7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar  przygotowanie
do sprawdzianu
Zad. 7.1 Udowodnij, że rodzina R = {[a, b); a, b " R} jest półpierścieniem.
Zad. 7.2 Niech µ" bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ… na &! i niech A, B ‚" &! oraz µ"(B) = 0.
Udowodnij, że
µ"(A *" B) = µ"(A \ B) = µ"(A).
Zad. 7.3 Udowodnij, że jeÅ›li A, B ‚" &!, A )" B = " oraz B jest µ"-mierzalny, to
"E"&! µ"(E )" (A *" B)) = µ"(E )" A) + µ"(E )" B).
Zad. 7.4 Niech &! = {1, 2, 3}, C = {", {1}, {2, 3}}. Określamy:
·1(") = 0, ·1({1}) = 0, ·1({2, 3}) = a > 0;
·2(") = 0, ·2({1}) = b > 0, ·2({2, 3}) = 0.
" "
Tworzymy odpowiadajÄ…ce im miary zewnÄ™trzne. Czy F· = F· ?
1 2
Zad. 7.5 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… na Ã-algebrze F podzbiorów przestrzeni &! i niech
µ"(E) = inf{µ(A), E ‚" A '" A " F}
dla E ‚" &!. Udowodnij, że µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ… na &! i µ = µ"|F.
Zad. 7.6 Niech µ" bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ… speÅ‚niajÄ…cÄ… warunek
"x"&! µ"({x}) = 0.
Udowodnij, że każdy zbiór jednopunktowy jest µ"-mierzalny i przeliczalna suma zbio-
rów jednopunktowych jest także µ"-mierzalna.