Funktionentheorie 2

Vorlesung von Prof. Dr. N. P. Skoruppa

im Sommersemester 2003

Universit¨at Siegen

In L

TEX 2ε gesetzt von Lars Fischer.

Vorwort

Im Sommersemester 2003 las ich an der Universit¨

at Siegen die Funktionentheorie II. F¨

diese klassische Vorlesung stehen mittlerweile Lehrb¨

ucher und Lehrinhalte aus einem

Zeitraum von mehr als 100 Jahren zur Verf¨

ugung, und so besteht die Leistung des Do-

zenten ganz wesentlich darin, eine f¨

ur eine einsemestrige Vorlesung geeignete Auswahl

zu treffen. Der Schwerpunkt der vorliegenden Vorlesung sind die elliptischen Funktionen
und die Modulformen. Es wird dabei immer wieder der Begriff des Divisors als Mittler
zwischen lokalen und globalen Eigenschaften meromorpher Funktionen in den Vorder-
grund gestellt, und es werden so oft als m¨

oglich eine weitergehende Algebraisierung der

Theorie und der Begriff der Riemanschen Fl¨

ache als n¨

achste Stufe zum Verst¨

andnis

angedeutet.

Dieses sch¨

one Skript hat Herr Lars Fischer selbst¨

andig und lediglich anhand seiner eige-

nen Notizen zur Vorlesung ausgearbeitet. Es wurde von meiner Seite nichts ge¨

andert oder

hinzugef¨

ugt. Daher ist der Untertitel

”

In L

TEXgesetzt von Lars Fischer“ ¨ubertrieben be-

scheiden. Allerdings w¨

are auch schon allein die technische Ausf¨

uhrung in L

TEXund mit

all den hilfreichen Abbildungen eines lobenden Hinweises wert.

Ich m¨

ochte Herrn Fischer an dieser Selle nochmals ganz ausdr¨

ucklich f¨

ur seine Arbeit

danken. Mein Dank geht auch an die anderen H¨

orer meiner Vorlesung: f¨

ur die Korrektur-

hinweise zum Skript, die sie Herrn Fischer zukommen liessen, und f¨

ur die konzentrierte,

arbeitsintensive und zugleich menschlich nette Atmosph¨

are w¨

ahrend der Vorlesungen.

Siegen, im September 2003

Nils-Peter Skoruppa

iii

Inhaltsverzeichnis

Weierstraßscher Produktsatz

1.1

Vorbemerkungen zu Reihen holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . .

1.2

Ganze Funktionen sind durch ihre Nullstellen bestimmt . . . . . . . . . .

1.3

Ganze Funktionen ohne Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Wiederholung Analysis I: Unendliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Unendliche Produkte holomorpher Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7

Beispiele zu dem Weierstraßschen Produktsatz

. . . . . . . . . . . . . . .

1.7.1

Produktdarstellung des Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2

Die Weierstraßsche σ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.3

Die Γ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Die Γ-FunktionDie Gamma Funktion

Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

3.1

C als Riemannsche Fl¨

ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Meromorphe Funktionen auf C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3

Automorphismen der komplexen Ebene

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Die Automorphismen von C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5

Die Automorphismen von h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Erg¨

anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Der Satz von Mittag-Leffler

4.1

Die M-L-Teilbruchzerlegung f¨

ur rationale Funktionen . . . . . . . . . . . .

4.2

Die M-L-Teilbruchzerlegung f¨

ur meromorphe Funktionen . . . . . . . . . .

4.3

Beispiele zum Satz von Mittag Leffler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1

Der Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2

Die Weierstraßsche ℘-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elliptische Funktionen

5.1

Divisoren auf C/Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2

Drei der vier Liouvilleschen S¨

atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

Bestimmung der Hauptdivisoren

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Die algebraische Struktur von Ell(Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inhaltsverzeichnis

5.6

C/Γ als algebraische Struktur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.1

Projektive R¨

aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7

C/Γ als Riemannsche Fl¨

ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8

Variation der Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modulformen

6.1

Die Modulgruppe und die obere Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Modulformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

Die Valenzformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4

Der Ring der Modulformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5

Erg¨

anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6

Der K¨

orper der Modulfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7

Thetareihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Symbolverzeichnis

Index

1 Weierstraßscher Produktsatz

1.1 Vorbemerkungen zu Reihen holomorpher Funktionen

Seien die (f

) eine Folge von Funktionen die in der Menge K ⊆ C definiert sind.

Definition 1.1 Die Reihe

∞
n=1

heißt gleichm¨

aßig konvergent auf K, falls gilt:

∀ > 0 ∃ n

∀ m ≥ n ≥ n

∀z ∈ K :

j=n

(z)

Bemerkung:

• Ist

∞
n=1

gleichm¨

aßig konvergent auf K, dann konvergiert die Reihe

P f

ge-

gen eine Grenzfunktion f , d.h. ∀z ∈ K ist

∞
n=1

(z) konvergent und f (z) =

∞
n=1

(z).

• Die gleichm¨

aßige Konvergenz ist gleichbedeutend mit: es gibt ein f auf K mit

∀ > 0 ∃ n

∀ n ≥ n

∀ z ∈ K :

f (z) −

k=1

(z)

• Gleichm¨

aßige Konvergenz auf kompakten Teilmengen eines Gebietes G ⊆ C be-

zeichnet man als kompakt gleichm¨

aßige Konvergenz in G

Satz 1.1 Sei G ∈ C ein Gebiet (d.h. G ⊆ C ist offen), die Reihe

∞
n=1

konvergiere

gleichm¨

aßig auf kompakten Teilmengen von G gegen eine Grenzfunktion f . Dann gilt

1. Sind alle f

(n ≥ 1) stetig, so ist auch f stetig

2. Sind alle f

(n ≥ 1) stetig und ist γ ein st¨

uckweise diffbarer Weg in G, dann gilt

f =

∞
n=1

3. Sind alle f

holomorph in G, so ist auch f holomorph

4. Sind alle f

holomorph, so konvergiert ∀p ≥ 0 die Reihe

P f

(p)

gleichm¨

aßig auf

kompakten Teilmengen von G gegen f

(p)

1 Weierstraßscher Produktsatz

Beweis: (1.) und (2.) wie in Analysis
zu (3.): Nach dem Satz von Morera ist zu zeigen:

f = 0 f¨

ur alle geschlossenen st¨

uck-

weise stetigen Wege γ in G: Aber die f

sind holomorph, daher ist

= 0, mit (2.)

gilt dann

f =

P f

(2.)

P R

zu (4.): Sei z

∈ G, sei γ sei Kreis in G um z

Dann gilt (Cauchy Formel):

(p)

) =

2πi

f (ζ)

(ζ − z

)

p+1

dζ =

2πi

∞
i=1

(ζ)

(ζ − z

)

p+1

dζ

(2.)

∞

n=1

2πi

(ζ)

(ζ − z

)

p+1

}

Cauchy: f

(p)

)

Zum Nachweis der gleichm¨

aßigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen von G ge-

n¨

ugt es, diese auf abgeschlossenen Kreisscheiben K ⊆ G nachzuweisen (jede kompak-

te Teilmenge l¨

asst sich durch Kreisscheiben ¨

uberdecken): Zu K w¨

ahle γ als Kreisbo-

gen mit Mittelpunkt z ∈ K und Radius R, der außerhalb von K aber innerhalb G

verl¨

auft und der Abstand zwischen K und γ sei ρ > 0. Dann gilt

m
k=n

(p)

(z)

m
k=n

2πi

(ζ)

(ζ−z)

p+1

dζ

≤

2πi

m
k=n

(ζ)

|ζ−z|

p+1

|dζ| <

2πi

p+1

|dζ|

}

=2πR

Bemerkung: Gibt es zu jeder kompakten Teilmenge K ⊆ G eine Folge γ

mit γ

> 0,

sodass gilt: |f

(z)| ≤ γ

∀n, z ∈ K und

P γ

< ∞, dann konvergiert

P f

gleichm¨

aßig

auf kompakten Teilmengen von G (Normale Konvergenz auf kompakten Teilmen-
gen von G).

1.2 Ganze Funktionen sind durch ihre Nullstellen bestimmt

Definition 1.2 Eine Funktion heißt ganz, falls sie auf ganz C holomorph ist. Eine
Funktion heißt ganz rational, falls sie durch ein Polynom gegeben ist, sie heißt ratio-
nal, falls sie Quotient zweier ganz rationaler Funktionen ist.

Weitere Bezeichnungen:
Hol(C) ist der Ring der ganzen Funktionen. M er(C) sind die auf C

meromorphen

Funktionen. Psind die ganzen rationalen Funktionen (⊆ Hol(C), Teilring), P

6=0

ist die

multiplikative Halbgruppe der ganz rationalen Funktionen 6= 0.

Frage:

Ist M er(C)

= Quotientenk¨

orper von Hol(C), d.h. ist jede meromorphe Funktion Quoti-

ent von zwei ganzen Funktionen?

Bemerkung: Jede ganz rationale Funktion ist (bis auf Multiplikation mit einer Kon-
stanten) eindeutig durch die Lage und Vielfachheit ihrer Nullstellen bestimmt. (f ganz

1.2 Ganze Funktionen sind durch ihre Nullstellen bestimmt

rational, a

, . . . , a

Nullstellen ⇒ f = const ·

n
i=1

(X − a

) )

Nun folgt eine Pr¨

azisierung dieser Bemerkung mittels Divisortheorie:

Definition 1.3 Jeder (ganz) rationalen Funktion f 6= 0 ordnen wir ihren Divisor D

zu:

: C −→ Z, D

(z) = Ordnung von f bei z

D := {D : C −→ Z D

(z) = 0, bis auf endlich viele Ausnahmen }

Sei weiter: D

:= {D ∈ D D(z) ≥ 0∀z ∈ Z}

⊆

Unterhalbgruppe

D ist eine abelsche Gruppe (verm¨

oge D

+ D

(z) := D

(z) + D

(z)), die Gruppe der

Divisoren auf C . D ist ein Maß f¨

ur die »Lage und Vielfachheit der Nullstellen«.

Definition 1.4 Eine Sequenz

· · ·

−→ A

i+1

−→ · · ·

heißt exakt, falls bei A

gilt: Bild(α

) = Kern(α

i+1

) und das f¨

ur alle A

in der Sequenz.

Satz 1.2 (Pr¨

azisierung der obigen Bemerkung) Die Sequenz

−→ C

,→ P

6=0

−→ D

III

−→ 0

von Homomorphismen ist exakt.

Beweis:

• exakt bei I bedeutet β ist injektiv: klar, da 1 = {1} 3 1 7→ 1 ∈ C

• exakt bei III bedeutet γ ist surjektiv: klar, da δ alle D ∈ D

auf 0 ∈ 0 = {0}

abbildet

• exakt bei II bedeutet: Kern(γ) ist Bild(β) ' C

Beweis:

β ist injektiv, da β einfach die Einbettung von C

in die Menge der

Polynome ist, also ∀c ∈ C

: β(c) = c ∈ P

6=0

γ ist surjektiv, klar, da sich zu einem vorgegebenem D ∈ D

leicht ein Polynom

finden l¨

asst, das die Nullstellen mit der richtigen Vielfachheit besitzt.

Nun ist zu zeigen, dass die Sequenz bei II exakt ist: Sei dazu γ : P

6=0

−→ D

, f 7→

⇒: sei f ∈ Bild(β), dann ist f ein konstantes Polynom ⇒ D

≡ 0.

⇐: f ∈ Kern(γ), d.h. D

≡ 0 ⇒ f hat keine Nullstellen ⇒ f ist konstant (folgt

1 Weierstraßscher Produktsatz

mittels Fundamentalsatz der Algebra).

Damit ist die gesamte Sequenz exakt.

Bemerkung: Der Satz sagt aus: D

' P

6=0

Der Satz oben ist f¨

ur ganz rationale Funktionen (P

6=0

, D

) formuliert. Nun wird ein

entsprechender Satz f¨

ur rationale Funktionen angegeben:

Satz 1.3 Die Sequenz von Gruppenhomomorphismen

1 −→ C

−→ {multi. Gruppe der rationalen Funktionen 6= 0}

−→ D −→ 0

ist exakt.

Beweis: β ist injektiv, trivial (wie oben)
γ : f 7→ D

ist surjektiv: zu D ∈ D definiere D = D

+ D

−

verm¨

oge:

(z) :=

D(z), falls D(z) ≥ 0

sonst

−

(z) :=

D(z), falls D(z) ≤ 0

sonst

Nach dem vorigen Satz lassen sich nun zwei Polynome f, g angeben, mit D

= D

und

= −D

−

Dann ist D

f
g

= D

− D

= D

+ D

−

und damit ist γ surjektiv.

Noch zu zeigen: Kern(γ) = Bild(β), d.h. eine rationale Funktion ohne Null- oder Pol-
stellen ist konstant. Das folgt aber wie oben.

Sei nun f 6= 0 eine ganze Funktion:

Definition 1.5 (Divisor f¨

ur ganze Funktionen) Sei D

: C −→ Z, D

(z) = ord

(z),

dann gilt f¨

ur D = D

{z ∈ C D(z) 6= 0} hat keinen H¨aufungspunkt in C (ist also eine diskrete Menge)

(∗)

Das ist die Menge der Nullstellen von f .
Definiere nun:

∞

:= {D : C −→ Z D erf¨

ullt (∗)}

:= {D ∈ D

∞

D(z) ≥ 0∀z ∈ C}

∞

heißt Divisor auf C .

Satz 1.4 Die Sequenz von Homomorphismen von Halbgruppen

0 −→ 2πiZ −→

additiv

Hol(C) −→

h7→e

Hol(C)

6=0

−→

f 7→D

−→ 0

ist exakt.

1.3 Ganze Funktionen ohne Nullstellen

Folgerungen:

• Satz 1.5 Jede auf C meromorphe Funktion f ist Quotient zweier ganzer Funktio-

nen.

Beweis: Sei D

Divisor von f mit D

= D

−

, D

−

wie oben). D

, −D

−

∈

∞

. Nach dem Satz existieren dann h

, h

∈ Hol(C)

mit D

= D

, D

−D

−

. Dann ist D

h1
h2

= D

. D.h.

/f ∈ Hol(C) und D

h1
h2

≡ 0, d.h.

/f = e

mit geeignetem h ∈ Hol(C), d.h. f =

, wobei im Z¨

ahler und Nenner ganze

Funktionen stehen.

• Satz 1.6 Die Sequenz von Gruppen

0 −→ 2πiZ −→ Hol(C) −→

h7→e

M er(C) −→

f 7→D

∞

−→ 0

ist exakt

Beweis: Analog zum vorigen Beweis, schreibe D ∈ D

∞

als D = D

+ D

−

1.3 Ganze Funktionen ohne Nullstellen

Satz 1.7 Jede ganze Funktion f ohne Nullstellen schreibt sich in der Form f = e

mit

geeigneter Funktion h.

Beweis: f hat keine Nullstellen, deshalb ist

auf C holomorph und besitzt die Ent-

wicklung

(z) = c

+ c

z + c

+ . . .

∀z

Setze h := b

+ c

z + c

+ c

+ . . . mit e

= f (0) (das geht, da f (0) 6= 0 und

exp : C −→ C

surjektiv ist). Dann ist h

, betrachte g = f e

−h

Zu zeigen: g ≡ 1 , d.h. g(0) = 1 (ok nach Wahl von b

) und g

≡ 0:

= f

−h

+ f e

−h

(−h

) = f

−h

− f e

−h

}

−h

= 0.

1.4 Wiederholung Analysis I: Unendliche Produkte

Literatur zu diesem Abschnitt:

Knopp: Unendliche Reihen und Produkte

Definition 1.6 Sei (c

) eine Folge von komplexen Zahlen, dann heißt

∞
n=1

(eigent-

lich) konvergent, falls gilt

1. ∃n

, sodass c

6= 0 ∀n ≥ n

1 Weierstraßscher Produktsatz

2. lim

k→∞

k
n=n

existiert und 6= 0 ist

Satz 1.8

1. Ein konvergentes Produkt ist genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren

gleich 0 ist

∞
n=1

ist konvergent genau dann, wenn

∀ > 0 ∃ n

∀ n ≥ n

, r ≥ 1 : |c

n+1

· . . . · c

n+r

− 1| <

(∗)

Folgerung

Mit r = 1 in (∗) folgt

Q c

konvergiert ⇒ c

→ 1

Beweis:(von 1.8)

1. klar, folgt aus Definition der Konvergenz f¨

ur unendliche Produkte

2. Sei o.B.d.A. alle c

6= 0

⇒: setze P

k
n=1

, dann ist |P

| ≥ σ > 0 f¨

ur k 0 und σ geeignet. Damit:

n+1

. . . c

n+r

− 1| =

n+r

− 1

n+r

−P

≤

n+r

−P

f¨

ur n 0. Mit dem

Cauchy-Kriterium folgt nun (∗).

⇐: Aus (∗) folgt insbesondere die Existenz eines n

mit

n0+r

− 1

< ∀r ≥ 1.

Es folgt die Existenz von 0 < c

< c

mit c

< |P

| < c

f¨

ur alle r ≥ 1

oder

< |P

| < c

f¨

ur n > n

(∗∗)

Sei > 0 gegeben: Dann existiert n

, sodass f¨

ur n ≥ n

, r ≥ 1 gilt:

n+r

− P

≥

n+r

− P

d.h. |P

n+r

− P

| ≤ c

f¨

ur n ≥ n

, r ≥ 1

Nach dem Cauchy-Kriterium ist P

konvergent.

Definition 1.7

∞
n=1

(1+c

) heißt absolut konvergent, falls

∞
n=1

(1+|c

|) eigentlich

konvergent ist.

Satz 1.9 Ist

Q(1 + |c

|) konvergent, dann ist auch

Q(1 + c

) konvergent.

Vor dem Beweis noch ein weiterer Satz:

Satz 1.10 Das Produkt

∞
n=1

(1 + c

) mit c

≥ 0 ∀ n ist konvergent, genau dann wenn

∞
n=1

konvergent ist.

1.4 Wiederholung Analysis I: Unendliche Produkte

Beweis: (mittels eines Tricks, der unterstrichen ist) Sei wieder P

n
k=1

(1 + c

) und

:= 1. Der Trick ist:

− 1 = P

− P

n−1

+ P

n−1

− P

n−2

+ . . . + P

− P

k=1

− P

k−1

(1+c

)=P

k=1

k−1

⇐:

1 ≤ P

l=1

(1 + c

)

1+x≤e

≤

k
l=1

≤ e

∞
l=1

=: const

Die Konvergenz der Reihe wird ja vorausgesetzt. Damit ist

∞

k=1

k−1

≤ const ·

∞

k=1

< ∞

d.h. das »Partialprodukt«P

− 1 konvergiert.

⇒: Sei nun

Q(1 + c

) konvergent:

k=1

1≤P

∀ k

≤

k=1

k−1

= P

− 1 < ∞ ∀ n

Beweis:(von 1.9) Sei o.B.d.A. 1 + c

6= 0∀k.

∞
k=1

(1 + |c

|) sei konvergent (d.h.

P |c

| <

∞)

und es ist P

− 1

T rick

n
k=1

k−1

Zu zeigen:

P P

k−1

ist absolut konvergent und damit konvergent.

− 1| |c

| ≤

∞

l=1

1 + |c

· c

≤

∞

l=1

(1 + |c

< ∞

⇒ lim P

=: P existiert.

Noch zu zeigen: P 6= 0:

log

l=1

(1 + c

)

l=1

log |1 + c

asymptot.gleich

∼

l=1

| > 0

denn log(1 + γ) ∼ γ f¨

ur γ → 0

Satz 1.11 Ist

Q 1 + c

absolut konvergent, so ist f¨

ur jede Bijektion σ : N −→ N ist auch

das Produkt

Q(1 + c

σ(k)

) absolut konvergent und

Q(1 + c

) =

Q(1 + c

σ(k)

)

1 Weierstraßscher Produktsatz

Beweis: Zur¨

uckf¨

uhren auf den entsprechenden Satz f¨

ur Reihen.

Beispiel: 1.1

∞
n=1

(1−

)) ist f¨

ur jedes z ∈ C absolut konvergent, denn

∞
n=1

< ∞.

1.5 Unendliche Produkte holomorpher Funktionen

Satz 1.12 Sei (f

) eine Folge von in einem Gebiet G ⊆ C holomorpher Funktionen. Die

Reihe

∞
n=1

| sei gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen von G.

1. Dann ist

∞
n=1

(1 + f

(z))∀ z ∈ G konvergent. Die Grenzfunktion

f (z) =

∞
n=1

(1 + f

(z)) ist holomorph.

2. Es ist f (z) = 0 ⇔ 1 + f

(z) = 0 f¨

ur ein n

3. Ordnung von f bei z ∈ G ist gleich

∞
n=1

(Ordnung von f

(z) bei z)

Beispiel: 1.2

Q(1 −

) ist holomorph, Nullstellen: Z \ {0}, Ordnung 1.

Beweis:( von 1.: Die Grenzfunktion f (z) =

∞
n=1

(1 + f

(z)) ist holomorph. Die ¨

ub-

rigen Punkte sind klar.) Sei K ⊆ G kompakt, dann existiert ein m, sodass f¨

ur n ≥

m, r ≥ 1

n+r
k=n

(z)| ≤

1
2

(,denn

P |f

| ist gleichm¨

aßig konvergent). Betrachte P

n
k=m+1

(1+f

): P

ist holomorph, zeige: lim P

ist ebenfalls holomorph, sei dazu n ≥ m:

− P

= P

− P

n−1

+ P

n−1

− P

n−2

+ . . . + P

n+1

− P

k=m+1

− P

k−1

)

k−1

(1+f

)

k=m+1

k−1

· (f

)

Wir zeigen: die Reihe ist gleichm¨

aßig konvergent auf K:

k−1

| ≤

k−1

l=m+1

(1 + |f

u≤0⇒1+u≤e

≤

k−1

l=m+1

(z)|

= e

k−1
l=m+1

(z)|

< e

1
2

Damit

n
k=m+1

k−1

(z)f

(z)| ≤ e

1
2

n
k=m+1

(z)|. Damit ist die Reihe auf der lin-

ken Seite gleichm¨

aßig konvergent, da es die Reihe auf der rechten Seite ist. Also hat

n
k=m+1

k−1

eine holomorphe Grenzfunktion, d.h. lim

n→∞

− P

) ist holomorph.

Satz 1.13 Sei (f

) eine Folge von in einem Gebiet G ⊆ C holomorpher Funktionen. Die

Reihe

∞
n=1

| sei gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen von G. Dann ist

die

Reihe

n≥1

1+f

absolut

konvergent

auf

Teilmengen

wobei

= G \ {Nullstellen von f }. F¨

ur jedes z ∈ G

ist

∞
n=1

(z)

1+f

(z)

(z), wobei f =

∞
n=1

(1 + f

1.6 Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes

Bemerkung: G

ist offen: Ist z

∈ G

, so existiert ein > 0, sodass {z ∈ G | |z − z

| <

} ⊆ G

Beweis: Mit den Bezeichnungen des vorigen Beweises: Sei P

n
l=m+1

(1 + f

), f =

(1 + f

) · . . . · (1 + f

) · F

, wobei F

∞
l=m+1

(1 + f

). Auf G’:

1 + f

+ . . . +

1 + f

= lim

n→∞

− P

) = lim

k=m+1

k−1

∞

k=m+1

k−1

Die Reihe ist absolut und gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen von G

Daher gilt:

= lim

∞

k=m+1

k−1

)

= lim

−

=1⇒P

= lim

Damit:

(z) = lim

(z) =

l=m+1

(z)

1 + f

(z)

∞

l=m+1

1 + f

(z)

Zur gleichm¨

aßigen absoluten Konvergenz auf kompakten Teilmengen K ⊆ G

: Sei K ⊆ G

kompakt: Sei γ

:= min

z∈K

|1 + f

(z)|. Es gibt in G

keine Nullstellen von f ⇒ γ

> 0.

F¨

ur l 0 ist γ

1
2

(da f¨

ur l 0 |f

(z)| <

1
2

ist, ist 1 + f

(z) ≥ 1 − |f

(z)| >

1
2

). Also

existiert ein γ > 0 mit γ

> γ ∀ l. Damit gilt auf K:

∞
l=1

(z)

|1+f

(z)|

≤

∞
l=1

(z)|

Aber

P |f

| ist gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen von G

, da

∞
l=1

gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen ist.

1.6 Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes

Sei D ∈ D

∞

(d.h. D : C −→ Z, D(z) ≥ 0 ∀ z, T := {z ∈

D(z) > 0} hat keinen

H¨

aufungspunkt in C ), zu konstruieren ist ein f ∈ Hol(C) und D

= D.

T ist abz¨

ahlbar: jeder Kreis um 0 enth¨

alt nur endlich viele Punkt von T , sonst g¨

abe es

H¨

aufungspunkte. Sei z

, z

, . . . eine Aufz¨

ahlung von T , da (z

) keine H¨

aufungspunkte in

hat, gilt lim

| = ∞ (fast alle Folgeglieder liegen außerhalb eines Kreises um 0 mit

Radius r). Sei α

:= D(z

). O.B.d.A. sei z

6= 0 ∀ n, sonst multipliziert man z

mit der

n¨

otigen Vielfachheit an die konstruierte Funktion heran.

Idee:

Q(z − z

)

, konvergiert im Allgemeinen nicht, besser ist

Q(1 −

)

, aber auch

das konvergiert im Allgemeinen nicht.

1 Weierstraßscher Produktsatz

Weierstraß: W¨

ahle k

, k

, . . . ∈ Z

≥0

, sodass gilt

∞
ν=1

ist absolut konvergent

∀ z ∈ C. Setze damit

∞

ν=1

(1 −

zν

1
2

zν

+...+

kν

(

zν

)

kν

∞

n=1

(1 + f

(z))

(Ist k

= 0, so gilt die Konvention e

zν

+...

= e

= 1).

Wir zeigen

∞
n=1

| ist gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmengen von C :

(z) =

(1 −

zν

1
2

(

zν

)

+...+

kν

(

zν

)

− 1. Sei R > 0. Wir wollen gleichm¨

aßige

Konvergenz von

P |f

| auf {z ∈ C |z| < R} nachweisen.

Sei m so gew¨

ahlt, dass f¨

ur ν > m gilt:

≤

und

Zur Abk¨

urzung setze u :=

, k := k

, α := α

(also |u| <

1
2

, α |u|

k+1

1
2

(z)| =

(1 − u)e

1
2

+...+

kν

− 1

(∗)

Feststellung:

(1−u) = e

−u−

1
2

−...−

1
k

−...

, da log(1−u) = −u−

−. . .−

−. . .

, diese Beobachtung

liegt der Idee von Weierstraß zu Grunde.

Daher ist

(∗) =

−

uk+1

k+1

−...

− 1

≤ e

|u|k+1

k+1

+...

− 1

, denn |e

− 1| =

w +

+ ...

≤ |w| +

+ ... = e

|w|

− 1

≤ e

α|u|

k+1

(1+|u|+|u|

+...)

− 1

≤ e

2α|u|

k+1

− 1

, denn 1 + |u| +

+ ... =

1 − |u|

< 2, f¨

ur |u| <

≤ 2α |u|

k+1

2α|u|

k+1

}

≤e

, denn e

− 1 ≤ x +

+ . . . ≤ x(1 + x +

+ . . .) = xe

≤ 6α |u|

k+1

, wobei u =

, |z| < R

≤ 6α

Aber 6

P α

kν+1

< ∞, damit ist

P |f

| gleichm¨

aßig konvergent, und damit kon-

vergiert das Produkt und der Satz ist bewiesen.

1.7 Beispiele zu dem Weierstraßschen Produktsatz

Bemerkung: Die Wahl k

:= α

+ ν ist stets ausreichend:

∞

ν=l

(

)

+ν+1

f¨

ur ν > l

}

≤

∞

ν=l

(

)

+ν+1

≤

{

< 1

∞

ν=l

(

)

ν+1

< ∞

1.7 Beispiele zu dem Weierstraßschen Produktsatz

1.7.1 Produktdarstellung des Sinus

sin(π·)

(z) =

0 sonst

z ∈ Z

Zu betrachten ist:

n∈Z

n6=0

ist absolut konvergent ∀z ∈ C. Nach Weierstraß ist

f (z) = z

n∈Z

n6=0

1 −

holomorph in C und D

= D

sin(π·)

. (Das Produkt wird mit z multipliziert, weil der sin

eine Nullstelle bei 0 ben¨

otigt.)

Fazit: sin(πz) = e

f (z) mit einer geeigneten ganzen Funktion h .

Satz 1.14

sin πz

= z

n∈Z

n6=0

1 −

= z

∞
n=1

1 −

1−

−n

= z

∞
n=1

1 −

(Auf der linken Seite wurde sin πz durch π geteilt, damit die Taylor Entwicklung mit z
und nicht πz beginnt. Der Beweis f¨

ur diesen Satz folgt an sp¨

aterer Stelle.)

Bemerkung: F¨

ur z =

1
2

folgt:

π = 2

1 −

= 2

∞

n=1

− 1

Diese Darstellung von π heißt Wallis Produkt.

1.7.2 Die Weierstraßsche σ-Funktion

Definition 1.8 Eine Untergruppe Γ ⊆ C heißt diskret, falls ∀z ∈ C existiert eine
offene Umgebung U von z mit U ∩ Γ ⊆ {z}.

1 Weierstraßscher Produktsatz

Bemerkung: Ist Γ ⊆ C diskret, dann ist D

mit D

1 z ∈ Γ

sonst

ein Element von

∞

Satz 1.15 Sei Γ eine diskrete Untergruppe. Dann gilt:

1. Γ = Zω f¨

ur ein ω ∈ C

oder

2. Γ = Zω

+ Zω

mit geeigneten ω

, ω

∈ C, ω

, ω

6= 0 und =(

) 6= 0. (Dabei

bedeutet =z den Imagin¨

arteil von z)

Bemerkung:

1. =(

) 6= 0 ⇔ ω

, ω

sind linear unabh¨

angig ¨

uber R. Bzw.

liegt nicht auf der

reellen Achse (siehe Abbildung 1.1).

2. Ein Γ wie in 2. heißt (vollst¨

andiges) Gitter (siehe Abbildung 1.2)

Abbildung 1.1:

......

.....

....

...

......

.....

....

...

........

.......

......

...

....

...........

.......

.....................

..................

.....

...........

..........

.................

............

.................

............

.................

........

.......

...

......

...

α − β

Sind α und β die Winkel, die zu ω

bzw.

geh¨

oren, so liegt

auf der gestri-

chelten Linie. Sind ω

und ω

kolinear,

so liegt α − β auf der reellen Achse.

Abbildung 1.2:

.................

...

............

.....

.......

......

.....

.....................

..............

...........

......

Ein vollst¨

andiges Gitter besteht aus den

Punkten, an denen sich die gepunkteten
Linien schneiden.

Beweis: Ist Γ = {0}, so ist Γ = Z0.

Sei nun Γ 6= {0}, also sei ω ∈ Γ und ω 6= 0 wobei |ω| minimal ist (ein solches minimales
ω existiert, da Γ diskret ist: es gibt eine offene Umgebung von 0, die nur endlich viele
Punkte von Γ enth¨

alt).

Dann ist Rω ∩ Γ = Zω. (Ist γ ∈ Rω, so ist γ = ηω + ϑω mit η ∈ Z und 0 ≤ ϑ < 1, dann
ist aber |ϑω| = |ϑ| |ω| < |ω|. Folglich ist ϑ = 0, da ω minimal gew¨

ahlt war.)

Ist Γ = Zω, so ist der erste Fall gezeigt! Ist hingegen Γ 6= Zω, so sind wir im zweiten
Fall:

1.7 Beispiele zu dem Weierstraßschen Produktsatz

W¨

ahle jetzt ein ω

∈ Γ \ Zω, wobei ω

wieder minimal gew¨

ahlt sei. Das ω von oben wird

nun mit ω

bezeichnet.

Wir zeigen: Γ = Zω

+ Zω

: sei α ∈ Γ, schreibe α = (m + ϑ

)ω

+ (n + ϑ

)ω

, wobei

m, n ∈ Z und 0 ≤ ϑ

, ϑ

< 1 sei. Setze γ := ϑ

+ ϑ

, zu zeigen ist: γ = 0.

Jedenfalls ist γ ∈ Γ, damit ist entweder γ = 0 oder ϑ

6= 0 (falls nur ein ϑ

= 0 ist,

w¨

urde das die Minimalit¨

at des entsprechenden ω

verletzen).

Sei nun A = {φ

+ φ

≤ 1} (siehe Abbildung 1.3).

...

Abbildung 1.3: A ist die konvexe Menge in der unteren H¨

alfte des Parallelogramms in-

klusive der gestrichelten Diagonale .

Wir betrachten die F¨

alle:

γ ∈ A: Es gilt:

|γ| ≤ |φ

| |ω

| + |φ

| |ω

| ≤ (φ

+ φ

) |ω

Die letzte Absch¨

atzung nutzt aus, dass |ω

| ≤ |ω

| gilt, da |ω

| »nur«minimal in

Γ \ Zω

ist. Nun folgt (φ

+ φ

)

}

≤1

|ω

| ≤ |ω

γ = ω

ist ausgeschlossen, da ϑ

< 1 war. Ebenso scheidet γ = ω

aus, da auch

< 1 war. Der Fall 0 < |γ| < |ω

| verletzt die Minimalit¨

at von ω

. Es bleibt nur

γ = 0.

γ 6∈ A: Dann ist γ

:= ω

+ ω

−γ ∈ A. γ

= (1 − ϑ

)ω

+ (1 − ϑ

)ω

, mit 1 − ϑ

+ 1 − ϑ

< 1

Es ist γ

∈ Γ, wegen

≤ (1 − ϑ

) |ω

| + (1 − ϑ

) |ω

≤ (1 − ϑ

+ 1 − ϑ

)

}

|ω

< |ω

Wie oben folgt γ

= 0.

1 Weierstraßscher Produktsatz

Damit ist dann Γ = Zω

+ Zω

Bemerkung: ω

, ω

sind nicht eindeutig durch Γ bestimmt, z. B. ist Γ = Z · 1 + Z · i =

Z · (1 + i) + Z · i.

Gesucht ist nun eine Funktion σ mit D

(z) =

1 z ∈ Γ

sonst

Lemma 1.1

γ∈Γ
γ6=0

ist absolut konvergent f¨

ur jedes z ∈ C.

Beweis: Zu zeigen ist

γ∈Γ
γ6=0

< ∞. Setze P

:= {xω

+ yω

(|x| = n ∧ |y| ≤ n) ∨

(|x| ≤ n ∧ |y| = n)} (siehe Abbildung 1.4).

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppp

ppppppppppppppp

ppppppppp

. . ...

. .

. . ...

. . .

. . ...

. .

. . ...

. .

. . ...

. . .

. . ...

. . .

. . ...

. .

pppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

Abbildung 1.4: Die P

sind konzentrische Parallelogramme.

γ = xω

+ yω

∈ P

, |γ| > nh, wobei h := min(|ω

| , |ω

|). Damit

γ∈Γ\{0}

|γ|

∞

n=1

γ∈P

|γ|

≤

∞

n=1

≤

∞

n=1

< ∞

da #P

= 8n

Definition 1.9 σ(z, Γ) = z

γ∈Γ
γ6=0

1 −

z
γ

1
2

z
γ

heißt Weierstraßsche σ-Funktion.

1.7 Beispiele zu dem Weierstraßschen Produktsatz

Bemerkung: Das Produkt ist nach dem vorigen Lemma und dem Satz von Weierstraß
absolut konvergent, f¨

ur jedes z. σ ist eine holomorphe Funktion in C , die Nullstellen

sind die Punkte von Γ, sie sind von erster Ordnung.

Ausblick:

1. D

= D

σ(·+γ,Γ)

γ ∈ Γ ist fix, d.h. wir betrachten den Fall f (z) = σ(z + γ, Γ)

(f (z

) = 0 ⇔ z

+ γ ∈ Γ ⇔ z

∈ Γ), also nach dem Satz von Weierstraß ist

σ(z, Γ)e

(z)

= σ(z + γ, Γ). Es wird sich herausstellen, dass h

(z) ein quadratisches

Polynom in z ist.

2. σ(z, Γ), als Funktion von z und Γ, ist eine so genannte Jacobi-Funktion.

1.7.3 Die Γ-Funktion

Definition 1.10 (nach C. F. Gauß)

Γ(z) := lim

n→∞

n!n

z(z + 1)(z + 2) · . . . · (z + n)

f¨

ur z ∈ C \ Z

≤0

Satz 1.16 Der Limes existiert ∀z ∈ C \ Z

≤0

. Es gilt

Γ(z)

= e

C·z

∞

n=1

1 +

−n

Das ist die »Definition nach Euler«. Die Konstante ist C = lim

1 +

1
2

+ . . . +

− log n

≈

0, 57721 . . ., die Euler-Mascheronische Konstante.

Insbesondere ist Γ(z) meromorph auf C , hat Pole erster Ordnung in Z

≤0

, und Γ(z) hat

keine Nullstellen.

Beweis:

∞
n=1

ist absolut konvergent ∀z ∈ C. Daher ist f (z) := z

1 +

−n

f¨

ur jedes z ∈ C absolut konvergent und holomorph in C . f (z) hat Nullstellen erster

Ordnung bei Z

≤0

lim

z(z + 1) · . . . · (z + n)

n!n

= lim

z(1 + z)(1 +

z
2

) · . . . · (1 +

)

mit n

= e

z log n

= lim

exp

1 +

+ . . . +

− log n

z(1 + z) · . . . · (1 +

) exp

−

+ . . . +

= exp

z lim

1 +

+ . . . +

− log n

f (z)

= e

z·C

f (z)

1 Weierstraßscher Produktsatz

2 Die Γ-FunktionDie Gamma Funktion

Γ(z) := lim

n→∞

n!n

z(z + 1) · . . . · (z + n)

= e

−C·z

∞

n=1

1 +

−

−n

−1

Eigenschaften:

• Funktionalgleichung: Γ(z + 1) = zΓ(z)

Beweis:

Γ(z + 1) = lim

n!n

z+1

(z + 1)(z + 2) · . . . · (z + n + 1)

= lim

z + n + 1

}

lim=1

·z ·

n!n

z(z + 1) · . . . · (z + n)

= zΓ(z)

• Spezielle Werte:

– Γ(1) = 1 (Einsetzen in die Gauß-Definition)

– Γ(n + 1) = n! (Einsetzen in die Funktionalgleichung)

• Γ(z)Γ(1 − z) =

sin πz

(∗)

Beweis:

Γ(z)Γ(1 − z)

Gauß

= lim

z(1 + z)(1 +

z
2

) · . . . · (1 +

)

n!n

1−z

(1 − z)(1 − z + 1) · . . . · (1 + −z + n)

}

1−z

(1−z)(1−

z
2

)·...·(1−

)

n+1−z

= lim

z(z − z

)(1 −

z
2

) · . . . · (1 −

)

sin πz

• Γ(

1
2

) =

√

π, da Γ(

1
2

)

= π (nach (∗)) und Γ(

1
2

) > 0 nach der Gauß Definition.

2 Die Γ-FunktionDie Gamma Funktion

• Res

z=−ν

Γ(z) =

(−1)

ν!

(ν ∈ Z

≥0

)

Beweis: Unter Beachtung von Γ(z) =

Γ(z+1)

Γ(z+2)

z(z+1)

= . . . =

Γ(z+ν+1)

z(z+1)·...·(z+ν)

ergibt

sich durch Einsetzen von z = −ν und nach K¨

urzen von (z + ν):

lim

z→ν

Γ(z) =

Γ(1)

−ν(−ν + 1) · . . . · (−ν + ν − 1)

(−1)

ν(ν − 1) · . . . · 1

• F¨

ur z = x + iy mit x = <(z) > 0 ist |Γ(z)| ≤ |Γ(x)|

Beweis:

n!n

z(z + 1) · . . . · (z + n)

≤

n!n

x(x + 1) · . . . · (x + n)

wegen

(x+iy) log n

x log n

, denn

iy log n

= 1

, und |z|

= x

+ y

≥ x

Damit wird:

|Γ(z)| = lim

n!n

z(z + 1) · . . . · (z + n)

≤ lim

n!n

x(x + 1) · . . . · (x + n)

= |Γ(x)|

• ∀ β < a ≤ b existiert eine Konstante M , sodass Γ(z) ≤ M f¨

ur a ≤ <(z) ≤ b. D.h.

Γ ist auf senkrechten vertikalen Streifen beschr¨

ankt (siehe Abbildung 2.1). (Folgt

aus dem vorigen Eigenschaft.)

...

....

...........

.......

.....................

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.........

.......... ...

....... ......

.... .........

. .........

Abbildung 2.1: Γ ist auf dem gestrichelten Streifen beschr¨

ankt

Satz 2.1 Sei ˆ

f (z) holomorph in 1 − ≤ <(z) ≤ 2 + f¨

ur ein > 0. Es gelte

1. ˆ

f (z + 1) = z ˆ

f (z) ∀z mit 1 − ≤ <(z), <(z + 1) ≤ 2 +

f (z)

sei beschr¨

ankt in 1 ≤ <(z) ≤ 2

3. ˆ

f (1) = 1

Dann kann man ˆ

f (eindeutig) zu einer in C \ Z

≤0

holomorphen Funktion f fortsetzen

und es gilt f ≡ Γ.

Beweis: Definiere f f¨

ur z ∈ C \ Z

≤0

als:

f (z) :=

(

(z − 1) · . . . · (z − n) ˆ

f (z − n),

falls n + 1 − ≤ <(z) ≤ n + 2

f (z+n)

z(z+1)·...·(z+n−1)

falls − n + 1 − ≤ <(z) ≤ −n + 2 + (n > 0)

Mit (1.) folgt dass f wohldefiniert ist. Es ist f holomorph. In Z

≤0

hat f Pole, und zwar

von erster Ordnung. F¨

ur das Res

z=−n

f gilt:

Res

z=−n

f (z) = lim

z→−n

(z + n)f (z)

lim

z→−n

(z + n)f (z + n + 1)

z(z + 1) · . . . · (z + n)

f (1)

(−n)(−n + 1) · . . . · (−n + n − 1)

f (1)(−1)

f (1)=1

(−1)

Es gilt f (z+1) = zf (z) ∀ z (zun¨

achst nur f¨

ur <(z) = 1 nach (1.), nach dem Identit¨

atssatz

f¨

ur analytische Funktionen dann ¨

uberall).

Setze g(z) := Γ(z) − f (z), dann ist g holomorph in ganz C (die Hauptteile heben sich
gegenseitig auf) und g(z + 1) = zg(z) ∀ z und g(1) = 0.

Setze s(z) := g(z) · g(1 − z). s ist periodisch mit Periode 2 :

s(z + 1) = g(z + 1)g(−z) = zg(z)

g(z − 1)

−z

= −s(z)

also:

s(z + 2) = −s(z + 1) = (−(−s(z)))

Ferner ist s(z) beschr¨

ankt: g(z) = g(x+iy) ist beschr¨

ankt in B =

z = x + iy 0 ≤ x ≤ 1,

|y| ≥ 1} (siehe Abbildung 2.2), weil |g(z)| =

g(z+1)

≤ K nach (2.) und |Γ(z)| ≤ Γ(x)

f¨

ur 1 ≤ <(z) ≤ 2. Ferner ist g(z) holomorph , also auch beschr¨

ankt in 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≤ 1.

Fazit g(1 − z) ≤ K in 0 ≤ x ≤ 1. Dann ist auch g(1 − z) ≤ K (Spiegelung an

1
2

). Also ist

s(z) ≤ |g(z)| · |g(1 − z)| ≤ K

in 0 ≤ x ≤ 1. Da |s(z)| die Periode 1 hat, folgt |s(z)| ≤ K

∀ z ∈ C.

Also ist s nach Liouville konstant. s(1) = g(1)

|{z}

g(0) ⇒ s ≡ 0. Aus 0 ≡ s(z) = g(z)g(z − 1)

folgt g ≡ 0 (als ¨

Ubungsaufgabe).

2 Die Γ-FunktionDie Gamma Funktion

...

....

...........

.......

.......... .......... .......... ..........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.......... ....

...... ........

.. ..........

.......... ...

....... ......

.... .........

.......... ....

...... ........

.. ..........

..........

.....................

−i

Abbildung 2.2: g ist in dem gestrichelten Bereich B beschr¨

ankt.

Satz 2.2 F¨

ur <(z) > 0 gilt:

Γ(z) =

∞

−t

Beweis: (Nachweis der Konvergenz des Integrals: Analysis) Sei f (z) :=

∞

−t

z dt

Dann ist f holomorph in <(z) > 0 (siehe ¨

Ubung).

|f (z)| ≤

∞

−t

∞

−t

wegen:

(x+iy) log n

x log n

, denn

iy log n

= 1

Insbesondere ist f (z) beschr¨

ankt in 1 ≤ x ≤ 2

f (1) =

∞

−t

dt = 1

f (z + 1) =

∞

−t

z+1

partielle Integration:

−e

−t

∞
0

}

∞

−t

= zf (z)

Nach dem vorangegangenen Satz ist dann f ≡ Γ.

In Abramowitz, Stegun: »Handbook of mathematical functions«, Seite 255 ff. finden sich
weitere Formeln:

Duplication Formula: Γ(2z) = Γ(z)Γ(z +

1
2

)(2π)

−

1
2

2z−

1
2

Triplication Formula: Γ(3z) = (2π)

−1

· 3(

3z−

1
2

) · Γ(z)Γ(z +

1
3

)Γ(z +

2
3

)

n-Formula: Γ(nz) = (2π)(

1
2

(1−n)

) · n(

nz−

1
2

) · Q

n−1
k=0

Γ(z +

k
n

)

Stirlingsche Formel: Γ(z) ∼ e

−z

z−

1
2

(2π)

1
2

f¨

ur |z| → ∞, |arg(z)| < π

log. Ableitung: Ψ(z) =

(z)

Γ(z)

2 Die Γ-FunktionDie Gamma Funktion

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

3.1 C als Riemannsche Fl¨

ache

Sei f ganz auf C , betrachte die Funktion g(z) := f (

1
z

z ∈ C, z 6= 0. g ist holomorph

in C \ {0}. g hat die Laurent-Entwicklung g =

n∈Z

, d.h. f (z) =

n∈Z

−n

(»Laurent-Entwicklung von f bei ∞«).

Fall 1: Es gibt unendlich viele a

6= 0, n ∈ Z

≤0

, f hat eine wesentliche Singularit¨

at bei

∞

Fall 2: sonst: ord

∞

f := min{n ∈ Z a

6= 0}, Sprechweisen:

ord

∞







> 0

∞ ist Nullstelle von f, f ist holomorph bei a

< 0

∞ ist Pol ,

f ist meromorph

= 0

:= f (∞),

f ist holomorph bei ∞

Beispiel: 3.1

• f (z) = a

+ . . . + a

, a

6= 0, ein Polynom. g(z) = f (

1
z

) =

+ . . . + a

ord

∞

f = −n = −grad f

•

f (z) =

z − 17

g(z) = f (

) =

1
z

− 17

= z

1 − 17z

= z(1 + 17z + . . .)

= ord

∞

f = 1

Definition 3.1 C := C ∪ {∞}. U ⊆ C heißt offen , gdw.







U ⊆ C ist offen
oder
∞ ∈ U, und C \ (U \ {∞}) ist kompakt

Bemerkung:

1. Offene Menge in C sind U ⊆ C, wobei U offen ist oder (C \ K) ∪ {∞}, wobei

K ⊆ C kompakt.

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

2. Ist U ⊆ C offene Umgebung von ∞, dann ex. ein R > 0, sodass {z ∈ C |z| >

R} ⊆ U ist

3. C ist kompakt (d.h. ist C =

i∈I

, U

offen), dann existieren i

, . . . , i

mit C =

n
k=1

)

4. C ist hom¨oomorph zu S

= {(x, y, z) ∈ R

= 1} (via stereographischer

Projektion (siehe Abbildung 3.1))

PSfrag replacements

Abbildung 3.1: Die Stereographische Projektion vermittelt eine Isomporphie zwischen C

und S

5. C ist hom¨oomorph zu P

(C), der »projektiven Geraden ¨

uber C «.

Bezeichnungen:

∞

: C \ {0} −→ C,

z 7→

1
z

, ∞ 7→ 0,

∞

:= C \ {0}

: C \ {∞} −→ C, z 7→ z,

:= C \ {∞} = C

∞

und t

heißen Karten bei ∞ bzw. bei 0.

Bemerkung: t

∞

, t

sind Hom¨

oomorphismen (d.h. bijektive Abbildungen f , wobei f

und f

−1

stetig sind)

Definition 3.2 (Holomorphe Funktionen auf U ⊆ C) f : U −→ C (U ⊆ C) heißt
holomorph, falls f ◦ t

−1

: t(U ∩ V ) −→ C holomorph ist f¨

ur t = t

∞

oder t = t

und

V = V

∞

bzw. V = V

Aquivalent: F¨

ur jede Karte t : V −→ C existiert eine holomorphe Funktion g : t(U ∩

V ) −→ C mit f = g ◦ t = g(t) (d.h. f (z) = g(z) = holomorph, falls z aus der Umgebung
eines Punktes von C ist oder f (z) = g(

1
z

) mit holomorphem g, falls z in einer Umgebung

von ∞ ist.)

3.2 Meromorphe Funktionen auf C

Definition 3.3 (f meromorph auf U ⊆ C, U offen) f heißt meromorph auf U ⊆ C, U
offen, falls es eine Menge von isolierten Punkten P gibt, sodass

1. f : U \ P −→ C holomorph ist

2. F¨

ur jede Karte t : V −→ C ist f = g(t) mit einer auf t(V ∩ U ) meromorphen

Funktion g mit Polen h¨

ochstens in t(V ∩ P )

M er(U ) := K¨

orper der auf U meromorphen Funktionen.

Bemerkung: U \ P ist offen, da P ⊆ U isoliert ist.

Beispiel: 3.2 Meromorphe Funktion f auf C= eine auf C

meromorphe Funktion f ,

sodass ein R > 0 existiert, sodass f holomorph auf {z ∈ C |z| > R} und f (1/˜

z) hat

h¨

ochstens einen Pol bei ˜

z = 0.

Eine auf C meromorphe Funktion hat h¨ochstens endlich viele Pole.

3.2 Meromorphe Funktionen auf C

Mer(C) ist ein K¨orper, f ∈ M er(C), f 6= 0 hat nur endlich viele Pole und Nullstellen.

Definition 3.4 Divisor einer meromorphen Funktion f ∈ M er(C)

M er(C) 3 f D

: C −→ Z

(z) = ord

(ord

∞

f = ngdw.f (z) = g(

1
z

)

mit einer bei ˜

z = 0 holomorphen Funktion g(˜

z), f =

g(t

∞

, g holomorph)

Beispiel: 3.3 f (z) =

−1

mit ρ = e

2πi/3

−i

∞

sonst

(z)

−1

f (

1
z

) =

(

1
z

)

−1

(

1
z

)

1−z

z+z

1
z

1 − z

1 + z

}

holom. bei 0

Feststellung:

z∈ C

(z) = 0

Satz 3.1 F¨

ur ein f ∈ M er(C) gilt stets

z∈C

(z) = 0

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

Beweis: W¨

ahle ein R > 0, sodass f holomorph in |z| > R − > 0 mit > 0 ist. Dann

gilt nach dem Satz von Rouch´

2πi

z∈C

(z) =

|z|=R

(z)

f (z)

|w|=

(

)

f (

)

= −

|w|=

(

)

f (

)

(−

)dw

g(w):=f (

)

−

|w|=

(w)

g(w)

Rouch´

−ord

g · 2πi

= − 2πi · ord

∞

f = 2πi

z∈C

(z)

⇒

z∈C

(z) = 0

Lemma 3.1 Hol(C) = C, d.h. jede auf C holomorphe Funktion ist konstant.

Beweis: f ∈ Hol(C), da f stetig und C kompakt ist, ist auch f (C) kompakt, d.h. f (C)
ist beschr¨

ankt (d.h. f (C) ⊆ {z ∈ C |z| < R} f¨

ur ein R > 0). Also f |

beschr¨

ankt, da

f |

holomorph ist, folgt mit dem Satz von Liouville: f ist konstant.

Definition 3.5 Div(C) :=

D : C −→ Z D(z) 6= 0 f¨ur h¨ochstens endlich viele z ∈ C

Div

D :∈ Div(C) P

z∈C

D(z) = 0

Bemerkung: Div(C) ist eine Gruppe, Div

Satz 3.2 Die Sequenz von Gruppenhomomorphismen

1 −→ C

−→ (M er(C))

∗

−→

f 7→D

Div

ist exakt.

Beweis: Exakt bei ∗ : obiges Lemma, noch zu zeigen: f 7→ D

ist surjektiv. Sei D ∈

Div

(C), seien α

, . . . , α

∈ C die Stellen mit D(α

) > 0 und seien β

, . . . , β

die Stellen

mit D(β

) < 0, sei s

:= D(α

) und t

:= D(β

). Beachte D(∞) =

n
j=1

−

m
j=1

(wegen D ∈ Div

(C)).

Setze f =

m
1

(z − α

)

n
1

(1 − β

)

, f ∈ M er(C)

Ferner: D

(∞) =

−

denn

bei z = 0 : f (

) =

1
z

− α

)

1
z

− β

)

= z

−

P s

P t

Q(1 − α

Q(1 − β

3.3 Automorphismen der komplexen Ebene

die rechte Seite ist holomorph bei z = 0 und hat dort den Wert 1. ⇒ D(z) = D

(z), z ∈ C

und auch D(∞) = D

(∞) ⇒ D = D

Korollar (zum Beweis): M er(C) = K¨orper der rationalen Funktionen!

3.3 Automorphismen der komplexen Ebene

Vorbemerkungen:

z ∈ C =(z) > 0, C , C sind einfach zusammenh¨angend.

Riemannscher Abbildungssatz: Jede einfach zusammenh¨

angende Riemannsche Fl¨

che ist isomorph zu h, C oder C.

Satz: Zu jeder Riemannschen Fl¨

ache X existiert eine »holomorphe ¨

Uberlagerung«

U −→ X, wobei U = C, C oder h ist. Es gilt dann

U/Γ ≈ X

f¨

ur eine geeignete diskrete Untergruppe Γ von Aut(U ).

Definition 3.6 Aut(C ) :=

f : C −→ C f bijektiv, f und f

−1

sind holomorph

Bemerkung:

1. Aut(C ) ist bzgl ◦ eine Gruppe

2. Man kann zeigen: f : C −→ C bijektiv und f holomorph ⇒ f

−1

holomorph

Beispiel: 3.4

1. f (z) = az,

a 6= 0 f ∈ Aut(C) a = re

iϑ

, r > 0: Drehung um ϑ,

Streckung um r

2. g(z) = z + b,

b ∈ C: Translation um b

3. Allgemein sind Polynome ersten Grades ∈ Aut(C) (h(z) = az + b)

Satz 3.3 Aut(C ) besteht aus allen Transformationen der Gestalt z 7−→ az + b (a, b ∈
C, a 6= 0)

Beweis:

⊇ klar

⊆ Sei f ∈ Aut(C), betrachte f bei z = ∞, d.h. f(

1
z

) bei z = 0

Fall 1: f hat bei ∞ h¨

ochstens einen Pol: dann ist f aber rationale Funktion (da

Mer(C ) = rationale Funktionen). Da f keine Pole in C

hat, d.h. f ganz

rational, ist f = Polynom. Da f injektiv, folgt deg(f ) = 1

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

Fall 2: f hat eine wesentliche Singularit¨

at bei z = ∞ d.h. f (

1
z

) hat eine Singularit¨

bei z = 0. f injektiv ⇒ f ({|z| < 1})∩ f ( {|z| > 1}) = ∅. Das steht im Wi-
derspruch zum Satz von Weierstraß (siehe unten): nach Weierstraß existiert
n¨

amlich eine Folge (z

) mit |z

| −→ ∞ und f (z

) −→ f (0). Insbesondere gilt

dann f¨

ur k 0, |z

| > 1 f (z

) ∈ f (|z| < 1) offene Umgebung von f (0).

Satz 3.4 (von Weierstraß) Sei f eine ganze Funktion auf C . Hat f bei ∞ eine wesent-
liche Singularit¨

at, dann gilt: zu jedem w

∈ C existiert eine Folge (z

) mit |z

| −→ ∞

und f (z

) −→ w

Beweis: Widerspruchsannahme: Es gebe ein w

∈ C und ein > 0, sodass ∀ z ∈ C mit

|z > R| gilt: |f (z) − w

| ≥

Zu zeigen: f ist ein Polynom.

Auf {|z| < R} hat f (als ganze Funktion nur endlich viele Nullstellen z

, . . . , z

mit

Ordnungen α

, . . . , α

). Definiere nun

h =

f (z) − w

m
j=1

(z − z

)

Dann hat h keine Nullstellen. Ferner gilt

|h(z)| =

|f (z) − w

Q |(z − z

≥

Q |z − z

f¨

ur |z| > R

g :=

ist ganz auf C , da h keine Nullstellen hat und es gilt |g(z)| ≤

Q |z − z

f¨

(|z| > R)

Dann existiert c

, c

sodass |g(z)| ≤ c

+ c

|z|

m
j=1

f¨

ur alle z. Nach dem verallg.

Satz von Liouville (siehe unten) ist g ein Polynom vom Grad ≤ n. Da g ferner keine
Nullstellen hat, ist g = c (c konstant), h =

und f =

Q(z − z

)

+ w

Bemerkung: f bei ∞ keine wesentliche Singularit¨

at ⇔ f ist Polynom.

Satz 3.5 (verallg. Satz von Liouville) Sei f ganz auf C , es gebe c

, c

, n, sodass |f (z)| ≤

+ c

|z|

∀z ∈ C. Dann ist f ein Polynom vom Grad ≤ n.

3.4 Die Automorphismen von C

Beweis: Wir zeigen f

(n+1)

≡ 0. Sei z ∈ C, r > 0, dann ist

(n+1)

(z) =

(n + 1)!

2πi

|w−z|=r

f (w)

(w − z)

n+2

(n + 1)!

2π

θ=0

f (w)

n+2

−iθ(n+2)

iθ

dθ

(w = z + eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π)

n+1

(z)

≤

(n + 1)!

2π

n+1

2π

θ=0

|f (w)|
| {z }

≤c

(|z|+r)

dθ

≤ (n + 1)!

+ c

(|z| + r)

)

n+1

−→

r→∞

Satz 3.6 (Kleiner Satz von Picard) Sei f ganze Funktion auf C und f sei nicht kon-
stant, dann hat die Menge C \ f (C) h¨ochstens ein Element. (Ohne Beweis)

3.4 Die Automorphismen von C

Definition 3.7 f : U −→ C (U ⊆ C offen) heißt holomorph, falls f stetig und f¨

ur alle

a ∈ U gilt

1. ist f (a) ∈ C und ist a ∈ V ⊆ U mit f (V ) ⊆ C, dann ist f |

holomorph

2. ist f (a) = ∞ und ist a ∈ V

⊆

of f en

U mit f (V ) ⊆ C \ {0}, dann ist

f |

holomorph

(der Nenner ist auf V niemals 0), es gilt die Konvention

f (a)

∞

:= 0

Aquivalent: Sind t

, t

Karten auf C, so ist t

◦ f ◦ t

−1
2

holomorph auf V

∩ U ∩ f

−1

wobei t

: V

→ C.

Beispiel: 3.5

1. Sei f meromorph auf U ⊆ C (U offen). Setze ˜

f (a) = ∞, falls a ein

Pol von f ist und ˜

f (a) = f (a) sonst. Dann ist ˜

f : U −→ C holomorph.

2. Sei g : U −→ C holomorph, dann ist g|

−1

(∞)

meromorph auf U .

Fazit: C-wertig holomorph = C -wertig meromorph.

Definition 3.8 Aut(C) :=

f : C −→ C f ist holomorph und f

−1

ist holomorph

Bemerkung: Aut(C) ist eine Gruppe bzgl. ◦. Ein f mit f, f

−1

holomorph heißt auch

biholomorph.

Beispiel: 3.6

1. Die Elemente von Aut(C) lassen sich zu einem Element von Aut(C)

fortsetzen: ist f ∈ Aut(C), etwa f (z) = az + b, so setze fort auf C via f (∞) = ∞.

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

Holomorphie bei ∞:

f (z)

az+b

ist holomorph bei ∞, d.h. zu zeigen:

f (

1
z

)

1
z

ist holomorph bei z = 0:

1
z

= z(a − bz ± . . .) ok

2. S(z) =

1
z

ist auch in Aut(C).

3. Komposition von (1.),(2.): z 7→

az+b

+ b

a, a

6= 0 ist in Aut(C), denn

az + b

+ b

(az + b)

az + b

z + b

z + d

Definition 3.9 F¨

ur ein A =

a b

∈ GL(2, C) setzte f

az+b
cz+d

Erinnerung: GL(2, C) :=

a b

∈ C

2×2

ad − bc 6= 0

a b

−1

ad−bc

−b

−c

Beispiel: 3.7 f

[

0 1

1 0

]

1
z

Satz 3.7 Die Zuordnung A 7→ f

definiert eine exakte Sequenz von Gruppen:

1 −→ C

−→ GL(2, C) −→ Aut(C) −→ 1

(d.h. GL(2, C) −→ Aut(C) ist wohldefiniert und surjektiv und der Kern ist

a 0

a ∈ C

= C

1 0

≈ C

)

Beweis:

1. F¨

ur A, B ∈ GL(2, C) ist dann f

◦ f

= f

. Sei A =

a b

, B =

) =

z+b

z+d

+ b

z+b

z+d

+ d

a(a

z + b

) + b(c

z + d

)

c(a

z + b

) + d(c

z + d)

(aa

+ bc

)z + ab

+ bd

(ca

+ dc

)z + cb

+ dd

2. f

[

1 0

0 1

]

(z) = z

Nach (1.) und (2.) folgt: f

ist bijektiv, denn f

◦ f

−1

= f

−1

◦ f

= id. f

ist (C-

wertig) holomorph als rationale Funktion und f

−1

= f

−1

Fazit: f

∈ Aut(C).

3.4 Die Automorphismen von C

3. Kern: sei f

= id,

∀z :

az+b
cz+d

= z ⇔ ∀z : az + b = z(cz + d), d.h. c = 0, a = d, b =

0, also A =

a 0

4. A 7→ f

ist surjektiv: Jedenfalls ist Aut(C)

∞

f ∈ Aut(C) f(∞) = ∞ iso-

morph zu Aut(C) verm¨oge f 7→ f |

. Aut(C) sind die Polynome vom Grad 1, d.h.

Aut(C)

∞

h a b

0 1

a b

∈ GL(2, C)

Sei g ∈ Aut(C), sei g(∞) = a. Ist a = ∞, so ist g|

∈ Aut(C) ein Polynom ersten

Grades, die zugeh¨

orige Matrix ist

a b

Sei also a 6= ∞. Setze f (z) :=

z−a

, f ∈ Aut(C), f (a) = ∞. Daher f ◦ g ∈

Aut(C), f ◦ g(∞) = ∞, f ◦ g ∈ Aut(C)

∞

, g ∈ f

−1

◦ Aut(C)

∞

}

∈Bild(GL(2,C))

Bemerkung:

• Aut(C)

∞

heißt Standgruppe oder Stabilisator

• z 7→

1
z

z 7→ az (aC

z 7→ z + b also zwei Spiegelungen bzw die Inversion,

Drehstreckung und Translation erzeugen schon Aut(C)

• f =

az+b
cz+d

ad − bc heißt M¨

obius-Transformation

Satz 3.8 Sei a, b, c ∈ C. Dann gibt es genau ein f ∈ Aut(C) mit
f (a) = 1,

f (b) = 0,

f (c) = ∞.

Beweis: f := [z, a, b, c] :=

z−b
a−b

z−c
a−c

∈ Aut(C) (dabei bedeutet : eine Division) (Da a − b

und a − c Konstanten sind, ist [z, a, b, c] bis auf diese Konstante =

z−b
z−c

= f

, mit A =

1 −b

−c

, detA = b − c 6= 0) f erf¨

ullt die Forderung f (a) = 1,

f (b) = 0,

f (c) = ∞

(Nachrechnen!), [z, a, b, c] heißt Doppelverh¨

altnis.

Zur Eindeutigkeit: Ist g ∈ Aut(C) und g : a, b, c 7→ 1, 0, ∞. Dann hat g ◦ f

−1

drei

Fixpunkte bei 1, 0 und ∞. Wir zeigen: hat h ∈ Aut(C) mehr als 3 Fixpunkte, dann gilt
h = id.

Sei h ∈ Aut(C) : dann h(z) =

az+b
cz+d

ad − bc 6= 0 (nach Satz 3.7). Bestimmung der

Fixpunkte:

az + b

cz + d

= z ⇒ az + b = z(cz + d)

+ (d − a)z − b = 0

(∗)

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

Hat h mehr als 3 Fixpunkte, alle 6= ∞, dann sind die Fixpunkte L¨

osungen von (∗), also

c = 0, d = a, b = 0, also h = id.
Ist ein Fixpunkt = ∞, dann ist c = 0 (und h Polynom vom Grad 1), hat h noch mehr
als 2 Fixpunkte so sind diese L¨

osung von (∗), also d = a, b = 0.

3.5 Die Automorphismen von h

Notation: Statt f

(z) schreibt man Az und meint

a b

z =

az−b
cz−d

Zur Wiederholung: h :=

z ∈ C =z > 0,

Aut(h) :=

f : h −→

bijektiv

f, f

−1

holomorph

Definition 3.10 Seien X, Y Riemannsche Fl¨

achen (z.B.: offene Teilmenge von C),

dann heißen X und Y biholomorph ¨

aquivalent, falls ein f : X −→ Y existiert,

sodass f bijektiv ist und f, f

−1

holomorph sind.

Bemerkung: Aut(X) = f

−1

◦ Aut(Y ) ◦ f

Satz 3.9 hist biholomorph ¨

aquivalent zu D :=

z ∈ C |z| < 1.

Beweis: Betrachte die Abbildung f : h −→ D, f (z) :=

z−i
z+i

|f (z)| < 1 ⇐⇒ |z + i|

> |z − i|

⇐⇒ (y + i)

> (y − i)

⇐⇒ 2y > −2y ⇐⇒ y > 0

Bemerkung:

1. Die Umkehrabbildung zu f ist f

−1

= f

h 1 −i

1 i

−1

= f

−1 1

−1

(w) =

w+1

w−i

: D

≈

−→ h

2. Es gibt zu f : h

biholomorph

−→

unendlich viele weitere: β ◦ f ◦ α mit α ∈ Aut(h), β ∈

Aut(D).

Beispiel: 3.8 Sei A ∈ GL(2, R) (hier ist wirklich R nicht C gemeint!):

(z) = =

az + b

cz + d

= =

(az + b)(c¯

z + d)

|cz + d|

(ad − bc)

|cz + d|

Also f

∈ Aut(h) ⇐⇒ A ∈ GL(2, R)

. Mit GL(2, R)

A ∈ GL(2, R) det A > 0

3.5 Die Automorphismen von h

Satz 3.10 Die Zuordnung A 7−→ f

definiert eine exakte Sequenz von Gruppenhomo-

morphismen

1 −→ R

−→

a7→

[

a 0

0 a

]

GL(2, R)

−→

A7→f

Aut(h) −→ 1

Alternative Formulierung: Die Zuordnung A 7−→ f

definiert eine exakte Sequenz von

Gruppenhomomorphismen

1 −→ R

−→

a7→

[

a 0

0 a

]

SL(2, R) −→

A7→f

Aut(h) −→ 1

denn f

= f

detA

}

det=1

Beweis:(der ersten Formulierung) Sei g ∈ Aut(h), z.z. g = f

mit einem A ∈ GL(2, R)

Betrachte w := g(i)

w = u + iv. Betrachte A =

√

−1

, A ∈ SL(2, R), A · i =

√

vi + u + iv = w.

Also f

−1

◦ g ∈ Aut(h), wir zeigen

Aut(h)

A ∈ SO(2, R)

(Zur Wiederholung: SO(2R) =

a b

a, b ∈ R, a

+ b

= 1

cos θ − sin θ

sin θ

cos θ

0 ≤ θ < 2π

Matrix der R-linearen Abbildungen C −→ C, z 7→ ze

iθ

bzgl. der R-Basis {1, i})

Sei A =

−i

, f

: D

≈

−→ h,

−1

◦ Aut(h)

◦ f

= Aut(D)

Es gilt f¨

ur M ∈ GL(2, R)

: M ∈ SO(2R) ⇐⇒ A

−1

M A = c

α 0

mit c ∈ R

und

α ∈ C, |α| = 1.

(

a −b

∈ SL(2, R) :

a −b

−i

}

−i

}

a − ib

a + ib

denn

a −b

a − ib

b + ia

= (a − ib)

Skalar−

M ultipl.

(Eigenwertgleichung).
Die andere Richtung folgt durch Nachrechnen!

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

Also zu zeigen: Aut(D)

N =

α 0

g ∃ s ∈ S

: g(z) = sz

(Dabei ist

z ∈ C |z| < 1).

Das Unterstrichene folgt aber aus dem folgenden Lemma.

Lemma 3.2 Ist h ∈ Aut(D), dann |h(z)| ≤ |z|, dto. f¨

−1

(w)

≤ |w|, d.h. mit

w = h(z) : |z| ≤ h(z)

Satz 3.11 (Lemma von Schwarz) Sei f : D −→ C holomorph, f (0) = 0, |f (0)| < 1 f¨

|z| < 1, dann gilt:

1. |f (z)| ≤ |z| ∀ |z| ≤ 1

2. Ist |f (z

)| = |z

| f¨

ur ein z

6= 0, dann ist f (z) = λz mit geeignetem λ ∈ C, |λ| = 1

Beweis: Setze g(z) :=

f (z)

da f (z) = 0, folgt g holomorph in D. Ferner |g(z)| ≤

1
r

f¨

|z| = r < 1, da |f (z)| ≤ 1. Nach dem Maximumsprinzip folgt sogar |g(z)| ≤

1
r

∀ z ≤ r.

F¨

ur r −→ 1 folgt: |g(z)| < 1, d.h. |f (z)| ≤ |z| f¨

ur z ∈ D. Gilt |f (z

)| = |z

| f¨

ur ein z

dann |g(z

)| = 1, also hat |g| ein Maximum in D, also ist g = const, etwa g = λ mit

|λ| = 1.

Bemerkung: U.a. haben wir gezeigt:

SL(2, R)/SO(2, R) −→ h, A 7−→ A

ist bijektiv. SL(2, R) ist eine Lie-gruppe, SO(2, R) ist eine kompakte maximale Unter-
gruppe.

3.6 Erg¨

anzungen

Sp¨

ater werden wir zu X = C oder h die Untergruppe Γ ⊆ Aut(X) betrachten. Auf X

werden wir f : X

meromorph

−→

C mit f (z + λ) = f (z) ∀ γ ∈ Γ betrachten.

Beispiel: 3.9 f : C −→ C, f (z) = e

2πz

f (z + n) = f (z). Hier ist Γ =

n ∈ Z

⊆

Aut(C) und t

(z) = z + n.

Solch ein f »induziert« eine Funktion f : Γ\X −→ C.

Definition 3.11 Γ\X := Menge alle Bahnen (Orbits) von X bzgl. Γ. Sprechweise: X
mod Γ
Orbit := Menge der Gestalt: Γz :=

γ(z) γ ∈ Γ.

Bemerkung: X ist disjunkte Vereinigung seiner Orbits unter Γ ( d.h.

• je 2 Orbits sind disjunkt oder gleich

3.6 Erg¨

anzungen

• jeder Punkt geh¨

ort zu einem Orbit )

f (Γz) := f (z)

Ist Γ diskret, so kann man Γ\X mit der Struktur eine Riemannschen Fl¨ache versehen.

Beispiel: 3.10

1. L = Zω

+ Zω

⊆

Gitter

C (d.h. =

6= 0 )

Γ :=

l ∈ L

= z + l, Γ ⊆ Aut(C),

Γ ⊆ Aut(C)

Γ\C = C/L (Menge der L-Nebenklassen im Sinne der Gruppentheorie)

(Γz =

(z) l ∈ L

= z + l l ∈ L)

Fundamentalmasche in L = Fundamentalbereich zu Γ := F :=

xω

+ yω

0 ≤< 1

(siehe Abb. 3.2) Bemerkung: F h¨

angt von ω

, ω

ab. Eigenschaften:

.....................

......

...

..........

.......................

.......

......

...

..........

.......................

.......

......

...

....

...........

.......

......

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.....................

Abbildung 3.2: Die Fundamentalmasche ist das gepunktete Parallelogramm ohne die

rechte und obere Seite, Punkte auf der oberen und rechten Seite wer-
den mit gegen¨

uberliegenden Punkten auf der unteren und linken Seite

identifiziert ( Torus).

a) zu jedem z ∈ C ex. ein l ∈ L mit z + l ∈ F

b) Sind z

, z

∈ F und gilt z

= z

+ l f¨

ur ein l ∈ Γ, so gilt: z

= z

und damit

l = 0

Fazit: F −→ Γ\C = C/L, z 7→ Γz ist bijektiv.

2. Γ = SL(2, Z)

⊆

U ntergr.

SL(2, R), SL(2, R)/{±1} ≈ Aut(h), ±A 7−→ (z 7→

az+b

ct+d

wobei A =

a b

ist.

Γ\h =

Γz z ∈ h

Γz =

Az A ∈ SL(2, Z)

Definition 3.12 Fundamentalbereich von h modulo Γ := Moduldreieck
:=

z ∈ h −

1
2

≤ <z <

1
2

, |z| > 1, |z| = 1 ⇒

≤ Arg(z)

=: F (siehe Abb. 3.3)

3 Die Riemannschen Fl¨

achen C, C und h

....

............

...........

..........

......

....

...

................

..........

................

..........

................

..........

................

..........

.....................

1
2

Abbildung 3.3: Das Moduldreieck F ist der Streifen −

1
2

≤ <z <

1
2

, der oberhalb des

Kreises liegt. Der gestrichelte Bereich Σ auf dem Kreis geh¨

ort nicht zu

F .

Eigenschaften:

a) z ∈ h, so ex. ein A ∈ SL(2, Z), sodass Az ∈ F

b) Sind z

, z

∈ F , ist A ∈ SL(2, Z), mit Az

= z

, so ist z

= z

Fazit: F −→ Γ\h ist bijektiv.

Beweis: (zu (i.)) z ∈ h, sei A ∈ SL(2, Z), sodass =Az maximal ist (das geht, da

=Az

Bsp 3.8

|cz+d|

A ∈ SL(2, Z), A =

a b

beschr¨

ankt ist)

Sei o.B.d.A. −

1
2

≤ <Az <

1
2

, sonst ersetze Az durch (Az) + n =

1 n

Az mit geeigne-

tem n ∈ Z. Es gilt dann |Az| ≥ 1, sonst:

=(SAz) =

=(Az)

|Az|

> =Az,

Widerspruch zur Maximalit¨

at von =Az

wobei S =

0 −1

Sw = −

Also Az ∈ F oder Az ∈ Σ, im zweiten Fall ist SA ∈ F .

4 Der Satz von Mittag-Leffler

4.1 Vorbemerkung: Die Mittag-Leffler-Teilbruchzerlegung f¨

rationale Funktionen

f ∈ M er(C), die Pole in C seien z

, . . . , z

, der Hauptteil in z

sei h

(z) =

(j)
−1

z−z

+ . . . +

(j)
−nj

(z−z

)

, n

= ord

f .

g := f − (h

+ . . . h

) ist holomorph in C , und g ist bei ∞ entweder holomorph oder hat

eine Pol, also ist g ein Polynom. Fazit: f = g+h

+· · ·+h

ist die »Partialbruchzerlegung

von f «.

Bemerkung:

1. g(z) − g(0) = a

z + a

+ . . . + a

, a

∈ C ist der Hauptteil von f bei ∞

2. ist f holomorph bei ∞, so ist g = const

3. ist f =

, wobei h

, h

Polynome sind, so ist ord

∞

f = deg h

− deg h

4. f =

, so h

= qh

+ r mit Polynomen q, r, wobei deg r < deg h2 (Euklidische

Division), damit ist f = q +

hat Nullstelle bei ∞, also

= »Summe der

Hauptteile bei den Polen in C«.

Gibt man Pole z

, . . . , z

und Hauptteile h

, . . . , h

zu den z

vor, so gibt es stets ein

f ∈ M er(C) mit genau diesen Hauptteilen.

4.2 Die Mittag-Leffler-Teilbruchzerlegung f¨

ur meromorphe

Funktionen auf C

Satz 4.1 (Mittag-Leffler) Sei z

, z

, . . . eine Folge von komplexen Zahlen mit |z

| −→ ∞,

sei h

(z) =

(j)
−1

z−z

+ . . . +

(zj )

(z−z

)

(j)
i

∈ C. Dann gibt es eine auf C

meromorphe

Funktion f deren Polstellen genau die z

, z

, . . . sind und deren Hauptteile in z

gerade

die h

sind. Ist ˜

f eine weitere meromorphe Funktion auf C mit den gleichen Polen und

Hauptteilen, so ist f − ˜

f eine ganze Funktion.

4 Der Satz von Mittag-Leffler

Beweis: Seien o.B.d.A alle z

6= 0. Betrachte die Taylorentwicklung von h

(

z) bei z = 0:

(z) =

∞
k=0

(j)
k

(konvergent f¨

ur |z| < |z

|).

Bestimme Zahlen P

, so dass mit g

(z) =

k=0

(j)

gilt:

∀ R > 0 :

∞

j=1

max

|z|≤R

(z) − g

(z)| < ∞

Dann gilt: f (z) :=

∞
j=1

(z) − g

(z)) konvergiert absolut gleichm¨

aßig auf kompakten

Teilmengen von C \ {z

, z

, . . .} und f ist wie im Satz verlangt.

Zur Bestimmung der P

: W¨

ahle P

sodass max |h

(z) − g

(z)| <

f¨

ur |z| ≤

1
2

|, das

geht, da

P b

(j)
k

absolut gleichm¨

aßig konvergent auf |z| ≤

1
2

Ist R > 0 gegeben, dann ist

1
2

|>R

max

|z|≤R

(z) − g

(z)| ≤

1
2

(man hat nur endlich viele j ausgelassen: #

| > 2R

< ∞)

4.3 Beispiele zum Satz von Mittag Leffler

4.3.1 Der Cotangens

π cot(πz) = π

cos(πz)

sin(πz)

log sin(πz)

Pole: ν ∈ Z, Hauptteile:

z−ν

, sei ν 6= 0, dann ist die Taylorentwicklung

z−ν

= −

1
ν

∞
k=0

(

z
ν

)

Wahl von P

: P

= 0, damit g

(z) = −

1
ν

f¨

ur |z| < |ν|.

z−ν

−

1
ν

≤

|z|

|ν|(|ν|−|z|)

F¨

ur R > 0:

ν∈Z

|ν>R|

max

|z|≤R

z − ν

≤

ν∈Z

|ν|>R

|ν| (|ν| − |R|)

}

<const·

|ν|2

ν∈Z

ν6=0

|ν|

< ∞

Also

1
z

ν∈Z

ν6=0

z−ν

1
ν

hat die gleichen Pole und Hauptteile wie π cot(πz).

4.3 Beispiele zum Satz von Mittag Leffler

Satz 4.2

π cot(πz) =

ν∈Z

ν6=0

z − ν

∞

ν=1

z − ν

z + ν

−

∞

ν=1

− ν

(Beweis: ¨

Ubung)

Setze g(z) := z

∞
1

1 −

, dann folgt mit obigem Satz:

(z) =

∞

ν=1

− ν

Satz

= π cot(πz)

sin(πz)

⇒ g(z) = const · sin(πz)

Taylorentwicklung bei z = 0 ⇒ const =

4.3.2 Die Weierstraßsche ℘-Funktion

Fixiere ein Γ = Zω

+ Zω

6= 0)

Gesucht ist eine meromorphe Funktion auf C mit Polen γ ∈ Γ, γ 6= 0 und Hauptteilen
HT

(z) =

(z−γ)

(z − γ)

1 −

binom.

Reihe

1 + 2

+ 3

+ . . .

= 0 :

(z − γ)

−

2zγ − z

|γ

(z − γ

≤

|z|<R

|γ|>2R

R(2 |γ| + R)

|γ|

|γ − R|

≤

3R |γ|

|γ|

1
2

|γ|

12R

|γ|

dann:

γ∈Γ

|γ|>2R

max

|z|≤R

|z − γ|

−

≤

γ6=0

12R

|γ|

Lemma1.1

∞

4 Der Satz von Mittag-Leffler

Satz 4.3 Durch ℘(z; Γ) :=

γ∈Γ
γ6=0

(z−γ)

−

wird eine auf C

meromorphe

Funktion erkl¨

art. Die Reihe ist absolut gleichm¨

aßig konvergent auf kompakten Teilmen-

gen von C \ Γ. Die Pole von ℘ sind gerade die Punkte in Γ, Hauptteil bei γ ∈ Γ ist

(z−γ)

Satz 4.4 −

(log σ(z; Γ)) = ℘(z; Γ)

Beweis:

σ(z) = z

γ∈Γ
γ6=0

1 −

z
γ

1
2

z
γ

(z) =

γ∈Γ
γ6=0

z − γ

(z) = −

γ∈Γ
γ6=0

−

(z − γ)

= −℘(z)

Satz 4.5 F¨

ur ein γ ∈ Γ gilt ℘(z + γ; Γ) = ℘(z; Γ).

Beweis:

℘

(z) = −

6=0
∈Γ

(z − )

= −2

∈Γ

(z − )

℘

(z + γ) = −

6=0
∈Γ

(z − + γ)

= −2

∈Γ

(z − ( + γ)

denn mit durchl¨

auft auch − γ das Gitter Γ. Damit ist ℘(z + γ) = ℘(z) + c(γ) (∗)

(wobei c(γ) eine Konstante ist, die von γ abh¨

angt).

Zeige c(γ) = 0: Offensichtlich ist ℘(−z) = ℘(z) (℘ ist eine gerade Funktion). W¨

ahle

in (∗) z = −

: ℘(

) = ℘(−

) + c(γ) ⇒ c(γ) = 0

5 Elliptische Funktionen

F¨

ur das gesamte Kapitel sei:

Γ = Zω

+ Zω

, =

6= 0

F :=

xω

+ yω

0 ≤ x, y < 1

≈

−→ C/Γ verm¨oge z 7−→ z + Γ

Definition 5.1

Ell(Γ) :=

f ∈ M er(C) ∀ γ ∈ Γ : f(z + γ) = f(z)

heißt K¨

orper der elliptischen Funktionenelliptische Funktionen zu Γ.

Konvention: Ist z

Pol von f , dann setze f (z

) = ∞ ∈ C.

Satz 5.1 Ell(Γ) ist ein K¨

orper.

5.1 Divisoren auf C/Γ

Lemma 5.1 Sei f ∈ Ell(Γ). F¨

ur z

∈ C, γ ∈ Γ gilt: ord

(f ) = ord

+γ

(f )

Beweis: Es gibt eine offene Umgebung U von z

und eine auf U holomorphe Funktion

g mit g(z

) 6= 0, so dass

f (z) = (z − z

)

g(z)

f¨

ur z ∈ U, z 6= z

und n = ord

(∗)

Dann gilt aber f¨

ur z ∈ γ + U (γ + U ist offene Umgebung von z

+ γ): f (z) = f (z − γ)

(∗)

(z −(z

+γ))

g(z −γ). Es ist ˜

g : z 7→ g(z −γ) holomorph auf γ +U , ˜

g(z

+γ) = g(z

) 6= 0.

Es folgt: n = ord

+γ

Definition 5.2 Ist f ∈ Ell(Γ), so definiere

: C/Γ −→ Z

(p) := ord

(f )

p = z

+ Γ

heißt Divisor f . D

ist nach dem Lemma wohldefiniert.

5 Elliptische Funktionen

Lemma 5.2 D

(p) = 0 f¨

ur alle p ∈ C/Γ bis auf endlich viele Ausnahmen.

Beweis: F sei eine Fundamentalmasche f¨

ur Γ (also F −→ C/Γ, z 7→ z + Γ ist bijektiv)

p D

(p) 6= 0

= # z

∈ F

ord

f 6= 0

Zu z

∈ ¯

F existiert eine offene Umgebung U

von z

, so dass f auf U

\{z

} keine Null-

oder Polstellen hat. Da ¯

F kompakt ist, gibt es z

, . . . , z

∈ ¯

F , so dass ¯

F =

t
i=1

. Also

ist

∈ F

ord

f 6= 0

⊆ {z

, . . . , z

Definition 5.3

Div(C/Γ) :=

D : C/Γ −→ Z D(p) = 0 f¨ur fast alle p ∈ C/Γ

heißt Divisoren auf C/Γ. Div(C/Γ) ist eine Gruppe bzgl der Addition:(D

+ D

)(p) :=

(p) + D

(p)

P (C/Γ) :=

D ∃ f ∈ Ell(Γ) : D = D

heißt die Untergruppe der Hauptdivisoren Dabei steht p f¨

ur principle divisors.

Untergruppeneigenschaft: D

+ D

= D

·f

, D

−1

= −D

5.2 Drei der vier Liouvilleschen S¨

atze

Satz 5.2 (erster Liouvillescher Satz) Die einzig holomorphen Funktionen in Ell(Γ)
sind die Konstanten.

Beweis: Ist f ∈ Ell(Γ) holomorph, dann ist f (C) = f (F ) = f ( ¯

F ). f ist stetig und ¯

ist kompakt ⇒ f ( ¯

F ) ist kompakt. Insbesondere ist f (C) also beschr¨ankt (Heine Borel).

Nach Liouville aus Funktionentheorie I ist f konstant.

Korollar 5.1 Sind f

, f

∈ Ell(Γ)

∗

, D

= D

, dann ist f

= const · f

Beweis: D

= D

⇒ D

= 0, also

holomorph, also = const.

Satz 5.3 (zweiter Liouvillescher Satz) Sei f ∈ Ell(Γ), dann gilt

∈F

Res

F = 0

(Alternative Formulierung:

p∈C/Γ

Res

f = 0,

Res

f := Res

f, wobei p = z

+ Γ)

Beweis:

2πi

z∈F

f =

∂F

f (z)dz

5.2 Drei der vier Liouvilleschen S¨

atze

Abbildung 5.1: ohne Pole auf dem Rand

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqq

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qqqqqqqqqqqq

qqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

......

.............

......

.....

III

Abbildung 5.2: mit Polen auf dem Rand

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqq

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qqqqqqqqqqqqq

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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq

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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

......

.............

......

.....

Weg −(a + ω

)

Weg −(b + ω

)

Weg b

Weg a

Der Rand der Fundamentalmasche F wird auf den gestrichelten Wegen entgegen dem
Uhrzeigersinn durchlaufen.

f hat keine Pole in ∂F : (siehe auch Abb. 5.1) Dann l¨

asst sich das Integral ohne Pro-

bleme berechnen:

∂F

f (z)dz =

f (zω

)ω

I:t7→tω

f (ω

+ tω

)ω

II:t7→ω

+tω

f (ω

+ ω

− tω

)(−ω

)dt

III:t7→ω

+ω

−tω

f (ω

− tω

)(−ω

)dt

IV:t7→ω

−tω

Da f

R Ell(Γ) (also mit

∈ {0, 1} gilt: ∀ z ∈ ∂F : f (

+ z) = f (z)),

addieren sich das erste und dritte, sowie das zweite und vierte Integral zu 0. Es
folgt

∂F

f (z)dz = 0

f hat Pole in ∂F : Dann 2πi

z∈F

Res

f =

f (z)dz, wobei γ der gestrichelte Weg aus

Abbildung 5.2 ist.

f (z)dz =

f (z)dz −

a+ω

f (z)dz −

b+ω

f (z)dz +

f (z)dz

Wieder folgt wie oben, da f ∈ Ell(Γ): das erste und zweite, sowie das dritte und
vierte Integral addieren sich zu 0.

Korollar 5.2 Ein f ∈ Ell(Γ) hat mindestens zwei Pole modulo Γ (d.h. in F ) mit
Vielfachheiten gez¨

ahlt

5 Elliptische Funktionen

Folgerung: In einem gewissen Sinne ist die einfachste nichttriviale Funktion in Ell(Γ)
eine solche, die einen Pol zweiter Ordnung (⇒ Residuum = 0) in 0(∈ F ) hat. Der
Hauptteil in 0 ist dann

. Die Funktion ℘(z)(:= ℘(z, Γ)) ist eine solche Funktion.

Ist f eine weitere solche Funktion, so ist f − ℘ = const nach Liouville I.

Satz 5.4 (dritter Liouvillescher Satz) Ist f ∈ Ell(Γ), dann ist

p∈C/Γ

(p) = 0

Beweis:

f hat keine Null- oder Polstellen auf ∂F : dann gilt mit dem Satz von Rouch´

2πi

z∈F

ord

f =

∂F

d log f =

∂F

(z)

f (z)

dz = 0

Das folgt aber, wie im vorigen Beweis, unter Benutzung von

∈ Ell(Γ)

f hat Null- oder Polstellen auf ∂F : analog wie im vorigen Beweis.

Fazit: Wir erhalten eine exakte Sequenz von Gruppen:

1 −→ C

∗

−→ Ell(Γ)

∗

−→ Div

(C/Γ)

Die Sequenz ist hinten nicht surjektiv: z.B:

D : C/Γ −→ Z, D(p) :=

−1 p = 0
+1

p =

1
2

+ Γ

W¨

are D = D

so h¨

atte f nur einen Pol im Widerspruch zu Liouville II.

5.3 Thetafunktionen

Erinnerung: (logσ)

= −℘. Also f¨

ur γ ∈ Γ gilt:

logσ(z + γ) =

logσ(z)

daher (zweimal Stammfunktion suchen, dann exp anwenden)

σ(z + γ) = e

A(γ)z+B(γ)

σ(z),

∀ z

mit geeigneten Konstanten A = A(γ), B = B(γ).

5.3 Thetafunktionen

Definition 5.4

Θ(Γ) :=

f meromorph auf C, f 6≡ 0 (logf )

∈ Ell(C/Γ)

heißt Menge der Thetafunktionen mod Γ.

Θ(Γ)

triv

p(z)

p = Polynom vom Grad ≤ 2

Bemerkung: Θ(Γ)

triv

⊆ Θ(Γ), σ ∈ Θ(Γ)σ ∈ Θ(Γ), σ(z + γ) = e

A(γ)z+B(γ)

Damit sind γ 7→ A(γ), γ 7→ B(γ) jeweils Abbildungen der Form Γ −→ C/2πiZ.
Bemerkung: Kozykelrelation:

σ(z + γ

+ γ

)

σ(z + γ

)

}

exp(A(γ

)(z+γ

)+B(γ

))

σ(z + γ

)

σ(z)

}

exp(A(γ

)z+B(γ

))

σ(z + γ

+ γ

)

σ(z)

}

exp(A(γ

+γ

)z+B(γ

+γ

))

Daraus folgt: B(γ

+ γ

) = B(γ

) + B(γ

), d.h B : Γ −→ C/2πiZ ist ein Gruppenhomo-

morphismus, A(γ

)γ

+ A(γ

) = A(γ

+ γ

), A : Γ −→ C/2πiZ ist ein Kozykel.

Satz 5.5

1. Θ(Γ) ist eine Gruppe bzgl. Multiplikation von Funktionen

2. Ist f ∈ Θ(Γ), dann ist ord

f = ord

z+γ

f, ∀ z ∈ C, γ ∈ Γ

Beweis: 2. ist eine ¨

Ubung und folgt durch Nachrechnen.

Zu 1.:

(log f

· f

)

= (log f

)

∈Ell(Γ)

+ (log f

)

∈Ell(Γ)

∈ Ell(Γ)

Definition 5.5 Sei f ∈ Θ(Γ), D

: C/Γ −→ Z, D

(p) := ord

f , wobei p = z

+ Γ.

Bemerkung:

• D

(p) = 0 f¨

ur fast alle p ∈ C/Γ

• wohldef. nach Satz 5.5 (1.)

• D

·f

= D

, d.h. f 7→ D

ist Gruppenhomomorphismus Θ(Γ) −→ Div(C/Γ)

• f ∈ Θ(Γ)

triv

: D

≡ 0

5 Elliptische Funktionen

Satz 5.6 Die Sequenz von Gruppenhomomorphismen

1 −→ Θ(Γ)

triv

,→ Θ(Γ) −→ Div(C/Γ) −→ 1

ist exakt.

Beweis: Definiere D

:= ( 0 ) d.h

(p) :=

falls p = 0

sonst

und f¨

ur σ(∗ − z

), z

∈ C fix:

σ(∗−z

)

(p) := ( z

+ Γ ) =

falls p = z

+ Γ

sonst

Surjektivit¨

at von f 7→ D

: Sei D ∈ Div(C/Γ), seien p

, . . . , p

die Punkte in C/Γ, mit

:= D(p

) 6= 0. Sei p

= z

+ Γ mit geeigneten z

∈ Γ.

Setze f (z) :=

n
j=1

σ(z − z

)

, dann

j=1

σ(∗−z

)

νj

j=1

σ(∗−z

)

j=1

( z

+ Γ ) = D

Kern(f 7→ D

): Θ(Γ) ⊆ Kern(f 7→ D

): ok. Sei θ ∈ Θ(Γ), mit D

= 0, dann

(logθ)

ist holomorph, Also = const =: a (Liouville I). Also

= az + b, (b geeignet),

θ = exp

+ bz + c

, (c geeignet), d.h. θ ist trivial.

Korollar 5.3 σ(z + γ) = exp(Az + b)σ(z), mit A = A(γ), B = B(γ), γ ∈ Γ fix.

Beweis:

f (z + γ) =

j=1

σ(z + γ − z

)

j=1

exp ((A(z − z

) + B) ν

) σ(z − z

)

= exp





(Az + B)

j=1

− A

j=1





· f (z)

= exp





(Az + B)

p∈C/Γ

D(p) − A

j=1

D(z

+ Γ)





· f (z)

Also f (z + γ) = f (z)

∀ z ∈ C, falls

p∈C/Γ

D(p) = 0 und

n
j=1

D(z

+ Γ) = 0.

5.3 Thetafunktionen

Definition 5.6

P (C/Γ) :=







D ∈ Div

(C/Γ)

p∈C/Γ

pD(p) = 0







(= 0 in der Gruppe C/Γ.)

Bemerkung: ˜

P (C/Γ) ⊆ Div

(C/Γ) ist Untergruppe.

Beispiel: 5.1 ℘

hat Pole (3. Ordnung) in Γ, ℘

(z) = −℘

(−z), ℘

ist ungerade (da ℘

gerade ist) mit Γ = ω

Z + ω

Z folgt:

• ℘

(

−ω

)

ungerade

−℘

(

). Es gilt aber auch, wegen der Periodizit¨

at ℘

(

−ω

) =

℘

(

−ω

+ ω

) = ℘

(

) ⇒ ℘

(

) = 0 und analog:

• ℘

(

) = 0

• ℘

(

+ω

) = 0

℘

= −3( 0 ) + (

+ Γ ) + (

+ ω

+ Γ )

℘

(z) = 0 ⇐⇒ 2z ∈ Γ \ {0}, ℘

(z = 0) in den Punkten aus C/Γ \ {0} der Ordnung 2, den

primitiven Zweiteilungspunkten (siehe Abbildung 5.3). Nach dem vorigen Beweis
gilt:

.....................

........

......

...

∞

Abbildung 5.3: Die primitiven Zweiteilungspunkte sind die Punkte wo ℘

(z) = 0 ist.

℘

(z) = C ·

σ(z −

)σ(z −

+ω

)

σ(z)

Dabei ist C eine triviale Thetafunktion. Die rechte Seite ist sogar ∈ Ell(Γ), also C = const
nach Liouville I.

5 Elliptische Funktionen

5.4 Bestimmung der Hauptdivisoren

Satz 5.7 (vierter Liouvillescher Satz) Sei f ∈ Ell(Γ), f 6= 0, dann gilt

p∈C/Γ

(p) = 0

Bemerkung: Es ist also D

∈ ˜

P (C/Γ).

Beweis: Fallunterscheidung:

f hat keine Pole oder Nullstellen auf ∂F :

∂F

(z)z dz

Residuensatz

2πi

z∈F

Res

(z)z

Nebenrechnung: f = (z − z

)

g(z), g holomorph nahe z

, g(z

) 6= 0, d.h. n =

ord

f .

Sei n 6= 0

(z)z =

(z)z

holomorph bei z

z − z

(z)z +

z − z

+ n

⇒ Res

(z)z = nz

.....................

........

......

...

........

.......

Weg −(c + ω

)

Weg −(d + ω

)

Weg d

Weg c

Abbildung 5.4: ∂F wird entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen.

F¨

ur die folgenden Integrale betrachte die Wege in Abbildung 5.4:

»Summe der Residuen«=

z∈F

ord

(f )z =: S,

Nach der Nebenrechnung bleibt zu zeigen S liegt in Γ.

Insgesamt also zu zeigen:

I :=

∂F

(z)z dz ∈ 2πiΓ

5.4 Bestimmung der Hauptdivisoren

Man hat:

I =

(z)z dz −

c+ω

(z)z dz +

(z)z dz −

d+ω

(z)z dz

, dabei ist

c+ω

(z)z dz =

(z + ω

)(z + ω

) dz, also

(z)z dz −

c+ω

(z)z dz = −ω

(z)z dz

(∗)

und analog

(z)z dz −

d+ω

(z)z dz = −ω

(z)z dz

(∗∗)

(∗) = −ω

f ◦c

(Subst.: w = f (z))

= −ω

· (Umlaufzahl von f ◦ c um 0) ∈ 2πiZ · ω

(∗∗) = −ω

f ◦d

(Subst.: w = f (z))

= −ω

· (Umlaufzahl von f ◦ d um 0) ∈ 2πiZ · ω

f ◦ c ist ein geschlossener Weg in C

∗

, da f (0) = f (ω

f ◦ d ist ein geschlossener Weg in C

∗

, da f (0) = f (ω

)

Insgesamt folgt: I ∈ 2πiΓ.

f hat Pole oder Nullstellen auf ∂F : Man ¨

andert den Beweis vom ersten Fall in der

gleichen Weise ab, wie beim zweiten Fall des Beweises von Satz 5.3.

Satz 5.8 (Hauptsatz der Divisortheorie f¨

ur elliptische Kurven) Die Sequenz von

Gruppenhomomorphismen

1 −→ C

∗

−→ Ell(Γ)

∗

−→

7−→

P (C/Γ)

−→ 0

ist exakt.

Beweis: Nach den vorigen S¨

atzen ist nur noch die Surjektivit¨

at zu zeigen: Ist f ∈

Ell(Γ)

∗

, sind die z

, 1 ≤ j ≤ t (die Repr¨

asentanten der p

mit D

) = 0), so gew¨

ahlt,

dass

+ Γ) · z

= 0,

(∗)

dann gilt f = const ·

t
j=1

σ(z − z

)

(im Beweis ¨

uber die Thetafunktion schon

gezeigt: f ist elliptische Funktion, f¨

ur ein D welches (∗) erf¨

ullt)

Notation: Ab jetzt P (C/Γ) := ˜

P (C/Γ)

5 Elliptische Funktionen

Beispiel: 5.2 D = 3( 0 ) + (

+ Γ ) + (

+ω

+ Γ )

p∈C/Γ

D(p)p = −3 · 0 +

+ Γ +

+ ω

+ Γ = 0 in C/Γ

mit Repr¨

asentanten in C :

− 3 · 0

∈C

−

+ ω

+ Γ = 0

Ubung: Man kann stets z

∈ p

( ¨

Aquivalenzklasse) w¨

ahlen, so dass

t
j=1

D(p

= 0

(in C)

Bemerkung: F¨

ur eine Gegen¨

uberstellung von C/Γ und C siehe Tabelle 5.1.

C/Γ

Hauptdivisoren P

P (C/Γ) 6⊆ Div

(C)

Div

(C)

Greensche Funktion: g(z)

σ(z)

D gegeben

f :=

Q g(z − z

)

D(p

)

Tabelle 5.1: Gegen¨

uberstellung von C/Γ und C

Definition 5.7

P ic

(C/Γ) := Div

(C/Γ)/P (C/Γ)

heißt Picard Gruppe von C/Γ

Satz 5.9

P ic

(C/Γ) ≈ C/Γ

Beweis: Die Abbildung Div

(C/Γ) −→ C/Γ, D 7→

p∈C/Γ

D(p)p

ist ein Gruppenho-

momorphismus:

• surjektiv: ( p ) − ( 0 )

p∈C/Γ

7−→ p

• Kern = P (C/Γ) (ersten Homomorphiesatz anwenden)

Notation: Zu p ∈ C/Γ definiere: (p) ∈ Div(C/Γ) via:

( p )(q) =

p = q

sonst

Ist D ∈ Div

(C/Γ), sind p

, . . . , p

die Punkte in C/Γ mit D(p

) =: ν

6= 0, dann ist

D = ν

( p

) + . . . ν

( p

)

5.5 Die algebraische Struktur von Ell(Γ)

Definition 5.8 Sei f ∈ Ell(Γ), f 6= const, dann heißt

:= ord

(f − f (z

))

der Verzweigungsgrad bei z

oder die Vielfachheit mit der f (z

) bei z

angenommen

wird.

Bemerkung: Es gibt nur endlich viele z

∈ F mit e

(f ) > 1, (denn e

(f ) > 1, wenn

) = 0, f

hat aber nur endlich viele Nullstellen als elliptische Funktion).

Satz 5.10 Sei f ∈ Ell(Γ), f 6= const: ∀ b ∈ C gilt:

f (z)=b

z∈F

(f ) =

z∈F

z Pol von f

ord

Beweis:

f −b

z∈F

z Pol von f

ord

f (z + Γ) +

z∈F

f (z)=b

(f )(z + Γ)

und D

f −b

∈ Div

(C/Γ)

Definition 5.9

deg(f ) := −

z∈F

zPol von f

ord

heißt Grad von f .

Satz 5.11 Seien f, g ∈ Ell(Γ),

f, g 6= const. Dann existiert ein Polynom P (X) ∈

C(g)[X] vom Grad n := deg(g), so dass P (0) ≡ 0 (Beweis sp¨

ater)

Bemerkung: C(g) ist der kleinste K¨orper in Ell(Γ) (⊆ M er(C)), der C und g enth¨alt
=

R(g) R ∈ C(X)

Satz 5.12 F¨

ur g ∈ Ell(Γ), g 6= const, gilt C(g) ≈ C(X) = K¨orper der rationalen

Funktionen in X.

Beweis: Andernfalls g¨

abe es ein Polynom P ∈ C[X] mit P (g) = 0 (andernfalls existiert:

Φ : C[X] −→ C(g), h 7→ h(g), ist Φ injektiv, dann folgt der Satz). Also nimmt g nur
endlich viele Werte an (Nullstellen von P ): Widerspruch!

Satz 5.13 Ell(Γ) ist eine quadratische K¨

orpererweiterung von C/℘. Genauer: Ell(Γ) =

C(℘, ℘

), der kleinste K¨

orper in M er(C), der ℘, ℘

und C enth¨alt und es gilt

℘

= 4℘

− 20a℘ − 28b,

(∗)

wobei a, b ∈ C, genauer: ℘ =

+ az

+ bz

+ O(z

5 Elliptische Funktionen

Beweis: C(℘, ℘

) ist quadratische Erweiterung von C(℘):

• C(℘, ℘

) ' C(℘), denn ℘

ist ungerade und ℘ ist gerade

• Es gilt die Differentialgleichung (∗):

℘ =

+ az

+ bz

+ . . .

(℘ ist holomorph bei 0 mit

Wert:

γ∈Γ
γ6=0

z − γ

−

z=0

= 0

, ℘ ist gerade)

℘

= −

+ 2az + 4bz

+ . . .

℘

−

− 16b + O(z

)

Summanden von (∗):

4℘

12a

+ 12b + O(z

)

−20a℘ = −20

+ O(z

)

−28b = −28b + O(z

)

⇒ ℘

− (4℘

− 20a℘ − 28b) = O(z

). Das ist aber ∈ Ell(Γ), ferner holomorph bei

0, also auch in Γ, nach Liouville I konstant und nach der Laurententwicklung = 0.

Klar ist: C(℘, ℘

) ⊆ Ell(Γ). Umgekehrt: Sei f ∈ Ell(Γ), f 6= const, w¨

are f 6∈ C(℘, ℘

so h¨

atte man folgenden Turm von K¨

orpererweiterungen:

K¨

orper:

Grad:

C(℘)) ⊆

C(℘, ℘

) &

d>1

C(℘, ℘

, f )

d ist endlich nach dem Satz 5.11 , also w¨

are

C(℘) ⊆

2d>2

C(℘, ℘

, f )

Es gibt aber ein ˜

f mit C(℘, ℘

, f ) = C(℘)( ˜

f ) (Satz vom primitiven Element), also hat ˜

den Grad 2d > 2 ¨

uber C(℘) im Widerspruch zu Satz 5.11.

Beweis: (von 5.11) Es sei w ∈ C,

w 7→ Q

z∈C

g(z)=w

(X − f (z))

(g)

(Schon gezeigt:

g(z)=w

(g) = n.)

Es gilt: die Koeffizienten sind meromorph in w

( ¨

Ubungsaufgabe). Also Q

∗

∈ M er(C)[X],

C 3 z

7→ Q

), P := Q

g(w)

∈ C(g)[X]

5.6 C/Γ als algebraische Struktur

• deg P (als Polynom) = n

• P (f )(z

) = Q

g(z

)

(f (z

)) =

z∈C

g(z)=g(z

)

(f (z

) − f (z))

(g)

= 0 (z

kommt unter

den z ¨

uber die das Produkt l¨

auft vor, somit ist ein Faktor des Produkte = 0)

5.6

C/Γ als algebraische Struktur

5.6.1 Projektive R¨

aume

Definition 5.10

n+1

\ {0}

∗

= »Menge aller Untervektorr¨

aume der Dimension 1 in C

n+1

ohne ~0«. D.h. die Menge

der ¨

Aquivalenzklassen von Vektoren 6= ~0 in C

n+1

, wobei die ¨

Aquivalenzrelation erkl¨

art

ist durch: ~

x ∼ ~

y ⇐⇒ ∃ λ ∈ C

∗

: ~

x = λ~

y (die Gerade durch ~

x und ~0, ohne ~0 selbst).

uber C .

Definition 5.11

: x

: . . . : x

] :=

λ(x

, x

, . . . , x

) λ ∈ C

∗

, (x

, x

, . . . , x

) ∈ C

n+1

= C

∗

, x

, . . . , x

) ∈ P

(C)

heißen homogene Koordinaten des Vektors (x

, x

, . . . , x

Bemerkung:

• [x

: x

: . . . : x

] = [

: 1 : . . . :

] etwa falls x

6= 0 (ein x

ist immer 6= 0, da

der Nullvektor ausgeschlossen wurde)

• C

−→ P

(C), (x

, . . . , x

− 1) 7→ [x

: . . . : x

n−1

: 1] ist injektiv

• die Punkte der Gestalt [x

: . . . : x

n−1

: 0] heißen unendlich ferne Punkte

• Man kann die gleiche Konstruktion mit R statt C machen: f¨ur n = 2 hat man die

projektive Ebene ¨

uber R. Vorstellung: R −→ P

(R), (x, y) 7→ [x : y : 1] injektiv,

die unendlich fernen Punkte sind [x : y : 0]

Beispiel: 5.3 (»Eine Gleichung projektiv machen«)

K :=

(x, y) ∈ C

+ y

= 1

⊆ C

⊆ P

(C)

(bei reellen Punkten: Einheitskreis)

(x, y) 7−→ [x : y : 1],

Bild =

[x : y : z] z 6= 0

: 1

z 6= 0

Eigentlich sollte

x
z

y
z

= 1, d.h. x

+ y

= z

gelten.

5 Elliptische Funktionen

Abbildung 5.5: Die projektive Ebene ¨

uber R

..................

...

....

...........

....

............

......

............

...............

............

∞

a) Die beiden Punkte bei Unendlich
werden identifiziert (λ = −1).

..................

...

....

...........

....

...........

........................

.....

.......

......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

.............

.........

.............

.........

................

...........

.....

...........

.....

..............

...

b) R

wird auf die Ebene durch z = 1 ab-

gebildet, die unendlich fernen Punkte liegen
in der Ebene mit z = 0.

Definition 5.12 K = Projektiver Abschluß von K. K :=

[x : y : z] ∈ P

+ y

= z

K = K

z6=0

∪ {[1 : i : 0], [1 : −i : 0]}

z=0,siehe Nebenrechnung

Nebenrechnung: z = 0 ⇒ x

+ y

= 0,

[x : y : 0], aber es sind x, y nicht beide ebenfalls

gleich 0 (da der Nullvektor von Anfang an ausgenommen wurde).

Sei x 6= 0: also 1 +

y
x

= 0.

Beispiel: 5.4 Es gibt eine Bijektion zwischen P

g : P

x
y

y 6= 0

∞ y = 0

Insbesondere ist ∞ ≈ [1 : 0] und z ≈ [z : 1].

Erinnerung: C/Γ 3 z 7−→ (℘(z), ℘

(z)) ⊆

(x, y) y

= 4x

− 20ax − 28b

. Mit A :=

−20a, B := −28b wird daraus

(x, y) y

= 4x

+ Ax + B

Definition 5.13 Definiere E(= E

) :=

[x : y : z] ∈ P

= 4x

+ Axz

+ Bz

Bemerkung: E =

[x : y : 1] y

= 4x

+ Ax + B

∪ {[0 : 1 : 0]}

Bezeichnung: F¨

ur p ∈ C/Γ, f ∈ Ell(Γ), setze f(p) = f(z), wobei z ∈ p (d.h. p = z +Γ).

Satz 5.14 Die Abbildung

Φ : C/Γ −→ E, p 7−→

[℘(p) : ℘

(p) : 1]

p 6= 0

[0 : 1 : 0]

p = 0

5.6 C/Γ als algebraische Struktur

ist wohldefiniert und bijektiv. (Die Abbildung ist sogar ein Hom¨

oomorphismus, falls man

C/Γ mit der Quotiententopologie und E mit der Spurtopologie der Quotiententopologie
auf dem P

Bemerkung: Sei z ∈ C \ Γ : dann ist [℘(z), ℘

(z) : 1]

℘

(z)6=0

℘(z)

℘

(z)

: 1 :

℘

(z)

, bei

z = 0 : [0 : 1 : 0]

Beweis:

injektiv: Sei Φ(p) = Φ(q), sei z ∈ p, w ∈ q. O.B.d.A. p, q 6= 0, also [℘(z) : ℘

(z) :

1] = [℘(w) : ℘

(w) : 1], d.h. ℘(z) = ℘(w), ℘

(z) = ℘

(w). Es gilt (℘(z) = ℘(w), deg ℘ =

2, ℘ ist gerade, jeder Wert wird von ℘ 2-mal angenommen) ⇒ z ≡ ±w mod Γ.

Sei z ≡ −w mod Γ, dann folgt ℘

(z) = ℘

(−w)

℘

ungerade

−℘

(w) = −℘

(z). Es folgt

entweder ℘

(z) 6= 0, dann ist z ≡ w mod Γ ,d.h. p = q, oder ℘

(z) = 0, dann ist

z ≡

oder

+ω

surjektiv: Sei [x : y : z] ∈ E: o.B.d.A. sei z = 1 (z = 0 : [x : y : z] = Φ(0)). Es gilt also
y

= 4x

+ Ax + B. Es gibt ein z ∈ C/Γ mit x = ℘(z) (nach einem fr¨uheren Satz). Dann

ist

℘

(z)

= 4℘(z)

+ A℘(z) + B = 4x

+ Ax + B = y

Also ist ℘

(z) = ±y.

Ist ℘

(z) = +y: ok; andernfalls betrachte −z statt z, dann gilt x = ℘(−z)

gerade

, y = ℘

(−z)

ungerade

Bemerkung:

• es wurde schon gezeigt:

℘

(z) =

σ(z −

)σ(z −

)σ(z +

+ω

)

σ(z)

• ferner:

℘(z) − ℘(w) =

σ(z − w)σ(z + w)

σ(z)

es gibt 2 Pole und 2 Nullstellen:

℘(∗)−℘(w)

= −2( 0 ) + ( w + Γ )( w − Γ )

Damit: Φ : z + Γ 7−→[℘(z) : ℘

(z) : 1]

f¨

ur z 6∈ Γ

= [σ(z − w)σ(z + w)σ(z) : σ(z −

)σ(z −

)σ(z +

+ ω

) : σ(z)

]

(dabei gilt f¨

ur w: ℘(w) = 0)

5 Elliptische Funktionen

f¨

ur z ∈ Γ macht dies auch Sinn, dann gilt:

[0 : σ(−

)σ(−

)σ(

+ ω

)

}

6=0

: 0] = [0 : 1 : 0]

Definition 5.14 Eine Teilmenge der Gestalt

(α,β,γ)

[x : y : z] αx + βy + γz = 0, (α, β, γ) ∈ C

\ {0} geeignet

heißt Gerade in P

(C)

Bemerkung: G

(α,β,γ)

= G

(α

,β

,γ

)

⇐⇒ (α, β, γ) = c(α

, β

, γ

), f¨

ur ein c ∈ C

∗

. Also

h¨

angt G

(α,β,γ)

von der Klasse von (α, β, γ) in P

Dualit¨

atsprinzip:

Z.B.: Je zwei verschiedene Geraden bestimmen genau einen Punkt.

Je zwei verschiedene Punkte bestimmen genau eine Gerade.

Satz 5.15 Sei g ∈ P

in genau 3 Punkten

(mit Vielfachheiten gez¨

ahlt).

Beweis: Sei F homogenes Polynom (d.h. alle Monome haben den gleichen Grad)
vom Grad d in 3 Variablen x, y, z . Sei g :=

[x : y : z] αx + βy + γz = 0

, [α : β : γ] ∈

(C). Gesucht sind L¨osungen von

(∗)

F (x, y, z) = 0
αx + βy + γz = 0

W¨

ahle T ∈ GL(3, C) mit

(α, β, γ)T





x
y





= z

D.h. (α, β, γ)T = (0, 0, 1), w¨

ahle T = (s

, s

) mit (α, β, γ)s

= 0 f¨

ur i = 1, 2 (s

, s

sind dann orthogonales Komplement zu (α, β, γ), insbesondere seien s

, s

linear unab-

h¨

angig) und (α, β, γ)s

= 1.

Wir suchen daher L¨

osungen des Transformierten Gleichungssystems

(∗∗)











F (x, y, z) := F (T





x
y





) = 0

(α, β, γ)T





x
y





= z = 0

5.6 C/Γ als algebraische Struktur

(Zwischen den L¨

osungen von (∗) und (∗∗) besteht eine 1 : 1 Beziehung via

[x : y : z] 7−→ [x

: y

: z

], wobei









= T









L¨

osungen von (∗∗) sind alle [x : y : 0] mit

(∗ ∗ ∗)

G(x, y) := ˜

F (x, y, 0) = 0

G ist homogenes Polynom vom Grad d.)

Es gibt Zahlen a

, b

∈ C, j = 1, . . . , d, so dass G(x, y) =

d
j=1

x − a

y).

(G(x, y) = y

x
y

, 1), denn G =

P ∗x

d−k

und y

x
y

, 1) = y

P ∗

x
y

= y

const

d
j=1

(

x
y

− ρ

) (ρ

seien Nullstellen von G(u, 1) ∈ C[u]) )

L¨

osungen von (∗ ∗ ∗): [a

: b

: 0], j = 1, . . . , d

Bemerkung:

[x : y : z] F (x, y, z) = 0 heißt »Kurve vom Grad d in P

(C)«. Man

kann zeigen: Die Anzahl der Schnittpunkte zweier Kurven vom Grad d und e (mit Viel-
fachheiten gez¨

ahlt) ist gleich e · d.

Vorbemerkung: Sei p ∈ C/Γ: Φ(−p) = [℘(−p) : ℘

(−p) : 1] = [℘(p) : −℘

(p) : 1], wegen

z = 1 ⇒ E =

= 4x

+ Ax + B

und y

symmetrisch zur x-Achse.

........

.........

...........

...................

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...................

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.................................

......................

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...

....

...........

.......

Φ(u + v) = Φ(−w)

Φ(u)

Φ(v)

Φ(−p)

Φ(w)

Φ(e

)

Φ(e

)

Φ(e

)

Φ(p)

Φ(∞)

Abbildung 5.6: Addition auf elliptischen Kurven

F¨

ur die Punkte Φ(e

), Φ(e

) auf der x-Achse gilt:

, e

} =

+ Γ,

+ω

+ Γ

5 Elliptische Funktionen

Satz 5.16 Seien u, v, w ∈ C/Γ, u + v + w = 0, dann sind Φ(u), Φ(v), Φ(w) ∈ P

(C)

kolinear (d.h. sie liegen auf ein und derselben Gerade in P

(C)) (siehe Abbildung 5.6).

Beweis: Seien o.B.d.A. u, v, w 6= 0 sonst ist die Aussage klar, denn etwa f¨

ur w = 0 gilt

v = −u und dann liegen Φ(−u) und Φ(0) auf der Geraden

[x : y : z] x − ℘(u) = 0.

Fall: u 6= v ( der Fall u = v zur ¨

Ubung):

Sei [α : β : γ] die Koordinate der Geraden durch Φ(u) und Φ(v)

(Schreibe Φ(u) = [x : y : z], Φ(v) = [x

, y

, z

], wegen u 6= v und Φ injektiv gilt: Φ(u) 6=

Φ(v), daher sind (x, y, z), (x

, y

, z

) linear unabh¨

angig. Also existiert genau ein (α, β, γ)

(bis auf Multiplikation mit einer Konstanten) mit:





α
β





= 0

)

Betrachte f = α℘ + β℘

+ γ ∈ Ell(Γ). Wir nehmen β 6= 0 an: dann ist D

= −3( 0 ) +

( u ) + ( v ) + ( w ). Nach Wahl von θ, β, γ gilt:

(α, β)

℘(ξ)

℘

(ξ)

f¨

ur ξ = u, v

Also Φ(w) = [℘(u) : ℘

(u) : 1] ∈ »der durch [α : β : γ] bestimmten Geraden«

Bemerkung:

• Sind u, w ∈ C/Γ, u+u+w = 2u+w = 0, dann liegen Φ(u), Φ(w) auf der Tangenten

an die Kurve E

in Φ(u).

• Der Punkt [0 : 1 : 0] ist ein Dreifachpunkt von E

(Tangente: Sei die Kurve in C

gegeben durch F (X, Y ) = 0, F ∈ C[X, Y ], F (X

, Y

) = 0,

dann ist die Tangente an X

, Y

gegeben durch

, Y

)(X − X

) + F

, Y

)(Y − Y

) = 0

)

Satz 5.17 (Additionstheorem) Seien u, v, w ∈ C\Γ paarweise verschieden und u + v + w = 0,
dann gilt

℘(u) + ℘(v) +

℘(w)
| {z }

=−℘(u+v)

=℘(u+v)

℘

(v) − ℘

(u)

℘(v) − ℘(u)

(Also ℘(u + v) = algebraischer Ausdruck in ℘(u), ℘(v), ℘

(u), ℘

(v).)

5.6 C/Γ als algebraische Struktur

Beweis: Seien ¯

u = u + Γ, ¯

v = v + Γ, ¯

w = w + Γ die Restklassen. Φ(¯

u), Φ(¯

v), Φ( ¯

w) liegen

auf einer Geraden durch Φ(¯

u), Φ(¯

v):

y =

℘

(v) − ℘

(u)

℘(v) − ℘(u)

}

=:m

(x − ℘(u)) + ℘

(u)

Dann hat y

− (4x

+ Ax + B) =

m(x − ℘(u)) + ℘

(u)

− (4x

+ Ax + B) = 0

(∗)

drei Nullstellen ℘(¯

u), ℘(¯

v), ℘( ¯

w), man kann (∗) also schreiben als

(x − ℘(¯

u))(x − ℘(¯

v))(x − ℘( ¯

w)) = 0

(∗∗)

Durch Vergleich der Koeffizienten von x

in (∗) und (∗∗) findet man:

℘(¯

u) + ℘(¯

v) + ℘( ¯

aus(∗)

aus(∗∗)

Bemerkung: u, v, w ∈ C \ Γ paarweise verschieden u + v + w = 0, dann gilt

℘(u)

℘(v)

℘(w)

℘

(u)

℘

(v)

℘

(w)

= 0,

da Φ(u) = [℘(u) : ℘

(u) : 1], Φ(v) = [℘(v) : ℘

(v) : 1], Φ(w) = [℘(w) : ℘

(w) : 1] auf einer

Geraden liegen, deswegen sind die Vektoren linear abh¨

angig und die Determinante ist 0.

Diskriminante eines Polynoms

F¨

ur ein quadratisches Polynom f (x) = x

+ px + q ist die Diskriminante ∆ := p

− 4q.

Sind δ

, δ

Nullstellen von f so gilt auch f (x) = (x − δ

)(x − δ

), dann l¨

asst sich ∆

schreiben als: (δ

+ δ

)

, δ

1,2

= −

p±

√

−4q

F¨

ur ein kubisches Polynom f (x) = (x − a

)(x − a

), bzw. f (x) = x

+ cx

+ ax + b

ist ∆ :=

i<j

− a

)

. Nach einem Satz gilt f¨

ur c = 0: ∆ = −(4a

+ 27b

∆ misst den Abstand der verschiedenen Nullstellen, sind zwei Nullstellen gleich, so ist
∆ = 0.

Erinnerung: ℘

= 4℘

+ A℘ + B

Satz 5.18 Die Diskriminante von x

x +

(∆ = −

+ 27B

) ) ist 6= 0.

Beweis: Zu zeigen: die Nullstellen von x

+Ax+B sind paarweise verschieden, Nullstel-

len sind ℘(u) mit ℘

(u) = 0, d.h. ℘(

), ℘(

+ω

), (also ℘(p) wobei p ∈ C/Γ, p 6=

0, 2p = 0). Diese sind paarweise verschieden, sonst folgt: ℘(z) = ℘(z

) ⇐⇒ z ≡ z

mod Γ.

5 Elliptische Funktionen

Bemerkung:

• ℘(

) + ℘(

+ω

) = 0

• ∆ =

i<j

− e

)

, wo e

= ℘(

), e

= ℘(

), e

= ℘(

+ω

)

• ∆ 6= 0 ist ¨

aquivalent dazu, dass die Kurve E

keine singul¨

aren Punkte (im Sinne

der algebraische Geometrie) besitzt.

5.7 C/Γ als Riemannsche Fl¨ache

Definition 5.15 (allgemeine Riemannsche Fl¨

ache) X heißt Riemannsche Fl¨

che, falls gilt:

1. X ist zusammenh¨

angender topologischer Raum

2. Es existiert eine Familie von Karten A := {(t

, U

)}

i∈I

(Karte: U ⊆ Xoffen, t

: U

−→

hom¨

oomorph

offene Teilmengen von C ), so dass

a) X =

i∈I

b) Ist U

∩ U

6= ∅, so ist t

◦ t

−1
j

: t

∩ U

) −→ t

∩ U

)

Beispiel: 5.5 Beispiele f¨

ur Riemannsche Fl¨

achen:

• U ⊆ C offen ist Riemannsche Fl¨ache, X = U, A = {(id, U)}

• C = C ∪ {∞},

: C \ {∞} = C

≈

−→

∞

: C \ {0} −→ C

z 7−→

• X : C/Γ ist topologischer Raum, via »Quotiententopologie« (d.h. U ⊆ C/Γ heißt

offen ⇐⇒ Π

−1

(U ) ist offen, dabei ist Π die kanonische Projektion Π : C −→

C/Γ, z 7→ z + Γ.
Sei d := min

|ω| ω ∈ Γ, ω 6= 0, A := {(t

, U

)} , z

∈ C, wobei t

= Π

−1

ist,

mit

z ∈ C |z − z

| <

}

−→ Π(V

)

}

Π(V

) ist offen, Π ist surjektiv, ebenfalls injektiv, da d entsprechend gew¨

ahlt wurde

(siehe Abbildung 5.7). )

5.7 C/Γ als Riemannsche Fl¨ache

......

...

...........

............

..............

............................................................

........

.......

......

...

........

.........

..............

.......

...

.......

...................

.....

.............................

...............

.................................................................................................

..............

...................................................................................

.............................................................

..............................................................................................

........................

d
2

Abbildung 5.7: Quotienten

Topologie

......

.....

...........

..............

......................................................

...........

.............

....

......

........

..........

...

......

.....

...........

............

................

............................................

..............

....

........

.............

.........

................

...........

......

...........

...........................

.....

.........

...........

.............

.......................

..................................... ....................................................................

................

..........

..............

.............

............

...

.....................

...................................... ........................................................................................

.......................

................

..............

............

..........

............

.............

..............

........

...

.....

....

.........

.......

........

.......

........

.......

........

.........

............

......

.....................

......................

...................................

...............................................

.................................................. ...............................................

............

..........

...

.............

...........................................................................................................................................................................

........................................

.......................

....

.........

....................

..........................

............

..........

............

....

...

.........

.............

................

............................

........................... .................................................

.................

.............

......

.............................

..........

....

........

..........

Abbildung 5.8: Holomorphiebegriff auf Rie-

mannschen Fl¨

achen

• C/Γ ist kompakte Riemannsche Fl¨ache, da: C/Γ = Π( ¯

F ) , ¯

F kompakt ist und Π

stetig ist.

Definition 5.16 Seien X, Y Riemannsche Fl¨

achen und f : X −→ Y sei stetig.

• (siehe 5.8) f heißt holomorph, falls f¨

ur alle Karten (s, V ) von Y und (t, U ) von

X gilt:

s ◦ f ◦ t

−1

(jeweils eingeschr¨

ankt auf die Definitionsbereiche)

ist holomorph.

• X, Y heißen isomorph (bzw. biholomorph ¨

aquivalent), falls eine biholomor-

phe Abbildung f : X −→ Y existiert (d.h. eine holomorphe und bijektive Abbildung
X −→ Y , deren Umkehrung auch holomorph ist).

• M er(X) :=

f : X −→ C fholomorph

Bemerkung: M er(X) ist ein K¨

orper

Satz 5.19 Eine Abbildung f : C/Γ −→ C ist holomorph, genau dann wenn f ◦ Π :
C −→ C holomorph ist. Insbesondere definiert die Abbildung f 7→ f ◦ Π einen K¨

orperi-

somorphismus M er(C/Γ)

≈

−→ Ell(Γ) (siehe Abbildung 5.9).

(Der Beweis l¨

asst sich aus den Definitionen folgern.)

Satz 5.20 Seien Γ, ∆ ⊆ C Gitter. Dann sind C/Γ und C/∆ biholomorph ¨aquivalent,
falls ∆ = µΓ mit geeignetem µ ∈ C

∗

Beweis:

⇒: etwas tieferliegend, deswegen hier nicht gezeigt

5 Elliptische Funktionen

..........

................

......

.......................

z + Γ

...........

....

..........

................

......

.........

.......

....

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..

..................

C/Γ

f ◦ Π

Abbildung 5.9: f 7→ f ◦ Π ist ein K¨

orperisomorphismus

⇐: α : C/Γ −→ C/∆, z + Γ 7−→ µ(z + Γ) = µz + ∆ ist wohldefiniert und biholomorph.

Satz 5.21 Ell(Γ) und Ell(∆) sind isomorph als K¨

orper, genau dann wenn ∆ = µΓ mit

geeigneten µ ∈ C

∗

Beweis:

⇒: wie eben zu tiefliegend, um es hier zu beweisen

⇐: α

∗

: Ell(∆) −→ Ell(Γ), f 7−→ f ◦ α ist ein Isomorphismus von K¨

orpern

5.8 Variation der Gitters

Definition 5.17 Die Gitter Γ, ∆ ⊆ C heißen ¨

ahnlich (in Zeichen ∆ ∼ Γ), falls ∆ = µΓ

mit geeignetem µ ∈ C

∗

Bemerkung: ∼ ist eine ¨

Aquivalenzrelation

Satz 5.22 F¨

ur τ ∈ h(=

τ ∈ C =τ > 0) sei

:= Zτ + Z · 1

Die Abbildung

L : h −→

Γ Γ⊆C, ΓGitter /∼, τ −→ µL

µ ∈ C

∗

ist surjektiv.

Es gilt L(τ ) = L(τ

), genau dann wenn es ein A ∈ SL(2, Z) gibt mit

= Aτ

aτ + b

cτ + d

, A =

a b

5.8 Variation der Gitters

Insbesondere induziert L eine Bijektion

SL(2, Z)\h

Orbits

≈

−→ Gitter in C/∼

Bemerkung: Man kann zeigen:

• Jede kompakte Riemannsche Fl¨

ache vom Geschlecht 0 ist isomorph zu C

• Jede kompakte Riemannsche Fl¨

ache vom Geschlecht 1 ist isomorph zu einem C/Γ

(schwierig). Daher definiert die Abbildung τ 7−→ ¨

Aquivalenzklassen von C/L(τ)

eine Bijektion

SL(2, Z)\h

≈

−→ (kompakte Riemannsche Fl¨

achen vom Geschlecht 1)/Biholomorphie

Beweis: L ist surjektiv: Sei Γ = Zω

+ Zω

. Dann ist Γ ∼ Z

+ Z · 1 (=

Γ) =

Z(−

) + Z · 1, aber =(

) oder =(−

) > 0, d.h. Γ ∼ L

ω1
ω2

bzw. Γ ∼ L

−

ω1
ω2

Sei L

∼ L

, d.h.Zτ + Z = µ(Zτ + Z), µ ∈ C

∗

. Es folgt

a b

µτ

mit

a b

∈ SL(2, Z) oder ∈ −111

SL(2, Z)

Es folgt τ

µτ

aτ +b
cτ +d

= Aτ , wegen =τ

> 0 und =τ

(ad−bc)=τ

|cτ +d|

, folgt ad − bc > 0,

d.h. A ∈ SL(2, Z).

Die Schl¨

usse sind umkehrbar und zeigen daher auch

”

⇐“.

Definition 5.18

℘(τ, z) := ℘(z, Zτ + Z

}

)

A(τ ), B(τ ) die Koeffizienten, so dass

℘(τ, z)

= 4℘(τ, z)

+ A(τ )℘(τ, z) + B(τ )

Satz 5.23 F¨

ur G =

a b

∈ SL(2, Z) gilt:

℘(Gτ,

cτ + d

)(cτ + d)

−2

= ℘(τ, z)

A(Gτ )(cτ + d)

−4

= A(τ )

B(Gτ )(cτ + d)

−6

= B(τ )

5 Elliptische Funktionen

Beweis: Zur Erinnerung:

℘(τ, z) = 4℘(τ, z)

+ A(τ )℘(τ, z) + B(τ )

℘(Gτ,

cτ + d

)(cτ + d)

−2

(cτ + d)







(

cτ +d

)

γ∈ZGτ +Z

γ6=0

(

cτ +d

− γ)

−







γ∈ZGτ +Z

(z − (cτ + d)γ)

−

((cτ + d)γ)

mit δ := (cτ + d)γ folgt:

δ∈Z(aτ +b)+Z(cτ +d)

(z − δ)

−

(∗)

Eine Basis von (∗) ist:

a b

, also ist auch

eine Basis, da

a b

∈ SL(2, Z)

⇒ (∗) = ℘(τ, z)

Laurententwicklung von ℘ um z = 0:

℘(τ, z) =

+ c

A(τ )z

+ c

B(τ )z

+ . . . ,

, c

= const, unabh¨

angig von z, τ

= ℘(Gτ,

(cτ + d)

)(cτ + d)

−2

(cτ + d)

(cτ +d)

+ c

A(Gτ )

(cτ + d)

+ c

B(Gτ )

(cτ + d)

+ . . .

Ein Koeffizientenvergleich liefert die Behauptung f¨

ur A(Gτ ) und B(Gτ ).

Bemerkung: In dem Gitter Zτ + Z1 hat ℘ die Periode 1, die typische Funktion mit
Periode 1 ist e

2πiz=:ζ

. F¨

ur G := [

1 1

0 1

] gilt Gτ = τ + 1,

cτ +d

= z. Nach obigem Satz hat

also ℘ auch die Periode 1 bzgl. τ . Sei q := e

2πiτ

Satz 5.24

(2πi)

℘(τ, z) =

n∈Z

n/2

1/2

− q

−n/2

−1/2

)







1 − 12

n∈Z

n6=0

n/2

− q

−n/2







Es gilt die Konvention ξ

1/2

= e

2πiz/2

f¨

ur ξ = ζ, q.

Beweis: Sei τ fix, die Reihe konvergiert gleichm¨

aßig absolut auf kompakten Teilmengen

von C \ (Zτ + Z) (ohne Beweis). Die Reihe stellt eine in C \ Γ holomorphe Funktion dar

5.8 Variation der Gitters

(sei ˜

℘(z) die rechte Seite). Singularit¨

aten:

z :

n/2

1/2

− q

−n/2

−1/2

)

ζ − 1)

Singularit¨

at falls: q

ζ = 1

⇐⇒ 2πiτ n + 2πiz ∈ 2πiZ ⇐⇒ z ∈ −nτ + Z

Hauptteil von ˜

℘ bei 0:

(ζ

1/2

− ζ

−1/2

)

4(sinh

(πiz))

(sinh(x) =

− e

−x

= x +

+ . . . = x(1 +

+ . . .))

(2πi)

(1 + O(z

))

(2πi)

Also ist

(2πi)

℘(τ, z) − ˜

℘(z) holomorph bei 0, also holomorph in allen γ ∈ Zγ +Z (doppelt

periodisch), also nach Liouville I konstant. Der Wert ist 0, da ℘(τ, z) das Konstantglied
gleich 0 hat in der Laurententwicklung um 0, ebenso f¨

ur ˜

℘(z).

Konstantglied von ˜

℘(z) = Konstantglied von:

(ζ

1/2

− ζ

−1/2

)

n∈Z,n6=0

n/2

− q

−n/2

)





1 − 12

n∈Z,n6=0

n/2

− q

−n/2

)





Konstantglied von

1/2

−

−1/2

= 0

(siehe unten)

Korollar 5.4 F¨

ur |q| ≤ min(|ζ| , |ζ|

−1

) gilt:

(2πi)

℘(τ, z) =

1/2

− ζ

−1/2

∞

n=1





d|n

d(ζ

+ ζ

−d





+ 12

1 − 24

∞

n=1

(n)

Dabei ist σ

(n) :=

d|n

5 Elliptische Funktionen

Beweis:

1/2

− a

−1/2

)

(a − 1)

|a|=≤1

1 − a

∞

k=1

Damit:

n∈Z

n6=0

n/2

− q

−n/2

)

= 2

∞

n=1

n/2

− q

−n/2

)

a=q

∞

n=1

∞

k=1

= 2

∞

l=1

n·k=l

| {z }

=σ

(l)

n∈Z,n6=0

n/2

1/2

− q

−n/2

−1/2

)

∞

n=1

n/2

1/2

− q

−n/2

−1/2

)

∞

n=1

−n/2

1/2

− q

n/2

−1/2

)

(a = q

ζ, |a| < 1, |q

ζ| < 1, weil |qζ| < 1, weil |q| <

−1

und

a = q

−1

, |a| < 1,

−1

< 1, weil

qζ

−1

< 1, weil |q| <

−1

ist.)

∞

n=1

∞

k=1

n=1

∞

k=1

−k

∞

l=1

k|l

kζ

∞

l=1

k|l

kζ

−k

Definition 5.19 Die Zahlen B

aus der Taylorentwicklung von

− 1

∞

n=0

|x| < 2π, x ∈ C

heißen Bernoulli Zahlen.

5.8 Variation der Gitters

Bemerkung:

• Bestimmung der B

x =

− 1) =

∞

m=1

m+n=l

m≥1

⇒

m+n=l

m≥1

= δ

l,1

Zusammen mit B

= 1 lassen sich die B

rekursiv aus der letzten Zeile bestimmen:

· · ·

1
6

−1

· · ·

• B

= 0 f¨

ur ungerades k ≥ 3

Beweis:

Betrachte:

− 1

x =

n6=0

(∗)

linke Seite =

x +

1
2

x(e

− 1)

− 1

x(e

+ 1)

− 1

Der letzte Bruch ist aber invariant unter x 7→ −x, ist also eine gerade Funktion;
deswegen verschwinden die ungeraden Potenzen auf der rechten Seite von (∗).

Lemma 5.3

coth

x
2

∞

k=1

(2k)!

2k−1

Beweis:

linke Seite =

x/2

+ e

−x/2

x/2

− e

−x/2

− 1

(∗)

n6=1

n−1

Dann folgt die Behauptung aus Definition 5.19.

5 Elliptische Funktionen

Lemma 5.4

(ζ

1/2

− ζ

−1/2

)

(2πi)

−

(2k)!

(2k − 1)(2πi)

2k−2

Dabei ist ζ = e

2πi

Beweis:

x/2

− e

−x/2

)

4 sinh

(x/2)

−1

{

sinh

(x/2) − cosh

(x/2)

sinh

(x/2)

coth(

) =

−

(2k)!

(2k − 1)x

2k−2

Dann folgt die Behauptung mit x = 2πiz.

Definition 5.20

(n) :=

d|n

:= 1 −

∞

n=1

2k−1

(n)q

ζ(s) :=

∞

n=1

Riemannsche ζ-Funktion

Bemerkung:

• B

6= 0 (siehe unten)

• Die Reihe E

ist absolut konvergent: |q| < 1 und σ

2k−1

≤ n

• E

= 1 − 24

∞
n=1

(n)q

Satz 5.25

Es gilt ℘(τ, z) =

∞

k=2

2(2k − 1)ζ(2k)E

(τ )z

2k−2

Ferner gilt

(τ ) =

G∈

1 1

0 1

\SL(2,Z)

(cτ + d)

dabei ist G = [

∗ ∗

c d

] und die Formel gilt f¨

ur E

mit k ≥ 2.

5.8 Variation der Gitters

Beweis: Zweimal Laurententwicklung von ℘ um 0, dann Vergleich der Koeffizienten:

℘(τ, z) =

γ∈Zτ +Z

γ6=0

(z − γ)

−

Der (2k − 2)-te Koeffizient der Laurententwicklung um z = 0 ist:

(2k − 1)!

(2k − 2)!

γ∈Zτ +Z

γ6=0

= (2k − 1)

m,n∈Z

(m,n)6=(0,0)

(mτ + n)

= (2k − 1)

∞

d=1

m,n∈Z

ggT(m,n)=1

(dmτ + dn)

= (2k − 1)ζ(2k)2

c,d∈Z,ggT(c,d)=1,

c≥0∧(c=0⇒d=1)

(cτ + d)

Betrachte

c,d∈Z,ggT(c,d)=1,

c≥0∧(c=0⇒d=1)

(cτ + d)

Sei G :=

1 1

a b

= G

f¨

ur:

a b

∈ SL(2, Z) mit ggT(c, d) = 1

NR.: ±

1 ∗

a b

= ±

a + ∗c b + ∗d

Andererseits: ist der (2k−2)-te Koeffizient der Laurententwicklung von der rechten Seiten
von:

(2πi)

℘(τ, z) =

(ζ

1/2

− ζ

−1/2

)

}

d|n

d(ζ

+ ζ

−d

}

um z = 0:

− (2πi)

(2k)!

Teil I nach Lemma 5.4

+ (2πi)

(2k − 2)!

∞

n=1





d|n

2k−1





= −(2πi)

(2k)!

(2k − 1)E

(τ )

Fazit: E

(τ ) =

G∈

1 1

0 1

\SL(2,Z)

(cτ +d)

Korollar 5.5

ζ(2k) = −

(2πi)

(2k)!

5 Elliptische Funktionen

Beispiel: 5.6 Die Berechnung von ζ erfolgt mittels des Korollars:

• ζ(2) =

• ζ(4) =

Bemerkung:

• ζ(2k + 1) ist bisher unbekannt

• (℘(τ, z)

)

= 4℘(τ, z)

−20a℘(τ, z)−28b = 4(℘(τ, z)

)

−π

4 4

(τ )℘(τ, z)−π

6 8

(τ )

6 Modulformen

6.1 Die Modulgruppe und die obere Halbebene

Definition 6.1

Modulgruppe: Γ := SL(2, Z) =

a b

c d

∈ SL(2, Z) ad − bc = 1

obere Halbebene: h :=

z ∈ C =z > 0

Operationen von Γ auf h: zu A =

a b

c d

∈ Γ und z ∈ h sei Az =

az+b
cz+d

. Es ist

•

z = z (sogar ±

z = z)

• A(Bz) = (AB)z

Spezielle Elemente von Γ

• S :=

0 −1
1 0

, Sz =

−1

(Spiegelung)

• T := [

1 1

0 1

], T z =

z+1

(Translation)

Nach Beispiel 3.8 gilt: =(Az) =

|cz + d|

, beachte ad − cb = 1

(∗)

Moduldreieck: Fundamentalbereich von h bzgl. Γ (siehe Abbildung 6.1)

Bemerkung: S

= −

(wobei

die 2x2 Einheitsmatrix bezeichnet), S

ST =

0 −1
1 1

, (ST )

−1 −1

, (ST )

−1 0

0 −1

= −

, (ST )

|hSi| = 4,

|hST i| = 6, Si =

−1

= i, (ST )ρ = ρ.

Satz 6.1 F¨

ur ein z ∈ F existiert ein A ∈ Γ mit Az ∈ F , dann ist Az = z. Es gilt

A ∈ Γ Az = z

) =







h±

i , z 6= i, ρ

hSi ,

z = i

hST i ,

z = ρ

(Γ

ist der Stabilisator von z)

6 Modulformen

............

...........

...

......

....

...

................

..........

................

..........

................

..........

.....................

................

..........

−

1
ρ

−1+

√

= e

2πi/3

=: ρ

−1

1
2

−

1
2

Abbildung 6.1: Fundamentalbereich von h.

i geh¨

ort zu F , −

1
ρ

geh¨

ort nicht zu F .

Beweis: Sei A =

a b

c d

∈ Γ, Az ∈ F .

O.B.d.A. =(Az) ≥ =(z) (sonst ersetze z durch Az und A durch A

−1

). Dann gilt |cz + d| ≤

1 (aus (∗)). Wegen c ∈ Z und

√

= c

≤ c

= =(cz + d)

}

d∈R⇒=d=0

≤ |cz + d|

≤ 1

(links steht der kleinste Wert, den c

annehmen kann, f¨

ur z = ρ). Es folgt c

2 3

≤ 1

mit c ∈ Z ist dann |c| ≤ 1:

Fall c = 0: dann A = ±

1 b

0 1

, Az = z + b ⇒ b = 0 wegen b ∈ Z, z = Az = z + b ∈ F

und wegen −

1
2

≤ <(z), <(z + b) <

1
2

folgt b = 0, A = ±

Fall c = −1: ersetze A durch −A und gehe zum n¨

achsten Fall

Fall c = 1: dann |z + d| ≤ 1, daher (mit z = x + iy)

(x + d)

}

(<(z+d))

≤ |z + d|

≤ 1, d.h. |d| − |x| ≤ |x + d| ≤ 1

d.h. |d| ≤ 1 + |x| ≤

3
2

, da |x| = |<(z)| und −

1
2

≤ <(z) <

1
2

Also d = 0, ±1, und A =

1 0,±1

Unterfall: z = ρ: Fallunterscheidung f¨

ur d:

Unter-Unterfall d = 0: dann: det A = 1 ⇒ b = −1 und Aρ = a −

1
ρ

. Es folgt

a = ±1 (sonst a −

1
ρ

6∈ F ). ⇒ A =

−1 −1

= (ST )

Unter-Unterfall d = ±1: dann A =

a a−1
1

(sonst det A 6= 1) und dann

Aρ =

aρ+a−1

ρ+1

= a −

ρ+1

= a + ρ, daher A =

0 −1
1 1

= ST

6.2 Modulformen

Unter-Unterfall d = −1: Unm¨

oglich, da <(ρ − 1

| {z }

cz+d

) = −

3
2

, also

|cz + d| >

3
2

> 1.

Unterfall z 6= ρ: dann

3
4

+ (x + d)

z6=ρ

|z + d|

≤ 1, daher |d| − |x| ≤ |x + d| <

1
2

d.h. |d| <

1
2

+ |x| ≤ 1 also d = 0. A =

a −1
1 0

, |z| = |cz + d| ≤ 1, also |z| = 1.

Az = a −

1
z

∈ F (mit |z| = 1) impliziert a = 0, z = i ⇒ A = S.

Korollar 6.1 Es ist z ∈ h Fixpunkt von Γ (d.h. Γ

6= {±

}), genau dann wenn z = Ai

oder z = Aρ, f¨

ur ein A ∈ Γ ist.

Satz 6.2 SL(2,Z) wird von S und T erzeugt.

Beweis: G := hS; T i ⊆ Γ.

(∗∗) Ist z ∈ h, dann existiert ein B ∈ G mit Bz ∈ F .

W¨

ahle z

∈ F fix. Sei A ∈ Γ, dann existiert B ∈ G mit BAz

∈ F (nach (∗∗)). Dann

folgt (voriger Satz) BAz

= z

, daher BA ∈ Γ

⊆ G daher A ∈ B

−1

G = G.

(zu (∗∗): Sei A ∈ G mit =(Az) = maximal. W¨

ahle n ∈ Z mit −

1
2

≤ <(Az + n

}

) <

1
2

oder ST

Az ∈ F . Dann T

| {z }

∈G

z ∈ F : w¨

are |T

Az| < 1, so =(ST

Az) =

=(T

|Az|

=(T

Az) = =(Az) im Widerspruch zur Maximalit¨

at von =(Az). Also T

A(z) ∈ F oder

Az ∈»dem gestrichelten Halbbogen in Abbildung 6.1«, der nicht zu F geh¨

ort. Dann

ist aber ST

Az ∈ »dem Teil der Bogens, der zu F geh¨

ort «.)

6.2 Modulformen

Definition 6.2 Sei k ∈ Z: Eine schwache Modulform vom Gewicht k (auf Γ) ist
eine in h meromorphe Funktion f , so dass

f (Az)(cz + d)

−k

= f (z)

∀ A ∈ Γ

(A =

a b

c d

)

Bemerkung: Statt Γ betrachtet man oft auch andere Untergruppen, z.B:

(l) :=

a b

∈ SL(2, Z) b|c

Satz 6.3 Sei f meromorph in h. Dann ist f schwache Modulform vom Gewicht k, genau
dann wenn gilt:

−

−k

= f (z)

f (z + 1) = f (z)

6 Modulformen

Beweis: Der Beweis folgt aus Γ = hS, T i und dem folgenden Lemma.

Lemma 6.1 Sei k ∈ Z. Dann wird durch

(f |

A) := f (Az)(cz + d)

−k

eine Rechts-Operation von Γ auf Mer(h) erkl¨

art (d.h. (f |

) = f, ((f |

A) |

(+)

(f |

(AB)) )

Beweis: Beweis von (+): (+) ist ¨

aquivalent zu (cz + d) (c

z + d

) = c

z + d

, mit A =

a b

c d

, B =

, C =

(die Gleichung folgt durch Nachrechnen)

Satz 6.4 Es gibt keine nichttrivialen schwachen Modulformen von ungeradem Gewicht.

Beweis: Sei f vom Gewicht k auf Γ, dann gilt

f (−

}

=f (z)

(−1)

−k

= f (z),

also k ungerade, so ist f ≡ 0 .

Bemerkung: Die schwachen Modulformen vom Gewicht k bilden einen Vektorraum ¨

uber

C .

Bemerkung: Die Funktionalgleichung einer schwachen Modulform von geradem Ge-
wicht k kann man auch folgendermaßen interpretieren:

∗

f (z)(dz)

:= f (Az)(dAz)

k/2

mit dAz = d(

az + b

cz + d

) =

a(cz + d) − c(az + b)

(cz + d)

= f (Az)

(cz + d)

dz = f (z)dz

Dabei induziert A einen Operator A

∗

auf Differentialformen.

Satz 6.5 Sei f eine schwache Modulform vom Gewicht k auf Γ. Dann existiert eine in

D \ {0} meromorphe Funktion g, so dass f (z) = g(e

2πiz

) ist.

Beweis: Mit q := e

2πiz

ist

g(q) := f

2πi

log q

mit irgendeinem Zweig des Logarithmus in einer Umgebung von q, g ist wohldefiniert,
denn f (z + n) = f (z)∀ n ∈ Z.

Definition 6.3 Eine schwache Modulform vom Gewicht k heißt meromorph, falls g
meromorph auf D (d. h. zus¨atzlich meromorph bei 0) ist.

6.2 Modulformen

Satz 6.6 Ist f meromorphe Modulform vom Gewicht k auf Γ, dann besitzt f eine Ent-
wicklung der Gestalt

f (z) =

∞

n=−N

(n)e

2πinZ

Diese Reihe ist absolut konvergent.

Beweis: Die Entwicklung ist die Laurententwicklung von g bei 0.

Bemerkung: Ist f meromorphe Modulform vom Gewicht k, dann hat f nur endlich
viele Pole in F , dem Moduldreieck.

Definition 6.4 Eine meromorphe Modulform heißt holomorph bei i∞, falls a

(n) =

0∀ n < 0.

Definition 6.5 Einige wichtige Definitionen:

1. M

(Γ) = die Menge aller holomorphen Modulformen vom Gewicht k auf Γ, die

auch bei i∞ holomorph sind







f : h

holomorph

−→

f (az)(cz + d)

−k

= f (z)∀ A ∈ SL(2, Z)

ii)

f besitzt eine absolut konvergente Entwicklung der Gestalt
f (z) =

n≥0

(n)e

2πinZ







(Γ) =

f ∈ M

(Γ) a

(0) = 0

die Menge der Spitzenformen vom Gewicht k auf Γ

3. K(Γ) = Menge aller meromorphen Modulformen vom Gewicht 0







f meromorph auf h

f (Az) = f (z)∀ A ∈ SL(2, Z)

ii)

f besitzt eine absolut konvergente Entwicklung der Gestalt
f (z) =

n≥−N

(n)e

2πinZ







Die Elemente von K(Γ) heißen Modulfunktionen auf Γ

Bemerkung:

• M

(Γ), S

(Γ) sind Vektorr¨

aume ¨

uber C , S

(Γ) ist ein Untervektorraum von M

(Γ)

• K(Γ) ist sogar ein K¨

orper

• (f, g) 7→ f · g definiert Abbildungen M

(Γ) × M

(Γ) −→ M

k+l

(Γ)

6 Modulformen

Beispiel: 6.1 Einige Beispiele f¨

ur Modulformen:

= 1 −

∞

n=1

2k−1

(n)q

∈ M

(Γ) f¨

ur k ≥ 2

Es ist E

(z) =

A∈

h±T i\SL(2,Z)

A hieraus erkennt man die Transformati-

onsformel.
Speziell:

• E

= 1 + 240

∞
n=1

(n)q

∈ M

(Γ)

• E

= 1 − 504

∞
n=1

(n)q

∈ M

(Γ)

2. ∆ :=

−E

1728

= q + O(q) ∈ S

(Γ)

3. j :=

∆

= q

−1

+ 744 + O(q) ∈ K(Γ)

Bemerkung:

• E

(ρ) = 0, ρ = e

2πi/3

, Γ

= hST i

(ρ) = E

(ST ρ)(ρ + 1)

−4

= E

(ρ) e

−2πi4/6

}

6=1

⇒ E

(ρ) = 0

• E

(i) = 0

(i) = E

(Si)(i)

−6

= E

(i)i

⇒ E

(i) = 0

• f (ρ) = 0, falls f ∈ M

und k ≡ 2, 4, 8, 10 mod 12

• f (i) = 0, falls f ∈ M

und k ≡ 2, 6, 10 mod 12

6.3 Die Valenzformel

Satz 6.7 (Valenzformel) Sei f 6= 0 eine meromorphe Modulform vom Gewicht k auf
Γ. Dann gilt:

z∈F

z6=i,ρ

ord

f +

ord

f +

ord

f + ord

i∞

f =

:= ord

i∞

: f =

∞
n=n

(n)q

, a

) 6= 0, q = e

2πiz

, z ∈ h)

6.3 Die Valenzformel

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.....

....

...

....

............

...........

....

Abbildung 6.2: Beweis der Valenzformel

Null- bzw. Polstellen auf dem Rand von γ

, γ

und γ

wird »ausgewichen«. γ

, γ

und γ

weichen den Punkten ρ, i und −

1
ρ

aus.

6 Modulformen

Beweis: f = g(q) und g ist meromorph in |q| < 1. Eine Konstante R sei so gew¨

ahlt,

dass f (z) f¨

ur =z ≥ R keine weiteren Null- oder Polstellen mehr hat (siehe Abbildung

6.2).

Es gilt:

z∈F

ord

f =

2πi

+...+γ

d log(f )

Denn es gilt:

• mit T = [

1 1

0 1

d log(f ) = −

(=T γ

)

d log(f ◦ T

−1

}

) = −

d log(f )

⇒

= 0

•

2πi

d log(f ) = −

|q|=e

2πiR

d log(g) = − ord

g = − ord

i∞

⇒

2πi

f = − ord

i∞

• Sei der Radius der kleinen Kreisb¨

ogen γ

und γ

2πi

d log(f ) −→

→0

−

ord

f, das gleiche gilt f¨

d log(f )

⇒

2πi

−→

→0

−

ord

Der Bruch 1/6 kommt zustande, da es sich bei γ

bzw. γ

, im Grenzwert, um einen

Sechstel-Kreis handelt.

• Sei der Radius des kleinen Kreisbogens γ

2πi

d log(f ) −→

→0

ord

⇒

2πi

d log(f ) =

ord

Der Bruch 1/2 kommt zustande, da es sich bei γ

, im Grenzwert, um einen Halb-

kreis handelt.

6.4 Der Ring der Modulformen

• mit S =

0 −1
1 0

(z 7→ −

1
z

) und f ◦ S = f (z)z

d log(f ) = −

=−Sγ

d log(f ◦ S

−1

) = −

d log(f ) + d log(z

)

−→

→0

2πi

−γ

dz =

Der Bruch k/12 kommt zustande, da es sich bei γ

, im Grenzwert, um einen

Zw¨

olftel-Kreis handelt.

Alles zusammengenommen beweist die Behauptung.

Bemerkung:

• In dem Moduldreieck D existieren nur endlich viele Null- oder Polstellen von f

•

z∈ Γ\h

#Γ

ord

f + ord

i∞

}

Beispiel: 6.2 f = E

, in der Valenzformel stehen auf der linken Seite nur Terme ≥ 0

und rechts steht

1
3

, also

(z) = 0 ⇐⇒ z = ρ

Analog: f = E

, auf der linken Seite der Valenzformel sind aller Terme ≥ 0, rechts steht

1
2

, also

(z) = 0 ⇐⇒ z = i

6.4 Der Ring der Modulformen

Definition 6.6

∗

= M

∗

(SL(2, Z)) :=

k∈Z

⊆ Hol(h)

= span

f ∃k ∈ Z : f ∈ M

heißt Ring der Modulformen auf Γ.

Bemerkung: M

∗

ist ein Ring.

Satz 6.8

1. M

= {0} f¨

ur k < 0

2. M

= C · 1

(konstante Funktionen)

3. dim M

< ∞ f¨

ur k > 0

6 Modulformen

Beweis:

1. Anwendung der Valenzformel f¨

ur ein f ∈ M

, k < 0, f 6= 0:

linke Seite ≥ 0 = rechte Seite < 0,

Widerspruch

2. Sei f ∈ M

, g := f − f (z

) · 1 ∈ M

, z

∈ h, fix. W¨

are g 6= 0, so w¨

are nach

Valenzformel:

linke Seite > 0
|

}

mind. z

ist Nullstelle

= rechte Seite,

Widerspruch ⇒ g = 0

3. Betrachte die Abbildung : M

−→ C

, n fix, n >

: f 7→ (a

(0), a

(1), . . . , a

(n − 1)),

ist ein Vektorraum Endomorphismus.

Behauptung: ist injektiv:
Sei f ∈ M

, (f ) = 0, w¨

are f 6= 0, so folgt aus der Valenzformel:

linke Seite ≥ n
|

}

i∞ ist n-fache Nullstelle

= rechte Seite =

Widerspruch, also ist injektiv

Bemerkung: Interessant sind also nur M

mit k > 0 und k gerade.

Satz 6.9

• E

(z) = 0 ⇐⇒ z ≡ ρ = e

2πi/3

mod Γ

• E

(z) = 0 ⇐⇒ z ≡ i mod Γ

Beweis: Siehe 6.2

Satz 6.10 M

= 0, M

= C · E

, M

= C · E

, M

= C · E

, M

= C · E

· E

Beweis:

k = 2: Valenzformel: Sei f ∈ M

, w¨

are f 6= 0:

linke Seite = 0 oder >

1
6

aber rechte Seite =

1
6

Widerspruch

k = 4: f ∈ M

, g := f − f (i∞) · E

hat Nullstellen bei i∞ und ρ. W¨

are g 6= 0, so w¨

are

nach Valenzformel:
linke Seite ≥

4
3

1
3

= rechte Seite,

Widerspruch

k = 6: analog wie k = 4, nur mit i statt ρ

6.4 Der Ring der Modulformen

k = 8: ist g ∈ M

, g 6= 0, so ist nach Valenzformel:

rechte Seite =

2
3

, also ord

g = 2, damit analog zu k = 4

k = 10: sei g ∈ M

, g 6= 0, dann folgt mit der Valenzformel:

rechte Seite =

5
6

, also einzige M¨

oglichkeit: linke Seite =

1
2

1
3

= ord

i = ord gρ = 1,

analog zu k = 4

Satz 6.11 M

(k ≥ 4) = S

⊕ CE

(klar nach Def. von S

)

Bemerkung:

• dim M

= 1, also E

= E

= 1 −

l=1

∞σ

(l)q

(= 1 + 240

∞

l=1

(l)q

)

D.h. ∀ l ≥ 1 : c · σ

(l) = 480σ

(l) + 240

)σ

)

Modulo:

∀ l ≥ 1 :

d|l

d|k

• In R

gibt es genau ein ganzes(d.h. γ

· γ

∈ Z) gerades(d.h. γ

· γ

∈ 2Z) unimodu-

lares (d.h. det(ρ

, ρ

)

1≤i,j≤8

= 1 ⇒ ρ

, . . . , ρ

ist Basis des Gitters) Gitter, dieses

heißt E

∞

l=8

γ ∈ E

γ · γ = 2l

Satz 6.12 Θ

∈ M

(Beweis sp¨

ater)

Folgerung: Θ

= E

, d.h. #

γ ∈ E

γ · γ = 2l, l ≥ 1

= 240σ

(l)

Satz 6.13 Die Formen E

· E

mit a, b ≥ 0, 4a + 6b = k bilden eine Basis f¨

ur M

Lemma 6.2 ∆ =

−E

1728

= q + O(q

) hat keine Nullstellen in h.

Beweis: Valenzformel: rechte Seite = 1, aber ord

i∞

∆ = 1, also keine weiteren Nullstel-

len.

Beweis:[des Satzes] Wir zeigen: jedes f ∈ M

schreibt sich als Polynom in E

, E

(∗).

Das folgt durch Induktion ¨

uber k. Wir benutzen

· × ∆ : M

−→ S

k+12

6 Modulformen

(Multiplikation mit ∆) ist ein Vektorraum Isomorphismus. (Folgt aus dem Lemma.)

Die Behauptung (∗) ist ok f¨

ur k = 0, 2, 4, 6, 8, 10 (siehe Satz 6.10)

Induktionsannahme: Die Behauptung ist ok f¨

ur M

mit l < k. Sei f ∈ M

, dann ist

g := f − a

(0)A

eine Spitzenform in S

, wo 4a + 6b = k (Existenz solcher a, b siehe

unten).

Also

∆

∈ M

k−12

. Nach Induktionsannahme ist

∆

ein Polynom in E

, E

, damit ist

f = a

(·)E

∆

|{z}

−E2

1728

· Polynom in E

, E

Satz 6.14 E

, E

sind algebraisch unabh¨

angig ¨

uber C (d.h. es gibt kein Polynom p ∈

C[X, Y ] mit p 6= 0, so dass p(E

, E

) ≡ 0 ist)

Insbesondere sind die Formen E

, E

(mit 4a + 6b = k und a, b ≥ 0) linear unabh¨

angig

uber C .

Folgerung: Die Abbildung

C[X, Y ] −→ M

∗

p 7−→ p(E

, E

)

ist eine Ring-Isomorphismus.

(Kern = {0} nach vorigem Satz, Surjektivit¨

at nach dem Satz 6.13)

Insbesondere

p(E

, E

) p =

∗X

, 4a + 6b = k

denn C[X, Y ] ist ein graduierter Ring C[X, Y ] =

∞
k=0

C[X, Y ]

(k)

, wo C[X, Y ]

(k)

Unterraum der homogenen Polynome vom Grad k ist, wobei die Graduierung so gew¨

ahlt

wurde, dass deg(X) = 4, deg(Y ) = 6 ist.

Beweis: Annahme: Es existiert ein p ∈ C[X, Y ], p 6= 0 mit p(E

, E

) ≡ 0, o.B.d.A habe

p minimalen Grad (⇒ XY 6 |p).

Schreibe p =

r,s

k≥0

r,s

4r+6s=k

r,s

}

:=p

(k)

Dann ist schon p

(k)

, E

) = 0 ⇒ p = p

)

f¨

ur ein geeignetes k

. Denn 0 = p(E

(Az), E

(Az)) =

k≥0

(k)

(z), E

(z)) (cz + d)

−k

(da ja p

(k)

, E

) ∈ M

)

F¨

ur d −→ ∞ folgt p

(k)

, E

) −→ 0, betrachte n¨

amlich die rechte Seite bei fixem z und

fixem c als Polynom in d. Dieses Polynom hat unendlich viele Nullstellen d:

A =

∗ ∗

← A

1 x

∗

−∗

c + dx

6.4 Der Ring der Modulformen

Schreibe p = p

)

= c

4r+6s=k

r,s>0

r,s

+ c

Wegen der Minimalit¨

at der Grade von p

)

folgt c

6= 0 oder c

6= 0. F¨

ur z = i, ρ folgt

c1E

+ c

hat z = ρ, i als Nullstellen,

Widerspruch!

Lemma 6.3 Sei k gerade, dann gilt

(a, b) a, b ∈ Z, 4a + 6b = k =

+ δ(k 6≡ 2

mod 12)

Bemerkung: #

(a, b) a, b ∈ Z, 4a + 6b = k > 0 f¨ur k ≥ 0, k gerade und k 6= 2

Satz 6.15 dim M

+ δ(k 6≡ 2 mod 12)

Beispiel: 6.3 M

, M

sind eindimensional, Basiselemente sind E

(⇒ E

, E

= E

)

Basis

von M

, E

= CE

+ S

, S

= ∆ · M

k−12

, Spitzenformen sind stets Polynome in E

, E

, ∆

Bemerkung: Diese Basiselemente haben ganzzahlige Fourierkoeffizienten.

Beweis:(des Lemmas) Induktion ¨

uber k: f¨

ur k ≤ 10 stimmt die Behauptung (Nachrech-

nen)
Induktionsannahme: die Behauptung stimme f¨

ur l gerade und l < k:

a(k) = #

(a, b) a, b ∈ Z, 4a + 6b = k

Es gilt a(k) = a(k − 12) + 1

denn die Abbildung

(a, b) 4a + 6b = k − 12 −→ (a, b) 4a + 6b = k, mit (a, b) 7→

(a, b + 2) ist injektiv, es fehlt im Bild (a, b) mit 4a + 6b = k und b = 0 oder b = 1, also
2a + 3b =

k
2

. Es gibt genau eine L¨

osung die fehlt, w¨

ahle b mit

k
2

− 2a ≡ 3b mod 2, dann

ist a =

1
2

k
2

− 3a

Also a(k) = a(k − 12) + 1

I.A.

k − 12

+ δ(k − 12 6≡ 2

mod 12) + 1

+ δ(k 6≡ 2

mod 12)

6 Modulformen

6.5 Erg¨

anzungen

Lemma 6.4 Sei f holomorph auf h, periodisch mit Periode 1, f = 1 + O(q), dann
existieren Zahlen a(n), so dass f =

∞
n=1

(1 − q

)

a(n)

ist (logarithmische Ableitung

anwenden).

Satz 6.16 (ohne Beweis)

∆

− E

1728

= q

∞

n=1

(1 − q

)

Bemerkung:

Es gilt ∆(τ ) =

∞

n=1

τ (n)q

Dabei ist τ (n) die Ramanujan τ -Funktion. Die Lehmer Vermutung besagt τ (n) 6=
0∀ n.

Definition 6.7

η(z) := q

1/24

∞

n=1

(1 − q

)

heißt Dedekindsche η Funktion (η

= ∆)

Satz 6.17 (Folgerung aus dem vorigen Satz)

η(Az) = (cz + d)

1/2

(A)η(z),

(A) = µ

( 24. Einheitswurzeln)

(dabei wird als Wert der Wurzel, der Wert rechts der imagin¨

aren Achse genommen)

Bemerkung:

• η ist eine Modulform vom Gewicht

1
2

•

1
η

= q

−1/24

∞
n=1

(1−q

)

= q

−1/24

∞
l=0

p(l)q(l). Dabei ist p(l) die Anzahl der M¨

og-

lichkeiten l als Summe l = l

+ . . . + l

mit l

≥ l

≥ . . . ≥ l

zu schreiben

(Partitionszahl).

Satz 6.18

2πi

∆

= E

Beweis:

2πi

∆

= 1 − 24

∞

n=1

1 − q

= 1 − 24

∞

n=1

l≥1

= 1 − 24

∞

k=1

n|k

n = E

6.6 Der K¨

orper der Modulfunktionen

Folgerung: Sei A ∈ SL(2, Z):

(Az) =

2πi

∆

(Az)

∆(Az)

2πi

∆(Az)

(cz + d)

2πi

(cz + d)

∆(z)(cz + d)

2πi

(cz + d)

−10

∆

(z)(cz + d)

+ A(z)(12c(cz + d))

∆(z)

= E

(z)(cz + d)

πi

(cz + d)

d.h. E

A = E

πi

(cz + d)

A =

=(Az)

(cz + d)

|cz + d|

=(Az)

(cz + d)

c¯

z + d

cz + d

−

2ic

cz + d

z − ¯

−

2ic

cz + d

= 2i(cz + d) − c(z − ¯

Satz 6.19 Sei E

∗

(z) = E

(z) +

π=(z)

, dann gilt

∗

A = E

∗

f¨

ur A ∈ SL(2, Z)

6.6 Der K¨

orper der Modulfunktionen

Zur Erinnerung:

K(Γ) =







f : h meromorph

f (Az) = f (z)∀ A ∈ SL(2, Z)

ii)

f besitzt eine Fourierentwicklung der Gestalt
f (z) =

n≥−N

(n)e

2πinZ







j =

1728

− E

= q

−1

+ 744 + O(q),

j-Invariante, j ∈ K(Γ)

Satz 6.20

1. j hat genau eine Nullstelle bei z = e

2πi/3

(= ρ) und genau eine Polstelle

bei i∞. Es gilt j(i) = 1728

2. j faktorisiert zu einer Bijektion:

j : SL(2, Z)\h ∪ {i∞} −→ C

6 Modulformen

Beweis: (1.) ist klar, zu (2.): Sei γ ∈ C, dann ist zu zeigen: (j − γ) = 0 hat genau eine
L¨

osung in dem Fundamentalbereich F : Anwendung der Valenzformel auf (j − γ):

∈F

6=ρ,i

ord

(j − γ) +

ord

(j − γ) +

ord

(j − γ) = 1

Die einzigsten M¨

oglichkeiten sind

P ord

ord

, also jeweils genau eine Nullstelle in F .

Satz 6.21

K(Γ) = C(j),

d.h. jede Modulfunktion auf SL(2, Z) ist eine rationale Funktion in j.

Beweis: Sei f ∈ K(Γ), f 6= const, seien a1, . . . , a

die paarweise verschiedenen Null-

stellen und Polstellen von f , ohne Vielfachheiten aufgez¨

ahlt, die von i und ρ verschieden

sind.

Setze g :=

p=1

(j − j(a

))

ord

· (j − j(i))

ord

f /2

· (j − j(ρ))

ord

f /3

(Beachte die Exponenten sind aus Z , nach Valenzformel)

Nach Valenzformel gilt: ord

i∞

g = ord

i∞

f , (denn f, g haben die gleichen Null- und

Polstellen mit den gleichen Vielfachheiten).

Also ist

holomorph in D als auch in i∞, d.h.

∈ M

, also = const nach fr¨

uherem

Satz.

Bemerkung: Betrachtet man den K¨

orper der Modulfunktionen auf Γ

(l), l ∈ Z

und

er heiße etwa K(Γ

(l)), dann gilt:

∃J : K(Γ

(l)) = C(J) ⇐⇒ lteilt »Ordnung der Monstergruppe«

Satz 6.22 Sei A, B ∈ C, so dass 4x

+ Ax + B keine mehrfachen Nullstellen hat. Dann

existiert ein τ ∈ F und ein α ∈ C

∗

, so dass

+ Ax + B = 4x

−

(τ )α

−4

x −

(τ )α

−6

(∗)

6.6 Der K¨

orper der Modulfunktionen

Bemerkung:

1. ℘(z) := ℘(Zτ + Z, z), dann

C/Zτ + Z

bijektiv

−→

(x, y) y

= 4x

−

(τ )

x −

(τ )

∪ [0 : 1 : 0]

z 7−→ (℘(z), ℘

(z))

2. Folgerung aus Satz und Erinnerung: Zu A, B wie im Satz existiert ein L (n¨

amlich

L = α(Zτ + Z)), so dass

C/L −→

(x, y) ∈ C

= (∗)

∪ [0 : 1 : 0]

z 7−→ (℘(z, L), ℘

(z, L))

eine Bijektion ist.

Beispiel: 6.4

= 4x

+ x

←→

L = α(Zi + Z) = αZ[i]

= 4x

+ 1

←→

L = α(Zρ + Z) = ˜

αZ[ρ]

Folgerung: C/L

Riem. Fl¨

ache

≈

C/L

⇐⇒ j(L) = j(L

) (Dabei ist j(L) := j(

) f¨

L = ω

Z + ω

Z, mit =(

) < 0.)

Lemma 6.5 Seien a, b ∈ C, so dass a

+ 27b

6= 0,

∃γ : A = γ

a, B = γ

aquivalent zu

+ 27B

+ 27b

(Beachte Diskriminante(x

x +

) = −

+ 27B

) 6= 0 nach Voraussetzung )

Beweis:

⇒: Einsetzen und Nachrechnen

⇐: Identit¨

at ist ¨

aquivalent zu B

= A

, d.h.

, falls a, b 6= 0 (sonst

leichte ¨

Ubung). Setze γ :=

1/4

(eine Wurzel w¨

ahlen), dann

= γ

, d.h.

= ±γ

falls positiv: ok, sonst ersetze γ durch iγ.

Beweis:[des Satzes] Gesucht sind τ, α mit

A = −π

(τ )α

−4

B = −π

(τ )α

−6

= −γ

(τ )

= γ

(τ )

√

und γ = πiα

−1

1/4

6 Modulformen

Jetzt wird das Lemma angewendet: F¨

ur τ ∈ h ist

(−E

(τ ))

+ 27

(τ )

√

= − E

(τ )

− E

(τ )

= 1728∆(τ ) 6= 0

Also suchen wir τ mit

+ 27B

(τ )

−1728∆(τ )

j(τ )

(1728)

solch τ ∈ F existiert nach dem Satz 6.20.

6.7 Thetareihen

Sei L ⊆ R

(vollst¨

andiges) Gitter in R

(d.h. L = Za

+ . . . + Za

, a

, . . . , a

R-Basis

des R

)

”

·“sei das gew¨

ohnliche Skalarprodukt: x · y =

n
i=1

· y

Definition 6.8 Das zu L duale Gitter L

∗

sei

∗

y ∈ R

∀ x ∈ L : x · y ∈ Z

Lemma 6.6 L

∗

ist vollst¨

andiges Gitter

Beweis: Sei a

∗, . . . , a

∗

die zu a

, . . . , a

duale Basis, dann ist a

· a

= δ

i,j

(Existenz:

A =











, dann ist A

−1






∗






und dann L

∗

= Za

∗

+ . . . + Za

∗

Definition 6.9

(z) :=

x∈L

πizx

( d.h. Θ

x∈L

)

heißt Thetareihe zu L.

Lemma 6.7 Die Reihe konvergiert absolut gleichm¨

aßig auf jeder Teilmenge von h , der

Gestalt =z ≥ R > 0. Insbesondere ist Θ

holomorph in h.

Beweis: x = x

+ . . . + x

∈ R

, dann

x · x =

i,j

ξ (a

· a

)

1≤i,j≤n

}

6.7 Thetareihen

Mit einer Gram-Matrix G zur Basis a

, . . . , a

und ξ = (x

, . . . , x

) Sei λ := min

ξGξ

es gilt λ > 0.

Es gilt ξGξ

|ξ|

≥ λξ

, ξ 6= 0, ξ ∈ R

x∈L

πizx

ξ∈Z

πizξGξ

ξ∈Z

−πRλξ





p∈Z

−πRλp









∞

p=0

−πRλp





< ∞,

da e

−πRλ

< 1.

Definition 6.10

v(L) :=

det











heißt das Volumen von L .

Lemma 6.8 v(L) h¨

angt nicht von der speziellen Wahl der a

, . . . , a

ab.

Beweis: Ist L = Zb

+ . . . + Zb

, dann ist











= T











wobei T ∈ GL(n, Z) ist. Wegen det T = ±1 folgt die Behauptung.

Bemerkung:

v(L) =

+...+x

0≤x

,...,x

≤1

Poissonsche Summenformel

Sei f eine Funktion mit »guten« Eigenschaften auf R

, dann gilt

x∈L

f (x) =

v(L)

y∈L

∗

f (y),

dabei ist ˆ

f =

f (x)e

−2πix·y

dx (die Fourier Transformierte).

Bemerkung:

v(L)

1/2

v(L

∗

)

1/2

, damit wird die Formel symmetrischer. Dies wird

angewendet auf g(x) = e

−πtx

(x ∈ R

, x · x = x

, t ∈ R

)

Lemma 6.9 ˆ

g(y) =

n/2

−π

6 Modulformen

Beweis:

g(y) =

−πtx

−2πix·y

(quadrat. Erg¨

anzung) =

−πt(x+iy/t)

}

(

−πt(u+iv/t)2

)

−π

Es ist

−πt(u+iv/t)

du =

=z=

−πtz

Int.-weg verschieben

−πtz

dz = t

−1/2

+∞

−∞

−πz

√

−1

Γ(

1
2

)

1/2

Satz 6.23

(z) =

v(L)

∗

(−

)

(Dabei wird die Wurzel stets so gew¨

ahlt, dass <z > 0 bzw. z auf der imagin¨

aren Achse

liegt. )

Beweis: Beide Seiten sind holomorph in z ∈ h,also gen¨

ugt es die Behauptung f¨

ur z =

it, t > 0 zu beweisen (Identit¨

atssatz). F¨

ur z = it:

(z) =

x∈L

−πtx

x∈L

g(x)

rechte Seite: =

y∈L

∗

n/2

−π/ty

}

=ˆ

g(y)

Sei L ganz (d.h. ∀ x, y ∈ L : x · y ∈ Z) gerade (d.h. ∀ x ∈ L : x

∈ 2Z) und unimodular

(d.h.

det

= 1 ⇒ L

∗

= L)

Satz 6.24 n ≡ 0 mod 8 (ohne Beweis)

Satz 6.25 Θ

∈ M

(SL(2, Z))

Beweis: Nach vorhergehendem Satz gilt:

(z) = z

−n/2

−

, d.h.Θ

n/2

S = Θ

Ferner: Θ

x∈L

∞

n=0

x ∈ L x

= 2n

daher Θ

n/2

T = Θ

und holomorph bei i∞

6.7 Thetareihen

Definition 6.11 L, L

heißen isomorph, falls L=σ(L

) f¨

ur eine Isometrie σ des R

(σ ∈

O(n, R))

Satz 6.26 Die Anzahl der Isomorphieklassen der ganzen geraden unimodularen Gitter
in R

ist endlich. Es gilt

L ganz,gerade unimod. in R

modulo Isomorphie

|Aut(L)|

= 2

1−n

n/2

(n/2)!

n/2−1

j=1

Bemerkung: Diese Anzahl w¨

achst sehr schnell:

ca. 80 Mio.

Das (bis auf Isomorphie einzige) ganze gerade unimodulare Gitter In Dimension 8 heißt
E

Folgerung: Θ

∈ M

daher Θ

= E

x ∈ E

= 2n

= 240

d|n

(n > 0)

Konstruktion von E

Die Projektive Ebene ¨

uber F

: P

) = F

\ {(0, 0, 0)}

∗

hat 7 Punkte und 7 Gera-

den, jede Gerade hat 3 Punkte und jeder Punkt liegt auf genau 3 Geraden (siehe Abbil-
dung 6.3).

Die Potenzmenge P(P

)) ist eine Gruppe bzgl. symmetrische Differenz A + B :=

(A \ B) ∪ (B \ A).

Definiere H

:= Menge aller Geraden ∪ Menge aller Komplemente von Geraden ∪

∅, P

)

= 2

Als ¨

Ubung: H

ist Untergruppe von P(P

)).

Identifiziere Teilmenge von P

) mit Vektoren in F

, dazu werden die Punkte P

, . . . , P

nummeriert und eine Zuordnung, verm¨

oge

A 7−→

Vektor hat 1 an Stelle, i

falls P

∈ A

sonst

getroffen. Damit wird H

zu einem Untervektorraum von F

Setze H

(x, x

+ . . . + x

) ∈ F

x = (x

, . . . , x

) ∈ H

⊆ F

( Hamming Code

der L¨

ange 8)

6 Modulformen

Ubung: H

ist selbstdual (d.h. H

⊥

= H) und doppelt gerade (d.h. jedes x ∈ H

hat genau

0, 4 oder 8 Einsen).

Definition 6.12 E

√

x ∈ Z

x mod 2 ∈ H

Ubung: E

ist ein Gitter und hat folgende weitere Eigenschaften:

• gerade (x

1
2

P x

≡ 0 mod 4, da H

doppelt gerade ist)

• ganz (x · y =

1
2

(x + y)

−

)

• unimodular (weil H

⊥

selbstdual ist)

......

....

...

............

...........

............

.............

................

.....................

.............................................................................

...........

..........

........

.......

......

.....

............

.........

...........

Abbildung 6.3: Die Projektive Ebene mit 7 Punkten, der Kreis ist die siebte Gerade.

Ende!

Symbolverzeichnis

Γ, 15
σ-Funktion, 11
Aut(C), 27
Aut(C), 29
Aut(C)

∞

, 31

Aut(h), 32
Az, 32

C, 23
D

∞

, 4

, 3

Div(C), 26
Div

(C), 26

E, 54
E

, 54

GL(2, C), 30
M er(U ), 25
S

, 34

[z, a, b, c], 31
Θ(Γ), 45
Θ(Γ)

triv

, 45

D, 3

D, 32
B

, 66

Div(C/Γ), 42
E

, 76

), 68

Ell(Γ), 41
L

∗

, 88

∗

, 79

P (C/Γ), 42
P ic

(C/Γ), 50

: x

: . . . : x

], 53

∆, 59, 76
Γ ∼ ∆, 62

(C), 53

, 88

, 81

deg(f ), 51
σ

(n), 65

(n), 68

( ω ), 46

P (C/Γ), 47
℘(τ, z), 63
ζ(s), 68
e

, 51

j, 76
v(L), 89
K(Γ) , 75
M

(Γ) , 75

, 73

GL(2,R), 32

Hol(C), 2

=z, 12

M er(C, 2

P, 2
P

6=0

, 2

Γ\X, 34

Index

ahnlich, 62

Bernoulli Zahlen, 66
biholomorph, 29, 61
biholomorph ¨

aquivalent, 32, 61

diskrete Untergruppe, 11
Diskriminante

eines Polynoms, 59

Divisor, 3

auf C/Γ, 42
elliptische Funktion, 41
meromorphe Funktion, 25

Divisortheorie, 3
Doppelverh¨

altnis, 31

Duplication Formula, 20

elliptische Funktionen, 41
Euler-Mascheronische Konstante, 15
exakte Sequenz, 3

Fundamentalbereich von h modulo Γ, 35
Funktion

Γ, 15
σ, 11
Dedekindsche η Funktion, 84
Ramanujan τ -Funktion, 84

Funktionalgleichung

Γ-Funktion, 17

ganz, 2
ganz rational, 2
Gerade

projektive G., 56

Gitter

duales G., 88
vollst¨

andiges, 12

vollst¨

andiges G. im R

, 88

Volumen eines G., 89

gleichm¨

aßig konvergent, 1

Grad von f , 51

Hamming Code, 91
Hauptdivisoren, 42
holomorph

auf C, 24, 29
Funktion auf Riemannschen Fl¨

achen,

holomorph bei i∞, 75
Hom¨

oomorphismen, 24

homogene Koordinaten, 53
homogenes Polynom, 56

isomorph

i. bei Riemannschen Fl¨

achen, 61

K¨

orper der elliptischen Funktionen, 41

Karten, 24
kompakt gleichm¨

aßige Konvergenz, 1

Konvergenz

absolute von unendlichen Produkten, 6
gleichm¨

aßig, 1

kompakt gleichm¨

aßige, 1

normale, 2
unendliche Produkte, 5

Kozykel, 45
Kozykelrelation, 45

M¨

obius-Transformation, 31

meromorph

auf C, 25

Moduldreieck, 35, 71
Modulform

meromorphe, 74
schwache M., 73

Modulfunktionen, 75
Modulgruppe, 71

normal konvergent, 2

Orbit, 34

Picard Gruppe, 50
Poissonsche Summenformel, 89
primitive Zweiteilungspunkte, 47
Produktdarstellung

Sinus, 11

projektive Ebene ¨

uber R, 53

Punkte

unendlich ferne P., 53

rational, 2
Raum

projektiver R. ¨

uber C, 53

Riemannsche ζ-Funktion, 68
Riemannsche Fl¨

ache

allgemeine Definition, 60

Satz

kleine S. von Picard, 29
Lemma von Schwarz, 34
Liouville I, 42
Liouville II, 42
Liouville III, 44
Liouville IV, 48
Mittag-Leffler, 37
Valenzformel, 76
Weierstraß, 28

Sequenz

exakte, 3

Singularit¨

wesentliche bei ∞, 23

Spitzenformen, 75
Stabilisator, 31
Standgruppe, 31
Stirlingsche Formel, 21

Thetafunktionen mod Γ, 45
Thetareihe, 88
Triplication Formula, 21

Verzweigungsgrad, 51
Vielfachheit, 51

Wallis Produkt, 11
Weierstraßsche σ-Funktion, 14

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Weierstraßscher Produktsatz
Die Gamma Funktion
Die Riemannschen Flächen C-quer, C und h
Der Satz von Mittag-Leffler
Elliptische Funktionen
Modulformen
Symbolverzeichnis
Index

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