RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA WERYFIKACJA HIPOTEZ O R ÓWNOŚCI WARTOŚCI OCZEKIWANEJ W DW ÓCH POPULACJACH.

Badana cecha X ma rozk lad normalny N( m 1 , σ 1) w populacji I, z której pobrano próbk¸e o liczności n 1, i rozk lad N( m 2 , σ 2) w populacji II, z której pobrano próbk¸e o liczności n 2 .

Weryfikacja hipotezy H 0 : m 1 = m 2 na poziomie istotności α.

Model 1 . σ 1, σ 2 znane.

Obliczamy wartość statystyki testowej x

U =

1 − x 2

q σ 2

2

1

+ σ 2

n 1

n 2

(statystyka U ma rozk lad N(0 , 1)).

Hipotez¸e H 0 odrzucamy ( H 1 przyjmujemy) gdy obliczona wartość statystyki U należy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.

W = ( −∞, −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α , + ∞), gdy H 1 : m 1 6= m 2

2

2

W = ( u 1 −α, + ∞), gdy H 1 : m 1 > m 2

W = ( −∞, −u 1 −α), gdy H 1 : m 1 < m 2 .

Model 2. σ 1, σ 2 nieznane (zak ladamy, że σ 1 = σ 2).

Obliczamy wartość statystyki testowej x

T =

1 − x 2

q n 2

2

1 s 1 + n 2 s 2

· n 1+ n 2

n 1+ n 2 − 2

n 1 ·n 2

(statystyka T ma rozk lad t-Studenta o n 1 + n 2 − 2 stopniach swobody).

Hipotez¸e H 0 odrzucamy ( H 1 przyjmujemy ) gdy obliczona wartość statystyki T należy do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.

W = ( −∞, −t( α, n 1 + n 2 − 2)) ∪ ( t( α, n 1 + n 2 − 2) , + ∞), gdy H 1 : m 1 6= m 2

W = ( t(2 α, n 1 + n 2 − 2) , + ∞), gdy H 1 : m 1 > m 2

W = ( −∞, −t(2 α, n 1 + n 2 − 2)), gdy H 1 : m 1 < m 2 .

Opis danych:

n 1, n 2 - liczność próbek pobranych odpowiednio z populacji I i II; x 1, x 2 - średnia z próby dla populacji I i II; S 1, S 2 - odchylenie standardowe z próby dla populacji I i II; α - poziom istotności; uα - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0 , 1); t( α, n) - wartość krytyczna (kwantyl rz¸edu 1 − α) rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody.

2

c

Krzysztof Bryś 1999-2006

1