FIZYKA W MECHATRONICE
Opracował: Grzegorz Banaszek
GDAC
SK 2009/2010
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SPIS TREÅšCI
I. MECHANIKA 3
II. WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW 16
III. DRGANIA 26
IV. MECHANIKA PA
YNÓW 32
V. TERMODYNAMIKA 39
VI. ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA 44
VII. UKA
ADY LOGICZNE 56
VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE 61
IX. BIBLIOGRAFIA 67
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
2
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
I. MECHANIKA
STATYKA
1) Stopnie swobody:
W mechanice mamy dwa rodzaje stopni swobody:
translacyjne: x, y, z,
rotacyjne: Åx, Åy, Åz.
Dowolna bryła sztywna w przestrzeni trójwymiarowej posiada 6 stopni swobody.
z
Åz
Åx
y
Åy
x
2) Obciążenia skupione:
siła P [N]
moment siły (para sił) M [Nm]
3) Obciążenia rozłożone:
siła rozłożona liniowo q [N/m]
siła rozłożona powierzchniowo p [N/m2]
siła rozłożona objętościowo ł [N/m3]
para sił rozłożona liniowo m [Nm/m]
4) Zapis wektorowy obciążeń w układzie xyz
siła
P Px i Py j Pz k
moment siły (para sił)
M Mx i My j Mz k ,
gdzie:
i , i , i wersory osi,
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
3
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Px, Py, Pz składowe wektora siły,
Mx, My, Mz składowe wektora momentu siły.
5) Redukcja dowolnego układu sił do siły głównej (wypadkowej) i głównego
momentu (wypadkowego) -pary sił
Dowolny układ sił można zastąpić układem równoważnym złożonym z jednej siły głównej,
przyłożonej w dowolnym punkcie A, , i jednej pary sił (głównego momentu), :
W M
A A
W Wx i Wy j Wz k
A
M Mx i My j Mz k ,
A
gdzie:
n
Wx Pxi
i 1
n
Wy Pyi
i 1
n
Wz Pzi
i 1
n
Mx Mxi
i 1
n
My Myi .
i 1
n
Mz Mzi
i 1
6) Warunki równowagi układów sił:
Równowaga jest stanem układu, w którym nie zmienia on swojego położenia względem
otoczenia. Warunki równowagi wynikają z I prawa Newtona. Liczba równań równowagi
odpowiada ilości stopni swobody, jakie posiada układ, na który działają siły.
Podstawowe warunki równowagi dla poszczególnych przypadków stanu obciążeń:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
4
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 przestrzenny dowolny układ sił
n
Pxi 0
i 1
n
Pyi 0
i 1
n
Pzi 0
i 1
n
Mxi 0
i 1
n
Myi 0
i 1
n
Mzi 0
i 1
przestrzenny zbieżny układ sił
n
Pxi 0
i 1
n
Pyi 0
i 1
n
Pzi 0
i 1
przestrzenny układ sił równoległych (do osi z)
n
Pzi 0
i 1
n
Mxi 0
i 1
n
Myi 0
i 1
układ płaski dowolny sił
n
Pxi 0
i 1
n
Pyi 0
i 1
n
MAi 0
i 1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
5
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 układ płaski zbieżny sił
n
Pxi 0
i 1
n
Pyi 0
i 1
układ płaski sił równoległych (do osi y)
n
Pyi 0
i 1
n
MAi 0
i 1
układ jednowymiarowy sił -równoległy do osi x
n
Pxi 0 .
i 1
7) Więzy i ich reakcje
Więzy są to ograniczenia ruchu nakładane na ciała, które odbierają tym ciałom stopnie
swobody. Fizycznie są to podparcia, zamocowania, utwierdzenia, przeguby, łożyskowanie,
cięgna krępujące ruch, inne ciała.
podpora przegubowa stała
podpora przegubowa ruchoma
idealnie sztywne podparcie (utwierdzenie)
przegub kulisty
elementy prętowe
cięgna wiotkie (mogą pracować tylko na rozciąganie)
podparcie kierunkowe  gładka płaszczyzna, ostra krawędz
.
8) Zasada oswobodzenia ciała od więzów
Każde ciało nieswobodne można przedstawić jako bryłę swobodną, odrzucając więzy i
zastępując ich działanie na ciało odpowiednio przyłożonymi siłami reakcj.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
6
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
KINEMATYKA I DYNAMIKA
Porównanie wielkości fizycznych dla ruchu postępowego i obrotowego
Rodzaj ruchu
Wielkość
fizyczna
postępowy obrotowy
Czas t[s] t[s]
Położenie(droga)
, [m]
r s , [rad]
Prędkość
dr d
v (kÄ…towa)
dt dt
Przyspieszenie
dv d
a (kÄ…towe)
dt dt
Masa m[kg] (masowy moment bezwładności)
J[kg·m2]
Siła
P [N] moment siÅ‚y (para siÅ‚) M [N·m]
Pęd
p m v [kg·m/s] (krÄ™t) K J [kg·m2/s]
t2 t2
Fdt [N·s] (pokrÄ™t) Mdt [Nm·s]
Popęd (impuls)
t1 t1
F t , gdy F=const. M t , gdy M=const.
II zasada
dynamiki
m a P J0 M0
Newtona
Siła
bezwładności
A m a MA J
(d'Alemberta)
2
Energia
m v2 J
Ek [J] Ek [J]
kinetyczna
2 2
Praca stałej siły
W F s [J] W M [J]
Moc stałej siły
dW dW
N F v [W] NM [W]
dt dt
Zależności wiążące
M r P
K r p r m v
a r
v r
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
7
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Kinematyka ruchu jednostajnie zmiennego
a t2 t2
s s0 v0 t t
0 0
Droga
2 2
Prędkość
v v0 a t t
0
Przyspieszenie a=const. µ=const.
II Zasada dynamiki Newtona
Ruch postępowy Ruch obrotowy Ruch płaski
n
m xC Pxi
n
i 1
m xC Pxi
n
n
i 1
I0 M0i
m yC Pyi
n
i 1
i 1
m yC Pyi
0  nieruchoma oÅ› obrotu
n
i 1
IC MCi
i 1
C  środek masy ciała
Energia kinetyczna
Ruch postępowy Ruch obrotowy Ruch płaski
m v2 J0 2 m vC2 JC 2
Ek Ek Ek
2 2 22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
8
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
ZAD. 1)
Z jakiej wysokości h z równi powinien zsuwać się bez tarcia klocek o masie m, aby w
najwyższym punkcie toru kołowego o promieniu R nie oderwał się od tego toru? Wszelkie
opory pominąć. Wyznaczyć reakcję toru na klocek w funkcji położenia kątowego .
ZAD. 2)
Klocek o masie m zsuwa siÄ™ bez tarcia wewnÄ…trz toru zakrzywionego o promieniu R.
NastÄ™pnie porusza siÄ™ na odcinku poziomym o współczynniku tarcia µ, uginajÄ…c sprężynÄ™ o
sztywności k. Oblicz maksymalne ugięcie sprężyny.
ZAD. 3)
Wyznacz przyspieszenie klocków układu przedstawionego na rysunku. Określ prędkość
uderzenia klocka m1 o podłoże oraz czas w chwili uderzenia. Ruch odbywa się ze stanu
spoczynku. Tarcza jest nieważka. Współczynnik tarcia ślizgowego klocka o podłoże wynosi
µ.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
9
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIE 4
Z równi nachylonej do poziomu pod kątem ą z wysokości H stacza się bez poślizgu kula bez
prędkości początkowej. Wyznaczyć maksymalną wysokość hmax, na jaką wzniesie się kula po
opuszczeniu toru zakrzywionego. Opory toczenia pominąć.
H
hmax=?
2Ä…
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
10
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 5)
Na nieruchomej scenie teatralnej o masie M i promieniu R stoi człowiek o masie m. W
pewnej chwili człowiek rozpoczyna spacer wzdłuż obwodu sceny ze stałą prędkością V
(względem podłoża). Traktując scenę jak tarczę a człowieka jak masę skupioną, wyznacz
prędkość kątową sceny.
m
R
M
ZAD. 6)
Belkę o długości L zamocowano przegubowo na końcu i odchylono do pionu. Wyznaczyć
prędkość kątową belki w położeniach I i II.
I
II
ZAD. 7)
Tarczę o promieniu r rozpędzono do prędkości V0. Na jaką wysokość h wzniesie się tarcza na
równi o kÄ…cie nachylenia Å, jeżeli jej prÄ™dkość zmaleje o poÅ‚owÄ™ a toczenie odbywa siÄ™ bez
poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość h, na którą wtoczy się tarcza. Podobne
doświadczenie wykonano z kulą posiadającą ten sam promień r. Który z obiektów wzniesie
się wyżej?
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
11
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 8)
Do układu dwóch ciał (rys.) przyłożono siłę F. Jakie będzie przyspieszenie liniowe tego
układu? Opory toczenia pominąć, tarcza toczy się bez poślizgu, a współczynnik tarcia
Å›lizgowego klocka o podÅ‚ożę wynosi µ. Masa każdego ciaÅ‚a wynosi m, promieÅ„ tarczy równy
jest r.
F
ZAD. 9)
Do układu dwóch sprężyn o sztywnościach k1 i k2, przyłożono siłę F. Jakie będzie ugięcie
sprężyn?
k1 k2
F
ZAD. 10)
A
ańcuch o długości 1/2 obwodu koła o promieniu R znajduje się w spoczynku na gładkiej
czaszy kulistej. W pewnej chwili łańcuch rozpoczyna zsuwanie po czaszy. Wyznaczyć
prędkość łańcucha w chwili gdy jego ostatnie ogniwo opuści czaszę.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
12
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 11)
Oswobodzić układ z więzów, narysować niewiadome wielkości reakcyjne zgodne z
nałożonymi więzami oraz określić statyczną wyznaczalność układu.
ZAD. 13)
Dla układów przedstawionych na rysunkach wyznaczyć reakcje w podporach i siły w
przegubach.
a)
M
L
F
2L
3L
2L
q
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
13
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b)
2L M
F
Ä…
q
3L L 2L
c)
a
a
P
a
3P
a
a a a
2P
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
14
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
d)
q M
Ä…
F
3L
L
e)
2P
M=PL
L L L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
15
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
II. WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
1) Prawo Hooke'a
Do granicy sprężystości materiału naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń. Dla
jednoosiowego stanu rozciągania/ściskania można zapisać:
E
gdzie:
E [N/m2] moduł Younga sprężystości wzdłużnej materiału,
µ [-] odksztaÅ‚cenie wzglÄ™dne,
L
,
L
L [m] przyrost długości,
L [m] długość początkowa .
Korzystając z definicji naprężeń dla jednoosiowego stanu rozciągania i ściskania otrzymamy:
N L
E
A L
.
N L
L
E A
2) Pojęcie naprężenia
sila
naprężenie
powierzchnia
normalna
dP elementarna siła
dN
styczna
dT
dA - elementarna
powierzchnia
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
16
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 naprężenie normalne
dN
dA
naprężenie styczne
dT
dA
3) Siły wewnątrzmateriałowe
siła normalna N
siła poprzeczna (tnąca) T
moment gnÄ…cy Mg
moment skręcający Ms
T
Ms
N
Mg
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
17
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4) Podstawowe stany wytrzymałościowe
NAPR
ŻENIA
NORMALNE Ã [MPa] STYCZNE Ä [MPa]
Åšcinanie(czyste
Rozciąganie/Ściskanie Zginanie Skręcanie
technologicznie)
Ms
Mg
y
s
g
I0
Ix
N T
Ms
Mg max
r / c t
max
s
A A
g
W0
Wx
I0[m4]-moment
Ix[m4]-moment
A[m2]-pole przekroju A[m2]-pole przekroju
bezwładności biegunowy
bezwładności osiowy
poprzecznego poprzecznego
W0[m3]-wskaz
nik przekroju
Wx[m3]-wskaz
nik przekroju
na skręcanie
na zginanie
5) Naprężenia dopuszczalne
nieb
k
dop
n
gdzie:
[Pa] naprężenie niebezpieczne, najczęściej jest to granica plastyczności materiału,
nieb
Re
n [-] współczynnik bezpieczeństwa (pewności), zawsze n > 1.
6) Warunki wytrzymałościowe
rozciÄ…ganie
N
kr /c
r / c
A
ścinanie
T
kt
t
A
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
18
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 zginanie
Mg
kg
g
Wx
skręcanie
Ms
ks
s
W0
7) Wskaz
niki przekrojów podstawowych figur płaskich
kołowy pełny
d3
Wx
32
d3
W0
16
kołowy drążony
(D4 d4)
Wx
32 D
(D4 d4)
W0
16 D
prostokÄ…tny b×h
b h2
Wx .
6
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
19
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
ZAD. 1)
a) Jaką siłę należy przyłożyć do stempla wycinającego kształty z blach o grubości g
pokazanych na rysunku? Dane: Ret=220MPa, g=1.5 mm, a=3cm, b=4cm, r=5cm-
promień wyciętego fragmentu koła.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
20
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b) Jaką średnicę d powinny mieć sworznie, aby nie uległy ścięciu, jeżeli współczynnik
bezpieczeństwa przyjęto n=3. Ret=180MPa, P=10kN
P
P
d d
P P
c) Jaką średnicę d powinien mieć sworzeń mocujący krążek linowy, aby nie uległ
ścięciu. Przyjąć współczynnik bezpieczeństwa n=3.5. Ret=250MPa, P=3.45kN.
P
sworzeń
P
d
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
21
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 2)
Dla układów przedstawionych na poniższych rysunkach wyznaczyć siły normalne w prętach
oraz naprężenia. Kształty i wymiary przekrojów podano na rysunkach. Określić odkształcenia
prętów.
b
q
h
L
2a
a
A
a
a
q
M
A
Ä…
2L
b
2b
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
22
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1 2
L d
2b
b
Q
a a
2b
b
q
Ä…
a a
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
23
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
²
Q
Ä…
a
L
d
a 1 2
ZAD. 3)
Dla belek przedstawionych na rysunkach wyznaczyć:
a) reakcje podpór,
b) momenty gnÄ…ce w charakterystycznych punktach belki,
c) siły tnące w tych punktach,
d) maksymalne naprężenia gnące dla przedstawionego przekroju poprzecznego belki,
M=PL
2P
L L
2L
d
X
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
24
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 M= PL
2P
B
2 L
L
A
a
a
q
Ä…= 30°
F = qL
B
M=2qL2
A
3L L
M=2PL
3P
L L
A
d
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
25
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
III. DRGANIA
1) Ruch harmoniczny (nietłumiony)
Równanie ruchu
x(t) A sin( t )
Prędkość
dx(t)
v(t) A cos( t )
dt
Maksymalna prędkość
vmax A
Przyspieszenie
d2x(t)
2
a(t) A sin( t )
dt2
Maksymalne przyspieszenie
2
amax A
Energia kinetyczna
11
Ek (t) m v2(t) m A2 2 cos2( t )
22
Energia potencjalna
11
Ep(t) k x2(t) A2 sin2( t )
22
Zasada zachowania energii mechanicznej-drgania nietłumione
1 1 1 1
Emech(t) Ek(t) Ep(t) m v2(t) k x2(t) m A2 2 k A2 const.
2 2 2 2
2) TÅ‚umienie wiskotyczne
W modelu tłumienia wiskotycznego, siła oporu (dyssypacji energii) jest proporcjonalna do
prędkości względnej końców tłumika
Ftl b (v2 v1) b (x2 x1) ,
natomiast energiÄ™ rozpraszanÄ… (funkcjÄ™ dyssypacji energii) obliczamy ze wzoru
11
D b (v2 v1)2 b (x2 x1)2 .
22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
26
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3) Elementy sprężyste i tłumiące:
liniowe  siły w sprężynie i tłumiku:
Fspr k (x2 x1)
,
Ftl b (x2 x1)
gdzie:
k[N/m], b[N/(m/s)], xi[m], x [m/s]
obrotowe (rotacyjne)  momenty sił w sprężynie i tłumiku:
Mspr k0 ( )
2 1
Mtl b0 ( )
2 1
gdzie:
k0[N·m/rad], b0[N·m/(rad/s)], Åi[rad], [rad/s]
4) A
ączenie elementów sprężystych i tłumiących
szeregowe
n
11
kki
zast
i 1
n
11
bbi
zast
i 1
równoległe
n
kzast ki
i 1
n
bzast bi
i 1
5) Różniczkowe równanie drgań swobodnych tłumionych:
Dla drgań układu o 1 stopniu swobody z tłumieniem wiskotycznym równanie ruchu
przyjmuje postać
mzast x bzast x kzast x 0
,
2
x 2 h x x 0
0
gdzie:
mzast,bzast,kzast zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia i sztywności,
kzast
częstość drgań własnych nietłumionych (rezonansowa),
0
mzast
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
27
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
T0 okres drgań własnych nietłumionych,
0
bzast
h współczynnik tłumienia.
2 mzast
Dla maÅ‚ego tÅ‚umienia, tzn. gdy É0>h, czÄ™stość i okres tÅ‚umionych drgaÅ„ wÅ‚asnych obliczamy
z zależności:
2
h2
tl 0
.
2
Ttl
tl
6) Logarytmiczny dekrement tłumienia
W przypadku tłumienia wiskotycznego stosunek dwóch wychyleń odległych od siebie o Ttl
jest wielkością stałą, a jego logarytm naturalny jest bezwymiarową miarą tłumienia układu i
nosi nazwę logarytmicznego dekrementu tłumienia
x(t)
ln h Ttl .
x(t Ttl)
7) Energia drgań tłumionych
2 h t
E(t) E0 e ,
gdzie:
E0[J] energia poczÄ…tkowa (dla t=0),
t[s] czas.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
28
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
Dla układów przedstawionych na rysunkach określić:
a) różniczkowe równanie ruchu drgań swobodnych,
b) zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia, sztywności,
c) częstość i okres drgań swobodnych tłumionych i nietłumionych (dla tłumienia małego,
tzn. É0>h),
d) logarytmiczny dekrement tłumienia.
ZAD. 1)
m
b
2L
k
k0
L
ZAD. 2)
x
k
b
m
O
2k
m r kula
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
29
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 3)
m g
Ác
b
a
ZAD. 4)
b
Kula, m, r
m
r
µ= 0
m
k
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
30
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 5)
b
k L L
A
JA
ZAD. 6)
x
k
2k
k
m
h
ź = 0
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
31
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
IV. MECHANIKA PA
YNÓW
1) Ciśnienie hydrostatyczne
phydrost g h ,
gdzie:
Á[kg/m2] gÄ™stość cieczy,
g=9.81 m/s2 przyspieszenie grawitacyjne,
h[m] wysokość słupa cieczy.
2) Ciśnienie całkowite
p p0 phydrost p0 g h
p0 ciśnienie zewnętrzne na poziomie uznawanym za h=0, a dla zbiorników
otwartych ciśnienie atmosferyczne na powierzchni cieczy (w warunkach
normalnych jest to 1013 hPa)
3) Objętościowe natężenie przepływu
q A v
,
gdzie:
A[m2] powierzchnia przekroju poprzecznego rurociÄ…gu,
v[m/s] prędkość płynu.
4) Masowe natężenie przepływu
m q A v .
5) Prawo ciągłości przepływu (strugi)
A1 v1 A2 v2 const .
6) Równanie Bernoulliego, zasada zachowania energii
W przypadku cieczy nieściśliwej, nielepkiej, gdy przepływ jest stacjonarny, energię jednostki
masy płynu obliczamy z zależności
v12 p1 v22 p2
g h1 g h2 const
22
gdzie:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
32
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
h[m] wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna.
Poszczególne człony równania to energia kinetyczna, energia potencjalna, energia ciśnienia.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
33
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
ZAD. 1)
Wyznaczyć maksymalną wysokość H napełnienia zbiornika, przy której będzie jeszcze
zagwarantowana szczelność klapy o długości L. Określić wartość i miejsce przyłożenia
wypadkowej naporu na obie części klapy, jeżeli jej szerokość wynosiła b.
L
H
ZAD. 2)
Z zaworu hydrantu umieszczonego na wysokości h nad ziemią wypływa woda. Wyznaczyć
prędkość wypływu wody, zasięg strumienia oraz czas, po upływie którego woda opadnie na
ziemię. Ciśnienie na wysokości zaworu wynosi p1, a zewnętrzne patm.
P0
P1
h
L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
34
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 3)
Wyznaczyć prędkości V1 i V2 wypływu cieczy z otwartego zbiornika systemem dwóch rur o
jednakowych średnicach d umieszczonych jak przedstawiono na rysunku w odległości h od
środka otworu wylotowego. Dla jakiej wysokości H, natężenie przepływu w górnej rurce
będzie 2 razy mniejsze od natężenia przepływu w dolnej?
Patm
H
d
V1
h
h
V2
d
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
35
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 4)
A dyszy o powierzchni przekroju poprzecznego A wypÅ‚ywa strumieÅ„ cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á z
prędkością V w kierunku poziomym. Następnie strumień uderza o pionową płytę opierającą
się o dwie sprężyny o sztywności k każda. Wyznaczyć siłę naporu N strumienia na płytę oraz
ugięcie x płyty.
X
X
k
V
k
A
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
36
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD.5)
Określić wysokość h na jaką wystrzeli strumień wody z dyszy. Różnica poziomów lustra
cieczy w zbiorniku i końcówki dyszy wynosi H, ciśnienie wewnątrz zbiornika p1, natomiast
ciśnienie zewnętrzne p0.Powierzchnie zbiornika i dyszy są odpowiednio A1, A2.
h
H
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
37
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 6)
Wyznaczyć masę M przeciwwagi zastosowanej do zabezpieczenia klapy przed otwarciem,
jeżeli wiadomo, że słup cieczy o wysokości H powoduje jej otwarcie. Szerokość klapy
wynosi b. Określić wielkość siły naporu na klapę i punkt jej przyłożenia.
H Q
L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
38
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
V. TERMODYNAMIKA
1) Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazów
2 N
pEkin,sr ,
3 V
gdzie:
p [N/m2] ciśnienie
N [-] liczba czÄ…stek
V [m3] objętość
Ekin,sr [J] energia kinetyczna średnia
3
Ekin,sr k T ,
2
T [K] temperatura bezwzględna,
RJ
23
k 1.38 10 stała Boltzmanna
NA K
2) Równanie Clapeyrona stanu gazu doskonałego
m
p V R T ,
gdzie:
m [kg] masa gazu,
[kg/kmol] masa molowa,
kJ
R 8.314 uniwersalna stała gazowa,
kmol K
3) Liczba Avogadra
Jeden mol substancji jest to taka masa, która zawiera ilość cząstek równą liczbie Avogadra
czÄ…stek.
NA 6.022 1023
4) Mieszaniny gazów (doskonałych)
p V (n1 n2 ... ni ...) R T ,
gdzie:
ni liczba moli i-tego składnika
p. V, T parametry całej mieszaniny.
5) Prawo Daltona o wypadkowym ciśnieniu
p p1 p2 ... pi ...
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
39
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
pi [N/m2] ciśnienie i-tego składnika.
6) Przemiany gazowe
a) izotermiczna ( T=const ), prawo Boyle'a-Mariotte'a
p V const
p1 V1 p2 V2
b) izobaryczna ( p=const ), prawo Gay-Lussaca
V1
const
T1
V1 V2
T1 T2
c) izochoryczna ( V=const ), prawo Charlesa
p
const
T
p1 p2
T1 T2
d) adiabatyczna ( Q=0 ), równanie Poissona
p V const
p1 V1 p2 V2
gdzie:
Cp
wykładnik adiabaty.
Cv
e) politropowa ( ogólna przemiana gazów doskonałych )
p Vm const
p1 V1m p2 V2m
gdzie:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
40
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
C Cp
m
C Cv
jest wykładnikiem politropy.
7) Równanie Mayera
Cp Cv R ,
gdzie:
Cp, Cv [J/(mol·K)] ciepÅ‚a wÅ‚aÅ›ciwe przy staÅ‚ym ciÅ›nieniu i staÅ‚ej objÄ™toÅ›ci.
8) I zasada termodynamiki
W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego zmiana U energii
wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W wykonanej nad
układem
U Q W,
gdzie
Q m c (t2 t1) .
9) II zasada termodynamiki, obieg porównawczy Carnota
Silnik cieplny pracujący cyklicznie, pobiera ciepło Q1 ze z
ródła ciepła o temperaturze T1 i
następnie w wyniku procesu cyklicznego (kołowego) oddaje ciepło Q2 do chłodnicy o
temperaturze T2 oraz wykonuje pewnÄ… pracÄ™ W (oddaje pracÄ™ W>0).
Sprawnością silnika nazywa się stosunek uzyskanej pracy W w całym cyklu do ciepła
pobranego Q1, czyli
W Q1 Q2
.
Q1 Q1
Z wszystkich maszyn cieplnych najwyższą sprawność posiada tzw. Maszyna Carnota, której
cykl składa się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Wówczas
T1 T2 T2
1 .
T1 T1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
41
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
ZAD. 1)
W pojemniku kulistym o promieniu R=1 m znajduje siÄ™ m=300 g tlenu. Oblicz koncentracjÄ™
molekuł tlenu w kuli.
ZAD. 2)
Do argonu o masie m=0.3 kg dostarczono podczas procesu przemiany izobarycznej Q=4.5 kJ
ciepła. Jak i o ile zmieni się średnia energia kinetyczna każdej molekuły? Masa molowa
argonu µ=39.9 g/mol.
ZAD. 3)
Obliczyć ciÅ›nienie mieszaniny skÅ‚adajÄ…cej siÄ™ z tlenu (n1=1014 molekuÅ‚), azotu (n2=3.8·1015
molekuÅ‚) oraz m=8.9·10-11 kg argonu. Temperatura mieszaniny wynosi t=130 ºC, a objÄ™tość
V=3.2·10-3m3.
ZAD. 4)
Wyznaczyć ilość odprowadzonego ciepła oraz pracę jaką wykonano podczas izobarycznego
sprężania tlenu o masie m=12 kg jeżeli jego objętość zmalała n=2 razy. Początkowa
temperatura wynosiÅ‚a t=110 ºC.
ZAD. 5)
Walcowe naczynie o długości L1=0.6 m zawiera zamknięte tłokiem powietrze o temperaturze
t1=25 ºC pod ciÅ›nieniem p1=2.3·105Pa. TÅ‚ok przesuniÄ™to o "L=0.3 m sprężajÄ…c adiabatycznie
zawarte w nim powietrze. Oblicz ciśnienie i temperaturę końcową jeżeli wykładnik adiabaty
dla powietrza wynosi º=1.4.
ZAD. 6)
Tlen o masie m=200 g ogrzano od temperatury t1=40 ºC do t2=70ºC. ZakÅ‚adajÄ…c, że gaz jest
idealny oblicz ilość pobranego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku,
gdy ogrzewanie zachodziło: a) izochorycznie, b)izobarycznie.
ZAD. 7)
Obliczyć sprawność obiegu termodynamicznego składającego się z dwóch izoterm i dwóch
izobar, jeżeli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Temperatury gazu w procesach
izotermicznych są T1 i T2, a ciśnienia p1 i p2.
ZAD. 8)
Podczas izobarycznego sprężania azotu wykonana została praca równa L=14 kJ. Obliczyć
ilość straconego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej gazu.
ZAD. 9)
Jaka ilość ciepÅ‚a potrzebna jest do ogrzania V=5 m3 tlenku wÄ™gla od temperatury t1=0 ºC do
temperatury t2=210 ºC? Gaz znajduje siÄ™ w cylindrycznym naczyniu przykrytym od góry
poruszajÄ…cym siÄ™ bez tarcia lekkim tÅ‚okiem. CiÅ›nienie atmosferyczne p0=9,40·104 Pa.
ZAD. 10)
Przy izotermicznym sprężaniu m=3.1 kg tlenku węgla objętość jego zmniejszyła się cztery
razy. Obliczyć pracÄ™ wykonanÄ… podczas sprężania, jeżeli temperatura gazu wynosiÅ‚a 12 ºC.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
42
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 11)
Azot (N2) o masie m=6 kg rozpręża się politropowo. Ciśnienie gazu maleje od wartości
p1=15·105 Pa do p2=1.5·105 Pa. Obliczyć ilość ciepÅ‚a jaka wymieniona zostaje podczas tego
procesu, jeżeli koÅ„cowa temperatura wynosiÅ‚a t2=40 ºC. WykÅ‚adnik politropy m=1.75, ciepÅ‚o
wÅ‚aÅ›ciwe gazu cp=1047 kJ/(kg·K).
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
43
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
VI. ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
PR
D STAA
Y
1) Natężenia prądu
dq
I
dt
I e n v S
I E S
gdzie:
q, e [C] Å‚adunek elektryczny,
t [s] czas,
v [m/s] średnia prędkość uporządkowanego ruchu elektronów,
S [m2] powierzchnia przekroju poprzecznego przewodu,
E [N/C=V/m] natężenie pola,
n koncentracja nośników prądu,
n NA
[kg/m3] gęstość materiału przewodzącego,
NA liczba Avogadra,
[kg/kmol] masa molowa.,
[1/( m)] elektryczne przewodnictwo właściwe
1
,
e
[ m] elektryczny opór właściwy materiału.
e
2) Prawo Ohma
U
I ,
R
gdzie:
U [V] napięcie,
R [ ] opór elektryczny
L
R ,
e
S
L [m] długość przewodnika,
S [m2] pole powierzchni przekroju poprzecznego,
(1 t)
e 0e
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
44
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
t [ºC] temperatura
opór wÅ‚aÅ›ciwy w temperaturze 0ºC.
0e
3) Prawa Kirchhoffa
I prawo
Suma algebraiczna natężeń prądów wpływających do węzła i wypływających z węzła równa
jest zeru:
I1 I2 I3 ... 0 ,
II prawo
Suma algebraiczna spadków napięć na elementach obwodu zamkniętego jest równa zeru:
U1 U2 U3 ... 0
.
Spadki napięcia na elementach obwodu elektrycznego, tzn.: opornikach, kondensatorach,
cewkach i ogniwach wynoszÄ… odpowiednio:
UR I R
t
1Q
UC Idt
CC
0
dI
UL L
dt
U I r ,
r [©] opór wewnÄ™trzny ogniwa.
4) Prawo Ohma dla obwodu
i
I ,
Ri ri
gdzie:
[V] suma sił elektromotorycznych.
i
5) A
ączenie oporników, kondensatorów i ogniw  wielkości zastępcze:
Å‚Ä…czenie szeregowe
Rzast Ri
11
CCi
zast
zast i
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
45
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 rzast ri
łączenie równoległe
11
RRi
zast
Czast Ci
zast 1 2 i
ri
rzast .
n
6) Praca prÄ…du
W U I t
7) Moc prÄ…du
N U I
8) Prawo Joule'a-Lentza
Q U I t
U2
Q t
R
Q I2 R t
PR
D PRZEMIENNY
1) Prawo Ampera
dF I dL B
gdzie:
dF [N] siła działająca na elementarny odcinek przewodu,
dL [m] elementarny odcinek przewodu,
I [A] natężenie prądu,
B [T] indukcja magnetyczna.
2) Prawo Biota  Savarta  Laplace'a
I dL r
0
dB
4r3
gdzie:
µ0[(Vs)/(Am)] przenikalność magnetyczna próżni,
µ[(Vs)/(Am)] wzglÄ™dna przenikalność magnetyczna oÅ›rodka,
r [m] wektor wodzÄ…cy poprowadzony z elementu I dL
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
46
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3) Zależność indukcji i natężenia pola magnetycznego
BH
0
4) Pole magnetyczne poruszajÄ…cego siÄ™ Å‚adunku
q v r
0
B ,
4 r3
gdzie
v[m/s] prędkość ładunku.
5) Pole magnetyczne wokół przewodnika liniowego
I
0
B (cos cos ) ,
12
4 r0
gdzie:
r0[m] odległość od przewodnika do rozpatrywanego punktu,
Å1, Å2 kÄ…ty jakie tworzÄ… proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu do koÅ„ców
przewodnika z tym przewodnikiem.
W szczególności dla nieskończonego przewodnika prostoliniowego
2 I
0
B
4 r0
6) Moment magnetyczny zamkniętego obwodu
pm I S
,
gdzie
S[m2] pole powierzchni ramki zamkniętej obwodem.
7) Pole magnetyczne na osi okrągłego zwoju w dowolnym punkcie osi
2 pm
0
B ,
4 (R2 h2)3/ 2
gdzie:
R [m] promień zwoju,
h [m] odległość od środka zwoju do rozpatrywanego punktu.
8) Pole magnetyczne wewnÄ…trz toroidu
N I
B ,
0
2 r
gdzie
N całkowita liczba zwoi.
9) Pole magnetyczne solenoidu
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
47
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
0
B n I (cos cos ) ,
12
2
gdzie:
n liczba zwojów na jednostkę długości,
ą1, ą2 kąty jakie tworzą proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu leżącego na
osi solenoidu z końcami solenoidu.
Dla nieskończenie długiego solenoidu
B n I
.
0
10) Siła wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z prądem
I2 dL2 [I1 dL1 r12]
F2 0
4r123
I1 dL1 [I2 dL2 r21]
F1 0
4r213
Dla dwóch równoległych przewodów odległych o r i o długościach L każdy siła wzajemnego
oddziaływania wynosi:
I1 I2 L
F1 F2 0 .
2r
11) Mechaniczny moment sił działających na ramkę z prądem w jednorodnym polu
magnetycznym
M pm B
12) Siła Lorentza oddziaływania pola elektrycznego i magnetycznego na ładunek
FL q E q v B
gdzie
v[m/s] prędkość ładunku.
13) Strumień magnetyczny
BdS,
gdzie
dS[m2] elementarna powierzchnia zorientowana wektorem jednostkowym
prostopadłym do niej .
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
48
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14) Siła elektromotoryczna indukcji (Prawo Faradaya)
d
ind
dt
15) Natężenie indukowanego prądu
1 d
ind
I
R dt R
16) Siła elektromotoryczna samoindukcji
d dI
L
samoind
dt dt
gdzie
L [H] indukcyjność obwodu.
17) Energia pola magnetycznego prÄ…du elektrycznego
1
Wm L I2
2
18) PrÄ…d przemienny
B S cos( t ) cos( t )
0 m 0
cos( t )
m0
,
I Im cos( t )
0
U Um cos( t )
0
gdzie:
Åšm, µm, Im, Um wartoÅ›ci maksymalne (amplitudy),
Å0 kÄ…t przesuniÄ™cia fazowego,
É[rad/s] czÄ™stość koÅ‚owa wirowania pola magnetycznego (ramki obwodu).
19) Wartości skuteczne prądu i napięcia
Im
Isk
2
Um
Usk
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
49
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20) Odbiorniki w układach elektrycznych
Spadki napięcia na odbiornikach
Opór czynny Opór bierny indukcyjny Opór bierny pojemnościowy
R XL XC
(Reaktancja indukcyjna) (Reaktancja
pojemnościowa)
I
UR I R UL I XL I 2 f L
UC I XC
2 f C
Zastępczy opór szeregowego obwodu R-L-C
opór pozorny - ZAWADA (IMPEDANCJA) oraz kąt przesunięcia fazowego
1
Z R2 ( L )2
C
1
L
C
tg( )
R
21) Prawo Ohma dla obwodu R-L-C
Usk UR 2 (UL UC)2
.
Usk
Isk
Z
22) Transformatory
Transformatory to urządzenia służące do przekształcania napięcia i natężenia prądu
przemiennego.
przełożenie (przekładnia) transformatora
U2 n2
,
U1 n1
gdzie
n1, n2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
50
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 zależność napięcia i natężenia  transformator idealny (100% sprawności)
U1 I2 1
.
U2 I1
sprawność rzeczywistego transformatora
P2
,
P1
gdzie
P1, P2 moce dla uzwojeń pierwotnego i wtórnego.
23) Drgania i fale elektromagnetyczne
okres drgań w obwodzie drgającym R-L-C
2
T
1 R
( )2
L C 2 L
rezonans dla obwodu idealnego (bez strat) L-C, gdy XL=XC
1
2 f L
2 f C .
T 2 L C
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
51
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
ZAD. 1)
Do sieci prądu sinusoidalnego podłączono szeregowo odbiorniki R-L-C o wartościach:
R=25©, L=0.23H oraz C=27 µF. NapiÄ™cie sieci wynosi U=120 V, czÄ™stotliwość f=50 Hz.
Obliczyć:
impedancjÄ™,
prÄ…d w obwodzie,
kąt przesunięcia fazowego napięcia względem prądu,
spadki napięcia na poszczególnych odbiornikach,
sporządzić wykresy wektorowe napięć i oporów.
L
R C
I
UR
G U UL UC
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
52
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 2)
Obwód rozgaÅ‚Ä™ziony skÅ‚adajÄ…cy siÄ™ z cewki o rezystencji R1=15 © i indukcyjnoÅ›ci L=0.05 H
oraz opornika o rezystencji R2=22 © i znikomo maÅ‚ej indukcji przyÅ‚Ä…czono do sieci prÄ…du
przemiennego o napięciu U=230V i częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w
poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć impedancję układu i sporządzić wykresy
wektorowe napięć, prądów i oporów.
I
U
L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
53
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD. 3)
W jednej linii obwodu rozgałęzionego umieszczono cewkę o indukcyjności L=0.067 H oraz
opór czynny rezystencji R1=30 ©. W drugiej gaÅ‚Ä™zi znalazÅ‚ siÄ™ kondensator o pojemnoÅ›ci
C=123 µF. UkÅ‚ad podÅ‚Ä…czono nastÄ™pnie do z
ródła prądu przemiennego o napięciu U=230V i
częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć
impedancję układu i sporządzić wykresy wektorowe napięć, prądów i oporów.
I
C
R
U
L
ZAD. 4)
Obliczyć natężenie pola elektrycznego E wewnątrz kwadratu o boku L, jeżeli w narożnikach
znajdują się kolejno ułożone ładunki Q, 2Q, 3Q, 4Q.
ZAD. 5)
Kondensator odłączono od z
ródła napięcia U i następnie usunięto dielektryk o względnej
przenikalnoÅ›ci elektrycznej µr rozdzielajÄ…cy okÅ‚adki. Jak zmieni siÄ™ napiÄ™cie, natężenie i
ładunek na okładkach tego kondensatora?
ZAD. 6)
Przewodnik jest naÅ‚adowany gÄ™stoÅ›ciÄ… powierzchniowÄ… Ã=3 C/m2. Obliczyć gÄ™stość energii
Áen w pobliżu tej powierzchni, jeżeli jest ona zanurzona w dielektryku o wzglÄ™dnej
przenikalnoÅ›ci µr=3.5.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
54
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZAD.7)
Przez miedziany przewodnik o oporze wÅ‚aÅ›ciwym Áe=1.83·10-8 ©m i przekroju S=2.1 mm2
płynie prąd o natężeniu I=0.9 A. Oblicz natężenie pola elektrycznego w tym przewodniku.
ZAD. 8)
RamkÄ™ umieszczono w jednorodnym polu indukcji B=0.67 T. Amplituda wzbudzonego
prądu wyniosła Im=12 A. Wiedząc, że pole powierzchni ramki S=230 cm2, liczba zwojów w
ramce N=18 oraz Å‚Ä…czny opór zwojów R=12 ©, wyznaczyć liczbÄ™ obrotów ramki w jednostce
czasu.
ZAD. 9)
W układzie szeregowo połączonych odbiorników R-L-C dołączono dodatkowy taki sam opór
R. Wyznaczyć kÄ…ty fazowe Å1, Å2 przesuniÄ™cia miÄ™dzy natężeniem prÄ…du w obwodzie a
napięciem zasilającym przed i po dołączeniu opornika, jeżeli wiadomo, że moc wydzielana w
obwodzie nie uległa zmianie.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
55
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
VII. UKA
ADY LOGICZNE
1) Funkcje logiczne
Funkcję y=f(x1,x2,..,xn) nazywamy logiczną jeżeli zarówno wartości tej funkcji, jak i jej
argumenty przyjmują tylko dwie wartości - przykładowo 0 lub 1 ( PRAWDA (TRUE) lub
FAA
SZ (FALSE)).
Funkcja y, mająca n zmiennych, jest określona dla 2n zestawów wartości zmiennych.
2) Bramki logiczne
Bramką nazywamy prosty obwód elektroniczny (elektryczny, pneumatyczny, inny)
realizujÄ…cy funkcjÄ™ logicznÄ….
Najbardziej rozpowszechnione funkcje logiczne, majÄ…ce swojÄ… reprezentacjÄ™ w postaci
bramek logicznych to:
NOT
OR
AND
NOR
NAND
XOR
XNOR
Własności tych funkcji i ich reprezentację graficzną przedstawiono w tabeli poniżej.
3) Prawa logiki matematycznej  algebra Boole a
Podstawowe prawa logiki matematycznej:
prawo przemienności
x1 x2 x2 x1
x1 x2 x2 x1
prawa łączności
(x1 x2) x3 x1 (x2 x3)
(x1 x2) x3 x1 (x2 x3)
prawa rozdzielności
(x1 x2) x3 x1 x3 x2 x3
x1 x2 x3 (x1 x3) (x2 x3)
prawa dopełnienia (de Morgana)
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
56
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 x1 x2 x1 x2
x1 x2 x1 x2
prawa powtórzenia
x x x ... x x
x x x ... x x
Ponadto, przy przekształcaniu funkcji logicznych, stosowane są następujące własności:
x 0 0
x 1 x
x x 0
x1 (x1 x2) x1
x1 (x1 x2) x1 x2
x 0 x
x 1 1
x x 1
x1 x1 x2 x1
x1 x1 x2 x1 x2
x x
x1 x2 x1 x2 x1
(x1 x2) (x1 x2) x1
W praktyce stosowane jest często twierdzenie algebry Boole'a, wg którego każdą funkcję
logiczną można przedstawić za pomocą sumy iloczynów lub iloczynu sum wszystkich jej
zmiennych. Takie przedstawienie funkcji nazywane jest odpowiednio dysjunkcyjnÄ… i
koniunkcyjnÄ… postaciÄ… kanonicznÄ….
System funktorów, za pomocą którego można zbudować dowolną funkcję logiczną nazywa
się systemem funkcjonalnie pełnym.
Systemy takie są utworzone m.in. przez następujące funktory:
negacji i koniunkcji,
negacji i alternatywy,
negacji koniunkcji,
negacji alternatywy.
4) Układy logiczne
Układy fizyczne, które realizują określone funkcje logiczne nazywane są układami
(elementami) logicznymi. Najczęściej stosowane są układy logiczne wykorzystujące elementy
elektroniczne, pneumatyczne oraz hydrauliczne.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
57
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
TABELA FUNKCJI LOGICZNYCH
Funkcja Nazwa Tabela funkcji Symbol graficzny
(ang.) bramki
Negacja
x
y x
NOT
y x
0 1
1 0
x1 x2 y x1 x2
Alternatywa
0 0 0
OR
y x1 x2
0 1 1
1 0 1
1 1 1
x1 x2 y x1 x2
Koniunkcja
0 0 0
AND
y x1 x2
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x1 x2
y x1 x2
Negacja alternatywy
0 0 1
NOR
y x1 x2
0 1 0
1 0 0
1 1 0
x1 x2 y x1 x2
Negacja koniunkcji
0 0 1
NAND
y x1 x2
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
58
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZADANIA
Dla układu logicznego danego w postaci tabeli napisać za pomocą dysjunkcyjnej i
koniunkcyjnej postaci kanonicznej funkcję logiczną realizującą ten układ. Następnie
zminimalizować (optymalizacja) funkcję oraz wykorzystując bramki NAND lub NOR,
narysować schemat połączeń takiego układu.
a)
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
b)
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
c)
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
59
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 d)
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
60
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE
1) Modelowanie fizyczne i matematyczne
model fizyczny  jest uproszczeniem obiektu rzeczywistego, które polega na
pozostawieniu tych cech fizycznych (np.: mechanicznych (własności
bezwładnościowe, wymiary geometryczne, sztywność, itp.), elektrycznych
(oporność, indukcyjność, itp.), hydraulicznych, termodynamicznych, i innych,
które mają istotny wpływ na zjawiska i procesy zachodzące z obiektem, a
pominięciu takich cech, które nie mają żadnego lub pomijalnie mały wpływ na
te zjawiska (np.: dla układów mechanicznych drgających są to kolor i zapach),
model matematyczny  stanowi opis analityczny za pomocą równań (lub
czasami nierówności) matematycznych zachowania się modelu fizycznego i
jest tworzony na podstawie zależności fizycznych opisujących zjawiska
zachodzące w analizowanym obiekcie. W układach mechanicznych są to np.:
prawa dynamiki Newtona, zasady zachowania, itp..
2) Schemat blokowy analizy obiektów
ZAKA
ÓCENIA
x(t) y(t)
ANALIZOWANY OBIEKT
(opisany np. TRANSMITANCJ

OPRERATOROW
H(s) )
SYGNAA

SYGNAA

WEJÅšCIOWY
WYJÅšCIOWY
sygnał wejściowy  dowolna wielkość fizyczna, poprzez którą oddziałujemy
na badany układ, wywołując zmianę w jego zachowaniu,
sygnał wyjściowy  dowolna wielkość fizyczna charakteryzująca badany
obiekt, której zmienność w czasie nas interesuje.
3) Transmitancja operatorowa układu
Jest to podstawowa wielkość definiowana w automatyce i sterowaniu, która wiąże ze sobą
sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy oraz wielkości fizyczne charakteryzujące analizowany
obiekt.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
61
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Z definicji, transmitancja operatorowa układu jest to stosunek transformaty Laplace'a
sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego, przy zerowych
warunkach poczÄ…tkowych.
Y(s)
H(s) ,
przy
X(s)
zerowych
warunkach
poczÄ…tkowych
gdzie:
s zmienna zespolona przekształcenia Laplace'a,
s j w przypadku transmitancji widmowej układu,
j2 1 jednostka urojona.
4) Przykład modelowania i analizy układu mechanicznego
model fizyczny układu
Sygnałem wejściowym jest wymuszenie kinematyczne x(t) - przemieszczenie swobodnego
końca sprężynki o sztywności k1. Sygnał wyjściowy to przemieszczenie y(t) klocka o masie
m.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
62
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 model matematyczny
k1(x - r)r = J0 '' +Fr -równanie ruchu dla tarczy,
F my'' by' k2y -równanie ruchu dla klocka,
y r -związek kinematyczny przemieszczeń.
transmitancja operatorowa układu
Y(s) k1 L(s)
(
Hs) = = = .
J0
X(s) M(s)
( + m)s2 + (b)s + (k1 + k2)
r2
symulacja komputerowa działania układu  realizacja w programie
MATLAB
% plik w Matlabie
% DANE LICZBOWE
Jo=2.5;
m=5;
r=0.3;
k1=10000;
k2=7000;
b=67;
L=[k1]; % LICZNIK
M=[(Jo/r^2+m) b (k1+k2)]; % MIANOWNIK
printsys(L,M) % WYSWIETLENIE TRANSM. OPERAT. UKL.
subplot(2,2,1)
bode(L,M) % WYKRESY BODE'A
grid
subplot(2,2,2)
nyquist(L,M) % WYKRES NYQUIST
subplot(2,2,3)
step(L,M) % ODPOWIEDZ SKOKOWA
grid
subplot(2,2,4)
impulse(L,M) % ODPOWIEDZ IMPULSOWA
grid
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
63
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 graficzna reprezentacja wyników w programie Matlab
realizacja układu w systemie SIMULINK
Na podstawie równań modelu matematycznego można wyznaczyć różniczkowe równanie
ruchu klocka w postaci
1
y ( ) [k1x by (k1 k2) y] ,
J0
m
r2
dla której realizacja w programie SIMULINK przedstawia się następująco:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
64
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 wyniki uzyskane na drodze symulacji
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
65
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
66
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
IX. BIBLIOGRAFIA
1. Wittbrodt E., Sawiak S., Mechanika ogólna. Teoria i zadania. Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005
2. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni
technicznych, PWN, Warszawa 1980
3. Osiński Z., red., Zbiór zadań z teorii drgań, PWN, Warszawa 1989
4. Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1984
5. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001
6. Jędrzejewski J., Kruczek W., Kujawski A., Zbiór zadań z fizyki, t.1+t.2, WNT,
Warszawa 2000
7. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001
8. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni
technicznych, PWN, Warszawa 1980
9. Brański W., Herman M.A., Widomski L., Zbiór zadań z fizyki. Elektryczność i
magnetyzm, PWN, Warszawa 1981
10. Pudlik W. (red), Termodynamika. Zadania i przykłady obliczeniowe,
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2000
11. Tesch K., Mechanika płynów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2008
12. Zawalich E., Zawalich J., Elektrotechnika dla mechaników-zadania. Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2003
13. Findeisen W. (red), Automatyka. Poradnik inżyniera, WNT, Warszawa 1969
14. Próchnicki W., Dzida M., Zbiór zadań z podstaw automatyki, Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1993
15. Majewski W., Układy logiczne, WNT, Warszawa 1999
16. Banaszek G., Matlab i Simulink. Materiały pomocnicze do ćwiczeń
laboratoryjnych z Podstaw Automatyki. Opracowanie wewnętrzne, Gdańsk 2008.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
67
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego