RACHUNEK PRAWDODOPOBIE ŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAŹNIKU STRUKTURY.

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY.

Badana cecha X ma rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy), tzn. P ( X = 1) = p, P ( X = 0) = 1 − p.

Zak ladamy, że badana próba losowa ma duż¸a liczność ( n ≥ 100).

Weryfikacja hipotezy H 0 : p = p 0 na poziomie istotności α.

Zn-liczba elementów wyróżnionych w n-elementowej próbie Obliczamy wartość statystyki

Zn − p

U =

n

0

q p 0(1 −p 0)

n

(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0 , 1)).

Hipotez¸e H 0 odrzucamy ( H 1 przyjmujemy) gdy obliczona wartość statystyki U należy do zbioru kryty-cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.

W = ( −∞, −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α , + ∞), gdy H 1 : p 6= p 0

2

2

W = ( u 1 −α, + ∞), gdy H 1 : p > p 0

W = ( −∞, −u 1 −α), gdy H 1 : p < p 0 .

TEST ISTOTNOŚCI DLA DW ÓCH WSKAŹNIKóW STRUKTURY.

Badana cecha X ma w dwóch populacjach rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy). W populacji I: P ( X = 1) = p 1, P ( X = 0) = 1 − p 1, a w populacji II: P ( X = 1) = p 2, P ( X = 0) = 1 − p 2.

Zak ladamy, że badana próby losowa maj¸a duże liczności ( n 1 ≥ 100, n 2 ≥ 100).

Weryfikacja hipotezy H 0 : p 1 = p 2 na poziomie istotności α.

Zn -liczba elementów wyróżnionych w n 1

1-elementowej próbie wylosowanej z populacji I Zn -liczba elementów wyróżnionych w n 2

2-elementowej próbie wylosowanej z populacji II Obliczamy wartość statystyki

Zn 1 − Zn 2

U =

n 1

n 2

r

Zn + Z

+ Z

1

n 2 (1 − Zn 1

n 2 ) · n 1+ n 2

n 1+ n 2

n 1+ n 2

n 1 ·n 2

(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0 , 1)).

Hipotez¸e H 0 odrzucamy ( H 1 przyjmujemy) gdy obliczona wartość statystyki U należy do zbioru kryty-cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.

W = ( −∞, −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α , + ∞), gdy H 1 : p 1 6= p 2

2

2

W = ( u 1 −α, + ∞), gdy H 1 : p 1 > p 2

W = ( −∞, −u 1 −α), gdy H 1 : p 1 < p 2 .

Opis danych:

n - liczność próbki;

n 1, n 2 - liczność próbek pobranych odpowiednio z populacji I i II; x 1, x 2 - średnia z próby dla populacji I i II; α - poziom istotności;

uα - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0 , 1); c

Krzysztof Bryś 1999-2006

1