RACHUNEK PRAWDODOPOBIE ´
NSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKA´
ZNIKU STRUKTURY.
TEST ISTOTNO´
SCI DLA WSKA´
ZNIKA STRUKTURY.
Badana cecha X ma rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy), tzn. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.
Zak ladamy, ˙ze badana pr´oba losowa ma du˙z¸a liczno´s´c (n ≥ 100).
Weryfikacja hipotezy H
0
: p = p
0
na poziomie istotno´sci α.
Z
n
-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n-elementowej pr´obie
Obliczamy warto´s´c statystyki
U =
Z
n
n
− p
0
q
p
0
(1−p
0
)
n
(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).
Hipotez¸e H
0
odrzucamy (H
1
przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty-
cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
.
W = (−∞, −u
1−
α
2
) ∪ (u
1−
α
2
, +∞), gdy H
1
: p 6= p
0
W = (u
1−α
, +∞), gdy H
1
: p > p
0
W = (−∞, −u
1−α
), gdy H
1
: p < p
0
.
TEST ISTOTNO´
SCI DLA DW ´
OCH WSKA´
ZNIK´
oW STRUKTURY.
Badana cecha X ma w dw´och populacjach rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy). W populacji I:
P (X = 1) = p
1
, P (X = 0) = 1 − p
1
, a w populacji II: P (X = 1) = p
2
, P (X = 0) = 1 − p
2
.
Zak ladamy, ˙ze badana pr´oby losowa maj¸a du˙ze liczno´sci (n
1
≥ 100, n
2
≥ 100).
Weryfikacja hipotezy H
0
: p
1
= p
2
na poziomie istotno´sci α.
Z
n
1
-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n
1
-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji I
Z
n
2
-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n
2
-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji II
Obliczamy warto´s´c statystyki
U =
Z
n1
n
1
−
Z
n2
n
2
r
Z
n1
+Z
n2
n
1
+n
2
(1 −
Z
n1
+Z
n2
n
1
+n
2
) ·
n
1
+n
2
n
1
·n
2
(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).
Hipotez¸e H
0
odrzucamy (H
1
przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty-
cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
.
W = (−∞, −u
1−
α
2
) ∪ (u
1−
α
2
, +∞), gdy H
1
: p
1
6= p
2
W = (u
1−α
, +∞), gdy H
1
: p
1
> p
2
W = (−∞, −u
1−α
), gdy H
1
: p
1
< p
2
.
Opis danych:
n - liczno´s´c pr´obki;
n
1
, n
2
- liczno´s´c pr´obek pobranych odpowiednio z populacji I i II;
x
1
, x
2
- ´srednia z pr´oby dla populacji I i II;
α - poziom istotno´sci;
u
α
- kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);
c
Krzysztof Bry´s 1999-2006
1