Matematyka A, kolokwium, 18 maja 2011, 18:10 – 20:00
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.) (a) Znale´z´c takie liczby A , B , C , D i E , ˙ze je´sli w(x) = A + Bx + Cx
2
+ Dx
3
+ Ex
4
dla ka˙zdej liczby x , to w(0) = 0 , w(1) = 1 , w(2) = 9 , w(3) = 36 i w(4) = 100 .
(b) Obliczy´c w(5) .
2. (10 pt.) Znale´z´c
3
3
12
−1
1
−4
25
1683 −11
.
3. (10 pt.) (a) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb ca lkowitych a, b istnieja
,
takie liczby ca lkowite
x, y , ˙ze:
12 5
5
2
x
y
=
a
b
.
(b) Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy
12 5
5
2
.
(c) Znale´z´c macierz
12 5
5
2
−1
.
(d) Czy istnieje taki niezerowy wektor ~v , ˙ze kA~vk = 3k~vk ?
4. (10 pt.) Niech A =
−3
2 −2
0
1
0
4 −2
3
.
(a) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A .
(b) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A
−1
.
(c) Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A
2
i macierzy A
3
.
(d) Znale´z´c macierze A
2
i A
3
.
(e) Czy przekszta lcenie przypisuja
,
ce wektorowi −
→
x wektor A · −
→
x jest symetria
,
lub obrotem?
5. (10 pt.) Niech M =
5
1 + 3
√
3
1 − 3
√
3
1 − 3
√
3
13
2
2 +
3
2
√
3
1 + 3
√
3 2 −
3
2
√
3
13
2
,
~u =
1
2
2
.
(a) Znale´z´c macierz M
T
oraz iloczyny M · M
T
, M
T
· M .
(b) Znale´z´c M~u . Wskaza´c jedna
,
(z by´c mo˙ze kilku) warto´s´c w lasna
,
macierzy M .
(c) Obliczy´c M
−1
.
(d) Wykaza´c, ˙ze macierze M i M
T
maja
,
te same warto´sci w lasne.
(e) Obliczy´c | det(M )| .