8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Zdarzenia A, B, C
(I) Pr(A)= 0.7 , Pr(B)= 0.6 , Pr(C)= 0.5 , Pr(A \ (B )" C))= 0.49
(II) Pr(B)= 0
(III) Zdarzenia A )" C i A )" B
A, B, C?
(A)
(B) war
(C)
(D)
(E)
1
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
17
(A)
9
13
(B)
9
(C) 2
13
(D)
6
7
(E)
6
2
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
X, Y
µ
E[min{X ,Y}X + Y = M] , gdzie M
6
(A) Å" M
24
7
(B) Å" M
24
8
(C) Å" M
24
9
(D) Å" M
24
(E) µ
3
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
(0, 1).
poprzednich.
-
o oddanie 11-
11
(A)
12
10
(B)
12
10
(C)
11
12
(D)
13
12
(E)
14
4
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
X1, X , , X10
2
x
-
1
Å„Å‚
µ
Å" e dla x > 0
ôÅ‚
fµ (x)=
òÅ‚µ
ôÅ‚
0 dla x d" 0
ół
µ
ENW(µ)
max{ }
X
i
i
od 100.
X1, X , , X10
2
X = min{ , 100},
Yi
i
gdzie zmienne losowe fµ
Yi
ENW (µ)
(A) 60
(B) 55.555...
(C) 50
(D) 45
(E) ENW(µ) przy zmodyfikowanych
5
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1, X , , X
2 n
(¸1, ¸2 )
korelacji liniowej minn{ }, maxn{ }öÅ‚ wynosi:
CorrëÅ‚i=1, X X ÷Å‚
ìÅ‚
i i
i=1,
íÅ‚ Å‚Å‚
(A) 0
1
(B)
n
2
(C)
n +1
n +1
(D)
n2 +1
1
(E)
n2
6
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
X przyjmuje
" X 1
=
" X 0
=
Pierwszych 100 osób udziela odpowiedzi Z1, , Z100
" b 4 , to:
=
Zi X
i
"
=
Zi 1- X
i
udziela odpowiedzi Z101, , Z200
" to:
=
Zi X
i
"
=
Zi 1- X
i
qX = Pr(X = 1)
100 200
1 1
Z1 = Å" , = Å"
Z2
"Zi "Zi
100 100
i=1 i=101
Estymator parametru
qX
Ć
qX = a0 + a1 Å" Z1 + a2 Å" Z2
(a0 , a1, a2 )
(A) (a0 , a1, a2 )= (0, -1, 2)
(B) (a0 , a1, a2 )= (0, 2, -1)
1 3 -3
(C) (a0 , a1, a2 )= ( , , )
2 2 2
1 -3 3
(D) (a0 , a1, a2 )= ( , , )
2 2 2
-1 1 -1
(E) (a0 , a1, a2 )= ( , 2 , )
2 2 2
7
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
2
, , , <" N(µ, Ã )
X1,1 X1,2 X1,n
1
2
, , , , 2
X X X <" N(µ Ã )
2,1 2,2 2,n2
n2
+ Å"
n1X1 X
n1 n2
2
1 1 ~
2
Niech: , , oraz
X1 = X1,i X = X X =
" 2 " 2,i
n2
n1 i=1 n2 i=1
n1 +
2
2
Estymator parametru postaci:
Ã
n1 n2
2 2 üÅ‚
Å„Å‚ ~ 1 ~
2
) ,
= Å" () + Å" ( - X
S c X1,i - X X
òÅ‚ żł
" " 2,i
2
i=1 i=1
ół þÅ‚
c wynosi:
1
(A) c =
n2
n1 + -1
2
1
(B) c =
n2 1
n1 + -
2 2
1
(C) c =
n1 + n2 - 2
1
(D) c =
n1 + n2
1
(E) c =
n1 + n2 -1
8
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
X, hipotezy
prostej:
H0 : X i f0 ,
przeciwko prostej alternatywie:
H1 : X f1 .
Ä… "(0, 1) Ä… , o
postaci:
" odrzucamy H0 X > k = k(Ä…),
" nie odrzucamy H0 X d" k = k(Ä…),
ma moc (1- ² )
2
1- ² = 1- ²(Ä…)= Ä… .
f0 dana jest wzorem:
1
Å„Å‚
dla x > 0
ôÅ‚
2
f0(x)=
òÅ‚(1+ x)
ôÅ‚
0 dla x d" 0
ół
f1 dana jest (dla dodatnich x) wzorem:
1 1
(A) Å"
2
x
2
(1+ )
2
1 1
(B) Å"
3 2
2
(1+ x)
2
(C)
2
(1+ 2x)
1
(D)
2
(1+ 2x)
2
(E)
3
(1+ x)
9
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
2
Na podstawie próbki prostej X1, X , , X N(µ, Ã ) z
2 n
2 2 2
nieznanymi parametrami µ i à (à , à ) dla wariancji
2
Çk N(k, 2k).
2 2
à - Ã
R = .
2
2 Å"Ã
Rozmiar próbki n, dla którego E(R)H" 0.01, wynosi:
(A) 100
(B) 500
(C) 2500
(D) 75000
(E) 1000000
10
 8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Prawdopodo
Arkusz odpowiedzi*
..................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Punktacjaf&
1 D
2 C
3 A
4 A
5 B
6 B
7 C
8 E
9 E
10 D
*
Arkuszu odpowiedzi.
f&
11