źF]
Aadunek zgromadzony na okładkach kondensatorów
Q1 = C1U = 4�" 200 = 0,8�"10-3C,
Q2 = C2U = 6�" 200 = 1,2�"10-3C,
Q3 = C3U = 8�" 200 = 1,6�"10-3C,
Q = (C1 + C2 + C3 )U = 18�" 200 = 3,6�"10-3C,
Odp.: Cz=18 źF, Q = 3,6*10-3 C
Zadanie 28
Do zacisków obwodu złożonego z trzech połączonych szeregowo kondensatorów o
pojemnościach 4,6 i 8źF doprowadzono napięcie stałe 200V. Obliczyć pojemność
zastępczą układu i napięcie na każdym kondensatorze.
C1
C2
C3
U3
U1 U2
U=200V
28
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Rozwiązanie
Pojemność zastępcza układu kondensatorów
1 1 1 1 1 1 1
= + + = + + =
Cz C1 C2 C3 4 6 8
1
0,542 ,Cz = 1,85źF;
źF
ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora
Q = C1U1 = C2U2 = C3U3 = CzU
Cz 1,85
stąd: U1 = U = 200 = 92,4V ,
C1 4,0
analogicznie obliczamy U2 i U3.
Odp.: C = 1,85źF; U1 H" 92V; U2 H" 62V; U3 H" 46V
Zadanie 29
Trzy kondensatory o pojemnościach C1 = 6źF, C2 = 8źF, C3 = 16źF połączono jak na
rysunku i cały układ zasilono napięciem U = 380V. Obliczyć napięcia na
poszczególnych kondensatorach, energię pola elektrycznego poszczególnych
kondensatorów, pojemność zastępczą
i energię całego układu.
U1
U3
C1
U2
C3
C2
Rozwiązanie
Pojemność zastępcza kondensatorów C1 i C2 połączonych równolegle
C12 = C1 + C2 = 6 + 8 = 14źF
Pojemność zastępcza całego układu
C1,2C3
14�"16
C1,3 = = = 7,47źF
C1,2 + C3 14 +16
napięcia na okładkach kondensatorów
29
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Q Q
U = U1 + U3 = + ; Q = C1,3U
C1,2 C3
C1,3U
Q 7,47�" 380
U1 = U2 = = = = 202,8V
C1,2 C1,2 14
C1,3U
7,47�" 380
U3 = = = 177,4V
C3 16
energia pola elektrycznego kondensatorów
1
W1 = C1U1 = 0,5�"6�"10-6202,82 = 0,12J,
2
1
W2 = C2U1 = 0,5�"8�"10-6202,82 = 0,17J,
2
1
W3 = C3U3 = 0,5�"16�"10-6177,42 = 0,25J,
2
1
Wz = C1,3U3 = 0,5�" 7,47�"10-63802 = 0,54J,
2
Odp.: U1 = U2 = 203V; U3 = 177V; W = 0,54J, W1 = 0,12J, W2 = 0,17J, W3 = 0,25J
; Cz = 7,47ź
Zadanie 30
Obwód zawiera dwa kondensatory naładowane do napięć początkowych pokazanych
na rysunku. Obliczyć napięcie, które ustala się na zaciskach kondensatorów po
zamknięciu wyłącznika.
R=10 k&!
200V
30pF
100pF 80V
Rozwiązanie
Po zastąpieniu kondensatorów naładowanych kondensatorami nie naładowanymi i
dodatkowymi zródłami napięcia otrzymujemy obwód
30
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
R=10 k&!
100pF 30pF
200V
80V
i
R=10 k&!
-
+
27,7V
100pF
30pF
92,3V
+
-
80V
200V
Napięcie równe różnicy napięć 200 80 = 120V po osiągnięciu stanu ustalonego
rozdzieli się na oba kondensatory odwrotnie proporcjonalnie do ich pojemności
C2 30
U1 = U = 120 = 27,7V
C1 + C2 130
C1 100
U2 = U = 120 = 92,3V
C1 + C2 130
Na zaciskach kondensatora 100pF powstanie napięcie 27,7V i o biegunowości jak
na rysunku
R=10 k&!
-
+
27,7V
100pF
30pF
92,3V
+
-
80V
200V
31
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Sumując otrzymujemy napięcie ustalone na zaciskach każdego kondensatora
R=10 k&!
172,3V 172,3V
30pF
100pF
Odp.: U = 172,3V U1=40V, U2=100V
Zadanie 31
W obwodzie pokazanym na rysunku E = 12V, R =
6&! oraz L = 50mH, obliczyć:
napięcie na oporniku R , na indukcyjności L oraz
pochodną prądu względem czasu w chwili
zamykania wyłącznika,
napięcie na oporniku R na indukcyjności L oraz
pochodną prądu względem czasu w chwili gdy prąd
w obwodzie wynosi 1,5A,
Rozwiązanie
Równanie napięć ma postać:
di
E = uR + uL = R �" i + L
dt
t=0
R
Ad a) gdy t = 0 uR = 0 a uL = 12V
E=12V
di
L
uL = L
dt
zatem dla t = 0
di uL 12 A
= = = 240
dt L 0,05 s
Ad b) uR = R �" i = 6�"1,5 = 9,0V;
uL = E - R �" i = 12 - 9 = 3V
di uL 3 A
Stąd = = = 60 .
dt L 0,05 s
32
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Odp. a) dla t = 0, i = 0, UR = 0, UL = 12V ;
di/dt = 240A/s, b) UR = 9V, UL = 3V;
di/dt = 60A/s
Zadanie 32
Dla obwodu przedstawionego na rysunku należy
obliczyć moc PR i PL dla różnych wartości prądu
płynącego w obwodzie.
Rozwiązanie
Prąd zaczyna wzrastać od zera do wartości
E 100
ustalonej I = = = 20A wyniki obliczeń
R 5
zestawiono w tabeli dla wzrastających wartości t=0
R=5�
prądu w odstępach co 5A
E=100V
0 5 10 15 20 L
i[A]
0 25 50 75 100
uR = R �" i[V]
0 125 500 1125 2000
PR = uR �" i[W]
100 75 50 25 0
uL = U - uR[V]
0 375 500 375 0
PL = uL �" i[[W]
Odp.: moc na indukcyjności ma wartość
maksymalną , gdy napięcie na indukcyjności
równa się połowie napięcia zródła.
Zadanie 33
W obwodzie pokazanym na rysunku E = 50V ,
R1
R1 = 10� , L1 = 0,2H , L2 = 0,08H , M = 0,1H .
L1
E
Obliczyć napięcie samoindukcji i indukcji
I1
wzajemnej każdej cewki dla chwili w której
wyłącznik jest zamknięty.
R2
L2
Rozwiązanie
I2
33
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
Równania napięć dla pierwszej i drugiej cewki
di1 di2
E = R1i1 + L1 - M ;
dt dt
di2 di1
0 = R2i2 + L2 - M
dt dt
di1 di2
50 = 10�" i1 + 0,2 - 0,1 ;
dt dt
di2 di1
0 = 5�" i2 + 0,08 - 0,1 .
dt dt
dla t = 0 oraz i1 = 0 i2 = 0
di1 di2 di2 di1
50 = 0,2 - 0,1 ; 0 = 0,08 - 0,1
dt dt dt dt
stąd
di1 50 A di2 A
= = 667Ą# ń#, = 834Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
dt 0,075 s dt s
Ł# Ś# Ł# Ś#
napięcia na indukcyjnościach własnych wynoszą
di1
UL1 = L1 = 0,2 �"667 = 134,4[V]
dt
di
2
U = L = 0,08 �" 834 = 66 ,7[V]
L 2 2
dt
napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki pierwszej
di2
UM1,2 = M = 0,1�"834 = 83,6[V]
dt
napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki drugiej
di1
UM 2,1 = M = 0,1�" 667 = 66,7[V]
dt
Odp.: UL1=134,4V, UL2=66,7V, UM1,2=83,6V, UM2,1=66,7V.
Zadanie 34
Obliczyć okres T oraz wartość prądu i(0) w chwili t = 0 dla następujących
przebiegów:
Ą
ś#
i = 15 2 �" sin�#157t -
ś# ź#
4
�# #
34
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
i = 10 2 �" sin(377t -120o )
Rozwiązanie
Dla przebiegu a)
2Ą 2�" Ą
T = = = 0,04[s], i(o) = 15 2 �"(-0,706) = -15,0[A];
� 157
Dla przebiegu b)
2Ą 2�" Ą
T = = = 0,0167[s] i(0) = 10 2 �"(-0,866) = -12,2A
� 377
Odp.: a) T = 0,04s; b) T = 0,0167s;
b) i(o) = -21,2A; b) i(o) = -12,2A
Zadanie 35
Wyznaczyć fazę i wartość chwilową prądu w podanej niżej chwili t dla następujących
przebiegów:
Ą
ś#
i = 10 2 �"sin�#�t + ; f = 50Hz ; t = 0,005s
ś# ź#
6
�# #
i = 0,8sin(�t - 0,2Ą ); f = 60Hz ; t = 0,01s
Rozwiązanie
Dla przebiegu a)
Ą Ą Ą Ą
ś# ś# ś#
i = 10 2 sin�#2Ąft + = 10 2 sin�#2�" Ą�"50�"0,005 + = 10 2 sin�# + =
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
6 6 2 6
�# # �# # �# #
2 2
= 10 2 sin Ą = 8,66 2 = 12,25[A];ą = Ą.
3 3
Dla przebiegu b)
i = 0,8sin(�t - 0,2Ą) = 0,8sin(2Ąft - 0,2Ą) = 0,8sin(2Ą60�" 0,01- 0,2Ą) =
= 0,8sin(1,2Ą - 0,2Ą) = 0,8sin(Ą) = 0;ą = Ą.
Odp. a) 2/3 ; i = 12,25A; b) ą = ; i = 0
Zadanie 36
Jakie są amplitudy i wartości skuteczne napięć o pokazanych niżej przebiegach i
wartościach chwilowych w chwili t = 0 :
Ą
ś#
e = Em �"sin�#�t + ; e(o) = 250V
ś# ź#
6
�# #
35
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
2
ś#
e = Em �"sin�#�t - Ą ; e(o) = -346V
ś# ź#
3
�# #
5
ś#
u = U �"sin�#�t - Ą ; u(o)= 220V
ś# ź#
m
4
�# #
Rozwiązanie
Dla przebiegu a)
Ą e(0) 250 E
m
e(0) = E sin �! E = = = 500V;E = = 353V.
m m
Ą
6 0,5
2
sin
6
Dla przebiegu b)
2 e(0) - 346 E
m
e(0) = E sin�#- Ąś# �! E = = = 400V;E = = 283V.
ś# ź#
m m
0
3 sin(-120 ) - 0,866
2
�# #
Dla przebiegu c)
5 u(0) U
m
u(0) = U sin�#- Ąś# �! U = = 311V;U = = 220V.
ś# ź#
m m
4 sin(- 225)
2
�# #
Odp.: a) e(o) = 500V, E =353V; b ) e(o) = 400V,
E = 283V; c) u(o) = 311V, U = 220V
Zadanie 37
Na napięcie U = 380V, f = 50Hz włączono gałąz szeregową złożoną z idealnego
kondensatora o pojemności C = 40źF i opornika o rezystancji R = 100�. Wyznaczyć
wartości skuteczne i przebiegi prądu oraz napięcia przyjmując, że faza początkowa
napięcia �u = 0.
Rozwiązanie
Reaktancja kondensatora
6
1 1 10
X = = = = 79,6[�],
C
�C 2 �" Ą �" f �" C 314 �" 40
2 2 2 2
impedancja gałęzi Z = R + X = 100 + 79,6 = 127,8[�]
C
U 380
prąd przepływający przez gałąz I = = = 2,97[A],
Z 127,8
spadek napięcia na rezystancji U = R �" I = 100 �" 2,97 = 297[V],
R
spadek napięcia na kondensatorze U = X �" I = 2,97 �" 79,6 = 236,7[V],
C C
36
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
X 79,6
ś# ś#
o
C
kąt przesunięcia fazowego � = arctg�#- = arctg�#- = -38,5
ś# ź# ś# ź#
R 100
�# # �# #
Odp. przebiegi prądu i napięć
o
( )
i = I 2 sin(�t - �) = 2,97 2 sin 314t + 38,5 ,
o
()
u = R �" i = 297 2 sin �t + 38,5 ,
R
1
o o
()()
u = I 2 sin �t + � - 90 = 236,7 2 sin �t - 51,5 .
C i
�C
Zadanie 38
Gałąz szeregowa złożona z opornika o rezystancji R = 60� i cewki indukcyjnej
podłączono do sieci o napięciu U = 220V, f = 50Hz, pobiera prąd I = 2,5A. W tę samą
gałąz włączono kondensator i stwierdzono, że skazanie amperomierza nie uległo
zmianie. Obliczyć parametry L i C, wykonać wykres wektorowy dla obu przypadków.
Rozwiązanie
U U
I = = stąd otrzymujemy X = 2 �" X .
C L
2 2 2
2
R + X
R + (X - X )
L
L C
Reaktancja i indukcyjność cewki
2
2
U �# ś#
220
�# ś#
XL = - R2 =
ś# ź# - 602 = 63,4[�],
ś# ź#
I 2,5
�# #
�# #
2
2
XL 1 U 1 �# ś#
220
�# ś#
L = = - R2 =
ś# ź# - 602 = 200[mH],
ś# ź#
2Ąf 2Ąf I 2 �" Ą �" 50 2,5
�# #
�# #
U
UL
+Ć UR
I
I
a) wykres wektorowy dla obwodu R L
37
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
UL
UR
I
-Ć
UC
U
b) wykres wektorowy dla obwodu R L C
Reaktancja i pojemność kondensatora
1
XC = ,
2 �" Ą �" C
1 1
C = = = 25[źF].
2 �" Ą �" f �" XC 2 �" Ą �" 50 �" 2 �" 63,4
Odp.: C=24,5źF, L=210mH
Zadanie 39
W obwodzie pokazanym na rysunku wszystkie trzy woltomierze wskazują te samą
wartość skuteczną napięcia U. Wyznaczyć parametry R, L, jeżeli C = 30źF,
a częstotliwość napięcia zasilającego f = 50Hz.
R
V
V
L
C V
Rozwiązanie
Reaktancja kondensatora
38
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
1 106
XC = = = 106,2[�],
2 �" Ą �" f �" C 2 �" Ą �" 50 �" 30
z warunku wskazań woltomierzy:
2
UR ,L = UC, I R2 + X2 = I �" XC �! R2 + X2 = XC,
L L
2 2
2 2 2
UR ,L,C = UC, I R + (X - X ) = I �" X �! R + (X - X ) = X ,
L C C L C C
po rozwiązaniu otrzymujemy: X = 2 �" X ,
C L
URL
UL
UR
I
UC
URLC
X X 106,2
L C
zatem L = = = = 0,17[H].
2Ąf 4Ąf 4 �" Ą �" 50
2 2 2 2
Rezystancja R = X - X = 106,2 - 53,1 = 91,7[�].
C L
Odp. R = 91,7&!, L = 0,17H
Zadanie 40
Na napięcie U = 400 2 cos 314t włączono idealną cewkę L = 0,2H w szereg z
opornikiem o rezystancji R = 100�. Obliczyć wartości skuteczne oraz przebiegi
czasowe prądu i napięć na poszczególnych elementach.
Rozwiązanie
Uwaga; ponieważ cos�t = sin(�t+90�), zatem �u=90�
Reaktancja cewki X = ��" L = 314 �" 0,2 = 62,8[�],
L
2 2 2 2
Impedancja obwodu Z = R + X = 100 + 62,8 = 118[�],
L
39
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
XL 62,8
Kąt przesunięcia fazowego � = arctg arctg H" 32o
R 100
U 400
Prąd I = = 3,39[A],
Z 118
o
( )
i = I 2 sin(�t + � - �) = 3,39 2 sin �t + 58 ,
u
u = R �" I = 100 �" 3,39339[V],
R
o o
() )
(
u = ��" L �" I sin �t + � - � + 90 = 213 2 sin �t +148 .
L m u
Odp.: UR = 339V, UL = 213V; i = 3,39 2 sin(�t+58�),
uR = 339 2 sin(�t+58�), uL = 213 2 sin(�t+148�)
Zadanie 41
Cewka idealna o indukcyjności L = 0,05H jest zasilana napięciem U
=125,6+j94,2 o częstotliwości f = 50Hz. Wyznaczyć wartość skuteczną
zespoloną i przebieg prądu w cewce.
Rozwiązanie
Reaktancja cewki X = �L = 2Ą �" 50 �" 0,05 = 15,7�,
L
U 125,6 + j94,2
Wartość zespolona prądu I = = = 6 - j8
j�L j15,7
- 8
2 2 o
Wartość skuteczna prądu I = 6 + 8 = 10[A] � = arctg = -53
i
6
o
( )
Przebieg prądu i = 10 2 sin 314t - 53 .
Odp.: I=10A; i = 10 2 sin(314t - 53�)
Zadanie 42
Kondensator o pojemności C = 100źF zasilono napięciem U = 110 j190 o
częstotliwości f = 50Hz. Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną i przebieg
prądu ładowania kondensatora.
Rozwiązanie
6
1 10
Reaktancja kondensatora X = = = 31,8[�],
C
�C 2 �" Ą �" 50 �"100
U U (110 - j190)
Prąd zespolony I = = = = 5,9 + j3,5
X - j31,8 - j31,8
C
40
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
3,5
2 2 o
Wartość skuteczna prądu I = 5,9 + 3,5 = 6,9[A] � = arctg H" 30 ,
i
5,9
o
()
Przebieg prądu i = 6,9 2 sin 314t + 30 .
Odp.: I=6,9[A]; i = 6,9 2 sin(314t + 30�)
Zadanie 43
Obliczyć pojemność C, jaką należy połączyć szeregowo z cewką o rezystancji R = 10
&! i indukcyjności L = 150 mH, aby częstotliwość rezonansowa obwodu wystąpiła
przy fr =100 Hz. Obliczyć natężenie prądu w obwodzie i napięcie na pojemności przy
rezonansie, jeżeli wartość skuteczna napięcia zasilającego obwód wynosi U = 100 V.
Rozwiązanie
Przy wystąpieniu rezonansu napięć w obwodzie:
U 100
I = I = = = 10[A],
max
R 10
1
X = X �! 2 �" Ą �" f �" L =
L C
2 �" Ą �" f �" C
1 1
stąd C = = = 16,9[źF],ź
2 2 2 2 3
4 �" Ą �" f �" L 4 �" Ą �"100 �"150 �"10-
Przy rezonansie napięcie na pojemności jest równe napięciu na indukcyjności:
5
I 10
U = I �" X = = = 942[V]
C C
2 �" Ą �" f �" C 2 �" Ą �"16,9
3
lub U = I �" X = 10 �" 2 �" Ą �"100 �"150 �"10- = 942[V] .
L L
Odp.: I = 10[A]; C = 16,9 [źF]; UC = UL = 942[V].
Zadanie 44
Do węzła dopływają dwa prądy o wartościach skutecznych I1 = 10A; I2 = 5A,
przy czym przebieg prądu i2 jest opózniony w fazie względem przebiegu prądu
i1 o kąt 60�, a częstotliwość obu prądów f = 50Hz. Wyznaczyć przebieg prądu
dopływającego i odpowiadającą mu funkcję wykładniczą przyjmując fazę
początkową �1 = 90�.
Rozwiązanie
o
Faza początkowa prądu I1 � = 90 a faza początkowa prądu I2
1
o o o
� = 90 - 60 = 30
2
41
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
o o
( )
I = I (cos� + jsin � ) = 10 cos90 + jsin90 = j10
1
1 1 1
o o
( )
I = I (cos� + jsin � ) = 5 cos30 + jsin 30 = 4,3 + j2,5
2
2 2 2
12,5
o
Prąd wypadkowy I = I + I = j10 + 4,3 + j2,5 = 4,3 + j12,5 � = arctg = 71
1 2
i
4,3
2 2 o j71o
( )
I = 4,3 +12,5 = 13,2[A], i = 13,2 2 sin 314t + 71 = 13,2e
Odp.: I=13,2A; i = 13,2 2 sin(314t + 71�)
Zadanie 45
Trzy elementy: opornik R = 100�, idealna cewka L = 0,1H i idealny kondensator C =
16źF połączono równolegle i przyłączono do sieci o napięciu U = 220V i
częstotliwości f = 100Hz. Wyznaczyć prądy w poszczególnych gałęziach, prąd
wypadkowy pobierany z sieci oraz kąt przesunięcia fazowego między prądem a
napięciem.
Rozwiązanie
prądy płynące w gałęziach:
IR IL IC
L
R
C
U
U j200
I = = = j2,
R
R 100
U j200
I = = = 3,18,
L
jX j2 �" Ą �"100 �" 0,1
L
I = j�CU = j2 �" Ą �"100 �"16 �" j200 = -2,01,
C
I = j2 + 3,18 - 2,01 = j2 +1,17
wartości skuteczne prądów:
42
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
I = 2[A]; I = 3,18[A]; I = 2,01[A],
R L C
2 2
I = 1,17 + 2 = 2,32[A],
1
�# ś#
- �C
-3
ś# ź#
- B 5,85�"10
o
�L
ś# ź#
� = arctg�# ś# = artg = = 30
ś# ź#
1
G 0,01
�# #
ś# ź#
ś# ź#
�# R #
Odp.: IR=2A, IL=3,18A, IC=2,01A; I=2,31A; ĆH"30�
Zadanie 46
Jest dana wartość skuteczna napięcia U = 50 + j60. Wyznaczyć wartość
skuteczną zespoloną prądu, jeżeli I = 5A, a przebieg prądu jest opózniony w
fazie względem przebiegu napięcia o kąt � = arctg 1/3.
Rozwiązanie
j�i j(�u -�) j(�u -�)
I = Ie = Ie = Ie ,
U 50 + j60
j�u - j�
e = = = 0,64 + j0,77 , e = cos� - sin � = 0,95 + j0,32 ,
2 2
U
50 + 60
3
1
cos � = = 0,95;
sin � = = 0,32;
2 2
2 2
3 + 1
3 +1
stąd I = 5(0,64 + j0,77)(0,95 + j0,32) = 5(0,358 + j0,93) = 1,79 + j4,65
Odp.: I=1,79+j4,65
Zadanie 47
Jest dana wartość napięcia U = 10+j20 oraz wartość zespolona prądu I = 8+j6
odbiornika zasilanego tym napięciem. Obliczyć moc zespoloną oraz
współczynnik mocy.
Rozwiązanie
"
S = U �" I = (10 + j20)(8 - j6) = 200 + j100 ,
43
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
P = 200[W],
Q = 100[var],
2 2
S = 200 +100 = 223,6[VA],
P 200
współczynnik mocy cos� = = = 0,89.
S 223,6
Odp.: S=223,6VA; cos Ć=0,89�
Zadanie 48
Do zródła o napięciu U = 220V przyłączono równolegle trzy odbiorniki o
następujących:
P1 = 1000W, cos�1 = 1 tg�1 = 0
P2 = 500W, cos�2 = 0,6 �2 > 0 tg�2 = 1,33
P3 = 1200W, cos�3 = 0,8 �3 > 0 tg�3 = 0,75.
Wyznaczyć moc pozorną i prąd wypadkowy pobierany z sieci przez odbiorniki.
Rozwiązanie
Moc czynna pobierana przez odbiorniki
P = P + P + P = 1000 + 500 +1200 = 2700W,
1 2 3
moc bierna pobierana przez odbiorniki
Q = P �" tg� + P �" tg� + P �" tg� = 665 +1565 = 2230[var],
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2
S = P + Q = 2700 + 2230 = 3500[VA],
prąd wypadkowy pobierany przez odbiorniki
S 3500
I = = = 15,9[A],
U 220
współczynnik mocy
P 2700
cos� = = = 0,77.
S 3500
Odp.: S=3500VA; I=15,9A; cos Ć=0,77�
Zadanie 49
Do sieci prądu przemiennego o napięciu U = 400 V i częstotliwości f = 50 Hz
włączono odbiornik o mocy 6kW i współczynniku mocy cosĆ = 0,8. jakiej
44
WYŻSZA SZKOAA TECHNICZNO EKONOMICZNA W WARSZAWIE
pojemności kondensator należy przyłączyć równolegle , aby współczynnik mocy
wyniósł 0,95 ?
Rozwiązanie
Włączając kondensator kompensujemy
częściowo składową bierną prądu odbiornika
P
U �" ��" C = (tg� - tg� )
1 2
U
stąd
P
C = (tg�1 - tg�2 ) =
� �" U2
6 �"103
= (0,75 - 0,329) =
2 �"Ą �" 50 �" 4002
= 50,3[źF] Im
IC
Odp. C = 50,3 źF.
U Re
0 Ć2
Ć1
I IC
45

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Materiały pomocnicze do ćwiczenia nr 3 co powinien wiedzieć wnioskodawca (1)
TM1 Materiały pomocnicze do ćwiczeń(1)
TM1 Materiały pomocnicze do ćwiczeń(1)
MATERIA Y POMOCNICZE do warsztatu asertywno ci 1 1
Materiały pomocnicze do przedmiotu mikromaszyny
Materiał pomocniczy do listy 3
Material dydaktyczny do cwiczenia nr 1
form Fizyka w Mechatronice materialy pomocnicze do zajec
Jerzy Pogonowski Dwa paradygmaty metalogiki Materiały pomocnicze do wykładów 2 5
Materiały pomocnicze do wykładów
Kodowanie1 ETEK00003C materiały uzupełniające do ćwiczeń
Koncepcje zarz Materialy pomocnicze do studiowania

więcej podobnych podstron