3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

-DNLH MHVW SUDZGRSRGRELHVWZR *H Z GREU]H SRWDVRZDQHM WDOLL NDUW

ZV]\VWNLH DV\ VVLDGXM ]H VRE QLH V UR]G]LHORQH LQQ\PL NDUWDPL"

(A)

1

4

52

−









(B)

1

3

52

−









(C)

52

4

(D)

50

51

52

!

4

⋅

⋅

(E)

!

48

1

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2. Niech

8

2

1

,

,

,

X

X

X

EG]LH SUyE ] UR]NáDGX MHGQRVWDMQHJR QD

przedziale

( )

θ

,

0

, gdzie

0

>

θ

MHVW QLH]QDQ\P SDUDPHWUHP =QDMG( QDMPQLHMV] OLF]E c

WDN *HE\ SU]HG]LDá

{

}

{

}

[

]

8

2

1

8

2

1

,

,

,

max

,

,

,

,

max

X

X

X

c

X

X

X

⋅

%\á SU]HG]LDáHP XIQRFL GOD

θ

na poziomie 0.9375

(A)

2.0000

(B)

1.0667

(C)

1.4142

(D)

1.0625

1.1250

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3. Niech

1

N i

2

N

EG QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R UR]NáDGDFK

3RLVVRQD ] ZDUWRFLDPL RF]HNLZDQ\PL RGSRZLHGQLR

( )

20

1

=

N

E

,

( )

30

2

=

N

E

.

(

)

50

2

1

1

=

+

N

N

N

VAR

wynosi:

(A)

0

(B)

10

(C)

20

(D)

12

(E)

50

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4. Rozpatrzmy zmienne losowe X i Y

R áF]Q\P UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P

:LDGRPR *H

( )

9

=

Y

VAR

( )

7

2

1

+

=

X

X

Y

E

( )

8

=

X

Y

VAR

Wobec tego

( )

Y

X

COV

,

wynosi:

(A)

3

1

(B)

3

1

−

(C)

2

(D)

2

1

(E)

1

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5. Niech

n

X

X

X

,

,

,

2

1

EG]LH SUyE SURVW ] UR]NáDGX

( )

2

2

,

0

N

.

5R]ZD*P\ QDMPRFQLHMV]\ WHVW KLSRWH]\

0

:

0

=

µ

H

przeciw alternatywie:

1

:

1

=

µ

H

,

QD SR]LRPLH LVWRWQRFL

01

.

0

=

α

,OH REVHUZDFML SRWU]HED MDN GX*H PXVL E\ü n *HE\

PRF WHVWX E\áD ZLNV]D QL* "

(A)

Potrzeba przynajmniej

75

=

n

obserwacji

(B)

Potrzeba przynajmniej

14

=

n

obserwacji

(C)

Potrzeba przynajmniej

100

=

n

obserwacji

(D)

Wys

WDUF]

4

=

n

obserwacje

(E)

Potrzeba przynajmniej

53

=

n

obserwacji

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6. Zmienne losowe X i Y

PDM áF]Q\ UR]NáDG SUDZGRSRGRELHVWZD R

JVWRFL

( )







>

<

<

=

+

−

przypadku

przeciwnym

w

x

y

i

x

dla

e

y

x

f

x

y

0

1

0

,

:DUWRü RF]HNLZDQD

(

)

Y

X

E

+

jest równa:

(A)

.....

718

.

2

=

e

(B)

1.5

(C)

0.5

(D)

1

(E)

2

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7. Niech X

EG]LH ]PLHQQ ORVRZ R UR]NáDG]LH JHRPHWU\F]Q\P

( )

(

)

(

)

θ

θ

θ

θ

−

⋅

=

=

=

1

Pr

x

x

X

x

f

,

2

,

1

,

0

=

x

.

=Dáy*P\ *H QLH]QDQ\ SDUDPHWU

θ

MHVW UHDOL]DFM ]PLHQQHM ORVRZHM

Θ

NWyUD PD JVWRü

(a priori):

( )







<

<

=

przypadku

przeciwnym

w

dla

0

1

0

3

2

θ

θ

θ

π

:DUWRü Bayes’owskiego estymatora parametru

θ

obliczona na podstawie

]DREVHUZRZDQHM ZDUWRFL

0

=

X

, czyli

(

)

0

=

Θ

X

E

wynosi:

(A)

0.1

(B)

0.2

(C)

0.6

(D)

0.5

(E)

0.8

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8. Niech

9

8

2

1

,

,

,

,

X

X

X

X

EG QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL SU]\

W\P JVWRü ;

L

jest dana wzorem:

( )







>

⋅

=

⋅

−

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

e

x

f

x

0

0

λ

λ

8

,

,

2

,

1

=

i

dla

.

Zmienna

9

X

PD LQQ\ UR]NáDG R JVWRFL

( )







>

⋅

⋅

=

⋅

−

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

e

x

x

g

x

0

0

2

λ

λ

(VW\PDWRU QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL QLH]QDQHJR SDUDPHWUX

λ

PD SRVWDü

(A)

∑

=

=

9

1

9

ˆ

i

i

X

λ

(B)

1

9

8

1

2

1

ˆ

−

=













⋅

+

=

∑

X

X

i

i

λ

(C)

1

9

8

1

2

1

8

1

ˆ

−

=













⋅

+

⋅

=

∑

X

X

i

i

λ

(D)

∑

=

=

9

1

10

ˆ

i

i

X

λ

(E)

1

9

8

1

8

1

ˆ

−

=













+

⋅

=

∑

X

X

i

i

λ

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9. Niech

25

2

1

,

,

,

x

x

x

EG]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX

(

)

2

,

σ

µ

N

]D

50

27

26

,

,

,

x

x

x

SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX

( )

2

,

τ

ν

N

, gdzie

τ

σ

ν

µ

,

,

,

V

QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL :LHP\ *H

4

.

10

25

1

25

1

25

=

⋅

=

∑

=

i

i

x

x

0

.

10

50

1

50

1

50

=

⋅

=

∑

=

i

i

x

x

(

)

333

.

3

24

1

25

1

2

25

2

25

=

−

⋅

=

∑

=

i

i

x

x

s

,

(

)

000

.

2

49

1

50

1

2

50

2

50

=

−

⋅

=

∑

=

i

i

x

x

s

.

&]\ QD SRGVWDZLH W\FK GDQ\FK PR*QD SROLF]\ü ZDUWRü QLHREFL*RQHJR HVW\PDWRUD

2

ˆ

τ

wariancji

2

τ

?

(A)

TAK, 333

.

1

ˆ

2

=

τ

(B)

TAK, 400

.

0

ˆ

2

=

τ

(C)

TAK, 666

.

2

ˆ

2

=

τ

(D)

TAK, 417

.

0

ˆ

2

=

τ

(E)

NIE

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.

: XUQLH , ]QDMGXM VL GZLH NXOH L Z XUQLH ,, ]QDMGXM VL GZLH NXOH 1D WH

F]WHU\ NXOH Z VXPLH VNáDGDM VL GZLH NXOH ELDáH L GZLH F]DUQH 3U]HSURZDG]DP\

QDVWSXMFH GRZLDGF]HQLH ORVRZH

a)

QDMSLHUZ ORVXMHP\ MHGQ NXO ] XUQ\ , L SU]HNáDGDP\ M GR XUQ\ ,,

b)

QDVWSQLH ORVXMHP\ MHGQ NXO ] XUQ\ ,, L SU]HNáDGDP\ M GR XUQ\ ,

6HNZHQFM GZyFK ORVRZD D L E SRZWDU]DP\ ZLHORNURWQLH 3U]HG ND*G\P

ORVRZDQLHP GRNáDGQLH PLHV]DP\ NXOH Z XUQLH 1LHFK

( )

1

n

p

oznacza

SUDZGRSRGRELHVWZR WHJR *H SR n powtórzeniach (czyli po 2n losowaniach) w urnie I

]QDMGXMH VL MHGQD ELDáD L MHGQD F]DUQD NXOD 3UDZG MHVW *H

(A)

( )

3

2

1

lim

=

∞

→

n

n

p

(B)

( )

2

1

1

lim

=

∞

→

n

n

p

(C)

( )

3

1

1

lim

=

∞

→

n

n

p

(D)

( )

4

1

1

lim

=

∞

→

n

n

p

(E)

granica

( )

1

lim

n

n

p

∞

→

]DOH*\ RG WHJR LOH NXO ELDá\FK E\áR Z , XUQLH QD SRF]WNX

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

21.06.1997 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 21 czerwca 1997 r.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=,

Pesel ...........................................

Zadanie nr

2GSRZLHG( Punktacja

♦

1

D

2

C

3

D

4

C

5

E

6

E

7

C

8

D

9

D

10

A

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD