Prof. Piotr Chrzan
WYKA
AD
TEORIA PORTFELOWA MARKOWITZA
1. Teoria portfela dwóch spółek
2. Teoria portfela wielu spółek
3. Teoria użyteczności w analizie portfelowej
Harry M. Markowitz
- Portfolio Selection, Journal Of Finance , 1952 No. 1
- Portfolio Selection. Efficient Diversification of
Investments, John Wiley & Sons, New York 1959
Nagroda Nobla z Nauk Ekonomicznych 1990 rok
Harry M. Markowitz, Merton M. Miller oraz Williams F.
Sharpe
Za pionierskie prace z teorii ekonomii finansowej
1
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
1. Teoria portfela dwóch spółek
Przykład 1.
Akcje spółki A ( rA=10%, sA=5%, CA=100 zł )
Akcje spółki B ( rB=5%, sB=2%, CB=50 zł )
gdzie: rA oczekiwana stopa zwrotu z akcji A,
sA odchylenie standardowe stopy zwrotu (ryzyko),
CA cena jednej akcji A.
Inwestor dysponuje sumą 2000 zł.
 Przez portfel papierów wartościowych zawierających
dwie akcje należy rozumieć dowolny zestaw dwóch akcji,
którego wartość wyczerpuje środki inwestora .
P1=( 18 akcji A; 4 akcje B)
P1(18 × 100 zÅ‚; 4 × 50 zÅ‚) = ( 1800 zÅ‚, 200 zÅ‚)
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji  P1
K1 - K0 rA Å"1800 + rB Å" 200
rP = =
1
K0 2000
rP =0,9rA +0,1rB =0,9Å"10%+0,1Å"5%=9,5%
1
2
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
P2 (16 akcji A; 8 akcji B)
P2 ( 16 ×100 zÅ‚; 8×50 zÅ‚) = ( 1600 zÅ‚; 400zÅ‚)
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji  P2
K1 - K0 rA Å"1600 + rB Å" 400
rP = =
2
K0 2000
rP = 0,8rA + 0,2rB = 0,8Å"10% + 0,2Å"5% = 9%
2
Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji
E(RP)=E(w1R1+w2R2)
E(Rp)=w1E(R1)+w2E(R2)
rP = w1r1+w2r2
(1)
gdzie: rP  oczekiwana stopa zwrotu portfela,
w1  udział pierwszej spółki w portfelu,
w2  udział drugiej spółki w portfelu,
r1  oczekiwana stopa zwrotu akcji pierwszej spółki,
r2  oczekiwana stopa zwrotu akcji drugiej spółki
w1+w2 =1; 0d"w1d"1; 0d"w2d"1
3
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Efekt portfelowy stopy zwrotu
min{r1,r2} d" rP d" max {r1, r2}
(2)
min{10%, 5%} d" rP d" max {10%, 5%}
5%d" rP d" 10%
Kowariancja i korelacja zwrotów z inwestycji
Kowariancja stóp zwrotu jest miarą stopnia  wzajemnego ru-
chu w czasie dwóch stóp zwrotu w stosunku do ich średniej
wartości.
Dodatnia kowariancja oznacza, że stopy zwrotu z dwóch inwe-
stycji zmieniajÄ… siÄ™ w czasie w tym samym kierunku co ich
średnie. Ujemna kowariancja oznacza, że stopy ulegają zmia-
nom w odwrotnym kierunku niż ich średnie.
Cov (R1,R2) = E[(R1 E(R1))(R2 E(R2))]
m
Cov(R1,R2) =
"p (r1k - r1)(r2k - r2)
k
(3)
k=1
gdzie:
4
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
r1k  k ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji
pierwszej spółki,
r2k
 k ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji
drugiej spółki
pk  prawdopodobieństwo osiągnięcia k tej możliwej
stopy zwrotu
r1  oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji
r2  oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji
cov(R1, R2)  kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i
drugiej
Współczynnik korelacji
Cov(R1, R2)
Á12 =
(4)
s1 s2
gdzie: Á12  współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji spółki
pierwszej i drugiej
cov(R1, R2)  kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i
drugiej
s1  odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki
pierwszej
s2  odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki
drugiej
5
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału <-1,1>
i jest miarą siły związku liniowego między stopami zwrotu.
Gdy Á12=1 lub Á12 =  1, to miÄ™dzy stopami zwrotu zachodzi za-
leżności w postaci funkcji liniowej.
Gdy Á12=0, stopy zwrotu sÄ… nieskorelowane
Przykład 2.
Współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji dwóch spółek
Stan rynku Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji 1 Stopa zwrotu akcji 2
k pk
r1k
r2k
1 0,2 25% 10%
2 0,2 15% 8%
3 0,3 10% 5%
4 0,2 5% 4%
5 0,1  10% 3%
r1 = 11%
r2 = 6,2%
s1 = 9,695% s2 = 2,441%
Zgodnie z wzorem (3)
cov (R1,R2) = 0,2(0,25  0,11)(0,1  0,062) +
+ 0,2(0,15  0,11)(0,08  0,062) +
6
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
+ 0,3(0,1  0,11)(0,05  0,062) +
+ 0,2(0,05  0,11)(0,04  0,062) +
+ 0,2( 0,1  0,11)(0,03  0,062) +
= 0,00218
0,00218
Á12 = = 0,921
0,09695Å" 0,02441
Oznacza to bardzo silne dodatnie powiązanie stóp zwrotu akcji spółek.
Współczynnik korelacji na podstawie danych z przeszłości.
m
"(r - r1)(r2k - r2)
1k
k=1
Á12 =
m m
(5)
"(r - r1)2"(r - r2)2
1k 2k
k=1 k=1
gdzie:
m  liczba okresów z przeszłości, z których wykorzystane
sÄ… informacje,
r1k  stopa zwrotu pierwszej spółki w k-tym okresie
r2k  stopa zwrotu drugiej spółki w k-tym okresie
r1  oczekiwana stopa zwrotu pierwszej spółki
r2  oczekiwana stopa zwrotu drugiej spółki
7
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Wariancja stopy zwrotu portfela P=( w1, w2)
2
D2(w1R1 + w2R2) = w1D2(R1) + w2D2(R2) + 2w1w2 cov(R1,R2)
2
2 2
s2 = w1s1 + w2s2 + 2w1w2s1s2Á12
P 2 2
(6)
2 2
(7)
s2 = w1s1 + w2s2 + 2w1w2 cov12
P 2 2
gdzie:
s2  wariancja stopy zwrotu portfela
P
s1  odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji pierwszej spółki
s2  odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji drugiej spółki
w1 udział pierwszej spółki w portfelu
w2 udział drugiej spółki w portfelu
Á12 współczynnik korelacji stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej
cov12 kowariancja stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej
Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
2 2 (8)
sP = w1s1 + w2s2 + 2w1w2 cov12
2 2
8
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Analiza odchylenia standardowego portfela
1. Jednakowe ryzyko i zwrot, ale różne korelacje
r1=0,20 s1=0,10 w1=0,5
r2=0,20 s2=0,10 w2=0,5
rP= 0,5Å"0,20 +0,5Å"0,20 = 0,20 ( stopa zwrotu portfela jest staÅ‚a)
a) Á12= 1,00 cov12= Á12Å"s1Å"s2= 1Å"0,1Å"0,1= 0,01
b) Á12= 0,50 cov12= 0,5Å"0,1Å"0,1= 0,005
c) Á12= 0,00 cov12= 0,00
d) Á12=  0,50 cov12=  0,5Å"0,1Å"0,1=  0,005
e) Á12=  1,00 cov12=  0,01
Po podstawieniu do wzoru (8) otrzymujemy odchylenia stan-
dardowe poszczególnych portfeli.
sa= 0,10 sb= 0,0866 sc= 0,0707 sd= 0,05
se = 0,52 Å" 0,102 + 0,52 Å" 0,102 + 2 Å" 0,5 Å" 0,5Å" (-0,01)
se = 0,0050 + (-0,0050) = 0
9
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Rys. 2. Relacja ryzyko zwrot z portfeli o takich samych zwro-
tach i ryzykach, lecz różnych korelacjach
Stopa zwrotu r
Ryzyko (odchylenie standardowe)
0,20
" " " "
"
e
d c b a
0,15
0,10
0,05
0,01 0,02 0,03 0,04 0,07
0,05 0,06
0,08 0,09 0,1
Ryzyko (odchylenie standardowe)
Wniosek 1
Aktywa, które nie są idealnie skorelowane, nie wpływają na
oczekiwanÄ… stopÄ™ zwrotu z portfela, lecz redukujÄ… jego ryzyko
mierzone odchyleniem standardowym.
Wniosek 2
Dzięki portfelowi z dwoma aktywami mającymi ujemną kore-
lację możemy osiągnąć maksymalne korzyści z dywersyfikacji
(całkowicie eliminujemy ryzyko).
10
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Przypadek 1  Á12=1 Ò! max ryzyko portfela
2 2
s2 = w1s1 + w2s2 + 2w1w2s1s2
P 2 2
s2 = (w1s1 + w2s2)2 Ò! sP = w1s1 + w2s2 d" max(s1s2)
P
Przypadek 2  Á12=  1 Ò! min ryzyko portfela
2 2
s2 = w1s1 + w2s2 - 2w1w2s1s2
P 2 2
s2 = (w1s1 - w2s2)2 Ò!sP =| w1s1 - w2s2 |
P
|w1s1 w2s2 |d" sP d" max ( s1,s2)
(9)
Efekt portfelowy ryzyka 0d"sPd"0,1
ó#0,5Å"0,1 0,5Å"0,1ó#d" sP d" max ( 0,1;0,1)
Portfel o zerowym ryzyku
s2 s1
w1 = w2 =  optymalne wagi
s1 + s2 s1 + s2
Portfel o minimalnym ryzyku
w1+ w2=1 w2= 1  w1
Wariancję portfela można przedstawić jako funkcję wagi w1
11
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
2 2
s2 = w1s1 + w2s2 + 2w1w2s1s2Á12
P 2 2
2 2
s2 = w1s1 + (1- w1)2s2 + 2w1(1- w1)s1s2Á12
P 2
(10)
Funkcja kwadratowa zmiennej w1
12
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Rys. 3. Wariancja portfela papierów wartościowych jako funk-
cja udziału w1 akcji w portfelu
s2
P
Wariancja
portfela
B (druga akcja)
minimalna
wariancja portfela
s2 "
B
A (pierwsza akcja)
"
s2
A
optymalny udział akcji A
"
sP-opt
w1 (udział akcji pierwszej
w1-opt
1
w portfelu
s1(s2 - s1Á12)
w1 =
opt
2
(11)
s1 + s2 - 2s1s2Á12
2
2 2
s1s2(1- Á12)
2
2 (12)
sopt =
2
s1 + s2 - 2s1s2Á12
2
13
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Przykład 4 ( portfel dwóch akcji o minimalnym ryzyku)
Na podstawie danych tygodniowych od stycznia 2000roku do
marca 2002 roku
PEKAO r1 = 0,0064 s1 = 0,0447
TP S.A. r2 = 0,0032 s2 = 0,0666
współczynnik korelacji Á12=0,46
Portfel o nominalnym ryzyku dla tych dwóch spółek:
0,0666(0,0666 - 0,0447 Å"0,46)
w1 = E" 0,83
(0,0447)2 + (0,0666)2 - 2Å"0,0447 Å"0,0666Å"0,46
w2 = 1  0,83 = 0,17
Oczekiwana stopa zwrotu portfela
rp = 0,83 Å" 0,0064 + 0,17Å" 0,0032 = 0,005856
Wariancja portfela
0,04472 Å"0,06662(1- 0,462)
s2 = E" 0,0019
P
0,04472 + 0,06662 - 2Å"0,0447 Å"0,0666Å"0,46
sP = 0,0019 = 0,0436 (4,36%)
14
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Analiza odchylenia standardowego portfela
Stała korelacja i zmienne wagi
Inwestycje E(Ri) si
1. Obligacje 0,10 0,07
2. Akcje 0,20 0,10
Współczynnik korelacji r12 = 0
Portfel w1 w2 E(Rp) sp
f 0,00 1,00 0,20 0,1000
g 0,20 0,80 0,18 0,0812
h 0,40 0,60 0,16 0,0662
i 0,50 0,50 0,15 0,0610
j 0,60 0,40 0,14 0,0580
k 0,80 0,20 ,012 0,0595
l 1,00 0,00 0,10 0,0700
Portfel  f E(Rp) = 0,00Å"0,10 + 1,00Å"0,20 = 0,00
2
s2 = s1 Ò! sp = s1 = 0,10
p
Portfel  g E(Rp) = 0,20Å"0,10 + 0,80Å"0,20 = 0,18
s2 = 0,202 Å"0,072 + 0.802 Å"0,102 + 2Å"0,20Å"0,80Å"0,00
p
15
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
s2 = 0,04Å"0,0049 + 0.64Å"0,01+ 0 = 0,006596
p
s = 0,006596 = 0,0812
p
Rys.4 Relacja ryzyko zwrot portfeli o różnych wagach
rij = 1,00; 0,50; 0,00;  0,50;  1,00
Wniosek 3
Przez dobór odpowiednich proporcji między wagami aktywów
w portfelu możemy zredukować ryzyko portfela mierzone od-
chyleniem standardowym.
16
RYNKI FINANSOWE