1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Plan prezentacji
1
Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Dekompozycja szeregów czasowych
Zagadnienie 3
2
Åšrednia ruchoma
Robert Kapłon
3
Wskaz
niki sezonowości
4
Jak przeprowadzić dekompozycję w R
Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
1 /24
1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja 1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Składowe szeregu Składowe szeregu  trend i cykle
(b) Sprzedaż przemysłowej drukarki
(a) Cena akcji
1
Składową systematyczną etykiet z kodem kreskowym
stały poziom zmiennej prognozowanej  (zwany też jako szereg
stacjonarny ze względu na średnią) występuje wówczas, gdy w szeregu
czasowym nie występuje trend, wahania sezonowe itd. zaś wartość
prognozowanej zmiennej oscyluje wokół stałego poziomu.
trend  długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian
(wzrostu lub spadku), jest rozpatrywany jako konsekwencja działania
0 20 40 60 80 100 2001 2002 2003 2004 2005 2006
stałego zestawu czynników, w wypadku sprzedaży -liczba klientów,
Dzień Rok
preferencje, dochody itd.
składowa okresowa (a) Sprzedaż nowego dziennika (b) Sprzedaż nowych domów
wahania sezonowe  są wahaniami wartości obserwowanej zmiennej
wokół stałego poziomu lub trendu tej zmiennej. Wahania te mają
skłonność do powtarzania się w określonym czasie nie przekraczającym
jednego roku, spowodowane oddziaływaniem czynników sezonowych
(kwartały w roku, miesiące, dni w tygodniu)
wahania cykliczne  występują wtedy, gdy dane wykazują tendencję
wzrostową i spadkową ale nie co stały okres czasu. W odróżnieniu od
0 20 40 60 80 100 1975 1980 1985 1990 1995
wahań sezonowych schemat nie powtarza się co stały okres  może być
Dni Rok
różny.
Slajd Slajd
2
Składową przypadkową
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
2 /24 3 /24
Szt.
Cena [zł]
500
600
700
800
900
85
87
89
91
Szt.
TyÅ›. szt.
6
8
10
12
30
40
50
60
70
80
90
1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja 1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Składowe szeregu  trend, sezonowość Podstawy dekompozycji
Szeregi czasowe, w których występuje sezonowość:
1
sezonowość addytywna i delikatny trend malejący,
Niech szereg czasowy ma postać:
2
sezonowość addytywna z trendem rosnącym i malejącym,
3
sezonowość multiplikatywna z wyraz
nym trendem rosnÄ…cym.
Yt = f (St ,Tt ,Et ) (1)
gdzie:
(a) Miesię czna produkcja piwa (b) Sprzedaż samochodów (c) Liczba pasaż erów
Yt  wartość szeregu czasowego w chwili t
St  składowa sezonowa w chwili t
Tt  składowa związana z trendem i cyklami w chwili t
Et  składowa (nieregularna) reprezentująca pozostałą część w chwili t
W zależnoÅ›ci od przyjÄ™tej funkcji f (·) można otrzymać różne formy (1).
1991 1992 1993 1994 1995 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1998 2002
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
4 /24 5 /24
1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja 1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Dekompozycja addytywna i multiplikatywna Dekompozycja - przykład 1
Sprzedaz nowych domow
Model addytywny ma postać:
Yt = St + Tt + Et
Model ten jest właściwy, jeśli sezonowe fluktuacje nie zmieniają się w
zależności od poziomu zmiennej prognozowanej.
Model multiplikatywny jest lepszy, jeśli fluktuacje zmieniają się
proporcjonalnie do zmian w poziomie zmiennej prognozowanej:
Yt = St × Tt × Et ,
Można jednak, mając do czynienia z modelem multiplikatywnym, dokonać
takiej jego transformacji, aby otrzymać formułę addytywną. Przykładowo
logarytmujÄ…c:
Yt = St × Tt × Et Ò! logYt = logSt + logTt + logEt
1975 1980 1985 1990 1995
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
6 /24 time 7 /24
Szt.
W tys.
Megalitry
120
140
160
180
100
200
300
400
500
600
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
50
70
90
-10
0
5
10
35
45
55
65
remainder
trend
seasonal
data
-20
0
10
20
1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja 1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Dekompozycja - przykład 2 Dekompozycja - przykład 3
Godziny pracy przypadajace na 1000 osob Mieszkania oddane - indywidualne
1980 1985 1990 1995 1995 2000 2005
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
time 8 /24 time 9 /24
1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja 1. Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
Klasyczna dekompozycja addytywna  kroki Klasyczna dekompozycja multiplikatywna  kroki
1
Trend i cykle szacowane są przy użyciu średniej ruchomej lub
1
Trend i cykle Tt szacujemy wykorzystując średnią ruchomą lub
wycentrowanej średniej ruchomej,
wycentrowaną średnią ruchomą,
2
Od szereg wyjściowego odejmujemy trend i cykle, pozostawiając
2
Izolujemy z szeregu trend i cykle w następujący sposób
sezonowość i zmiany nieregularne
Yt St Tt Et
Rt = Yt - Tt = St + Et
Rt = = = St Et
Tt Tt
3
Szacujemy składową wahań sezonowych. W klasycznym podejściu
3
Podobnie jak w dekompozycji addytywnej składowa sezonowa jest
zakładamy, że składowa sezonowa jest stała w każdym powtarzającym
wyznaczana z szeregu Rt
siÄ™ okresie.
4
Składowa nieregularna Et jest szacowana w następujący sposób
4
Składowa nieregularna jest wyliczana jako różnica między wartością
zmiennej prognozowanej a trendem i cyklami oraz sezonowością
Yt Rt
Et = =
St Tt St
Yt - Tt - St = Et
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
10 /24 11 /24
0
40000
100000
6500
7500
8500
-100
0
50
-20000
0
20000
6500
7500
8500
15000
30000
45000
remainder
trend
seasonal
data
remainder
trend
seasonal
data
-200
0
100
-20000
10000
40000
2. Åšrednia ruchoma 2. Åšrednia ruchoma
Plan prezentacji Prosta średnia ruchoma
Średnia ruchoma rzędu k (oznaczmy k MA), gdzie k jest liczbą nieparzystą
jest zdefiniowana jako średnia z obserwacji zmiennej prognozowanej Yt:
m
1 k - 1
Tt = Yt+j , m =
1
Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
k 2
j =-m
Przykład: (Sprzedaż produktu)
2
Åšrednia ruchoma
MiesiÄ…c Yt 3 MA 5MA
Styczeń 266.0  
3
Wskaz
niki sezonowości
Luty 145.9 198.3 
Marzec 183.1 149.4 198.3
4
Jak przeprowadzić dekompozycję w R Kwiecień 119.3 160.9 178.6
... ... ... ...
3 MA: T2 = (Y1 + Y2 + Y3)/3 = (266.0 + 145.9 + 183.1)/3 = 198.3
5 MA: T3 = (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5)/5 = 198.3
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
12 /24 13 /24
2. Åšrednia ruchoma 2. Åšrednia ruchoma
Średnia ruchoma  przykład 1 Średnia ruchoma  przykład 2
Srednia ruchoma 3 MA Srednia ruchoma 7 MA
2003.0 2003.5 2004.0 2004.5 2005.0 2005.5 2006.0 1975 1980 1985 1990 1995
Czas Czas
Srednia ruchoma 5 MA Srednia ruchoma 12 MA
2003.0 2003.5 2004.0 2004.5 2005.0 2005.5 2006.0 1975 1980 1985 1990 1995
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
14 /24 15 /24
Czas Czas
30
50
70
90
Calkowita sprzedaz
Calkowita sprzedaz
100
300
500
700
30
50
70
90
Calkowita sprzedaz
Calkowita sprzedaz
100
300
500
700
2. Åšrednia ruchoma 2. Åšrednia ruchoma
Wycentrowana średnia ruchoma Ważona średnia ruchoma
Prosta średnia ruchoma ma zastosowanie dla k nieparzystego. Jeśli chcemy
oszacować średnią ruchomą z parzystej liczby obserwacji, należy posłużyć
się wycentrowaną średnią ruchomą. Przykładowo, dla 4 obserwacji
Ważoną średnią ruchomą rzędu k można zapisać w postaci:
1
T2.5 = (Y1 + Y2 + Y3 + Y4)
m
k - 1
4
Tt = aj Yt+j , m =
1
2
j =-m
T3.5 = (Y2 + Y3 + Y4 + Y5)
4
i wycentrowana Å›rednia ruchoma (oznaczamy 2 × 4M A) gdzie aj jest wagÄ…, która musi speÅ‚niać nastÄ™pujÄ…ce warunki:
T2.5 + T3.5
"
m
T3 =
aj = 1,
j =-m
2
1 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 Y2 + Y3 + Y4 + Y5
aj = a-j .
= + =
2 4 4
Jeśli aj = 1/k wtedy mamy prostą średnią ruchomą.
Y1 + 2Y2 + 2Y3 + 2Y4 + Y5
=
8
Zauważmy: Wycentrowana Å›rednia ruchoma 2×4 Ma jest równoważna
ważonej średniej ruchomej z następującymi wagami: obserwacja Y1 i Y5 ma
Slajd Slajd
wagę 1/8, pozostałe 1/4.
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
16 /24 17 /24
2. Åšrednia ruchoma 3. Wskaz
niki sezonowości
Ważona średnia ruchoma  wagi Plan prezentacji
Za wagi można przyjąć różne funkcje, np. kwadratową:
1
Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
(1 - (j /m)2)2 dla -m < j < m,
Q(j,m) =
0 w przeciwnym wypadku.
2
Åšrednia ruchoma
ponieważ funkcja ta nie spełnia założenia o sumowaniu się wag do
jedności, należy ją przeskalować
3
Wskaz
niki sezonowości
Q(j,m)
aj = m
Q(i ,m) 4
Jak przeprowadzić dekompozycję w R
i =-m
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
18 /24 19 /24
3. Wskaz
niki sezonowości 3. Wskaz
niki sezonowości
Procedura wyznaczania wskaz
ników sezonowości Wskaz
niki sezonowości  zysk firmy
1
Wyodrębniamy trend i cykle
kwartał zysk trend zysk/trend
2
Eliminujemy trend i cykle z szeregu czasowego otrzymujÄ…c szereg Rt
1 82 98.4100 0.8332487
2 98 101.2548 0.9678555
zgodnie z formułą na slajdzie 12 i 13.
3 120 104.0996 1.1527426
4 114 106.9443 1.0659750
3
Wyznaczamy dla każdego okresu m tzw. surowe wskaz
niki
5 99 109.7891 0.9017286
6 109 112.6339 0.9677370
sezonowości.
7 127 115.4787 1.0997700
8 121 118.3235 1.0226204
Nm
9 110 121.1683 0.9078285
"
"
10 121 124.0130 0.9757038 m sm sm
sm = Rtj /Nm, m = 1,2,..., M
11 140 126.8578 1.1035977 1 0.8944542 0.8947443
j =1 12 134 129.7026 1.0331327 2 0.9770490 0.9773659
13 120 132.5474 0.9053366 3 1.1137134 1.1140747
14 135 135.3922 0.9971034 4 1.0134864 1.0138151
4
Korygujemy składnik sezonowy  otrzymujemy czyste wskaz
niki
15 159 138.2370 1.1501989
16 147 141.0817 1.0419492
sezonowości.
17 132 143.9265 0.9171346
18 142 146.7713 0.9674916
M
1 19 162 149.6161 1.0827713
" "
20 149 152.4609 0.9772999
addytywnego: sm =sm - s" , s" = sm
m m
21 140 155.3057 0.9014482
M
m=1
22 156 158.1504 0.9864026
23 176 160.9952 1.0932002
" M
sm 1
24 154 163.8400 0.9399414
"
multiplikatywnego: sm = , s" = sm
s" m M
m m=1
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
20 /24 21 /24
3. Wskaz
niki sezonowości 4. Jak przeprowadzić dekompozycję w R
Inne metody dekompozycji Plan prezentacji
1
Składowe szeregu czasowego i jego dekompozycja
1
X-11
2
Åšrednia ruchoma
2
X-11-ARIMA
3
X-12-ARIMA
3
Wskaz
niki sezonowości
4
STL
4
Jak przeprowadzić dekompozycję w R
Slajd Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
22 /24 23 /24
4. Jak przeprowadzić dekompozycję w R
Jak przeprowadzić dekompozycję w R
Szczegóły w innym pliku
Slajd
Zagadnienie 3 | Dekompozycja szeregów czasowych
24 /24