Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Całka podwójna - zastosowania - ciąg dalszy
Zad.1 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:
1.1 części sfery x2 + y2 + z2 = 2 zawartej wewnątrz stożka x2 + y2 = z2
1.2 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + 4y2 = 4
1.3 części paraboloidy z = 1 - x2 - y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 1
1.4 części walca x2 + z2 = 9 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 9

1.5 części stożka z = x2 + y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 4
1.6 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 2x
y2 y2
x2 x2
1.7 części paraboloidy z = + zawartej wewnątrz walca + = 1
9 4 9 4
Zad.2 Oblicz pole powierzchni 2x + 2y + z = 8 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych.
"
Zad.3 Oblicz pole powierzchni walcowej z = x2 odciętej płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x = 2.
Zad.4 Oblicz pole powierzchni z = 3x + 4y + 5 odciętej płaszczyznami x = 0, = 1, y = 0, y = 1.
Zad.5 Oblicz masy obszarów o podanych gęstościach:

5.1 D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin x , (x, y) = x

5.2 D = (x, y) " R2 : x 0, y 0, x + y 2 , (x, y) = xy

5.3 D = (x, y) " R2 : 1 x2 + y2 4, y 0 , (x, y) = |x|

x2 x x
5.4 D = (x, y) " R2 : 1 + y2 3, x 0, y , (x, y) =
16 4 y5
Zad.6 Oblicz współrzędne środka ciężkości obszarów jednorodnych ograniczonych krzywymi:
6.1 x + y = 5, x = 0, y = 0
6.2 y = ln x, y = 0, x = e
"
6.3 y = 1 - x2, x = 0, y = 0, dla x 0
2
6.4 x2 + y2 = 2xy dla x, y 0
6.5 r = 1 + cos Õ dla Õ " [0, Ä„]
Ä„
6.6 r = 2 sin 2Õ dla 0 Õ
2
Zad.7 Oblicz momenty bezwładności jednorodnego kwadratu o boku 1 względem jego przekątnych.
Zad.8 Oblicz moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jednorodnego koła x2 + y2 = 2x.