Prof. Piotr Chrzan
2. Teoria portfela wielu spółek
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela n akcji
n
rp =
"w rk = w1r1 + w2r2 +L+ wnrn
k
(13)
k=1
gdzie:
rp oczekiwana stopa zwrotu portfela,
wk  udział k-tej spółki w portfeli (0d" wk d" 1)
rk-oczekiwana stopa zwrotu akcji k-tej spółki
n  liczba akcji w portfelu
Wariancja stopa zwrotu portfela n akcji
n n-1 n
s2 = w2s2 + 2 wkw sks �kj
"" " (14)
p k k j j
k=1 k=1 j=k+1
n n -1 n
s2 =
(15)
"w2s2 + 2" "w w covkj
p k k k j
k =1 k =1 j=k +1
gdzie: s2  wariancja stopy zwrotu portfela,
p
s2  wariancja akcji k-tej spółki,
k
1
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
sk  odchylenia standardowe k-tej spółki,
wk  udział k-tej spółki w portfelu (0d" wi d" 1)
covkj  kowariancja stóp zwrotu akcji k-tej spółki i j-tej
spółki
�kj  współczynniki korelacji stóp zwrotu akcji k-tej
spółki i j-tej spółki
Zapis macierzowy wariancji stopy zwrotu z portfela
2
s2 = w Cw
(16)
p
gdzie: w2 =[w1,w2, . . . wn] wektor udziałów akcji spółek w
portfelu (wektor transponowany  wierszowy)
2
Ą#
s1 cov12 cov13 L cov1n ń#
ó# Ą#
s2 cov23 L cov2n Ą#
ó#cov21 2
ó# Ą#
C =
L L L L L
ó# Ą#
ó# Ą#
ó#covn1 covn2 covn3 L s2 Ą#
Ł# n Ś#
C  macierz wariancji i kowariancji stóp zwrotu akcji spółek
2
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Przykład 5
Rozpatrzmy portfel trzech akcji dla danych od stycznia 2000
do marca 2002  tygodniowe stopy zwrotu GPW w Warszawie
Spółka Stopa zwrotu Odchylenie standardowe
k rk sk
Compland 0,0091 0,0956
Świecie 0,0077 0,0643
Pekao 0,0064 0,0447
Macierz wariancji i kowariancji
covkj Compland-1 Świecie-2 Pekao-3
Compland-1 0,009129 0,000996 0,001258
Świecie-2 0,000996 0,004129 0,000479
Pekao-3 0,001258 0,000479 0,001990
Współczynniki korelacji
0,000996
�12 = = 0,162
0,0956�" 0,0643
0,001258
�13 = = 0,294
0,0643�" 0,0447
0,000479
�23 = = 0,166
0,0643�" 0,0447
3
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Zapis wektorowa oczekiwanej stopy zwrotu z portfela
rp= w2 r
gdzie: w2  wektor udziałów akcji
r wektor stóp zwrotu akcji
r2 =[r1, r2 . . . rn]
Przyjmujemy wektor udziałów
w2 = [0,2; 0,3; 0,5] r2 =[0,0091; 0,0077; 0,0064]
0,0091
Ą# ń#
rp = [0,2 0,3 0,5]ó#0,0077Ą#
ó# Ą#
ó#
Ł#0,0064Ą#
Ś#
rp = 0,2 �"0,0091 + 0,3�"0,0077 + 0,5�"0,0064 = 0,00733
Wariancja portfela
0,009129 0,000996 0,001258 0,2
Ą# ń#Ą# ń#
s2 = [0,2 0,3 0,5]ó#0,000996 0,004129 0,000479Ą#ó#0,3Ą#
p
ó# Ą#ó# Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
Ł#0,001258 0,000479 0,001990Ś#Ł#0,5Ś#
0,2
Ą# ń#
s2 = [0,0027536 0,0016774 0,0013903]ó#0,3Ą#
p
ó# Ą#
ó#
Ł#0,5Ą#
Ś#
4
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
s2 = 0,001744909 sp = 0,0418
p
Portfel
20% Compland
rp= 0,00733 (0,733%)
30% Świecie
sp = 0,0418 (4,18%)
50% Pekao
Portfel efektywny
Portfel efektywny (efficient portfolio)
Pojedyncza inwestycja lub portfel aktywów jest uznawany za
efektywny, jeżeli żadna inna inwestycja lub portfel aktywów
nie przyniesie wyższego oczekiwanego zwrotu przy tym sa-
mym (lub niższym) ryzyku albo niższego ryzyka przy tym sa-
mym (lub wyższym) oczekiwanym zwrocie.
Zbiór możliwości (opportunity set)
Zbiór możliwości tworzą wszystkie możliwe portfele spółek
dostępne dla inwestora.
Zbiór efektywny efficient set
Granica efektywna efficient frontier
5
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Zbiór efektywny tworzą wszystkie możliwe portfele efektywne
Rys. 5. Zbiór efektywny
3. Teoria użyteczności w analizie portfelowej
6
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Zadanie 1
max rp= w2 r
min s2 = w2 Cw
k
Przy ograniczeniach
w1 + w2 + . . .+ wn = 1
w1e"0, w2e"0, . . . wne"0
Teoria użyteczności
Użyteczność można interpretować jako satysfakcję, zadowo-
lenie czy też komfort psychiczny inwestora
U(rp,s2) =  As2 + rp max
p p
Zasada maksymalizacji wartości oczekiwanej użyteczności
A > 0  wskaz
nik skłonności do podejmowania ryzyka
Za każdą jednostkę ryzyka mierzonego wariancją stopy zwrotu
inwestor oczekuje wzrostu dochodu o A jednostek.
1 rM - rf
A = �"
(17)
2 v�"s2(rM)
gdzie:
7
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
rM spodziewana stopa zwrotu rynku (najczęściej jest to repre-
zentatywny indeks giełdowy np. WIG)
rf stopa zwrotu inwestycji wolnej od ryzyka (np. stopa zwrotu
bonów skarbowych obligacji skarbu państwa)
v  udział środków ulokowanych przez inwestora w portfelu
rynkowym
Przykład 6
WIG   indeks rynkowy
rM = 10%, s(rM) = 15%, v = 100% rf= 5%
1 0,10 - 0,05
A = �" H" 1,11
2
1�"0,152
Za wzrost wariancji stopy zwrotu o 1% inwestor oczekuje
wzrostu stopy zwrotu o 1,11%.
W zastosowaniach praktycznych najczęściej przyjmuje się war-
tość A = 3 co oznacza, że: za wzrost wariancji stopy zwrotu o
1% oczekuje się wzrostu stopy zwrotu o 3%.
Krzywe obojętności (indifference curves)
Krzywe jednakowej użyteczności (iso utility curves)
Założenie: A = 3; U(r,s)=  3s2 + r
8
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
U(r,s)=1  krzywa o użyteczności 1
U(r,s)=2  krzywa o użyteczności 2
 3s2 + r=1 �!r= 3s2 + 1
przesunięte parabole
 3s2 + r=2 �!r= 3s2 + 2
r= 3% �! 3 = 3s2 + 2 �! s2 = 1/3 �! s H" 0,577%
B = (r=3%, s = 0,577%)
R = 5% �! 5 = 3s2 + 2 �! s2 = 3/3 =1 �! s =1%
A = (r=5%, s = 1%)
U(A) = U(B) = 2
Decyzje A i B mają takie same znaczenie dla inwestora (krzy-
we obojętności)
Rys. 6 Krzywe jednakowej użyteczności
Stopa
zwrotu
U=2
U=1
R(%)
" B
5
4
9
3
" A
RYNKI FINANSOWE
2
1
Prof. Piotr Chrzan
Model Markowitza
U(rp,sp)=  As2 + rp max
p
n
"w =1
k
k=1
wk e" 0
Rys. 7 Rozwiązanie graficzne modeli Markowitza
Z  Decyzja optymalna Markowitza
Przykład 7.
10
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Wyznaczmy optymalny portfel Markowitza dla A= 3 oraz da-
nych z przykładu 5
Model Markowitza dla trzech spółek
2
U(rp,sp) = -3(0,00912w1 + 2�"0.000996w1w2 +
2�"0.001258w1w3 + 0.004129w2 + 2 �"0.00479w2w3
2
2
+ 0,001990w3 ) + 0,0091w1 + 0,0077w2 + 0,0064w3 max
w1 + w2 + w3 = 1
w1 e" 0, w2 e" 0, w3 e" 0
Excel  Solver
Optymalne rozwiązanie Markowitza
U(rp,sp) = 0,0025
w1 = 0,028; w2 = 0,338; w3 = 0,634
2,8% akcji Compland
Portfel Markowitza 33,8% akcji Świecie
63,4% akcji Pekao
11
RYNKI FINANSOWE
Prof. Piotr Chrzan
Wady Modelu Markowitza
n=100 spółek w portfelu, liczba kowariancji do policzenia
LC = (99 + 98 + 97 + . . . +1) =4950
Liczba wariancji do policzenia Ls2 = 100
Liczba stóp zwrotu do policzenia Lr =100
Możliwe z
ródło błędów, jakie pojawia się przy tych oblicze-
niach, nazywane jest ryzykiem estymacji.
12
RYNKI FINANSOWE