1
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
2
0
1
1
0
1
0
1
podstawowe informacje
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B
0
, b, l
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B
0
, u, s
funkcje odwzorowania odwrotnego
zbieżność południków
elementarne skale długości i pól
redukowanie długości i kierunków
1/26
1922 – L. Roussilhe przedstawia podstawy odwzorowania
na Zgromadzeniu Ogólnym Międzynarodowej Unii
Geodezji i Geofizyki
1928 – prof. Lucjan Grabowski publikuje własny
przejrzysty algorytm tego odwzorowania w pracy „O
odwzorowaniach płaskich wiernokątnych elipsoidy
obrotowej”
1932 – F. Biernacki i J. Słomczyński dostosowują
parametry odwzorowania do warunków polskich
(elipsoida Bessela, punkt główny
P
0
(B
0
= 52°, L
0
= 22°), m
0
= 0,9995
)
pełna polska nazwa: Odwzorowanie quasi-
stereograficzne Wojskowego Instytutu Geograficznego
2
0
1
1
0
1
0
1
2/26
2
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowanie quasistereograficzne to
odwzorowanie azymutalne, ukośne, równokątne
(konforemne) elipsoidy obrotowej
odpowiada ono stereograficznemu
odwzorowaniu sfery o promieniu
niewielkie zniekształcenia w pobliżu punktu
głównego odwzorowania, który odpowiada
punktowi styczności płaszczyzny i sfery w
odwzorowaniu stereograficznym
najlepiej nadaje się do przedstawiania obszarów,
których granice maja kształt zbliżony do okręgu
2
0
1
1
0
1
0
1
3/26
0
0
0
N
M
R
Siatka geograficzna odwzorowuje się na płaszczyźnie jako
zespół krzywych mało różniących się od łuków kół
w celu zmniejszenia bezwzględnej wartości zniekształceń
liniowych w odwzorowaniu płaskim zmniejsza się
promień
R
o
kuli w pewnym niewielkim stosunku, zwanym
stałą skali
przy zastosowaniu tej stałej płaszczyzna odwzorowania
staje się płaszczyzna sieczną co pozwala zmniejszyć do
połowy bezwzględną wartość zniekształceń długości
dla współczynnika kurczenia
m
0
= 0,9995
płaszczyzna
przecina elipsoidę wzdłuż elipsy zbliżonej do okręgu koła
o promieniu około 284 km od punktu głównego na
obwodzie koła nie ma zniekształceń długości, wewnątrz
koła występuje skurczenie, a na zewnątrz koła
rozciągnięcie obszaru podlegającego odwzorowaniu
2
0
1
1
0
1
0
1
4/26
3
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
parametry układu:
współrzędne punktu
głównego
P
0
(B
0
, L
0
)
skala długości w
punkcie głównym,
zwana
współczynnikiem
kurczenia
m
0
2
0
1
1
0
1
0
1
5/26
punkt główny odwzorowania powinien znajdować
się w pobliżu punktu środkowego
odwzorowywanego obszaru
południk przechodzący przez punkt główny
P
0
zwany jest południkiem środkowym lub
południkiem osiowym
zastosowanie:
w okresie międzywojennym do map topograficznych w
skalach od 1: 10 000 do 1 : 1 000 000
układ 1965 ( 4 z 5 stref)
układ GUGiK 80 – mapy Polski w skalach 1 : 100 000 i
1 : 500 000
2
0
1
1
0
1
0
1
6/26
4
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
układ współrzędnych płaskich:
początek układu znajduje się w
oś
x
oś
y
2
0
1
1
0
1
0
1
południk środkowy jest stereograficznym rzutem
łuku południka od
B
0
do
B
południk środkowy odwzorowuje się jako
odcinek linii prostej, odcięte na południku
s –
głównego P
0
do punktu P
2
0
1
1
0
1
0
1
0
0
2
2
R
s
tg
R
x
m
5
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
funkcje odwzorowawcze można wyznaczyć na
trzy sposoby:
jako funkcje wielkości
B
0
, b, l
jako funkcje wielkości
B
0
, u, s
z wykorzystaniem odwzorowania Gaussa Krügera
2
0
1
1
0
1
0
1
9/26
z tw. o odwzorowaniach konforemnych:
zależność między współrzędnymi płaskimi i
izometrycznymi na sferze jest funkcją analityczną
zmiennej zespolonej
q, l
– elipsoidalne współrzędne izometryczne
ponieważ dla
q
0
= q(B
0
)
,
x = 0
(bo
P
0
(B
0
, L
0
)
jest
środkiem zobrazowania)
2
0
1
1
0
1
0
1
10/26
)
(
)
(
il
q
f
z
f
iy
x
0
)
(
)
(
q
q
q
il
q
f
il
q
f
iy
x
'
'
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
2
/
sin
1
sin
1
2
4
ln
e
B
e
B
e
B
tg
q
S
0
L
L
l
6
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
funkcję analityczną można rozwinąć w szereg
potęgowy w otoczeniu punktu
P
0
(q
0
, l = 0)
po wykonaniu potęgowań i mnożeń, możliwe
staje się rozdzielenie części rzeczywistej od
części urojonej
2
0
1
1
0
1
0
1
11/26
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
!
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
0
0
)
(
0
'
'
'
'
'
¦
f
il
q
d
il
q
d
il
q
d
il
q
d
il
q
d
P
P
P
f
n
iy
x
n
n
n
...
5
10
3
4
5
2
3
5
5
5
4
4
2
3
3
3
2
2
2
2
1
'
'
'
'
'
'
'
ql
d
l
q
d
q
d
l
d
ql
d
q
d
l
d
q
d
q
d
x
...
5
10
5
4
4
3
2
5
5
3
2
5
4
5
3
4
3
4
3
3
2
3
2
1
'
'
'
'
'
'
l
d
l
q
d
l
q
d
ql
d
l
q
d
l
d
l
q
d
ql
d
l
d
y
współczynniki liczbowe
d
n
wyznacza się
różniczkując funkcję
f
w kierunku południka
środkowego
x
m
współrzędna punktu leżącego na południku środkowym
po rozwinięciu w szereg potęgowy
s
jest zależne od
Δq
Δq
jest funkcją przyrostu
b = B – B
0
można rozwinąć w szereg
potęgowy
2
0
1
1
0
1
0
1
12/26
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
n
m
n
n
n
n
dq
x
d
n
dq
f
d
n
d
!
1
!
1
0
0
2
2
R
s
tg
R
x
m
4
0
5
2
0
3
120
12
R
s
R
s
s
x
m
0
0
0
cos B
N
dq
ds
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
'
5
5
4
4
3
3
2
2
1
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
q
0
!
1
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
n
n
n
dB
q
d
n
c
7
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
ostatecznie
2
0
1
1
0
1
0
1
13/26
4
4
2
0
4
0
2
3
2
0
2
0
5
0
4
2
2
0
0
4
0
2
2
2
2
2
0
2
0
4
2
0
0
2
4
2
2
2
2
0
2
0
3
4
2
4
2
2
2
0
2
0
0
2
0
2
4
2
0
0
6
4
2
0
)
2
11
2
(
cos
48
1
)
1
(
cos
24
1
120
1
)
6
2
(
cos
24
1
)
6
2
3
(
cos
8
1
8
1
)
6
2
2
1
(
cos
4
1
)
42
9
6
4
1
(
12
1
cos
2
1
)
2
(
2
3
)
1
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
bl
t
t
B
N
l
b
t
B
N
b
N
l
t
t
B
N
l
b
t
B
N
b
t
N
bl
t
t
t
B
N
b
t
t
N
l
t
B
N
b
t
N
b
N
x
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
B
e
tgB
t
cos
'
K
i
2
0
1
1
0
1
0
1
14/26
5
4
2
0
5
0
3
2
2
0
3
0
4
0
0
3
2
2
2
2
0
0
3
0
2
3
2
2
2
0
0
0
3
2
2
0
3
0
2
4
2
4
2
2
2
0
0
4
2
0
0
0
0
0
)
2
11
2
(
cos
240
1
)
7
2
(
cos
24
1
cos
24
1
)
4
2
(
cos
6
1
)
6
5
1
(
cos
12
1
)
2
1
(
cos
12
1
)
12
6
1
(
cos
4
1
)
1
(
cos
cos
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
l
t
t
B
N
l
b
t
B
N
l
b
B
N
bl
t
t
t
B
N
l
b
t
t
B
N
l
t
B
N
l
b
t
t
B
N
bl
t
B
N
l
B
N
y
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
B
e
tgB
t
cos
'
K
8
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
ale można uprościć
współczynniki
a
ij
oblicza się jednorazowo dla
danego odwzorowania w sposób zbliżony do
obliczeń w odwzorowaniu GaussaKrügera
2
0
1
1
0
1
0
1
15/26
5
50
3
2
32
31
30
4
14
3
13
2
12
11
10
4
41
40
2
3
23
2
22
21
20
5
05
4
04
3
03
2
02
01
l
a
l
b
a
b
a
a
l
b
a
b
a
b
a
b
a
a
y
l
b
a
a
l
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
x
odwzorowanie quasi – stereograficzne
jako funkcje wielkości
B
0
, u, s
prof. Grabowskiego)
jednoznacznie parę liczb
u, s
sposób, że:
u
–
u = lr = lNcosB
s
– długość łuku południka środkowego, wg.
wzoru
s = f
1
b
1
+ f
2
b
2
+ f
3
b
3
+ …
2
0
1
1
0
1
0
1
16/26
9
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
współrzędne
(x, y)
można przedstawić jako funkcje
(u, s)
i rozwinąć w postaci szeregów potęgowych
2
0
1
1
0
1
0
1
17/26
5
50
3
3
33
2
32
31
30
4
14
3
13
2
12
11
10
4
41
40
2
3
23
2
22
21
20
5
05
4
04
3
03
2
02
01
00
)
(
u
w
u
s
w
s
w
s
w
w
u
s
w
s
w
s
w
s
w
w
y
u
s
w
w
u
s
w
s
w
s
w
w
s
w
s
w
s
w
s
w
s
w
w
x
s
u
F
y
s
u
F
x
,
,
2
1
współrzędne
(x, y)
punktu leżącego na południku
środkowym
(u = 0)
można opisać szeregami
potęgowymi:
a ponieważ
początkowe współczynniki mają wartości:
2
0
1
1
0
1
0
1
18/26
0
5
05
4
04
3
03
2
02
01
00
y
s
w
s
w
s
w
s
w
s
w
w
x
m
6
0
7
4
0
5
2
0
3
0
0
20160
17
120
12
2
2
R
s
R
s
R
s
s
R
s
tg
R
x
m
6
0
07
06
4
0
05
04
2
0
03
02
01
00
20160
17
0
120
1
0
12
1
0
1
0
R
w
w
R
w
w
R
w
w
w
w
10
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
pozostałe współczynniki
w
ij
są wyznaczane z warunku
wiernokątności dla współrzędnych
(u, s)
z warunku wiernokątności współrzędnych
izometrycznych:
po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych i
podstawieniu, warunki wiernokątności przyjmują
postać:
iloraz zależny od
B
można rozwinąć w postaci
szeregu
2
0
1
1
0
1
0
1
19/26
B
y
M
r
l
x
w
w
w
w
B
x
M
r
l
y
w
w
w
w
u
y
N
tgB
u
s
y
u
x
w
w
w
w
w
w
u
x
N
tgB
u
s
x
u
y
w
w
w
w
w
w
N
tgB
4
4
3
3
2
2
1
0
s
k
s
k
s
k
s
k
k
N
tgB
k
ds
dB
ds
k
d
dB
d
n
k
n
n
n
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
1
1
!
1
pochodne wyznacza się z szeregów funkcji
F
1
i
F
2
po podstawieniu do warunku wiernokątności wyznacza
się pozostałe współczynniki
ogólny wzór służący do sekwencyjnego obliczania
współczynników ma postać:
2
0
1
1
0
1
0
1
20/26
>
@
1
,
,
0
1
,
1
0
,
,
1
1
1
1
...
1
1
r
n
r
n
n
r
n
r
r
n
n
w
n
r
w
k
w
k
w
k
n
n
w
s
y
s
x
u
y
u
x
w
w
w
w
w
w
w
w
,
,
,
11
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowanie quasistereograficzne wyznaczane z
wykorzystaniem odwzorowania GaussaKrügera
algorytm zaproponowany w 1993 r przez B. Panasiuka, B.
Gdowskiego i J. Balcerzaka
warunek: południk środkowy pasa w odwzorowaniu Gaussa
Krügera przechodzi przez punkt główny
P
0
(B
0
, L
0
)
wprowadza się współrzędne pomocnicze
S
0
– długość południka od równika do punktu
P
0
, obliczona ze
wzoru
2
0
1
1
0
1
0
1
21/26
0
0
2R
S
x
u
GK
0
2R
y
w
GK
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
'
B
E
B
D
B
C
B
B
B
A
e
a
S
8
sin
8
6
sin
6
4
sin
4
2
sin
2
1
*
*
*
*
*
2
U
współrzędne
(u,w)
są izometryczne (bo powstały w
wyniku wiernokątnego przekształcenia izometrycznych
(x
GK,
y
GK
)
analityczna funkcja odwzorowawcza zmiennej
zespolonej ma postać:
na południku środkowym
funkcja analityczna, która spełnia ten warunek ma
postać:
tg(u + iw)
można rozwinąć w szereg Maclaurina:
2
0
1
1
0
1
0
1
22/26
)
(
iw
u
f
iy
x
0
0
2
2
R
s
tg
R
x
m
)
(
2
iw
u
Rtg
iy
x
7
5
3
315
17
15
2
3
1
z
z
z
z
tgz
12
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
tg(u + iw)
można rozwinąć w szereg Maclaurina:
dla obszarów o rozpiętości mniejszej niż 300 km, tylko
trzy pierwsze wyrazy maja znaczenie
obliczenie szeregu wymaga zastosowania funkcji liczb
zespolonych:
dodawanie
mnożenie
2
0
1
1
0
1
0
1
23/26
7
5
3
315
17
15
2
3
1
z
z
z
z
tgz
d
b
i
c
a
id
c
ib
a
bc
ad
i
bd
ac
id
c
ib
a
*
wzory bezpośrednie na wyznaczenie
współrzędnych quasistereograficznych ze
współrzędnych GaussaKrügera
2
0
1
1
0
1
0
1
24/26
R
y
R
x
x
R
x
x
R
x
GK
GK
GK
GK
cosh
cos
sin
2
0
0
0
R
y
R
x
x
R
y
R
y
GK
GK
cosh
cos
sinh
2
0
0
13
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
2
0
1
1
0
1
0
1
25/26
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
2
0
2
0
0
0
0
2
2
1
R
y
R
x
R
x
arctg
R
x
x
GK
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
2
0
2
0
2
0
2
0
0
1
2
2
1
2
2
ln
2
R
y
R
x
R
y
R
x
R
y
GK
Ekwideformaty zniekształceń długości w
odwzorowaniu quasistereograficznym mają postać
zbliżona do okręgów koncentrycznych wokół obrazu
punktu głównego
jeżeli współczynnik kurczenia (skala długości w
punkcie głównym wynosi 1, to skala długości poza
punktem głównym jest większa od 1
przyjęcie mniejszej skali kurczenia powoduje
zmniejszenie zniekształceń odwzorowawczych
odwzorowanie jest równokątne, więc skala
zniekształceń jest taka sama w każdym kierunku
2
0
1
1
0
1
0
1
26/26
14
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
elementarną skalę długości można wyznaczyć w
dowolnym kierunku, np. w kierunku równoleżników
po uwzględnieniu wcześniej wyznaczonych
parametrów i współczynników rozwinięć szeregów,
wzór przyjmuje postać
przy rozpiętości do 250 km ostatni człon można
pominąć – wzór uproszczony
2
0
1
1
0
1
0
1
27/26
B
N
l
y
l
x
cos
2
2
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
O
P
P
2
3
0
2
0
0
2
0
2
2
2
4
1
xy
R
t
R
y
x
K
P
2
0
2
2
4
1
R
y
x
P
zbieżność południków w odwzorowaniach
konforemnych
po uwzględnieniu wcześniej wyznaczonych
parametrów i współczynników rozwinięć
szeregów, wzór przyjmuje postać
2
0
1
1
0
1
0
1
28/26
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
l
y
l
x
dl
l
y
dl
l
x
dy
dx
tg
:
:
J
3
2
0
0
3
3
0
3
2
0
0
2
0
2
2
0
0
0
0
2
cos
24
1
cos
24
1
9
1
cos
cos
12
1
sin
4
5
cos
2
1
sin
bl
t
B
l
b
B
l
B
B
l
b
B
bl
B
l
B
K
K
J
15
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii – Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
2
0
1
1
0
1
0
1
29/26
2
0
1
1
0
1
0
1
podstawowe informacje
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B
0
, l
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B
0
, b, l
Odwzorowanie GaussaKrügera jako rzut potrójny
funkcje odwzorowania odwrotnego
zbieżność południków
elementarne skale długości i pól
redukowanie długości i kierunków
30/26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10 Podejscie stereotypy
76 Nw 10 Stereofonia na sluchawki
Mikser stereo PE 10
76 Nw 10 Stereofonia na sluchawki
FIDE Trainers Surveys 2014 10 09, Sam Palatnik Stereotype of thinking
10 Metody otrzymywania zwierzat transgenicznychid 10950 ppt
10 dźwigniaid 10541 ppt
wyklad 10 MNE
Kosci, kregoslup 28[1][1][1] 10 06 dla studentow
10 budowa i rozwój OUN
10 Hist BNid 10866 ppt
POKREWIEŃSTWO I INBRED 22 4 10
Prezentacja JMichalska PSP w obliczu zagrozen cywilizacyjn 10 2007
więcej podobnych podstron