Egzamin z przedmiotu  Matematyka elementarna
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2013/2014
bn + 1
1. [5p.] a) Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = , gdzie
cn

3n-2

"
"
n2 1
bn = , cn = n + 1 - n n +
n2 - 2 n

Ä„ |x|
[2p.] b) Wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji f(x) = arc cos 1 - .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2. [5p.] a) Wyznaczyć, o ile istnieją, wartości parametrów a, b " R, aby funkcja h(x)
Å„Å‚

x

ôÅ‚ 1+x
a2 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ · arcctg ln dla x < -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„ 2
ôÅ‚
òÅ‚
|x2 - x| dla |x| 1
h(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
tg 2|1 - x|
ôÅ‚
ôÅ‚
ół + cos(2b) dla x > 1
x2 - 1
była ciągła.
[2p.] b) Zbadać, czy istnieje granica funkcji lim sin x3.
x"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [5p.] a) Obliczyć pochodną funkcji
x
"
f(x) = arctg x + arc cos
1 + x2
a następnie uzasadnić, że funkcja ta ma wartość stałą na całym przedziale określoności. Znalez
ć
tę stałą.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość
1, 96 · ln (0, 98)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e2x
4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = .
ex - 1
x2
[2p.] b) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = w punkcie P0(1, h(1)).
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
5. [5p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji

3
g(x) = (x2 + x)2
w przedziale -2, 3 .
1
"
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji f(x) = w punkcie x0 = 0.
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina oszacować błąd wzoru przybliżonego
cos 2x H" 1 - 2x2
1
dla 0 x .
10