RACHUNEK PRAWDODOPOBIE ´

NSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKA´

ZNIKU STRUKTURY.

TEST ISTOTNO´

SCI DLA WSKA´

ZNIKA STRUKTURY.

Badana cecha X ma rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy), tzn. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.

Zak ladamy, ˙ze badana pr´oba losowa ma du˙z¸a liczno´s´c (n ≥ 100).

Weryfikacja hipotezy H

0

: p = p

0

na poziomie istotno´sci α.

Z

n

-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n-elementowej pr´obie

Obliczamy warto´s´c statystyki

U =

Z

n

n

− p

0

q

p

0

(1−p

0

)

n

(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).

Hipotez¸e H

0

odrzucamy (H

1

przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty-

cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

W = (−∞, −u

1−

α

2

) ∪ (u

1−

α

2

, +∞), gdy H

1

: p 6= p

0

W = (u

1−α

, +∞), gdy H

1

: p > p

0

W = (−∞, −u

1−α

), gdy H

1

: p < p

0

.

TEST ISTOTNO´

SCI DLA DW ´

OCH WSKA´

ZNIK´

oW STRUKTURY.

Badana cecha X ma w dw´och populacjach rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy). W populacji I:

P (X = 1) = p

1

, P (X = 0) = 1 − p

1

, a w populacji II: P (X = 1) = p

2

, P (X = 0) = 1 − p

2

.

Zak ladamy, ˙ze badana pr´oby losowa maj¸a du˙ze liczno´sci (n

1

≥ 100, n

2

≥ 100).

Weryfikacja hipotezy H

0

: p

1

= p

2

na poziomie istotno´sci α.

Z

n

1

-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n

1

-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji I

Z

n

2

-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n

2

-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji II

Obliczamy warto´s´c statystyki

U =

Z

n1

n

1

−

Z

n2

n

2

r

Z

n1

+Z

n2

n

1

+n

2

(1 −

Z

n1

+Z

n2

n

1

+n

2

) ·

n

1

+n

2

n

1

·n

2

(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).

Hipotez¸e H

0

odrzucamy (H

1

przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty-

cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

W = (−∞, −u

1−

α

2

) ∪ (u

1−

α

2

, +∞), gdy H

1

: p

1

6= p

2

W = (u

1−α

, +∞), gdy H

1

: p

1

> p

2

W = (−∞, −u

1−α

), gdy H

1

: p

1

< p

2

.

Opis danych:

n - liczno´s´c pr´obki;
n

1

, n

2

- liczno´s´c pr´obek pobranych odpowiednio z populacji I i II;

x

1

, x

2

- ´srednia z pr´oby dla populacji I i II;

α - poziom istotno´sci;
u

α

- kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);

c

Krzysztof Bry´s 1999-2006

1