Fizyka Ogólna Wykad 5 1
Ruch falowy
Falą nazywa się ka\de rozprzestrzenianie się zaburzenia w przestrzeni.
Najcześciej rozpatruje się fale harmoniczne opisane funkcjami harmonicznymi ale ogólnie fala mo\e
być opisana
r r
f (r ą vt)
gdzie f jest dowolną funkcją, a wektory r i v to poło\enie i prędkość fali. Znak przy prędkości określa
kierunek ruchu fali.
Fale mechaniczne mogą rozprzestrzeniać się w ośrodkach ciągłych
jak woda, powietrze, metal, drewno
lub te\ ośrodkach dyskretnych
jak układ sprzę\onych oscylatorów (np. wahadeł)
Fala poprzeczna:
drgania ośrodka zachodzą prostopadle do kierunku propagacji fali;
takie fale są odkształceniami postaci ! zachodzą tylko w ośrodkach stałych ale te\ fale
elektromagnetyczne są falami poprzecznymi
Fala podłu\na
drgania zachodzą w kierunku równoległym do propagacji;
rozchodzą się odkształcenia objętości - przykład: fale akustyczne
Fizyka Ogólna Wykad 5 2
Rozpatrzmy falownicę pionową skadajca si z N sprz óonych wahade torsyjnych.
Równanie ruchu pojedyczego wahada torsyjnego:
2
2 m l2 d = - a" - ( - )
0
dt2
przy czym 0 = 0.
Dla n-tego wahada falownicy
2
2 m l2 d = - ( - ) - ( - )
n
n n+1 n -1
dt2
2
d
= ( - 2 + )
n -1 n n+1
dt2 2 m l2
Rozpatrzmy falownicę poziomą skadajc si z N sprz óonych wahade matematycznych.
2
2
m l d = - m g l - ( - ) - ( - )
n n n+1 n n-1
2
dt
2
d
2
Równanie ruchu dla n-tego wahada tej falownicy:
= - + ( - 2 + )
0
n n-1 n n+1
2 2
m l
dt
g
2
a"
0
l
Fizyka Ogólna Wykad 5 3
Model mechanicznego oŃ g
Ńrodka ci ego:
Ń
Ń
Gdy wahade jest bardzo wiele (lub teó obserwujemy nasz ukad z duóej odlegoŃci) mas skupion mozna
zastpił
m "
gdzie jest g stoŃci masy
" jest odlegoŃci pomi dzy wahadami
Model oŃrodka cigego otrzymuje si w granicy " 0 .
Na marginesie: przejŃcie do granicy naleóy tak wykonał aby cakowita masa ukadu pozostaa nie
zmieniona.
Wtedy dla falownicy pionowej otrzymuje si
"2 - "2 = 0
c2
"t2
"x2
które w elektrodynamice najcz Ńciej pisze si w postaci
"2 - 1 "2 = 0
"
x2 c2 " t2
Jest to równanie falowe.
Dla falownicy poziomej, po przejŃciu do granicy, otrzymuje si równanie
"2 - "2 = -
c2 2
0
"
t2 " x2
które jest znane jako równanie Kleina-Gordona.
Fizyka Ogólna Wykad 5 4
Oba równania maj rozwizania w postaci fali:
( x, t ) = f ( x ą c t )
przy czym funkcja f(x,t) musi był ciga wraz z drugimi pochodnymi obydwu argumentów
- a poza tym jest dowolna.
W szczególnoŃci rozwizaniami tych równa s
fale harmoniczne:
( x, c t ) = A sin ( k x ą t + )
2 Ą 2 Ą
gdzie k a" ; a" 2 Ą = ; c = =
T k
Zwi
zek dyspersyjny
Dla ustalenia uwagi:
rozwaómy opisan powyóej falownic poziom.
Dana jest fala harmoniczna w postaci:
= A cos ( t - k z + ) ; z = n "
n
+ = 2 cos (k " )
n+1 n -1 n
Fizyka Ogólna Wykad 5 5
JeŃli wstawił te wyraóenia do równania ruchu (równania Kleina-Gordona) i podzielił obie strony przez
cos ( t - k z + ) otrzymuje si
g 2
= + [ 1 - cos ( k " ) ]
2
l
ml2
g 4
= + sin2 ( k " )
2
l
ml2
Jest to Relacji dyspersji:
ZaleónoŃł cz stoŃci fali harmonicznej od liczby falowej k (czyli od dugoŃci fali)
Dla falownicy poziomej (równanie Kleina-Gordona) okazuje si , óe fale harmoniczne maj ograniczony
zakres cz stoŃci:
" [ min , max ]
g
2
2 = 0 =
min
l
g 4
2 = +
max
l
m l2
Natomiast dla falownicy pionowej (równanie falowe) jest inaczej:
= 0
min
Tak wi c falownica pozioma jest filtrem mechanicznym dla fal harmonicznym - filtrem
Ńrodkowoprzepustowym.
Natomiast falownica pionowa jest filtrem dolnoprzepustowym.
Fizyka Ogólna Wykad 5 6
Pytanie:
A co b dzie jeŃli wymusimy cz stoŃci z poza przedziau dost pnego dla fal harmonicznych ?
Wtedy fale harmoniczne nie b d si rozchodził:
powstanie drganie gasnące z odległością od krańca ośrodka
wnika ono do wnętrz ośrodka tylko na pewną głębokość.
Przykad Jonosfera jest filtrem dla fal harmonicznych:
Dla > p
= 2 + c2 k 2
2
p
i dla tego zakresu cz stoŃci rozchodz si fale harmoniczne.
Dla cz stoŃci mniejszych fale harmoniczne s tumione w jonosferze.
Pr Ńł
dkoŃł fazowa fal harmonicznych:
Ńł
Ńł
Dana jest fala o postaci
( z, t ) = A cos ( t - k z)
faza tej fali ( z , t ) = t - k z
" "
d ( z, t ) = d t + d z = d t - k d z
"t "z
Fizyka Ogólna Wykad 5 7
Fala harmoniczna ma postał niezmienn w czasie (wynik obserwacji)
a wi c wymagamy d ( z, t ) = 0
tak b dzie gdy
d z
a" =
v
f
d t k
gdzie v f jest prędkością fazową fali harmonicznej.
Pr Ńł
dkoŃł grupowa fal harmonicznych
Ńł
Ńł
Fale harmoniczne ŃciŃle monochromatyczne wyst puj rzadko.
Zazwyczaj mamy do czynienia ze ródem fal harmonicznych z pewnego (wskiego) zakresu cz stoŃci a
ponadto fala jest ograniczona w czasie.
Tworzy si wtedy tzw. grupa fala (paczka fal), która formalnie moóe został przedstawiona jako
superpozycja fal harmonicznych o odpowiednich fazach i cz stoŃciach.
Przykład: tworzenie paczki fal {HYPERLINK: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/wpe.html}
Przykad:
Fale na powierzchni wody powstajce gdy wrzucimy kamie do wody.
Przykład: propagacja prostej paczki fal
{HYPERLINK: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Wave_packet_%28no_dispersion%29.gif}
Fizyka Ogólna Wykad 5 8
Maksimum paczki fal porusza si z pr Ńci
dkoŃ grupow
Ń
Ń
d
vg =
d k
Definicja ta bierze si z tego (i ma wtedy sens), óe z tak pr dkoŃci porusza si grupa fal o postaci
+"k
k
0
( z, t ) = A(k) cos(t - kz)dk przy czym
+"
k - "k
0
zakres wektora falowego "k jest may
a ponadto
zaleónoŃł dyspersyjn (k) moóna rozwinł w szereg Taylora ograniczajc si do pierwszego
wyrazu (przyblióenie liniowe)
A(k) jest dane przez funkcj Gaussa
Dyspersja fal harmonicznych
Naleóy odróóniał zaleónoŃł dyspersyjn od zjawiska dyspersji fal.
Dyspersja fal: Gdy pr dkoŃł fazowa vf `" vg to poszczególne fale tworzce paczk fal b d poruszał si z
pr dkoŃciami fazowymi innymi nió maksimum paczki. Prowadzi to do zmiany jej ksztatu ( rozmycia ).
atwo sprawdził kiedy tak b dzie - wszystko zaleóy od wasnoŃci oŃrodka w wi c od postaci zaleónoŃci
dyspersyjnej (k).
Fizyka Ogólna Wykad 5 9
Przykad:
Dla falownicy pionowej 4 k"
2 = sin2( )
/max
1
m l2 2
0.8
4 k"
= sin( )
m l2 2
0.6
k"
0.4
sin( )
Gdy (k) jest liniowe to vf = vg
4
2
= =
v
f
0.2
k m l2 k
0
-1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
(k")/2
Gdy (k) jest jakkolwiek nieliniową funkcj oŃrodek jest dyspersyjny.
Zjawisko dyspersji na ogó zaleóy od dugoŃci fali.
Jak widał w poblióu k" " ugie fale)
0 tzn dla " (d
"
"
4 "
v
f
2
m l 2
W tym zakresie dugoŃci fale pr dkoŃł grupowa b dzie równa pr dkoŃci fazowej i oŃrodek nie jest
dyspersyjny.
k " Ą
Natomiast dla | | dyspersja zachodzi.
2 2
Fizyka Ogólna Wykad 5 10
Solitony:
W niektórych ośrodkach nieliniowych opisanych nieliniowymi równaniami falowymi dyspersja
ośrodka jest kompensowana przez nieliniowość ośrodka.
Ośrodki takie nazywamy solitonowymi a fale w nich powstające nazywamy solitonami.
"2 - c "2 + sin = 0 równanie sinusowe Gordona
2 2
Przykład równania solitonowego:
0
"t2 "
x2
Solitony są zlokalizowanymi falami podobnie jak paczka fal
ale na skutek braku dyspersji zachowują swój kształt.
Mają zastosowanie w telekomunikacji światłowodowej i optyce zintegrowanej.
Przykładem solitonu jest te\ fala tsunami. {hyperlink: http://molybdenum-platypus.net/temp/Tests/Globe.mov}
W trakcie zderzenia dwóch solitonów nast puje szereg gwatownych efektów ale typowe nieliniowe
efekty jak mieszanie cz stoŃci itp nie zachodz. Jedynie po zderzeniu solitony wyst puj w nieco innych
miejscach (przesuni cie fazy) nió gdyby zderzenia nie byo.
Jest to nieoczekiwane gdyó
oŃrodki te s nieliniowe i zasada superpozycji nie powinna w nich obowizywał. Paczk fale tworzy
si waŃnie w oparciu o ni (synteza fourierowska).
Fizyka Ogólna Wykad 5 11
oŃrodki te s dyspersyjne. O tym przekonaliŃmy si analizujc równanie Kleina-Gordona - liniow
postał równania sinusowego Gordona. W oŃrodkach dyspersyjnych paczka fal ulega rozmyciu na
skutek niezgodnoŃci pr dkoŃci grupowej z pr dkoŃci fazow poszczególnych fal harmonicznych
tworzcych ni. Jednak\e w ośrodku solitonowym dyspersja jest kompensowana przez nieliniowość
ośrodka.
Soliton (skrót od ang. solitary wave) jest waŃciwie modelem matematycznym o bardzo wskim zakresie
stosowania:
ukad musi był jednowymiarowy
ŃciŃle zachowawczy (bez tumienia czyli strat)
Pomimo tego moóna go stosował w wielu bardzo technicznie i poznawczo ciekawych sytuacjach.
" Wiele modeli da si sprowadził do postaci jednowymiarowej (np. przez wyporzystanie symetrii
obrotowej)
" W wielu sytuacjach stacjonarnych straty w oŃroku s kompensowane przez stay dopyw energii do
oŃrodka. Wtedy nie moóna juó rozwizał równa analitycznie (nie znamy odpowiednich metod) ale
za to numerycznie moóna pokazał, óe oŃrodek zachowuje wasnoŃci solitonowe.
Fizyka Ogólna Wykad 5 12
Posugujc si modelem solitonowym analizuje si obecnie wiele waónych problemów:
fale morskie wywoane trz sieniami ziemi (tsunami)
modele zjawisk w plazmie gazowej (fale uderzeniowe)
zjawiska w optyce (Ńwiatowody, wymuszona przeroczystoŃł oŃrodków)
zjawiska w nadprzewodzcych zczach Josephsona
klasyczne (nie kwantowe) modele czstek elementarnych
modele zjawisk meteorologicznych
Fizyka Ogólna Wykad 5 13
Efekt Dopplera:
Zjawisko to występuje w ruchu falowym w ogóle, nie tylko w akustyce.
Gdy zródło i/lub obserwator poruszają się względem ośrodka to częstość f fali mierzonej przez
obserwatora ulega zmianie według zale\nosci:
ł ł
v
ł ł
f = f
0
ł ł
v ą v
s,r
ł łł
gdzie
f0 jest częstością faktycznie emitowana przez zródło,
v jest prędkością fal w ośrodku,
vs,r jest prędkością ruchu zródła w ośrodku w kierunku obserwatora.
Znak ujemny odnosi się do ruchu w kierunku obserwatora.
W wyniku efektu Dopplera zmienia się efektywna długość fali co obserwujemy jako zmianę
v
częstości zgodnie z zale\nością = .
f
Fizyka Ogólna Wykad 5 14
Efekt Dopplera ma liczne zastosowania:
w astronomii,
w diagnostyce medycznej
Fizyka Ogólna Wykad 5 15
Ruch falowy w 3-ch wymiarach
W jednym wymiarze równanie falowe
"2 - 1 "2 = 0
"
x2 c2 "t2
ma rozwizanie w postaci
( z, t ) = f(x - ct) + g(x+ct)
gdzie funkcje f i g s cige wraz z drugimi pochodnymi.
W trzech wymiarach
2 2 2 2
1
"
+ " + " - " = 0
2
2 2 2 2
" " y
" "t
x z c
2
1
2
- " = 0
"
2 2
"t
c
Z rozwizaniem w postaci fale biegncych:
( z, t ) = f(l x + m y + n z - c t) + g(l x + m y + n z + c t)
2 2 2
gdy l + m + n = 1 powstaj fale paskie.
Ze względu na kształt czoła fali rozró\nia się fale płaskie, sferyczne i walcowe
{hyperlink: http://www.falstad.com/ripple/}
Fizyka Ogólna Wykad 5 16
Fale stojce
Obserwacja
Drgajc struna da si opisał równaniem
( z, t ) = A(z)cos( t + )
Wstawimy ten wynik obserwacji do równania falowego
"2 = "2
c2
"t2 "
z2
"2 = -
L:
2 A ( z ) cos( t + )
"t2
"2 = "2 A ( z ) cos( t + )
P:
" "
z2 z2
2 2
A(z)
d
= - 2 A ( z )
d
bo pr dkoŃł fazowa c =
z2 c
k
2
A(z)
d
+
k2 A ( z ) = 0
d
z2
Fizyka Ogólna Wykad 5 17
OtrzymaliŃmy równanie przestrzennego oscylatora harmonicznego. Jego rozwizaniem jest
A ( z ) = B1 sin(k z) + B2 cos(k z)
Stae w powyószym wyraóeniu wyznaczymy z warunków brzegowych
peni one tu podobn rol jak warunki pocztkowe dla oscylatora w dziedzinie czasu
(z , t) = [ sin(k z) + B2 cos(k z)] cos( t + )
B
1
Struna jest unieruchomiona na swoich kracach:
( z, t ) = B1 sin(k z) cos( t + )
Dla z = 0 (0,t) = 0 a wi c B2 = 0 oraz
Dla z = L (L,t) = 0 daje
albo B1 = 0 przypadek trywialny
albo
sin(k L) = 0
czyli
2Ą
= Ą , 2Ą ,3 Ą , ...,
2L 2L 2L 2L
= 2L, , , ,
2 3 4 5
Cz stoŃci fal stojcych ukadaj si w cig harmoniczny
c c
= =
min
max 2L
= min , 2 min , 3 min ,...
Fizyka Ogólna Wykad 5 18
Fale stojące powstają na skutek interferencji (nakładania się) fal poruszających się w przeciwnych
kierunkach.
Symulacja fal stojących {hyperlink: http://www.walter-fendt.de/ph14e/stwaverefl.htm}
Wa\nym elementem zjawiska są warunki brzegowe w punkcie odbicia fali:
Jeśli warunek ten wymusza zero fali nastąpi odbicie bez zmiany fazy fali..
Jeśli natomiast brzegi są swobodne to nastąpi odbicie z przesunięciem fazy o Ą. W rezultacie węzły
fali stojącej wypadną w innym miejscu.
Fala stojąca jest związana z rezonansem ośrodka przestrzennie rozciągłego w jakim zachodzi.
Mo\liwe jest powstawanie harmonicznego ciągu fal stojących.
Harmoniczne w strunie {hypelink: http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves1/StandingWaves1.html}
Wzorce Chladni ego w płycie skrzypiec {hyperlink: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/chladni.html}
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
W5 Tranzystorfale e mfale dunajuw5 PSYCHZaopatrzenie w wod kan W5Częstotliwości radiofoniczne i falePK W5KC K W54OS 11 w5W5 Rodzina jako systemOBWODY ELEKTRYCZNE i MAGNETYCZNE w5więcej podobnych podstron