POLITECHNIKA WROCA
AWSKA
WYDZIAA
MECHANICZNO-ENERGETYCZNY
Kierunek: Mechanika i budowa maszyn (MBiM)
Specjalność: Inżynieria lotnicza (IL)
WYTRZYMALOŚĆ
KONSTRUKCJI
LOTNICZYCH
PROJEKT 1
Obliczenia dla zestawu nr 13
Autor:
Jan SÅ‚owik 163103
ProwadzÄ…cy:
dr inż. Bogusław Mrozek
Ocena pracy:
WROCA
AW 2011
Spis treści
1 Dane zadania: 2
1.1 Funkcje odległości od osi y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 4
AB
2.1 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
BD
2.2 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
DE
2.3 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
EF
2.4 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
F
2.5 Sy H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
HI
2.6 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Sy w przekrojach od A do I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Obliczenie centralnego momentu bezwładności względem osi Y 10
4 Obliczenie wydatku naprężeń stycznych wzdłuż obwodu q(s) 13
5 Obliczenie ey 15
5.1 AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.4 EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5 FH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.6 HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

SC
5.7 Sy(s)Á(s)ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0
5.8 ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Podsumowanie wyników 18
7 Wykres rozkładu naprężeń wydatku naprężeń stycznych 19
Rozdział 1
Dane zadania:
Dane pochodzÄ… dla zestawu numer 13 i odnoszÄ… siÄ™ do rysunku 7
" ² = 90 [o]
" T = 1230.769 [N]
" a = 180 [mm]
" ´ = 3.606 [mm]
" Ä… = 60 [o]
1. Dane zadania: 3
1.1 Funkcje odległości od osi y
"
3
z1(s1) = a( + 1) (1.1)
2
"
3 s2
z2(s2) = a( + 1) - (1.2)
2 2
z3(Ä…3) = sin(600 - Ä…3)a (1.3)
z4(Ä…4) = -sin(Ä…4)a
"
3 s5
z5(s5) = -a( ) - (1.4)
2 2
"
3
z6(s6) = -a( + 1) (1.5)
2
(1.6)
Rozdział 2
Obliczenie momentów stycznych
względem osi Y
AB
2.1 Sy
s1
AB
Sy (s1) = z1(s)´ds1 =
0
"
s1
3
= a( + 1)´ds1 =
2
0
"
3
1
= a( + 1)´s1 |s =
0
2
"
3
= s1´a( + 1) (2.1)
2
dla 0 s1 2a
"
3
A
Sy (s1 = 0) = 0 " ´a( + 1) =
2
= 0 (2.2)
"
3
B
Sy (s1 = 2a) = 2a " ´a( + 1) =
2
"
= ´a2( 3 + 2)
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 5
BD
2.2 Sy
s2
BD B
Sy (s2) = Sy + z2(s2)´ds2 =
0
"
s2
3 s2
B
= Sy + (a( + 1) - )´ds2 =
2 2
0
"
3 s2
B 2
2
= Sy + ´(a( + 1)s2 - ) |s =
0
2 4
"
3 s2
B 2
= Sy + ´(a( + 1)s2 - ) =
2 4
"
"
3 s2
2
= ´(a2( 3 + 2) + a( + 1)s2 - ) (2.3)
2 4
dla 0 s2 2a
"
"
3 02
B
Sy (s2 = 0) = ´(a2( 3 + 2) + a( + 1) " 0 - ) =
2 4
"
= ´a2( 3 + 2) (2.4)
"
"
3 (2a)2
D
Sy (s2 = 2a) = ´(a2( 3 + 2) + a( + 1) " 2a - ) =
2 4
" "
4a2
= ´(a2( 3 + 2) + a2( 3 + 2) - ) =
4
"
= ´a2(2 3 + 3) (2.5)
DE
2.3 Sy
Ä…3

DE D
Sy (Ä…3) = Sy + z3(Ä…3)´adÄ…3 =
00
Ä…3

D
= Sy + sin(600 - Ä…3)´a2dÄ…3 =
00
D
3
= Sy + (´a2cos(600 - Ä…3)) |Ä… =
00
1
D
= Sy + ´a2(cos(600 - Ä…3) - ) =
2
"
1
= ´a2(2 3 + 3) + ´a2(cos(600 - Ä…3) - ) =
2
"
5
= ´a2(2 3 + + cos(600 - Ä…3)) (2.6)
2
dla 00 Ä…3 600
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 6
"
1
D
Sy (Ä…3 = 00) = ´a2(2 3 + 3 - + cos(600 - 00)) =
2
"
1
= ´a2(2 3 + 3 - + cos(600)) =
2
"
1 1
= ´a2(2 3 + 3 - + ) =
2 2
"
= ´a2(2 3 + 3) (2.7)
"
1
E
Sy (Ä…3 = 600) = ´a2(2 3 + 3 - + cos(600 - 600)) =
2
"
1
= ´a2(2 3 + 3 - + cos(00)) =
2
"
1
= ´a2(2 3 + 3 - + 1) =
2
"
7 + 4 3
= ´a2( ) (2.8)
2
EF
2.4 Sy
Ä…4

EF E
Sy (Ä…4) = Sy + z4(Ä…4)´adÄ…4 =
00
Ä…4

E
= Sy + -sin(Ä…4)´a2dÄ…4 =
00
E
4
= Sy + ´a2(cos(Ä…4)) |Ä… =
00
E
= Sy + ´a2(cos(Ä…4) - 1) =
"
7 + 4 3
= ´a2( ) + ´a2(cos(Ä…4) - 1) =
2
"
7 + 4 3
= ´a2( + cos(Ä…4) - 1) (2.9)
2
dla 00 s1 600
"
7 + 4 3
E
Sy (Ä…4 = 00) = ´a2( + cos(00) - 1) =
2
"
7 + 4 3
= ´a2( + 1 - 1) =
2
"
7 + 4 3
= ´a2( ) (2.10)
2
"
7 + 4 3
F
Sy (Ä…4 = 600) = ´a2( + cos(600) - 1) =
2
"
7 + 4 3 1
= ´a2( + - 1) =
2 2
"
= ´a2(3 + 2 3) (2.11)
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 7
F
2.5 Sy H
s5
F F
Sy H(s5) = Sy + z5(s5)´ds5 =
0
"
s5
3 s5
F
= Sy + (-a( ) - )´ds5 =
2 2
0
"
3 s2
F 5
2
= Sy + ´(-a( )s5 - ) |s =
0
2 4
"
3 s2
B 5
= Sy + ´(-a( )s5 - ) =
2 4
"
"
3 s2
5
= ´a2(2 3 + 3) + ´(-a( )s5 - ) =
2 4
"
"
3 s2
5
= ´(a2(2 3 + 3) - a( )s5 - ) (2.12)
2 4
dla 0 s1 2a
"
"
3 02
F
Sy (s5 = 0) = ´(a2(2 3 + 3) - a( ) " 0 - ) =
2 4
"
= ´a2(2 3 + 3) (2.13)
"
"
3 (2a)2
H
Sy (s5 = 2a) = ´(a2(2 3 + 3) - a( ) " 2a - ) =
2 4
" "
= ´a2(2 3 + 3 - 3 - 1) =
"
= ´a2( 3 + 2) (2.14)
HI
2.6 Sy
s6
HI H
Sy (s6) = Sy + z6(s6)´ds6 =
0
"
s6
3
H
= Sy + (-a( + 1))´ds6 =
2
0
"
3
H
6
= Sy + (-a( + 1)´s6) |s =
0
2
"
3
H
= Sy + (-a( + 1)´s6) =
2
"
"
3
= ´a2( 3 + 2) - (a( + 1)´s6) (2.15)
2
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 8
dla 0 s6 2a
"
"
3
H
Sy (s6 = 0) = ´a2( 3 + 2) - (a( + 1)´ " 0) =
2
"
= ´a2( 3 + 2) (2.16)
"
"
3
I
Sy(s6 = 2a) = ´a2( 3 + 2) - (a( + 1)´ " 2a) =
2
" "
= ´a2( 3 + 2) - 3 - 2) =
= ´a2 " 0
= 0 (2.17)
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y 9
2.7 Sy w przekrojach od A do I
SA = 0[mm3] (2.18)
"
SB = ´a2( 3 + 2) =
"
= (3.606)(180)2( 3 + 2) =
"
= (116834.4)( 3 + 2) =
= 436031.9169[mm3]
4.36[10-4m3] (2.19)
"
SD = ´a2(3 + 2 3) =
"
= (3.606)(180)2(3 + 2 3) =
"
= (116834.4)(3 + 2 3) =
= 755229.4337[mm.3]
7.55[10-4m3] (2.20)
"
7 + 4 3
SE = ´a2( ) =
2
"
7 + 4 3
= (3.606)(180)2( ) =
2
"
7 + 4 3
= (116834.4)( ) =
2
= 813646.6337[mm.3]
8.14[10-4m3] (2.21)
"
SF = ´a2(3 + 2 3) =
"
= (3.606)(180)2(3 + 2 3) =
"
= (116834.4)(3 + 2 3) =
= 755229.4337[mm.3]
7.55[10-4m3] (2.22)
"
SH = ´a2( 3 + 2) =
"
= (3.606)(180)2( 3 + 2) =
"
= (116834.4)( 3 + 2) =
= 436031.9169[mm.3]
4.36[10-4m3] (2.23)
SI = 0[mm.3] (2.24)
Rozdział 3
Obliczenie centralnego momentu
bezwładności względem osi Y
k

2
Iy = Aizi
i=1
AB BD DE EF F HI
= Iy + Iy + Iy + Iy + Iy H + Iy
AB BD DE
= 2(Iy + Iy + Iy ) (3.1)
2a

AB
Iy = (z1(s1))2´ds1 =
0
"
2a

3
= (a( + 1))2´ds1 =
2
0
"
2a

7 + 4 3
= a2( )´ds1 =
4
0
"
7 + 4 3
= ´a2( )s1 |2a=
0
4
"
7 + 4 3
= ´a3( ) (3.2)
2
3. Obliczenie centralnego momentu bezwładności względem osi Y 11
2a

BD
Iy = (z2(s2))2´ds2 =
0
"
2a

3 s2
= (a( + 1) - )2´ds2 =
2 2
0
" "
2a

7 + 4 3 3 s2
2
= (a2 - as2( + 1) + )´ds2 =
4 2 4
0
" "
7 + 4 3 s2 3 s3
2 2
= ´(a2 s2 - a ( + 1) + ) |2a=
0
4 2 2 12
" "
7 + 4 3 (2a)2 3 (2a)3
= ´(a2 (2a) - a ( + 1) + ) =
4 2 2 12
" "
7 + 4 3 3 2a3
= ´(a3 - 2a3( + 1) + ) =
2 2 3
"
13 + 6 3
= ´a3 (3.3)
6
600

DE
Iy = (z3(Ä…3))2a´dÄ…3 =
0
600

= (sin(600 - Ä…3)a)2a´dÄ…3 =
0
600

= (sin2(600 - Ä…3)a2a´dÄ…3 =
0
600

= ´a3 sin2(600 - Ä…3)dÄ…3 =
0
Ä„
1 2Ä„
600=
3
= ´a3( (2(Ä…3 - 600) + sin( - 2Ä…3))) |0
4 3
1 1
= ´a3[( (2 " (600 - 600) + sin(1200 - 2 " 600))) - ( (2 " (00 - 600) + sin(1200 - 2 " 00)))]
4 4
1 1
= ´a3[( (2 " (0) + sin(00))) - ( (-1200 + sin(1200)))]
4 4
"
1 3
= ´a3[0 - ( (-1200 + ))]
4 2
"
1 3
= ´a3[( (1200 - ))]
4 2
"
1 2 3
= ´a3[( ( Ä„ - ))]
4 3 2
"
2 3
= ´a3( Ä„ - ) (3.4)
12 8
3. Obliczenie centralnego momentu bezwładności względem osi Y 12
AB BD DE
Iy = 2(Iy + Iy + Iy )
" " "
7 + 4 3 13 + 6 3 2 3
= 2(´a3( ) + ´a3 + ´a3( Ä„ - )) =
2 6 12 8
"
136 + 69 3 + 4Ä„
= ´a32 " =
"24
136 + 69 3 + 4Ä„
= ´a3 (3.5)
12
"
136 + 69 3 + 4Ä„
Iy = (3.606)(180)3 =
12
"
136 + 69 3 + 4Ä„
= (21030192) =
12
= 469799602, 92[mm4]
469799603[mm4] (3.6)
Rozdział 4
Obliczenie wydatku naprężeń stycznych
wzdłuż obwodu q(s)
TzSy(s)
q(s) = (4.1)
Iy
A
TzSy
qA =
Iy
(1230.769) " (0)
=
469799603
N
= 0[ ] (4.2)
mm.
B
TzSy
qB =
Iy
(1230.769) " (436031.9169)
=
469799603
= 1.142305
N
1.14[ ] (4.3)
mm
D
TzSy
qD =
Iy
(1230.769) " (755229.4337)
=
469799603
= 1.978531
N
1.98[ ] (4.4)
mm
4. Obliczenie wydatku naprężeń stycznych wzdłuż obwodu q(s) 14
E
TzSy
qE =
Iy
(1230.769) " (813646.6337)
=
469799603
= 2.131571
N
2.13[ ] (4.5)
mm.
F
TzSy
qF =
Iy
(1230.769) " (755229.4337)
=
469799603
= 1.978531
N
1.98[ ] (4.6)
mm
H
TzSy
qH =
Iy
(1230.769) " (436031.9169)
=
469799603
= 1.142305
N
1.14[ ] (4.7)
mm
I
TzSy
qI =
Iy
(1230.769) " (0)
=
469799603
N
= 0[ ] (4.8)
mm
Rozdział 5
Obliczenie ey

Sc
1
s
ey = - SyÁ(s)ds
Iy 0
(5.1)
Á1(s1) = z1(1)
"
3
= a( + 1) (5.2)
2
Á2(s2) = a (5.3)
Á3(Ä…3) = a (5.4)
Á4(Ä…4) = a
Á5(s5) = a (5.5)
Á6(s6) = z6(s6)
"
3
= a( + 1) (5.6)
2
(5.7)

SC 2a 2a 600
AB BD DE
Sy(s)Á(s)ds = Sy (s1)Á(s)ds1 + Sy (s2)Á(s)ds2 + Sy (s3)Á(s)dÄ…3
0 0 0 0
(5.8)

600 2a 2a
EF F HI
+ Sy (s4)Á(s)dÄ…4 + Sy H(s5)Á(s)ds5 + Sy (s6)Á(s)ds6
0 0 0
(5.9)
5. Obliczenie ey 16
5.1 AB
" " "

2a 2a 2a
3 3 7 + 4 3
AB
Sy (s1)Á(s)ds1 = s1´( + 1) " a( + 1)ds1 = ´a2 s1ds1 =
0 0 2 2 4 0
" "
7 + 4 3 s2 7 + 4 3 (2a)2
= ´a2 1 |2a= ´a2 =
0
4 2 4 2
"
7 + 4 3
= ´a4 (5.10)
2
5.2 BD
"

2a 2a "
3 s2
BD 2
Sy (s2)Á(s)ds2 = ´(a2( 3 + 2) + a( + 1)s2 - ) " ads2 =
0 0 4
"2
"
a2 3 as3
2
= ´(a3( 3 + 2)s2 + ( + 1)s2 - ) |2a=
2 0
4 2 12
"
"
a2 3 a(2a)3
= ´(a3( 3 + 2)(2a) + ( + 1)(2a)2 - ) |2a=
0
4 2 12
"
"
2 + 3 8
= a4´[2(2 + 3 + 4 - ] =
4 12
"
16 + 9 3
= a4´ (5.11)
3
5.3 DE

600 600 "
5
DE
Sy (s3)Á(s)adÄ…3 = ´a2(2 3 + + cos(600 - Ä…3)) " a2dÄ…3 =
0 0 2
"
5 0
= a4´(2 3Ä…3 + Ä…3 + cos(600)sin(Ä…3) - sin(60)cos(Ä…3)) |60 =
0
2
" "
1 Ä„
= a4´[(5 + 4 3) + 3] (5.12)
2 3
5.4 EF
"

600 600
5 + 4 3
EF
Sy (s4)Á(s)adÄ…4 = ´a2( + cos(Ä…4)) " a2dÄ…4 =
0 0 2
"
1 0
= a4´[(5 + 4 3)Ä…4 + 2sin(Ä…4)] |60 =
0
2
" "
1 Ä„
= a4´[(5 + 4 3) + 3] (5.13)
2 3
5. Obliczenie ey 17
5.5 FH
"

2a 2a "
3 s2
F 5
Sy H(s5)Á(s)ds5 = ´(a2(2 3 + 3) - a( )s5 - ) " ads5 =
0 0 2 4
"
"
3 as2
5
= ´[(3 + 2 3)a3s5 - a2s2 - ] |2a=
5 0
4 12
" "
8
= ´a4((3 + 2 3) " 2 - 3 - ) =
12
"
16 + 9 3
= a4´ (5.14)
3
5.6 HI
" "

2a 2a "
3 3
HI
Sy (s6)Á(s)ds6 = (´a2( 3 + 2) - (a( + 1)´s6)) " (a( + 1))ds6 =
0 0 2 2
"
1
= (7 + 4 3)a2´s6(4a - s6) |2a=
0
8
"
1
= (7 + 4 3)a2´(2a)(2a) =
8
"
7 + 4 3
= ´a4 (5.15)
2

SC
5.7 Sy(s)Á(s)ds
0
" "

SC
7 + 4 3 16 + 9 3
Sy(s)Á(s)ds = ´a4 + a4´
0 2 3
" " " "
1 Ä„ 1 Ä„
+ a4´[(5 + 4 3) + 3] + a4´[(5 + 4 3) + 3]
2 3 2 3
" "
16 + 9 3 7 + 4 3
+ ´a4 + ´a4 =
3 2
" "
53 + 33 3 + (5 + 4 3)Ä„
= ´a4( (5.16)
3
" "

SC
53 + 33 3 + (5 + 4 3)Ä„
Sy(s)Á(s)ds = ´a4( ) (5.17)
0 3
= 1.862588184 " 1011 (5.18)
5.8 ey

SC
1 1.862588184 " 1011
ey = - Sy(s)Á(s)ds = = -
Iy 0 469799603
= -396.464[mm] (5.19)
Rozdział 6
Podsumowanie wyników
i
i Sy qi
N
- [105mm3] [mm]
A 0 0
B 4.36 1.14
D 7.55 1.98
E 8.14 2.13
F 7.55 1.98
H 4.36 1.14
I 0 0
Iy 4.698 [108mm4]
ey -396 [mm]
Rozdział 7
Wykres rozkładu naprężeń wydatku
naprężeń stycznych