8. UKLADY RÓWNAC
LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY.
W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy pojecie ukladu równań liniowych i podaliśmy
sposoby rozwiazania go, w przypadku, gdy uklad jest ukladem Cramera. Jednakże w prak-
tyce czesto spotykamy uklady równań liniowych o różnej liczbie równań i niewiadomych,
dlatego też rozdzial ten poświecimy problemowi istnienia rozwiazania takich ukladów. Po-
nadto podamy nowa metode odwracania macierzy.
8.1. Uklady równań liniowych. Twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Niech dany bedzie uklad równań
ńł
a11x1 +a12x2 + � � � +a1nxn = b1
�ł
�ł
a21x1 +a22x2 + � � � +a2nxn = b2
(8.1.1)
� � � � � � � � � � � � � � �
�ł
ół
am1x1 +am2x2 + � � � +amnxn = bm
Macierz
�ł
a11 a12 � � � a1n łł
a21 a22 � � � a2n
�ł śł
A = (8.1.2)
�ł �ł
� � � � � � � � � � � �
am1 am2 � � � amn
nazywamy macierza glówna ukladu, natomiast macierze
�ł łł �ł łł
b1 x1
b2 x2
�ł śł �ł śł
B = , X =
�ł �ł �ł �ł
� � � � � �
bm xn
nazywamy odpowiednio kolumna (macierza) wyrazów wolnych i kolumna (macierza) nie-
wiadomych. Ponadto macierz
�ł
a11 a12 � � � a1n b1 łł
a21 a22 � � � a2n b2
�ł śł
U = (8.1.3)
�ł �ł
� � � � � � � � � � � � � � �
am1 am2 � � � amn bm
powstala z macierzy A przez dolaaczenie kolumny wyrazów wolnych nazywamy macierza
uzupelniona.
Twierdzenie 8.1.1. (Kroneckera-Capelliego) Uklad równań liniowych (8.1.1) ma rozwia-
zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA = rzU, przy czym gdy rzA = rzU = n, to uklad
ma dokladnie jedno rozwiazanie, gdy rzA = rzU < n, to uklad ma nieskończenie wiele
rozwiazań zależnych od n - r parametrów.
1
Zauważmy, że jeżeli uklad (8.1.1) jest ukladem jednorodnym, to macierz uzupelniona
U powstaje przez dopisanie do macierzy glównej A kolumny zlożonej z samych zer. Zatem
rzedy tych macierzy sa takie same, co oznacza, że każdy uklad jednorodny ma zawsze
rozwiazanie. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego ma on rozwiazanie niezerowe
tylko wtedy, gdy rzad macierzy glównej jest mniejszy od liczby niewiadomych.
Do rozwiazywania ukladów równań liniowych możemy zastosować metode eliminacji
Gaussa. Każedmu ukladowi równań odpowiada pewna macierz uzupelniona i na odwrót
majac dana macierz możemy ja potraktować jako macierz uzupelniona pewnego ukladu
równań liniowych. Stosujac metode eliminacji Gaussa do rozwiazania ukladu równań
sprowadzamy jego macierz uzupelniona do macierzy nastepujacej postaci
�ł
1 0 . . . 0 | p1,r+1 p1,r+2 . . . p1n | z1 łł
0 1 . . . 0 | p2,r+1 p2,r+2 . . . p2n | z2
�ł śł
�ł śł
. . . . . . .
. .
�ł śł
. . . . . . . . .
. .
�ł . . . | . . . | . śł
,
�ł śł
�ł 0 0 . . . 1 | pr,r+1 pr,r+2 . . . prn | zr śł
�ł �ł
-- -- -- -- -- -- -- -- --
0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | zr+1
gdzie rzA = r. Wówczas,
1) jeżeli zr+1 = 0, uklad jest sprzeczny,

2) jeżeli ostani wiersz nie pojawi sie i n = r, to uklad jest oznaczony i ma rozwiazanie
postaci
x1 = z1, x2 = z2, . . . , xn = zn.
3) jeżeli ostani wiersz nie pojawi sie i n > r, to uklad jest nieoznaczony, a jego rozwiazania
zależa od parametrów (xr+1, xr+2, . . . , xn) w nastepujacy sposób
�ł łł �ł łł �ł
p1,r+1 p1,r+2 . . . p1n łł �ł łł
x1 z1 xr+1
p2,r+1 p2,r+2 . . . p2n
x2 z2 xr+2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
=
. . -
. . . .
.
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
. . . . .
. . .
. . . .
xr zr
pr,r+1 pr,r+2 . . . prn xn
Zadanie 8.1.1. Rozwiaż podane uklady równań
ńł
ńł
x1 +6x2 -x3 = 0
�ł
x1 +2x2 +3x3 -x4 = 0
�ł �ł
-x1 -4x2 +5x3 = 6
a) b) 3x1 +6x2 +3x3 +x4 = 5
3x1 +17x2 = 0
�ł ół
ół
2x1 +4x2 +7x3 -4x4 = -6
2x1 +13x2 +5x3 = 8
Zadanie 8.1.2. Przedyskutować rozwiazalność podanych ukladów równań w zależności
od wartości parametru p.
ńł
ńł
2x1 +3x2 -x3 = 0
�ł
x1 +px2 -x3 = 1
�ł �ł
px2 +(p + 1)x3 = -1
a) x1 -10x2 -6x3 = 3 b)
x1 +5x2 = 1
ół �ł
ół
2x1 -x2 +px3 = 0
2x1 +x2 +3x3 = -1
2
8.2. Wartości wlasne wektory wlasne i wielomian charakterystyczny macierzy
kwadratowej.
Niech dana bedzie rzeczywista lub zespolona macierz kwadratowa A = [aij]n�n, n e" 2.
Zdefinujemy pewne charakterystyki tej macierzy.
Definicja 8.2.1. Niech V = [vj]n�1 bedzie macierza kolumnowa o n wierszach. Każda
liczbe  spelniajaca równanie
A � V = V
nazywamy wartościa wlasna macierzy A, a macierz V nazywamy wektorem wlasnym ma-
cierzy A odpowiadajacym wartości wlasnej .
Warunek z definicji 8.2.1 możemy zapisać w nastepujacej postaci
(A - I) � V = 0, (8.2.1)
gdzie I jest macierza jednostkowa tego samego stopnia co macierz A.
Równaniu macierzowemu (8.2.1) odpowiada nastepujacy uklad równań
ńł
(a11 - )v1 +a12v2 + . . . +a1,nvn = 0
�ł
�ł
a21v1 +(a22 - )v2 + . . . +a2,nvn = 0
� � � � � � � � � � � �
�ł
ół
an,1v1 +an,2v2 + . . . +(an,n - )vn = 0
Uklad ten jest ukladem jednorodnym, zatem ma rozwiazania niezerowe wtedy, gdy wyz-
nacznik macierzy glównej jest równy zero, tj.
det(A - I) = 0. (8.2.2)
Macierz A - I nazywać bedziemy macierza charakterystyczna , zaś wyznacznik tej
macierzy rozpatrywany bedzie jako funkcja zmiennej , która nazwiemy wielomianem
charakterystycznym macierzy A. Równanie (8.2.2) nazywać bedziemy równaniem charak-
terystycznym. Rozwiazania tego równania sa oczywiście pierwiastkami wielomianu charak-
terystycznego. Jak latwo zauważyć sa to wartości wlasne macierzy A.
Wielomian chakterystyczny ma ciekawa wlasność, która podamy w twierdzeniu udo-
wodnionym przez Cayleya i Hamiltona.
Twierdzenie 8.2.1. Każda macierz kwadratowa spelnia swoje równanie charakterysty-
czne.
Innymi slowy każda macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swojego wielomianu cha-
rakterystycznego.
Glównym zastosowaniem twierdzenia Cayleya-Hamiltona jest wyznaczanie macierzy
odwrotnej do danej macierzy nieosobliwej. Aby wyznaczyć macierz odwrotna do macierzy
3
nieosobliwej A należy wstawić ja do jej równania charakterystycznego, a nastepnie pomno-
żyć go stronami przez A-1.
Przyklad 8.2.1. Rozwiażmy równanie 8.2.2 kladac
�ł łł
1 2 0
�ł �ł
A = 0 1 0 .
-1 -2 1
Otrzymamy wówczas nastepujace równanie charakterystyczne
-3 + 32 - 3 + 1 = 0.
Jedynym rozwiazaniem tego równania jest  = 1. Zatem macierz A ma tylko jedna wartość
wlasna. Aby wyznaczyć wektor wlasny odpowiadajacy tej wartości należy rozwiazać
równanie
�ł łł �ł łł �ł łł
0 2 0 x 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 � y = 0
-1 2 0 z 0
lub równoważnie uklad równań
2y = 0
-x +2y = 0
Latwo zauważyć, że ten jednorodny uklad równań ma nieskończenie wiele rozwiazń postaci
x = 0, y = 0, z = p, gdzie p " R. Zatem wektorem odpowiadajacym wartości wlasnej
�ł łł
0
�ł �ł.
każdy wektor postaci 0 W szczególności za wektor odpowiadajacy wartości wlasnej
p
�ł łł
0
�ł �ł.
 = 1 można przyjać wektor 0
1
Wyznaczmy teraz macierz odwrotna do macierzy A. Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-
Hamiltona macierz A spelnia swoje równanie charakterystyczne -3 + 32 - 3 + 1 = 0.
Mamy wobec tego
A3 - 3A2 + 3A = 1.
Mnożac powyższe równanie przez A-1 i korzystajac z tego, że A-1 � A = I otrzymujemy
A-1 = A2 - 3A + 3I.
Wobec tego
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 4 0 -3 -6 0 3 0 0 1 -2 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
A-1 = 0 1 0 + 0 -3 0 + 0 3 0 = 0 1 0 .
-2 -6 1 3 6 -3 0 0 3 1 0 1
4
Zadanie 8.2.1. Znalez
ć wartości wlasne i wektory wlasne nastepujacych macierzy
�ł łł
�ł łł �ł łł
1 2 3 4
1 3 0 1 -1 2
1 2 3 4
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
A = 3 -2 -1 , B = , C = 0 3 -1 .
�ł �ł
1 2 3 4
0 -1 1 0 0 4
1 2 3 4
Zadanie 8.2.2. Korzystajac z twierdzenia Cayleya-Hamiltona znalez
ć macierze odwrotne
(o ile istnieja) do macierzy z zadania poprzedniego.
8.3. Diagonalizacja macierzy.
W paragrafie tym zostanie podana pewna metoda potegowania macierzy kwadratowej.
Niech A i B beda macierzami kwadratowymi tego samego stopnia n. Powiemy, że
macierze A i B sa macierzami podobnymi, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P stopnia n
taka, że
-1
B = P � A � P .
Macierze podobne charakteryzuja sie tym, że maja te same wartości wlasne. Zachodzi
nastepujace twierdzenie
Twierdzenie 8.3.1. Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n ma n liniowo niezależnych
wektorów wlasnych, to istnieja macierze A i T takie, że macierz T jest nieosobliwa, macierz
A jest diagonalna oraz
-1
A = T � A � T. (8.3.1)
Równanie (8.3.1) nazywać bedziemy postacia diagonalna macierzy A. Można udowodnić,
że macierz A jest macierza diagonalna, której elementami sa wartości wlasne macierzy A,
-1
natomiast kolumny macierzy T tworza wektory wlasne macierzy A.
Ponadto zauważmy, że dla m " N
-1
Am = [T � A � T ]m
-1 -1 -1
= T � A � T � T � A � T . . . � T � A � T.
-1
Ponieważ T � T = I i A � I = A, wiec mamy
-1
Am = T � (A )m � T,
-1
gdzie kolumny macierzy T tworza wektory wlasne macierzy A, a macierz A jest macierza
diagonalna, której elementy na glównej przekatnej sa równe wartościom wlasnym odpo-
wiadajacym poszczególnym wektorom wlasnym.
Latwo wykazać, że m-ta potega macierzy diagonalnej A jest macierz diagonalna,
której elememtami sa m-te potegi macierzy elementów A .
5
Przyklad 8.3.1. Niech dana bedzie macierz
�ł łł
1 2 0
�ł �ł
A = 0 2 0 .
-2 -2 -1
Rozwiazujac równanie
�ł łł
1 -  2 0
�ł �ł
det 0 2 -  0 = 0
-2 -2 -1 - 
wyznaczymy wartości wlasne macierzy A, którymi sa
1 = 1, 2 = 2, 3 = -1.
Wyznaczymy teraz wektor wlasny odpowiadajacy wartości 1. W tym celu rozwiazujemy
równanie
(A - 1I) � V = 0,
gdzie V jest macierza kolumnowa, o trzech wierszach. Rozwiazanie tego równania otrzy-
mamy poprzez rozwiazanie jednorodnego ukladu równań postaci
ńł
2y = 0
�ł
y = 0
ół
-2x -2y -2z = 0
�ł łł
x
�ł �ł.
Rozwiazanie powyższego ukladu możemy zapisać w postaci 0 Zatem jako wektor
-x
�ł łł
1
�ł �ł.
wlasny możemy przyjać wektor 0 Podobnie wyznaczamy pozostale wektory wlasne.
-1
�ł łł
2
�ł �ł,
I tak wektorem wlasnym odpowiadajacym wartości 1 jest wektor 1 a wartości 3
-2
�ł łł
0
�ł �ł.
odpowiada wektor 0 Latwo wykazać, że wektory te sa liniowo niezależne. Wobec
1
-1
tego można wyznaczyć postać diagonalna macierzy A. Jako macierz T możemy przyjać
macierz
�ł łł
1 2 0
-1
�ł �ł
T = 0 1 0 .
-1 -2 1
6
Macierz A tworza wartości wlasne macierzy A. W pierwszym wierszu tej macierzy umie-
szczamy wartość wlasna, która odpowiada wektorowi wlasnemu z pierwszej kolumny ma-
-1
cierzy T , w drugim wierszu umieszczamy wartość wlasna odpowiadajaca wektorowi
-1
wlasnemu z drugiej kolumny macierzy T i.t.d. Zatem
�ł łł
1 0 0
�ł �ł
A = 0 2 0 .
0 0 -1
-1
Teraz należy znalez
ć macierz odwrotna do macierzy T . Macierz ta wyznaczyliśmy w
przykladzie 8.2.1. Wobec tego otrzymujemy nastepujaca postać diagonalna macierzy A
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 0 1 0 0 1 -2 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
A = 0 1 0 � 0 2 0 � 0 1 0 .
-1 -2 1 0 0 -1 1 0 1
-1
Uwaga. Kolejność wpisywania wektorów wlasnych do macierzy T jest dowolna należy
jedynie w tej samej kolejności wpisywać odpowiednie wartości wlasne do macierzy A .
Oczywiście postać diagonalna macierzy A nie jest jednoznaczna i zależy od kolejności
-1
umieszczenia wektorów wlasnych w macierzy T .
Zadanie 8.3.1. Oblicz
�ł łł4 �ł łł6
1 2 0 4 3 -3
�ł �ł �ł �ł
a) 0 2 0 , b) 2 3 -2 .
-2 -2 -1 4 4 -3
m
2 -1
Zadanie 8.3.2. Dla jakich wartości m macierz jest macierza jednostkowa
3 -2
stopnia 2.
7
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA.
W rozdziale 9 rozważać bedziemy przede wszystkim geometrie przestrzeni, w której
zostal wprowadzony uklad wspólrzednych karezjańskich, tj. uklad trzech wzajemnie pro-
stopadlych osi liczbowych. Rozdzial rozpoczniemy od omówienia pewnych wlasności naj-
cześciej spotykanych krzywych stopnia drugiego.
9.1. Krzywe stopnia drugiego na plaszczyz
nie.
W paragrafie 4.8 podane byly równania parametryczne pewnych krzywych, które trak-
towane byly jako wykresy funkcji danych parametrycznie. Miedzy innymi podano równania
parametryczne okregu, elipsy i hiperboli. W tym paragrafie podamy inne równania opisu-
jace te krzywe, które wraz z parabola sa czesto nazywane krzywymi stopnia drugiego lub
krzywymi stożkowymi.
Nasze rozważania prowadzić bedziemy na plaszczyz
nie z prostokatnym ukladem wspól-
rzednych. Na poczatek przypomnijmy, że przeksztalcenie plaszczyzny, które nie zmienia
odleglości nazywamy przeksztalceniem izometrycznym. Jako przyklad przeksztalcenia izo-
metrycznego możemy wymienić symetrie punktowa, symetrie osiowa, translacje (przesu-
niecie) oraz obrót.
Omówimy teraz podstawowe wlasności pewnych krzywych stopnia drugiego.
Definicja 9.1.1. Elipsa nazywamy krzywa bedaca zbiorem punktów plaszczyny, których
wspólrzedne spelniaja równanie
x2 y2
+ = 1 (9.1.1)
a2 b2
oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przeksztalcenie izometryczne plaszczy-
zny.
8
Licze 2a nazywamy osia wielka elipsy, a liczbe 2b-osia mala. Punkty (a, 0), (-a, 0), (0, b),
(0, -b) nazywamy wierzcholkami elipsy. Oznaczmy c = | a2 - b2 |. Punkty (c, 0), (-c, 0)
a2 a2
nazywamy ogniskami elipsy, zaś proste o równaniach x = i x = - nazywamy kierow-
c c
nicami elipsy.
Elipsa dana równaniem (9.1.1) ma nastepujace wlasności:
1o. Suma odleglości dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest równa dlugości osi wielkiej.
2o. Stosunek odleglości dowolnego punktu elipsy od ogniska do jego odleglości od kierow-
nicy jest mniejszy od 1.
3o. Środkiem symetrii elipsy jest punkt (0, 0).
4o. Proste x = 0 i y = 0 sa osiami symetrii elipsy.
Elpise możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka plaszczyzna, która przecina
jego tworzaca pod katem ostrym.
Definicja 9.1.2. Hiperbola nazywamy krzywa bedaca zbiorem punktów plaszczyny, któ-
rych wspólrzedne spelniaja równanie
x2 y2
- = 1 (9.1.2)
a2 b2
oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przeksztalcenie izometryczne plaszczy-
zny.
9
Licze 2a nazywamy osia rzeczywista hiperboli , a liczbe 2b-osia urojona. Punkty (a, 0) i
"
(-a, 0) nazywamy wierzcholkami hiperboli. Niech c = a2 + b2. Punkty (c, 0), (-c, 0)
a2 a2
nazywamy ogniskami hiperboli, zaś proste x = i x = - -jej kierownicami.
c c
Hiperbola dana równaniem (9.1.2) ma nastepujace wlasności:
1o. Wartość bezwzgledna różnicy odleglości dowolnego punktu hiperboli od jej ognisk jest
równa dlugości osi rzeczywistej.
2o. Stosunek odleglości dowolnego punktu hiperboli od ogniska do jego odleglości od
kierownicy jest wiekszy od 1.
3o. Środkiem symetrii hiperboli jest punkt (0, 0).
4o. Proste x = 0 i y = 0 sa osiami symetrii hiperboli.
b b
5o. Proste y = x i y = - x sa asymtotami hiperboli.
a a
Hiperbole możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka plaszczyzna, która prze-
cina jego tworzaca pod katem rozwartym.
Definicja 9.1.3. Parabola nazywamy krzywa bedaca zbiorem punktów plaszczyny, któ-
rych wspólrzedne spelniaja równanie
y2 = 2px, p > 0 (9.1.3)
oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przeksztalcenie izometryczne plaszczy-
zny.
10
p
Punkt (0, 0) nazywamy wierzcholkiem paraboli. Ogniskiem paraboli nazywamy punkt ( , 0),
2
p
a prosta o równaniu x = - -kierownica paraboli .
2
Parabola dana równaniem (9.1.3) ma nastepujace wlasności:
1o. Dowolny punkt paraboli jest jednakowo odlegly od jej ogniska i kierownicy.
2o. Parabola nie ma środka symetrii.
3o. Osia symetrii paraboli jest prosta y = 0.
Parabole możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka plaszczyzna równolegla
do jego tworzacej.
9.2. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany.
Niech V bedzie zbiorem wektorów przestrzeni, tzn. odcinków, którym nadano kieru-


nek i zwrot, a K zbiorem liczb rzeczywistych. Suma wektorów a i b nazywamy wektor,


który jest przekatna równolegloboku rozpietego na wektorach a i b . Iloczynem wektora

v przez liczbe rzeczywista ą " K w nazywamy wektor ą � v , który ma taki sam kierunek i

zwrot jak wektor v , a jego dlugość jest ą-razy wieksza od dlugości wektora v , jeżeli ą e" 1;

jeżeli 0 < ą < 1, to wektor ą � v ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor v , a jego dlugość

jest ą-razy mniejsza od dlugości wektora v ; jeżeli ą < 0, to wektor ą � v ma przeciwny

zwrot do wektora v , a jego dlugość jest ą-razy wieksza, gdy | ą |e" 1 i ą-razy mniejsza,


gdy | ą |< 1; jeżeli ą = 0, to ą � v = 0 , gdzie 0 jest wektorem zerowym.


Na elementach zbioru V zdefiniujemy jeszcze inne dzialania. Różnica wektorów a i b


nazywamy wektor bedacy suma wektora a i wektora - b , gdzie wektor - b jest wektorem

powstalym poprzez pomnożenie wektora b przez liczbe -1.
Ważnymi ze wzgledu na zastosowania, dzialaniami na wektorach sa iloczyn skalarny,
wektorowy i mieszany.

Definicja 9.2.1. Iloczynem skalarnym wektorów v i w nazywamy licze dana wzorem

v ć% w =| v || w | cos( v , w),

gdzie | v | oznacza dlugość wektora v , a ( v , w) miare kata miedzy wektorami v i w.
Iloczyn skalarny ma nastepujace wlasności

1. vć% w = w ć% v ,

2. ( v ć% w) ć% u = v ć% (w ć% u),

3. v ć% (w + u) = v ć% w + v ć% u,

4. (ą � v ) ć% w = ą � ( v ć% w),
11

5. v ć% v =| v |2.
Wektor, którgo dlugość jest różna od zera nazywać bedziemy wektorem niezerowym.

Wektor zerowy oznaczać bedziemy przez 0 , wektor ten ma dlugość równa zero i zakladamy,
że nie ma on ani kierunku, ani zwrotu.
Ą
Powiemy, że wektory sa prostopadle, gdy miara kata miedzy nimi jest równa .
2
Jeżeli miara kata miedzy wektorami jest równa 0 lub Ą, to wektory nazywać bedziemy
równoleglymi.

Twierdzenie 9.2.1. Niezerowe wektory v i w sa prostopadle wtedy i tylko wtedy, gdy

v ć% w = 0.

Dowód. Zalóżmy najpierw, że wektory v i w sa prostopadle. Wtedy cos( v , w) = 0. Z

definicji 9.2.1 wynika wiec, że v ć% w = 0. Jeżeli zalożymy, że v ć% w = 0 oraz że wektory v

Ą
i w sa niezerowe, to wtedy z definicji 9.2.1 wynika, że cos( v , w) = 0. Zatem ( v , w) = ,
2

co oznacza, że wektory v i w sa prostopadle.
Z definicji iloczynu skalarnego oraz z powyższego twierdzenia wynikaja nastepujace
ważne zastosowania iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny możemy wykorzystać do
1. obliczenia dlugości wektora korzystajac ze wzoru

| v |= v ć% v ,
2. wyznaczenia cosinusa kata miedzy wektorami ze wzoru

v ć% w

cos( v , w) = ,

| v || w |
3. sprawdzenia, czy wektory sa prostopadle w oparciu o warunek

v ć% w = 0.

Definicja 9.2.2. Iloczynem wektorowym wektorów v i w nazywamy wektor u = v � w
spelniajacy warunki

1. kierunek wektora u jest taki, że wektor ten jest prostopadly do wektora v oraz do

wektora w,

2. zwrot wektora u wyznaczony jest przez regule śruby prawoskretnej,

3. dlugość wektora u dana jest wzorem

| u |=| v || w | sin( v , w).
12
Iloczyn wektorowy ma nastepujace wlasności

1. v � w = -w � v ,

2. v � (w + u) = v � w + v � u,

3. ą � ( v � w) = (ą � v ) � w,

Twierdzenie 9.2.2. Niezerowe wektory v i w sa równolegle wtedy i tylko wtedy, gdy


v � w = 0 .

Dowód. Jeżeli zalożymy, że wektory v i w sa równolegle, to z definicji 9.2.2 mamy

| v � w |=| v || w | sin 0 = 0.


Jeżeli natomiast zalożymy, że v � w = 0 , to z definicji 9.2.2 mamy sin( v , w) = 0. Zatem

( v , w) = 0 lub ( v , w) = Ą, co kończy dowód.

Zauważmy, że dlugość iloczynu wektorowego v � w dana jest wzorem znanym jako

pole równolegloboku rozpietego na wektorach v i w.
Z powyższych rozważań możemy wywnioskować nastepujace zastosowania iloczynu
wektorowego.
Iloczyn wektorowy możemy wykorzystać do

1. obliczenia pola równolegloboku rozpietego na wektorach v i w wzorem

P =| v � w |,

2. obliczenia pola trójkata rozpietego na wektorach v i w wzorem
1

P = | v � w |,
2
3. sprawdzenia czy wektory sa równolegle w oparciu o warunek


v � w = 0 .

Definicja 9.2.3. Iloczynem mieszanym wektorów v , w i u nazywamy liczbe równa

iloczynowi skalarnemu wektora v i wektora bedacego iloczynem wektorowym wektora w

przez wektor u, tzn. v ć% (w � u).
Z powyższej definicji wynika, że zamiana miejscami dwóch wektorów w iloczynie
mieszanym zmienia jego znak na przeciwny.
Zauważmy, że

v ć% (w � u) =| v || w � u | cos( v , w � u),
13

gdzie | w � u | równa sie, polu równolegloboku rozpietego na wektorach w i u,

a | v | cos( v , w� u) równa sie dlugości wektora równoleglego do wektora w�u. Stad oraz z
poniższego rysunku wynika, że iloczyn mieszany można geometrycznie zinterpretować jako

objetość równoleglościanu rozpietego na wektorach v , w i u.

Twierdzenie 9.2.4. Niezerowe wektory v , w i u leża na jednej plaszczyz
nie wtedy i
tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zero.

Dowód. Jeżeli wektory v , w i u leża na tej samej plaszczyz
nie, to albo w � u = 0 albo

wektor w � u jest prostopadly do wektora v . Zatem v ć% (w � u) = 0.


Jeżeli v ć%(w � u) = 0, to znaczy, że wektory v i w � u sa prostopadle lub w � u = 0 .
Wobec tego istnieje plaszczyzna, na której leża te wektory.
Z powyższych rozważań wynika, że iloczyn mieszany możemy wykorzystać do

1. obliczenia objetości równolegloboku rozpietego na wektorach v , w i u korzystajac ze
wzoru

V =| v ć% (w � u) |,
gdzie | � | w powyższym wzorze oznacza wartość bezwzgledna.
14

2. obliczenia objetości czworościanu rozpietego na wektorach v , w i u ze wzoru
1

V = | v ć% (w � u) |,
6
3. sprawdzenia, czy wektory leża na jednej plaszczyz
nie w oparciu o warunek

v ć% (w � u) = 0.
Jeżeli w dowolnym punkcie przestrzeni wprowadzimy uklad wspólrzednych prostokatnych,
tj. trójke osi liczbowych wzajemnie prostopadlych, to każdemu punktowi przestrzeni
możemy przyporzadkować dokladnie jedna uporzadkowana trójke liczbowa zwana wspól-
rzednymi punktu, i na odwrót, każdej uporzadkowanej trójce liczb rzeczywistych od-

powiada dokladnie jeden punkt przestrzeni. Ponadto każdemu wektorowi AB możemy
przyporzadkować trójke liczb rzeczywistych zwanych wspólrzednymi wektora, w nastepu-

jacy sposób: jeżeli A(a1, a2, a3) i B(b1, b2, b3), to AB = [b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3]. W
ten sposób elementy zbioru V możemy traktować jako uporzadkowane trójki liczb rzeczy-

wistych. Niech v = [v1, v2, v3] i niech w = [w1, w2, w3]. Wtedy dodawanie wektorów
zdefiniowane bedzie wzorem

v + w = [v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3],
natomiast mnożenie wektora przez liczbe definiuje wzór

ą � v = [ąv1, ąv2, ąv3].
Wektory

i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1],

nazywa sie wersorami ukladu wspólrzednych. Wektor i jest wersorem osi OX, wektor

j -osi OY , a k jest wersorem osi OZ.
Dzialania określone w definicjach 9.2.1, 9.2.2 i 9.2.4 wyrażaja sie nastepujacymi wzo-
rami

iloczyn skalarny: v ć% = v1w1 + v2w2 + v3w3,
w

iloczyn wektorowy: v � w = [v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1],
co można zapisać w nastepujacy sposób

i j k

v � w =
v1 v2 v3 ,
w1 w2 w3
iloczyn mieszany:
v1 v2 v3

v ć% (w � u) = w1 w2 w3 .
u1 u2 u3
15


Zadanie 9.2.1. Obliczyć dlugość wektora v = 4 a + 2 b , jeżeli wiadomo, że | a |= 2,


Ą
| b |= 3 i ( a , b ) = .
6


Zadanie 9.2.2. Obliczyć kat miedzy wektorami v i w, jeżeli wiadomo, że v = 3 a + b ,


Ą
w = b - 2 a oraz | a |= 1, | b |= 2 i ( a , b ) = .
2


Zadanie 9.2.2. Obliczyć kat miedzy wektorami v = 3 a + 2 b i w = a + 5 b , jeżeli


wektory a i b sa wzajemnie prostopadlymi wektorami jednostkowymi.

Zadanie 9.2.3. Wykazać, że jeżeli dwa niezerowe wektory v i w spelniaja warunek

| v + w |=| v - w |, to sa one prostopadle.

Zadanie 9.2.4. Wyznaczyć miare kata jaki tworza niezerowe wektory v i w, jeżeli wektor
"

v jest dwa razy dluższy niż wektor w oraz | v - w |= 3 | w |.


Zadanie 9.2.5. Określić wzajemne polożenie wektorów u = a + 2 b , v = 2 a - b i


w = 2 b - 4 a , jeżeli wektory a i b sa wzajemnie prostopadle i jednostkowe.


Zadanie 9.2.6. Dane sa wektory a = [2, 3, 4], b = [1, 0, 1] i c = [1, 2, -1]. Znalez
ć


1
dlugość wektora v = 2( a ć% b ) � c + ( b ć% b ) � a + ( a ć% c ) � b .
25


Zadanie 9.2.7. Dane sa wektory a = [3, -1, -2], b = [1, 2, -1]. Znalez
ć dlugość wektora


w = (2 a + b ) � b .

Zadanie 9.2.8. Obliczyć tangens kata zawartego miedzy wektorami a = [0, 1, 2]

i b = [2, -1, 0].

Zadanie 9.2.9. Obliczyć pole równolegloboku rozpietego na wektorach a = [1, 1, 1] i

b = [0, 2, 3].

Zadanie 9.2.10. Obliczyć objetość czworościanu rozpietego na wektorach a = [0, 1, 1],


b = [2, 0, -2] i c = [1, -1, 3].
16
9.3. Równania plaszczyzny i prostej w przestrzeni.
Plaszczyzne w przestrzeni euklidesowej możemy wyznaczyć w jeden z nastepujacych
sposobów.
I. Niech dany bedzie punkt P0(x0, y0, z0) leżacy na plaszczyz
nie Ą oraz niezerowy wektor

n = [A, B, C] prostopadly do tej plaszczyzny. Wtedy dowolny punkt P (x, y, z) plaszczyzny
Ą spelnia równanie


n ć% P0P = 0.
Stad otrzymujemy równanie plaszczyzny przechodzacej przez dany punkt i prostopadlej do
danego wektora
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (9.2.1)
Opuszczajac nawiasy i kladac D = -Ax0 - By0 - Cz0 otrzymamy równanie ogólne
plaszczyzny postaci
Ax + By + Cz + D = 0.
Jeżeli D = 0, to dzielac stronami przez D powyższe równanie możemy plaszczyzne przed-

stawić w tzw. postaci odcinkowej
x y z
+ + = 1,
a b c
D D D
gdzie a = - , b = - , c = - . Plaszczyzna ta odcina na osi OX odcinek dlugości
A B C
| a |, na osi OY odcinek dlugości | b |, a na osi OZ-| c | (mierzac od poczatku ukladu
wspólrzednych).

Wektor n prostopadly do plaszczyzny nazywamy wektorem normalnym plaszczyzny.

II. Niech oprócz punktu P0 dane beda dwa nierównolegle wektory v = [vx, vy, vz] i

w = [wx, wy, wz] do których plaszczyzna Ą jest równolegla. Wtedy dowolny punkt P

plaszczyzny tworzy z punktem P0 wektor bedacy kombinacja liniowa wektorów v i w, tj.


P0P = t v + sw, t, s " R.
Mamy zatem
ńł
x
�ł - x0 = tvx + swx
y - y0 = tvy + swy
ół
z - z0 = tvz + swz
Stad otrzymujemy nastepujace równania parametryczne plaszczyzny
ńł
x = x0 + tvx + swx
�ł
y = y0 + tvy + swy t, s " R.
ół
z = z0 + tvz + swz
17

W tym przypadku wektor normalny plaszczyzny jest iloczynem wektorowym wektorów v

i w.
III. Niech teraz dane beda trzy punkty P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2). Trzy
punkty w przestrzeni wyznaczaja dokladnie jedna plaszczyzne, zatem dowolny punkt P tej

plaszczyzny z punktem P0 utworzy wektor, który jest kombinacja liniowa wektorów P0P1

i P0P2. Wektory P0P , P0P1 i P0P2 leża wiec na jednej plaszczyz
nie, a zatem spelniona
jest równość
x - x0 x1 - x0 x2 - x0
y - y0 y1 - y0 y2 - y0 = 0.
z - z0 z1 - z0 z2 - z0
Powyższe równanie nazywa sie równaniem plaszczyzny przechodzacej przez trzy punkty.

Niech dane beda dwie plaszczyzny, jedna z wektorem normalnym w, a druga z wektorem

normalnym v . Plaszczyzny te moga być


1. równolegle, jeśli ich wektory normalne sa równolegle, tj. gdy v � w = 0 ,

2. prostopadle, jeśli ich wektory normalne sa prostopadle, tj. gdy v ć% w = 0,


3. przecinać sie pod dowolnym katem, wtedy v � w = 0 '" v ć% w = 0.

Podane teraz beda sposoby wyznaczania prostej w przestrzeni euklidesowej.
I. Niech prosta l przechodzi przez punkt P0(x0, y0, z0) i niech bedzie równolegla do nieze-

rowego wektora v = [vx, vy, vz]. Wówczas każdy punkt P (x, y, z) leżacy na tej prostej
spelnia warunek


P0P = t v , t " R.
Stad mamy
ńł
x
�ł - x0 = tvx
y - y0 = tvy
ół
z - z0 = tvz
A zatem otrzymujemy nastepujace równania parametryczne prostej
ńł
x = x0 + tvx
�ł
y = y0 + tvy t, s " R.
ół
z = z0 + tvz
Zauważmy, że wyznaczajac z każdego z tych równań parametr t możemy napisać nastepu-
jacy ciag równości
x - x0 y - y0 z - z0
= = ,
vx vy vz
które sa nazywane równaniami kierunkowymi prostej.
18

Wektor v równolegly do prostej nazywać bedziemy wektorem kierunkowym prostej.
II. Prosta możemy również zadać jako cześć wspólna dwóch nierównoleglych plaszczyzn,
tj.
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Mówimy wtedy, że prosta dana jest równaniami krawedziowymi.
Oczywiście powyższe równania opisuja prosta tylko wtedy, gdy macierz glówna i
uzupelniona tego ukladu sa tego samego rzedu.
W tym przypadku wektor kierunkowy prostej jest iloczynem wektorowym wektorów
normalnych powyższych plaszczyzn, tj.

v = [A1, B1, C1] � [A2, B2, C2].
Niech dane beda dwie proste w przestrzeni
x - x1 y - y1 z - z1 x - x2 y - y2 z - z2
l : = = , k : = = .
ax ay az bx by bz

Jak latwo zauważyć wektorem kierunkowym prostej l jest wektor a = [ax, ay, az], a wek-

torem kierunkowym prostej k jest wektor b = [bx, by, bz]. Niech
x1 - x2 y1 - y2 z1 - z2
W = ax ay az .
bx by bz
Określimy teraz wzajemne polożenie prostych.
1. proste sa skośne, tzn. nie maja punktów wspólnych i nie leża w jednej plaszczyz
nie,
jeżeli
W = 0.

2. proste sa równolegle, tzn. nie maja punktów wspólnych i leża w jednej plaszczyz
nie,
jeżeli


W = 0 i a � b = 0.
3. proste sa prostopadle, jeśli


W = 0 i a ć% b = 0
4. proste przecinaja sie, jeśli


W = 0 i a � b = 0.

Powróćmy jeszcze do sposobów wyznaczania plaszczyzny. Z wcześniejszych rozważań
wynika, że aby określić równanie plaszczyzny należy przede wszystkim znać wspólrzedne
jej wektora normalnego oraz dowolnego punktu leżacego na tej plaszczyz
nie.
19
Podamy teraz jeszcze dwa sposoby wyznaczania plaszczyzny.
IV. Jeżeli plaszczyzna jest równolegla do dwóch prostych wzajemnie równoleglych, to jej
wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektora kierunkowego prostych oraz wektora,
którego poczatek leży na jednej prostej, a koniec na drugiej. Majac wektor normalny i
wybierajac dowolny punkt z jednej prostej możemy napisać równanie ogólne plaszczyzny.
V. Jeżeli plaszczyzna jest równolegla do dwóch przecinajacych sie prostych to jej wek-
tor normalny jest iloczynem wektorowym wektorów kierunkowych tych prostych. Majac
wektor normalny i wybierajac dowolny punkt z jednej prostej możemy napisać równanie
ogólne plaszczyzny.
W dalszej cześci tego paragrafu omówione beda sposoby obliczania odleglości miedzy
punktami, prostymi i plaszczyznami w przestrzeni euklidesowej.
A.
Odleglość punktu A(a1, a2, a3) od punktu B(b1, b2, b3) wyznacza sie jako dlugość wek-

tora wektora AB. Mamy zatem
AB = (b1 - a1)2 + (b2 - a2)2 + (b3 - a3)2.
B.
x - x0 y - y0 z - z0
Niech dana bedzie prosta l : = = . Odleglość punktu A od
vx vy vz

prostej l możemy obliczyć jako wysokość równolegloboku rozpietego na wektorach v =

[vx, vy, vz] i MA, gdzie M(x0, y0, z0). W tym celu wykorzystamy dwa równoważne wzory
na pole P tego równolegloboku.
20
Mamy zatem


P =| v � MA | P =| v | �h,
gdzie h jest szukana wysokościa. Stad otrzymujemy nastepujacy wzór na odleglość punktu
A od prostej l


| v � MA |
d(A, l) = .

| v |
C.
Rozważmy plaszczyzne Ą dana równaniem Ax + By + Cz + D = 0. Odleglość punktu

P (x0, y0, z0) od tej plaszczyzny jest równa dlugości rzutu wektora MP , gdzie M(x1, y1, z1)

jest dowolnym punktem plaszczyzny, na kierunek wektora n = [A, B, C], który jest wek-
torem normalnym plaszczyzny Ą.
21
Mamy wiec
d
cos ą = .

| MP |
Stad oraz ze wzoru na cosinus kata miedzy wektorami otrzymujemy



P M ć% n
d =| MP |


| MP | � | v |
A(x0 - x1) + B(y0 - y1) + C(z0 - z1)
= " .
A2 + B2 + C2
Ponieważ punkt M leży na plaszczyz
nie Ą, to jego wspólrzedne spelniaja równanie tej
plaszczyzny, zatem mamy
-Ax1 - By1 - Cx1 = D.
Stad otrzymujemy nastepujacy wzór na odleglość punktu P od plaszczyzny Ą
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
d(P, Ą) = " .
A2 + B2 + C2
Wartość bezwzgledna w liczniku znalazla sie z tego powodu, że odleglość nie może być
liczba ujemna.
D.

Niech dane beda dwie proste równolegle k i l o wektorze kierunkowym v . Prosta k
niech przechodzi przez punkt A, a prosta l-przez punkt B. Odleglość miedzy tymi prostymi
możemy obliczyć jako odleglość punktu A od prostej l korzystajac ze wzoru podanego w
punkcie (B). Mamy wiec


| v � AB |
d(l, k) = .

| v |
E.
Rozważmy dwie proste skośne
x - x1 y - y1 z - z1 x - x2 y - y2 z - z2
l : = = , k : = = .
ax ay az bx by bz
22
Jak latwo zauważyć odleglość miedzy tymi prostymi równa jest wysokości równole-


glościanu rozpietego na wektorach a , b i KL, gdzie KL = [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2].
Korzystajac z dwóch równoważnych wzorów na objetość V tego równoleglościanu otrzy-
mujemy


V =| KL ć% ( a � b ) | V =| a � b | �h,
gdzie h jest szukana wysokościa równoleglościanu. Stad otrzymujemy nastepujacy wzór na
odleglość miedzy prostymi skośnymi


| KL ć% ( a � b ) |
d(l, k) = .


| a � b |
F.

Niech dane beda dwie plaszczyzny ą i � o wektorze normalnym n. Niech plaszczyzna ą
przechodzi przez punkt A, a plaszczyzna �-przez B. Odleglość miedzy tymi plaszczyznami
obliczymy jako odleglość punktu A od plaszczyzny �. Korzystajac ze wzoru danego w
punkcie (C) otrzymujemy
| Ax0 + By0 + Cz0 + d |
d(ą, �) = " ,
A2 + B2 + C2
gdzie (x0, y0, z0) sa wspólrzednymi punktu A.
Zadanie 9.3.1. Dany jest czworościan o wierzcholkach A(1, 0, -2),B(2, 1, -1),C(2, -2, 0)
oraz D. Wyznaczyć dlugość wysokości poprowadzonej z wierzcholka A wiedzac, że punkt
x + 2 y + 4 z - 2 1
D leży na prostej l : = = , zaś objetość czworościanu wynosi .
3 2 -3 6
Zadanie 9.3.2. Napisać równanie prostej przechodzacej przez punkt A(1, 2, -1), przeci-
x - 2 y + 1 z + 3
najacej prosta k : = = oraz równoleglej do plaszczyzny
3 -1 2
Ą : 2x - 3y - z + 5 = 0.
Zadanie 9.3.3. Znalez
ć równanie plaszczyzny Ą przechodzacej przez prosta l i poczatek
ukladu wspólrzednych, jeżeli prosta l przechodzi przez punkt P (1, -1, 0) i przecina prosto-
x - z - 3 = 0
padle prosta k : .
y + 2z + 3 = 0
23
2x - y + z - 1 = 0
Zadanie 9.3.4. Wyznaczyć rzut prostej na plaszczyzne
x + y - z + 1 = 0
Ą : x + 2y - z = 0.
Zadanie 9.3.5. Przez punkt A(0, 1, 1) poprowadzić prosta przecinajaca prosta
x - 1 = 0 y + 1 = 0
l : i prostopadla do prostej l :
z + 1 = 0 x + 2y - 7z = 0.
Zadanie 9.3.6. Napisać równanie plaszczyzny przechodzacej przez punkt B i prosta
l, jeżeli punkt B jest punktem przebicia plaszczyzny ą : x + 2y + 2z + 3 = 0 prosta
x + 2 y + 1 z
k : = = , zaś prosta l jest cześcia wspólna plaszczyzn � : 2x - 2y - z = 0
-1 2 -1
i ł : -x + 2y + 3z - 1 = 0.
Zadanie 9.3.7. Znalez
ć równanie plaszczyzny przecinajacej prostopadle proste
ńł ńł
x = 1 + t x = 2 + 4t
�ł �ł
l : y = -1 - 2t t " R k : y = -t t " R
ół ół
z = 3 - t z = -1 + 2t
9.4. Powierzchnie stopnia drugiego.
W przestrzeni euklidesowej równanie pierwszego stopnia (ze wzgledu na zmienne x, y
i z) opisuje plaszczyzne. Równania, w których wspólrzedne dowolnego punktu przestrzeni
P (x, y, z) wystepuja w drugiej potedze opisuja pewne powierzchnie zwane powierzchni-
ami stopnia drugiego. Podamy tak zwane równania kanoniczne najcześciej spotykanych
powierzchni stopnia drugiego oraz równania krzywych jakie otrzymamy w przecieciu tych
powierzchni z plaszczyznami ukladu wspólrzednych.
Zauważmy, że wektorem normalny do plaszczyzny XY jest wersor osi OZ. Ponadto
plaszczyzna XY przechodzi przez punkt O(0, 0, 0). Korzystajac z równania (9.2.1) otrzy-
mujemy równanie plaszczyzny XY , tj. z = 0. Podobnie otrzymamy, że równanie x = 0
jest równaniem plaszczyzny Y Z, a równanie y = 0 opisuje plaszczyzne XZ.
24
Do powierzchni stopnia drugiego zaliczamy miedzy innymi nastepujace powirzchnie
1.
Elipsoida nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2 z2
+ + = 1.
a2 b2 c2
W przecieciu elipsoidy plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy nastepujace
krzywe:
z = 0
" z plaszczyzna XY -elipse
x2 y2
+ = 1
a2 b2
x = 0
" z plaszczyzna Y Z-elipse
y2 z2
+ = 1
b2 c2
ńł
y = 0
�ł
" z plaszczyzna XZ-elipse
x2 z2
ół
+ = 1
a2 c2
Zauwżmy, że dla a = b = c = r > 0 otrzymamy powierzchnie zwana sfera o środku w
punkcie (0, 0, 0) i promieniu r. Ogólne równanie sfery o środku (x0, y0, z0) i promieniu r
ma postać (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2.
25
2.
Hiperboloida jednopowlokowa nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2 z2
+ - = 1.
a2 b2 c2
W przecieciu hiperboloidy jednopowlokowej plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzy-
mujemy nastepujace krzywe
z = 0
" z plaszczyzna XY -elipse
x2 y2
+ = 1
a2 b2
x = 0
" z plaszczyzna Y Z-hiperbole
y2 z2
- = 1
b2 c2
ńł
y = 0
�ł
" z plaszczyzna XZ-hiperbole
x2 z2
ół
- = 1
a2 c2
26
3.
Hiperboloida dwupowlokowa nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2 z2
+ - = -1.
a2 b2 c2
W przecieciu hiperboloidy dwupowlokowej plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymu-
jemy nastepujace krzywe
" z plaszczyzna XY -zbiór pusty
x = 0
" z plaszczyzna Y Z-hiperbole
z2 y2
- = 1
c2 b2
ńł
y = 0
�ł
" z plaszczyzna XZ-hiperbole
z2 x2
ół
- = 1
c2 a2
27
4.
Stożkiem nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2 z2
+ - = 0.
a2 b2 c2
W przecieciu stożka plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy nastepujace krzy-
we
" z plaszczyzna XY -punkt (0, 0, 0)
x = 0 x = 0
c c
" z plaszczyzna Y Z-pare prostych ("
z = y z = - y
b b
x = 0 x = 0
c c
" z plaszczyzna XZ-pare prostych ("
z = x z = - x
a a
28
5.
Parabolioda eliptyczna nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2
z = + .
a2 b2
W przecieciu paraboloidy eliptycznej plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy
nastepujace krzywe
" z plaszczyzna XY -punkt (0, 0, 0)
x = 0
" z plaszczyzna Y Z-prabole 1
z = y2
b2
y = 0
" z plaszczyzna XZ-parabole
1
z = x2
a2
29
6.
Parabolioda hiperboliczna nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2
z = - .
a2 b2
W przecieciu paraboloidy hiperbolicznej plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymu-
jemy nastepujace krzywe
z = 0 x = 0
" z plaszczyzna XY -pare prostych b (" b
y = x y = - x
a a
x = 0
" z plaszczyzna Y Z-prabole 1
z = - y2
b2
y = 0
" z plaszczyzna XZ-parabole
1
z = x2
a2
30
7.
Walcem eliptycznym nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2
+ = 1.
a2 b2
W przecieciu walca eliptycznego plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy naste-
pujace krzywe
z = 0
" z plaszczyzna XY -elipse
x2 y2
+ = 1
a2 b2
x = 0 x = 0
" z plaszczyzna Y Z-pare prostych ("
y = b y = -b
y = 0 y = 0
" z plaszczyzna XZ-prae prostych ("
x = a x = -a
31
8.
Walcem hiperbolicznym nazywamy powierzchnie dana równaniem
x2 y2
- = 1.
a2 b2
W przecieciu walca hiperbolicznego plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy
nastepujace krzywe
z = 0
" z plaszczyzna XY -hiperbole
x2 y2
- = 1
a2 b2
" z plaszczyzna Y Z-zbiór pusty
y = 0 y = 0
" z plaszczyzna XZ-pare prostych ("
x = a x = -a
32
9.
Walcem parabolicznym nazywamy powierzchnie dana równaniem y2 = 2px.
W przecieciu walca parabolicznego plaszczyznami ukladu wspólrzednych otrzymujemy
nastepujace krzywe
z = 0
" z plaszczyzna XY -parabole
y2 = 2px
ńł
y = 0
�ł
�ł
" z plaszczyzna Y Z-oś OZ x = 0 t " R
�ł
ół
z = t,
ńł
y = 0
�ł
�ł
" z plaszczyzna XZ-oś OZ x = 0 t " R
�ł
ół
z = t,
Zadanie 9.4.1. Znalez
ć środek i promień sfery o równaniu x2+y2+z2+2x-4y+6z-2 = 0.
Zadanie 9.4.2. Jakie powierzchnie określaja równania
x2 y2 + z2
a) - + = 0, b) x2 - y2 - z2 = 1,
5 2
y2 z2
c) + = 1, d) x2 + y2 - z = 0,
9 16
y2 x2
Zadanie 9.4.3. Zbadać jaka powierzchnie opisuje równanie z = - , a nastepnie
9 4
wyznaczyć krzywe jakie otrzymamy przecinajac ta powierzchnie plaszczyznami: z = 1,
x = 3 i y = -2.
33
10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.
W rozdziale 10 rozważać bedziemy przede wszystkim funkcje określone na podzbiorach
plaszczyzny R2 o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Analizować bedziemy różne
ich wlasności w oparciu o rachunek pochodnych. Bedziemy chcieli w tym rozdziale dokonać
pewnych uogólnień dotyczacych funkcji jednej zmiennej na funkcje wielu zmiennych.
10.1. Granica i ciaglość funkcji wielu zmiennych.
Na poczatku zdefiniujemy pewne pojecia zwiazane z otoczeniem i sasiedztwem punk-
tów plaszczyzny. Otoczeniem punktu P0(x0, y0) o promieniu r nazywamy zbiór
O(P0, r) = {P : P P0 < r}.
Jak latwo zauważyć otoczeniem punktu P (x0, y0) o promieniu r na plaszczyz
nie jest kolo
otwarte o promieniu r i środku (x0, y0)
O((x0, y0), r) = {(x, y) : (x - x0)2 + (y - y0)2 < r}.
Sasiedztwem punktu P0(x0, y0) o promieniu r nazywamy zbiór
S(P0, r) = {P : P P0 < r} - {P0}.
W tym przypadku możemy zauważyć, że sasiedztwem punktu P (x0, y0) o promieniu r na
plaszczyz
nie jest kolo otwarte o promieniu r i środku (x0, y0) bez tego środka.
Zdefiniujemy teraz pewne zbiory na plaszczyz
nie. Zbiór A nazywamy zbiorem ogranic-
zonym jeśli istnieje taki punkt P0 i liczba r > 0, że
A �" O(P0, r),
gdzie O(P0, r) oznacza otoczenie punktu P0 o promieniu r. W przeciwnym przypadku
zbiór A nazywać bedziemy nieograniczonym.
Punkt P nazywamy punktem wewnetrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
O(P, r) �" A.
r>0
Zbiór punktów wewnetrznych zbioru A nazywamy wnetrzem zbioru.
Punkt P nazywamy punktem zewnetrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy
on do dopelnienia wnetrza zbioru. Zbiór punktów zewnetrznych zbioru A nazywamy
zewnetrzem zbioru.
Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
O(P, r) )" A = " '" O(P, r) )" A = ",

r>0
34
gdzie A oznacza dopelnienie zbioru A. Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy
brzegiem zbioru. Zauważmy, że w każdym otoczeniu punktu brzegowego znajduja sie
punkty wewnetrzne i zewnetrzne zbioru.
Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
S(P, r) )" A = ",

r>0
gdzie S(P, r) oznacza sasiedztwo punktu P o promieniu r. Zauważmy, że w każdym
sasiedztwie punktu skupienia można znalez
ć punkty zbioru A. Ponadto punkty brzegowe
i wewnetrzne zbioru sa jego punktami skupienia.
Zbiorem otwartym nazywać bedziemy zbiór zawierajacy tylko punkty wewnetrzne.
Zbiorem domknietym nazywać bedziemy zbiór zlożony ze swoich punktów wewnetrznych i
brzegowych.
Definicja 10.1.1. Ciagiem punktów {(xn, yn)}na plaszczyz
nie nazywamy odwzorowanie,
które każdej liczbie naturalnej n przyporzadkowuje dokladnie jeden punkt plaszczyzny o
wspólrzednych (xn, yn).
n-ty wyraz ciagu oznaczać bedziemy w nastepujacy sposób Pn = (xn, yn).
1 1
Przykladem ciagu punktów sa ciagi (sin n, 2) , , , (n3, n cos n!) .
n n2 + 1
Definicja 10.1.2. Ciag {Pn} �" R2 jest zbieżny do punktu P0(x0, y0) wtedy i tylko wtedy,
gdy
PnP0 < �.
�>0
�>0n>�
Oznacza to, że ciag Pn jest zbieżny do punktu P0, jeśli dla dowolnie wybranej liczby �
potrafimy wyznaczyć taka liczbe �, że dla n > � odleglość n-tego wyrazu tego ciagu od
punktu P0 nie przekracza �, tj. wszystkie wyrazy tego ciagu, z wyjatkiem skończonej ich
liczby, znajduja sie w kole otwartym o środku P0 i promieniu �.
Powyższy warunek możemy zapisać w nastepujacej postaci
lim (xn, yn) = (x0, y0) �! (xn - x0)2 + (yn - y0)2 < �.
n"
�>0
�>0n>�
Oczywiście warunek z definicji zachodzi tylko wtedy, gdy
| x - x0 |< �'" | y - y0 |< �.
�>0
�>0n>�
Zauważmy ponadto, że punkt P0 jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje taki ciag {Pn} �" A, że
Pn = P0 '" lim Pn = P0.

n"
n"N
35
Powiemy, że ciag punktów Pn = (xn, yn) jest rozbieżny, gdy lim xn = " i lim yn = ".
n" n"
Przyklad 10.1.1.
"
n + 1
n
lim n, = (1, 1),
n"
n
n n
2 1
lim , 1 + = (0, e),
n"
3 n
n + 2 n - 1
lim , = (0, 0).
n" - 1 n3 + n
n2
Zalóżmy, że punkt P0(x0, y0) jest pewnym punktem skupienia zbioru A. Powiemy,
że punkt (+", +") jest punktem skupienia zbioru A jeżeli w tym zbiorze znajduja sie
punkty o dowolnie dużych wspólrzednych dodatnich i odpowiednio punkt (-", -") jest
punktem skupienia zbioru A jeżeli w tym zbiorze znajduja sie punkty o dowolnie malych
wspólrzednych ujemnych.
Niech f : R2 �" A R bedzie funkcja dwóch zmiennych określona na zbiorze A.
Zauważmy, że wykresem funkcji f jest pewna powierzchnia, tj.
W = {(x, y, z) : (x, y) " A '" z = f(x, y)}.
Podamy teraz równoważne definicje granicy wlaściwej oraz niewlaściwej funkcji f w
punkcie (x0, y0).
Definicja 10.1.3. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice wlaściwa g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu punktów (xn, yn)
zbioru A �" R2 takiego, że
(xn, yn) = (x0, y0) '" lim (xn, yn) = (x0, y0)

n"
n"N
granica ciagu o wyrazie ogólnym f(xn, yn) jest równa g.
Definicja 10.1.4. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice niewlaściwa +" wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu punktów
(xn, yn) zbioru A �" R2 takiego, że
(xn, yn) = (x0, y0) '" lim (xn, yn) = +"

n"
n"N
ciag o wyrazie ogólnym f(xn, yn) jest rozbieżny do +".
Definicja 10.1.5. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice niewlaściwa -" wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu punktów
(xn, yn) zbioru A �" R2 takiego, że
(xn, yn) = (x0, y0) '" lim (xn, yn) = -"

n"
n"N
36
ciag o wyrazie ogólnym f(xn, yn) jest rozbieżny do -".
Definicja 10.1.6. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice wlaściwa g wtedy i tylko wtedy, gdy
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < � �!| f(x, y) - g |< � .
�>0
�>0
(x,y)"A
Definicja 10.1.7. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice niewlaściwa +" wtedy i tylko wtedy, gdy
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < � �! f(x, y) > � .
�>0
�>0
(x,y)"A
Definicja 10.1.8. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
(x0, y0) granice niewlaściwa -" wtedy i tylko wtedy, gdy
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < � �! f(x, y) < � .
�>0
�>0
(x,y)"A
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej mamy nastepujace twierdzenie o dzialaniach
artymetycznych na granicach wlaściwych funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie 10.1.1. Jeżeli funkcje f i g maja w punkcie (x0, y0) granice wlaściwe, to
1. lim c � f(x, y) = c lim f(x, y),
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
2. lim [f(x, y) + g(x, y)] = lim f(x, y) + lim g(x, y),
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
3. lim [f(x, y) - g(x, y)] = lim f(x, y) - lim g(x, y),
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
4. lim [f(x, y) � g(x, y)] = lim f(x, y) � lim g(x, y),
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
lim f(x, y)
f(x, y) (x,y)(x0,y0)
5. lim = , o ile funkcja g w otoczeniu punktu (x0, y0)
(x,y)(x0,y0) g(x, y) lim g(x, y)
(x,y)(x0,y0)
nie przyjmuje wartości 0 i granica tej funkcji w punkcie (x0, y0) jest różna od zera.
Dowód. Zalóżmy, że
lim f(x, y) = f '" lim g(x, y) = g.
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
Zatem korzystajac z definicji Cauchy ego granicy wlaściwej funkcji mamy
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < �1 �!| f(x, y) - f |< �1
�1>0
�1>0
(x,y)
37
oraz
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < �2 �!| g(x, y) - g |< �2 .
�2>0
�2>0
(x,y)
Aby udowodnić (1) zauważmy, że dla dowolnego � > 0 mamy
| cf(x, y) - cf |=| c || f(x, y) - f |<| c | �1.
Wobec tego istnieje takie �1 > 0, że
| cf(x, y) - cf |< �
(x,y)"A
gdzie � = c�1. Oznacza, to że istotnie granica funkcji c � f(x, y) jest c � f.
Dla dowodu faktu (2) polóżmy � = min(�1, �2) i zauważmy, że dla dowolnego (x, y) " A
jeśli
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < �,
to
| f(x, y) + g(x, y) - (f + g) |=| f(x, y) - f + g(x, y) - g | .
Korzystajac z nierówności trójkata dla wartości bezwzglednej mamy
| f(x, y) + g(x, y) - (f + g) |<| f(x, y) - f | + | g(x, y) - g |< �1 + �2 = �,
co kończy dowód faktu (2).
Aby udowodnić punkt (3) zauważmy, że dla każdego (x, y) " S((x0, y0), �)
| f(x, y) - g(x, y) - (f - g) |=| f(x, y) - f + g - g(x, y) |
<| f(x, y) - f | + | g(x, y) - g |< �1 + �2 = �.
Ponadto mamy
| f(x, y) � g(x, y) - fg |=| f(x, y) � g(x, y) - fg(x, y) + fg(x, y) - fg |
<| g(x, y) || f(x, y) - f | + | f || g(x, y) - g |
Ponieważ funkcja g ma granice w punkcie (x0, y0), to w otoczeniu tego punktu jest funkcja
ograniczona, tj.
| g(x, y) |< M.
M>0
� �
Kladac �1 = i �2 = otrzymujemy, iż istnieje takie � = min(�1, �2), że
2M 2 | f |
� �
| f(x, y) � g(x, y) - fg |< M + | f | = �.
2M 2 | f |
(x,y)
38
Dowodzi to faktu (4).
W celu udowodnienia równości (5) zalóżmy, że
�k
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < �1 �!| f(x, y) - f |<
2
�>0
�1>0
(x,y)"A
oraz
�k
0 < (x - x0)2 + (y - y0)2 < �2 �!| g(x, y) - g |< ,
2 | f |
�>0
�2>0
(x,y)"A
gdzie k = inf{(x, y) " S((x0, y0), �) :| g(x, y) � g |. Mamy
f(x, y) f f(x, y)g - g(x, y)f
-
=
g(x, y) g g � g(x, y)
f(x, y)g - fg + fg - g(x, y)f g(f(x, y) - f) + f(g - g(x, y))
= =
g � g(x, y) g � g(x, y)
| g || f(x, y) - f | + | f || g(x, y) - g |
d"
| g || g(x, y) |
�k 1 �k | f |
< + = �.
2 k 2 | f | k
Twierdzenie 10.1.2. Jeżeli funkcje u, v oraz f spelniaja warunki
1. lim u(x, y) = u0, lim v(x, y) = v0,
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
2. (u(x, y), v(x, y)) = (u0, v0),

r>0(x,y)"S((x0,y0),r)
3. lim f(u, v) = g,
(u,v)(u0,v0)
to lim f(u(x, y), v(x, y)) = g.
(x,y)(x0,y0)
Twierdzenie 10.1.3. (o trzech funkcjach) Jeżeli
g(x, y) d" f(x, y) d" h(x, y)
r>0(x,y)"S((x0,y0),r)
oraz
lim g(x, y) = g = lim h(x, y),
(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)
to
lim f(x, y) = g.
(x,y)(x0,y0)
39
Przyklad 10.1.2.
x3 - y3 (x - y)(x2 + xy + y2)
lim = lim = 0.
(x,y)(0,0) y - x (x,y)(0,0) -(x - y)
Przyklad 10.1.3.
xy
lim nie istnieje.
(x,y)(0,0) x2 + y2
Istotnie, rozważmy dwa ciagi zbieżne do (0, 0):
1 1 2 1
(xn, yn) = , , (x n, yn) = , .
n n n n
Mamy wówczas
1 n2 1
lim f(xn, yn) = =
n"
n2 2 2
oraz
2 n2 2
lim f(x n, yn) = = .
n"
n2 5 5
W oparciu o definicje Heinego granicy stwierdzamy, że powyższa granica nie istnieje.
Przyklad 10.1.4.
x2y
lim = 0.
(x,y)(0,0) x2 + y2
Istotnie, mamy bowiem
x2y x2y
0 d" < =| y | i x 0.
x2 + y2 x2
Korzystajac z twierdzenia o trzech funkcjach stwierdzamy, że powyższa granica jest równa
0.
Definicja 10.1.9. Funkcja f : R2 �" A R jest ciagla w punkcie (x0, y0) jeśli
lim f(x, y) = f(x0, y0).
(x,y)(x0,y0)
Funkcja f jest ciagla na zbiorze A jeżeli jest ciagla w każdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 10.1.4. Jeżeli funkcje dwóch zmiennych f i g sa ciagle w punkcie (x0, y0),
f
to w tym punkcie również ciagle sa funkcje f + g, f - g, f � g, .
g
Twierdzenie 10.1.5. Jeżeli funkcje u, v oraz f spelniaja warunki
1. u(x, y), v(x, y) sa ciagle w punkcie (x0, y0),
2. f(x, y) jest funkcja ciagla w punkcie (u0, v0), gdzie u0 = u(x0, y0) i v0 = v(x0, y0),
to funkcja zlożona f(u(x, y), v(x, y)) jest ciagla w punkcie (x0, y0).
40
Podamy teraz twierdzenie bedace odpowiednikiem twierdzenia Weierstrassa funkcji
jednej zmiennej.
Twierdzenie 10.1.6. (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f : R2 �" A R jest ciagla na
zbiorze domknietym i ograniczonym D, to
f(a, b) = sup{f(x, y) : (x, y) " D} '" f(c, d) = inf{f(x, y) : (x, y) " D} .
(a,b),(c,d)
Zadanie 10.1.1. Oblicz podane granice
x - y + x2 + y2 x2 + y2
lim (x2 + y2) sin(xy), lim , lim ,
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0) x + y (x,y)(0,0)
x2 + y2 + 1 - 1
sin2 x x + y - 2 x2 - y2
lim , lim , lim .
(x,y)(Ą,0) y2 (x,y)(1,1) x2 + y2 - 2 (x,y)(0,0) x2 + y2
Zadanie 10.1.2. Dobrać parametr p tak aby podane funkcje byly ciagle
ńł ńł
sin(x2y) xy2
�ł �ł
, (x, y) = (0, 0), , x2 + y2 > 0,

a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = x2 + y4
ół ół
p, (x, y) = (0, 0), p, x2 + y2 = 0.
10.2. Pochodne czastkowe i różniczka zupelna funkcji dwóch zmiennych.
Niech w pewnym obszarze A dana bedzie funkcja dwóch zmiennych f i niech P0(x0, y0)
bedzie dowolnym punktem z obszaru A. Jeśli ustalimy wartość y = y0 i bedziemy zmieniać
tylko x, to funkcja f bedzie w otoczeniu punktu x0 funkcja jednej zmiennej x. Podobnie,
gdy ustalimy wartość x = x0, to funkcja f bedzie funkcja jednej zmiennej y w otocze-
niu punktu y0. Możemy zatem w każdym z tych przypadków zbadać istnienie ilorazów
różnicowych takich funkcji.
Definicja 10.2.1. Jeżeli istnieje granica wlaściwa
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
lim ,
h0 h
to nazywamy ja pochodna czastkowa funkcji f w punkcie (x0, y0) wzgledem zmiennej x i
"f
oznaczamy symbolem (x0, y0).
"x
Jeżeli istnieje granica wlaściwa
f(x0, y0 + k) - f(x0, y0)
lim ,
k0 k
41
to nazywamy ja pochodna czastkowa funkcji f w punkcie (x0, y0) wzgledem zmiennej y i
"f
oznaczamy symbolem (x0, y0).
"y
Powyższe definicje możemy zapisać w nastepujacej równoważnej postaci, która jest
czasami bardziej użyteczna
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim ,
"x "x0 "x
"f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim ,
"y "y0 "y
Przyklad 10.2.1. Niech dana bedzie funkcja f(x, y) = yx. Mamy
"f "f
(x, y) = yx � ln y '" (x, y) = xyx-1.
"x "y
Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych
Niech funkcja z = f(x, y) ma pochodne czastkowe pierwszego rzedu w punkcie (x0, y0).
Jeżeli przetniemy wykres tej funkcji plaszczyzna y = y0, to otrzymana w ten sposób
krzywa w punkcie (x0, y0) ma styczna, której tangens kat nachylenia jest równy pochodnej
"f
(x0, y0). Podobnie przecinajac wykres funkcji z = f(x, y) plaszczyzna x = x0 otrzmamy
"x
"f
krzywa, której tangens kata nachylenia stycznej w punkcie (x0, y0) jest równy (x0, y0).
"y
"f "f
Definicja 10.2.2. Wektor (x0, y0), (x0, y0) bedziemy nazywać gradientem funkcji
"x "y
f w punkcie (x0, y0).
Definicja 10.2.3. Pochodne czastkowe drugiego rzedu określamy wzorami
"2f " "f "2f " "f
(x, y) = (x, y), (x, y) = (x, y),
"x "x "x"y "x "y
"x2
"2f " "f "2f " "f
(x, y) = (x, y), (x, y) = (x, y).
"y "y "y"x "y "x
"y2
"2f "2f "2f "2f
Pochodne i nazywa sie pochodnymi czystymi, zaś pochodne i nazywa
"x"y "y"x
"x2 "y2
sie pochodnymi mieszanymi.
Poniższy przyklad pozwala zauważyć, że zwiazek miedzy ciaglościa funkcji dwóch
zmiennych, a istnieniem jej pochodnych jest calkiem inny niż w przypadku funkcji jed-
nej zmiennej.
42
Przyklad 10.2.2. Niech
ńł
xy
�ł
, x2 + y2 = 0,

x2 + y2
f(x, y) =
ół
0, x2 + y2 = 0.
Latwo wykazać, że w punkcie (0, 0) funkcja ta jest nieciagla, bo nie istnieje granica tej
funkcji w punkcie (0, 0). Istotnie wystarczy rozważyć nastepujace ciagi punktów
1 1 1
(xn, yn) = 0, , (x n, yn) = ,
n n n
Mamy
1 n2 1
f(xn, yn) = 0, f(x n, yn) = = .
n2 2 2
Obliczymy teraz pochodne czastkowe funkcji f w punkcie (0, 0).
f(h, 0) - f(0, 0) 0
lim = lim = 0,
h0 h h0 h
f(0, k) - f(0, 0) 0
lim = lim = 0.
k0 k k0 k
Zatem mimo, iż funkcja ma w punkcie (0, 0) obie pochodne czastkowe, to nie jest w tym
punkcie ciagla.
Twierdzenie 10.2.1. (Schwarza) Jeżeli pochodne czastkowe drugiego rzedu mieszane
istnieja i sa ciagle w punkcie (x0, y0), to sa sobie równe.
Przyklad 10.2.3. Rozważmy funkcje
ńł
x3 - x2y
�ł
, x2 + y2 > 0,
f(x, y) = x + y
ół
0, x2 + y2 d" 0.
Zauważmy, że
f(h, 0) - f(0, 0) h2 - 0
lim = lim = lim h = 0
h0 h h0 h h0
oraz
f(0, k) - f(0, 0) 0 - 0
lim = lim = 0.
k0 k k0 k
Ponadto dla x2 + y2 > 0 mamy
"f (3x2 - 2xy)(x + y) - x3 + x2y 2x3 + 2x2y - 2xy2
= =
"x (x + y)2 (x + y)2
43
i
"f -x2(x + y) - x3 + x2y -2x3
= = .
"y (x + y)2 (x + y)2
Wobec tego
ńł
2x3 + 2x2y - 2xy2
�ł
, x2 + y2 > 0,
"f
(x + y)2
=
"x ół
0, x2 + y2 d" 0,
ńł
-2x3
�ł
, x2 + y2 > 0,
"f
(x + y)2
=
"y ół
0, x2 + y2 d" 0.
Obliczmy teraz pochodne czastkowe drugiego rzedu mieszane funkcji f. Dla x2 + y2 > 0
mamy
"2f -2x3 - 6x2y "2f -2x3 - 6x2y
(x, y) = , (x, y) = .
"y"x (x + y)3 "x"y (x + y)3
Natomiast dla x2 + y2 d" 0 otrzymujemy
"f "f
(h, 0) - (0, 0)
2h
"y "y
lim = - lim = -2
h0 h h0 h
oraz
"f "f
(0, k) - (0, 0)
0 - 0
"x "x
lim = lim = 0.
k0 k h0 k
Zatem
ńł
-2x3 - 6x2y
�ł
, x2 + y2 > 0,
"2f
(x + y)3
=
"y"x ół
0, x2 + y2 d" 0
i
ńł
-2x3 - 6x2y
�ł
, x2 + y2 > 0,
"2f
(x + y)3
=
"x"y ół
-2, x2 + y2 d" 0.
"2f
Zauważmy, że nie jest ciagla w punkcie (0, 0). Istotnie, biorac pod uwage dwa ciagi
"x"y
punktów
1 1 1
(xn, yn) = 0, , (x n, yn) = ,
n n n
mamy
"2f "2f -8 n3
(xn, yn) = 0, (x n, yn) = � = -1.
"x"y "x"y n3 8
Przeczy to definicji Heinego granicy wlaściwej funkcji. Wobec tego
"2f "2f
(0, 0) = (0, 0).

"x"y "y"x
44
Świadczy to o tym, że zalożenie ciaglości pochodnych mieszanych w twierdzeniu Schwarza
jest istotne.
Określimy teraz pojecie różniczkowalności funkcji dwóch zmiennych.
Definicja 10.2.4. Funkcje f(x, y) nazywamy różniczkowalna w punkcie (x0, y0), jeśli
istnieja takie stale A i B, że dla dowolnego punktu (x0 + "x, y0 + "y) " S((x0, y0), r)
f(x0 + "x, y0 + "y) - f(x0, y0) = A"x + B"y + ą, (10.2.1)
gdzie = ("x)2 + ("y)2 i limą = 0.
0
Wyrażenie A"x + B"y nazywamy różniczka zupelna funkcji f w punkcie (x0, y0).
Twierdzenie 10.2.2. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0), to jest w
tym punkcie ciagla i ma w tym punkcie pochodne czastkowe pierwszego rzedu takie, że
"f "f
(x0, y0) = A, (x0, y0) = B.
"x "y
Dowód. Jeżeli "x = 0 i "y = 0, to 0 oraz x x0 i y y0. Zatem na mocy wzoru

(10.2.1) mamy
lim f(x0 + "x, y0 + "y) = f(x0, y0).
(x,y)(x0,y0)
Oznacza to, że funkcja f jest ciagla w punkcie (x0, y0).
Zalóżmy teraz, że "x = 0 i "y = 0. Wtedy = "x oraz

f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0) | "x | ą
= A + = A ą ą.
"x "x
Wobec tego jeśli "x 0, to ą 0 i
"f
(x0, y0) = A.
"x
Podobnie zalóżmy teraz, że "y = 0 i "x = 0. Wtedy = "y oraz

f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0) | "y | ą
= B + = B ą ą.
"y "y
Wobec tego jeśli "y 0, to ą 0 i
"f
(x0, y0) = B.
"y
45
Wniosek 10.2.1. Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f określona na obszarze D jest różni-
czkowalna w punkcie (x0, y0) i jeśli (x0 + "x, y0 + "y) " D, to
"f "f
f(x0 + "x, y0 + "y) - f(x0, y0) = (x0, y0)"x + (x0, y0)"y + ą, (10.2.2)
"x "y
przy czym = x2 + y2 i limą = 0.
0
Wobec tego różniczka zupelna funkcji dwóch zmiennych f w punkcie (x0, y0) jest
postaci
"f "f
df(x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy.
"x "y
"f "f
Wyrażenia (x0, y0)dx i (x0, y0)dy nazywamy różniczkami czastkowymi.
"x "y
Jeśli wiec funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0), to
"f(x0, y0) = df(x0, y0) + ą.
Stad mamy
"f(x0, y0) - df(x0, y0)
ą = .
(dx)2 + (dy)2
Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna, gdy ą 0, to przy zastapieniu przyrostu funkcji
jej różniczka zupelna popelniany blad ą jest wielkościa nieskończenie mala. Możemy
wobec tego wykorzystać różniczke zupelna do obliczania przybliżonych wartości funkcji
dwóch zmiennych wedlug wzoru
f(x0 + "x, y0 + "y) H" f(x0, y0) + df(x0, y0).
Przez d2f(x0, y0) oznaczać bedziemy różniczke zupelna drugiego rzedu funkcji f w
punkcie (x0, y0), która definiuje nastepujacy wzór
d2f(x0, y0) = d(df(x0, y0)).
Zatem mamy
" "
d2f = (df)dx + (df)dy
"x "y
" "f "f " "f "f
= dx + dy dx + dx + dy dy
"x "x "y "y "x "y
"2f "2f "2f "2f
= (dx)2 + dxdy + dydx + (dy)2.
"x"y "y"x
"x2 "y2
46
Zakladajac, że zachodzi twierdzenie Schwarza otrzymujemy
"2f "2f "2f
d2f(x, y) = (x, y)(dx)2 + 2 (x, y)dxdy + (x, y)(dy)2.
"x"y
"x2 "y2
Różniczke zupelna rzedu n > 2 definiujemy w nastepujacy sposób rekurencyjny
dnf(x, y) = d(dn-1f(x, y)).
Zastosowanie różniczki zupelnej do szacowania bledów pomiaru
Niech wielkości fizyczne x, y i z beda zwiazane zależnościa z = f(x, y), gdzie f ma ciagle
pochodne czastkowe pierwszego rzedu. Niech ponadto �x i �y oznaczaja bledy bezwzgledne
wielkości x i y odpowiednio. Wtedy blad bezwzgledny �z obliczeń wielkości z wyraża sie
wzorem
"f "f
�z H" �x + �y.
"x "y
Zadanie 10.2.1. Oblicz pochodne czastkowe drugiego rzedu nastepujacych funkcji
x2 + y2
a) f(x, y) = , d) f(x, y) = cos(x + y) sin(x - y),
xy
b) f(x, y) = x2 - y3, e) f(x, y) = arctg(2x + 3y2),
c) f(x, y) = arcsin xy, f) f(x, y) = yx+y.
Zadanie 10.2.2. Wyznacz różniczki zupelne funkcji
x + y
a) f(x, y) = , c) f(x, y) = cos x sin y,
xy
b) f(x, y) = x2 + y2, d) f(x, y) = arctgx2 + arctgy2.
Zadanie 10.2.3. Wykorzystujac różniczke zupelna oblicz przybliżone wartości wyrażeń
a) (1, 02)2 + (0, 96)2, c) f(x, y) = cos 0, 02 sin 0, 05,
arctg0, 03 � tg0, 06
b) f(x, y) = , d) f(x, y) = (2, 95)1,09.
e0,06
10.3. Funkcje zlożone wielu zmiennych i ich różniczkowanie.
Niech funkcja f(x, y) bedzie określona w pewnym obszarze D " R2 i niech dane beda
dwie funkcje x = g(t) i y = h(t) odwzorowujace przedzial (ą, �) w obszar D. Funkcje
F (t) = f(g(t), h(t)) określona na przedziale (ą, �) nazywamy funkcja zlożona funkcji f
47
z funkcjami g i h. Funkcja f jest funkcja zewnetrzna, a funkcje g i h sa funkcjami
wewnetrznymi.
Budowe funkcji F możemy przedstawić za pomoca nastepujacego schematu
x
F t
y
Twierdzenie 10.3.1. Niech funkcje x = g(t) i y = h(t) beda różniczkowalne w punkcie
t0 i niech ponadto funkcja z = f(x, y) ma ciagle pochodne czastkowe pierwszego rzedu w
punkcie (g(t0), h(t0)). Wtedy funkcja zlożona F (t) ma pochodna w punkcie t0 oraz
"f "f
F (t0) = (g(t0), h(t0)) � g (t0) + (g(t0), h(t0)) � h (t0).
"x "y
Dowód. Niech (t0 + "t) " (ą, �), "t = 0. Wtedy

"F = F (t0 + "t) - F (t0) = f(x0 + "x, y0 + "y) - f(x0, y0)
"f "f
= (x0, y0)"x + (x0, y0)"y + ą.
"x "y
Ostania równość wynika ze wzoru (10.2.2).
Ponieważ "x = g(t0 + "t) - g(t0) i "y = h(t0 + "t) - h(t0), to dzielac powyższa
równość przez "t otrzymujemy
"F "f g(t0 + "t) - g(t0) "f h(t0 + "t) - h(t0) ą
= (x0, y0) + (x0, y0) + .
"t "x "t "y "t "t
Jeśli "t 0, to "x 0 i "y 0 oraz 0. Wobec tego mamy
"F "f "f
F (t0) = lim = (x0, y0)g (t0) + (x0, y0)h (t0).
"t0 "t "x "y
Jeśli wiec schemat funkcji zlożonej ma postać
x
z t
y
to
dz "z dx "z dy
= + .
dt "x dt "y dt
48
W oparciu o twierdzenie 10.3.1 wyznaczymy pochodna drugiego rzedu funkcji opisanej
powyższym schematem. Mamy
d2z d dz d "z dx "z dy
= = +
dt2 dt dt dt "x dt "y dt
"2z dx "2z dy dx "z d2x "2z dx "2z dy dy "z d2y
= + + + + +
dt "x"y dt dt "x dt2 "y"x dt dt dt "y dt2
"x2 "y2
2 2
"2z dx "2z dx dy "2z dx "z d2x "z d2y
= + 2 + + + .
dt "x"y dt dt dt "x dt2 "y dt2
"x2 "2
Rozważmy teraz funkcje zlożona wedlug schematu
x
z x
y
Korzystajac z twierdzenia 10.3.1 otrzymujemy
dz "z dx "z dy "z "z dy
= + = + .
dx "x dx "y dx "x "y dx
Ponadto
d2z d "z "z dy
= +
dx2 dx "x "y dx
"2z "2z dy "2z "2z dy dy "z d2y
= + + + + .
"x"y dx "y"x dx dx "y dx2
"x2 "y2
Stad
2
d2z "2z "2z dy "2z dy "z d2y
= + 2 + .
dx2 "x"y dx dx "y dx2
"x2 "y2
Niech teraz dane beda funkcje dwóch zmiennych x(u, v) i y(u, v) oraz z(x, y). Funkcje
z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) nazywamy funkcja zlożona funkcji z z funkcjami dwóch zmien-
nych x i y. Funkcje zlożona z możemy przedstawić schematycznie w nastepujacy sposób
u
x
v
z
u
y
v
49
W tym przypadku opierajac sie na twierdzeniu 10.3.1 otrzymujemy
"z "z "x "z "y
= � + �
"u "x "u "y "u
oraz
"z "z "x "z "y
= � + � .
"v "x "v "y "v
Ponadto mamy
"2z " "z "x "z "y
= � + �
"u "x "u "y "u
"u2
"2z "x "2z "y "x "z "2x "2z "x "2z "y "y "z "2y
= + + + + +
"u "x"y "u "u "x "y"x "u "u "u "y
"x2 "u2 "y2 "u2
2 2
"2z "x "2z "x "y "2z "y "z "2x "z "2y
= + 2 + + + .
"u "y"x "u "u "u "x "y
"x2 "y2 "u2 "u2
W podobny sposób otrzymujemy
2 2
"2z "2z "x "2z "x "y "2z "y "z "2x "z "2y
= + 2 + + +
"v "x"y "v "v "v "x "y
"v2 "x2 "y2 "v2 "v2
oraz
"2z "2z "x "x "2z "y "x "2z "x "y "2z "y "y "z "2x "z "2y
= + + + + + .
"x"y "v "u "x"y "v "u "x"y "v "u "v "u "x "u"v "y "u"v
"x2 "y2
Zadanie 10.3.1. Dana jest funkcja
ńł
x3y
�ł
, (x, y) = (0, 0),

f(x, y) = x2 + y2
ół
0, (x, y) = (0, 0).
Obliczyć F (0) i F (1), jeśli F (t) = f(t2, 2t2).
"z
Zadanie 10.3.2. Przeksztalcić wyrażenie w = x + 1 - y2 "z wprowadzajac nowe
"x "y
zmienne u = ln x, v = arcsin y.
"2u "2u
Zadanie 10.3.3. Wykazać, że równanie Laplace a postaci + = 0 we wspólrze-
"x2 "y2
"2u 1 "2u 1 "u
dnych biegunowych x = r cos �, y = r sin � wyraża sie wzorem + + = 0.
r2 r "r
"r2 "�2
50
10.4. Wzór Taylora i Maclaurina.
W tym paragrafie podamy zwiazek miedzy przyrostem funkcji dwóch zmiennych, a jej
różniczkami zupelnymi n-tego rzedu
Twierdzenie 10.4.1. (Taylora) Niech funkcja f ma w otoczeniu punktu (x0, y0) ciagle
pochodne czastkowe do rzedu n wlacznie oraz niech (x0 + "x, y0 + "y) bedzie dowolnym
punktem z otoczenia punktu (x0, y0). Wtedy
df(x0, y0) d2f(x0, y0)
f(x0 + "x, y0 + "y) = f(x0, y0) + +
1! 2!
d3f(x0, y0) dn-1f(x0, y0) dnf(x0 + �"x, y0 + �"y)
+ + . . . + + ,
3! (n - 1)! n!
gdzie � " (0, 1).
Ostatni skladnik powyższej sumy nazywamy reszta n-tego rzedu i oznaczamy przez
Rn.
Jeżeli (x0, y0) = (0, 0), to powyższy wzór nosi nazwe wzoru Maclaurina.
W szczególności dla n = 2 otrzymujemy ważny ze wzgledu na zastosowania wzór
Taylora z różniczka drugiego rzedu postaci
"f "f
f(x0 + "x, y0 + "y) = f(x0, y0) + (x0, y0)(x - x0) + (x0, y0)(y - y0)
"x "y
1 "2f "2f
+ (x0 + �"x, y0 + �"y)(x - x0)2 + (x0 + �"x, y0 + �"y)(x - x0)(y - y0)
2 "x"y
"x2
1 "2f
+ (x0 + �"x, y0 + �"y)(y - y0)2.
2
"y2
Stad dla (x0, y0) = (0, 0) otrzymamy nastepujacy wzór Maclaurina z różniczka drugiego
rzedu
"f "f
f(x, y) = f(0, 0) + (0, 0)x + (0, 0)y
"x "y
1 "2f "2f 1 "2f
+ (�x, �y)x2 + (�x, �y)xy + (�x, �y)y2,
2 "x"y 2
"x2 "y2
gdzie (x, y) " O(x0, y0) i � " (0, 1).
Zadanie 10.4.1. Wykorzystujac wzór Maclaurina z różniczka drugiego rzedu udowodnić
podane nierówności
1
a) | e1-x cos(y - 1) + x - 2 |d" (x + y - 2)2,
2
xe"1,ye"1
b) | cos2 x - cos y2 |d" x2 + y2 + 2y4.
x,y"R
51
10.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Definicja 10.5.1. Funkcja f : R2 �" A R ma w punkcie (x0, y0) " A minimum lokalne
wlaściwe, jeżeli istnieje takie sasiedztwo S punktu (x0, y0), że
f(x, y) > f(x0, y0).
(x,y)"S
Funkcja f : R2 �" A R ma w punkcie (x0, y0) " A maksimum lokalne wlaściwe, jeżeli
istnieje takie sasiedztwo S punktu (x0, y0), że
f(x, y) < f(x0, y0).
(x,y)"S
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych jest ze-
rowanie sie pochodnych czastkowych pierwszego rzedu.
Twierdzenie 10.5.1. Jeżeli
1. funkcja f ma pochodne czastkowe pierwszego rzedu w punkcie (x0, y0),
2. f ma ekstremum w punkcie (x0, y0),
"f "f
to (x0, y0) = 0 i (x0, y0) = 0.
"x "y
Dowód. Niech w punkcie (x0, y0) funkcja f ma minimum lokalne, tzn.
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0) e" 0.
h
Wtedy
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
e" 0, gdy h > 0
h
h
oraz
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
d" 0, gdy h < 0.
h
h
Zatem przechodzac z h do zera otrzymamy
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
lim e" 0
h0 h
i
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
lim d" 0.
h0 h
52
"f
Stad ponieważ istnieje w punkcie (x0, y0) dostajemy
"x
"f
(x0, y0) = 0.
"x
Analogicznie mamy
f(x0, y0 + k) - f(x0, y0)
e" 0, gdy k > 0
k
k
oraz
f(x0, y0 + k) - f(x0, y0)
d" 0, gdy k < 0.
k
k
Dażac z k do zera otrzymujemy
f(x0 + k, y0) - f(x0, y0)
lim e" 0
k0 k
i
f(x0 + k, y0) - f(x0, y0)
lim d" 0.
k0 k
"f
Ponieważ istnieje w punkcie (x0, y0), to z powyższego wynika, że
"y
"f
(x0, y0) = 0.
"y
Twierdzenie 10.5.1 podaje jedynie warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch
zmiennych, o czym świadczyć może miedzy innymi nastepujacy przyklad.
"f
Przyklad 10.5.1. Niech f(x, y) = xy2. W tym przypadku mamy (x, y) = y2 i
"x
"f "f "f
(x, y) = 2xy. Wobec tego (0, 0) = 0 i (0, 0) = 0 i oczywiście f(0, 0) = 0.
"y "x "y
Zauważmy jednak, że dla x > 0 i y > 0 oraz dla x < 0 i y < 0 funkcja f przyjmuje wartości
dodatnie, a dla x < 0 i y > 0 oraz dla x > 0 i y < 0 - wartości ujemne. Zatem w punkcie
(0, 0) funkcja f nie ma ekstremum.
Podamy teraz warunki dostateczne na to aby istnialo ekstremum funkcji dwóch zmien-
nych.
Twierdzenie 10.5.2. Jeżeli spelnione sa nastepujace warunki
1. funkcja f ma ciagle pochodne czastkowe drugiego rzedu w otoczeniu punktu (x0, y0),
"f "f
2. (x0, y0) = 0 i (x0, y0) = 0,
"x "y
53
"2f
"2f
(x0, y0), (x0, y0)
"x"y
"x2
3. W (x0, y0) = > 0,
"2f "2f
(x0, y0), (x0, y0)
"x"y
"y2
oraz
"2f "2f
jeżeli (x0, y0) > 0 (x0, y0) > 0 , to w punkcie (x0, y0) funkcja f osiaga swoje
"x2 "y2
minimum lokalne,
"2f "2f
jeżeli (x0, y0) < 0 (x0, y0) < 0 , to w punkcie (x0, y0) funkcja f osiaga swoje
"x2 "y2
maksimum lokalne.
Dowód. Zauważmy, że
2
"2f "2f "2f
W (x0, y0) = (x0, y0) (x0, y0) - (x0, y0) > 0.
"x"y
"x2 "y2
Zatem pochodne czyste sa różne od zera i maja ten sam znak. Gdyby jednak tak nie bylo,
to W (x0, y0) d" 0.
Niech P (x0 + h, y0 + k) " S(x0, y0) i oznaczmy P0 = (x0, y0). Ze wzoru Taylora z
różniczka drugiego rzedu oraz zalożenia (2) wynika, że
1 "2f "2f "2f
f(P ) - f(P0) = (Q)(dx)2 + 2 (Q)dxdy + (Q)(dy)2 ,
2 "x"y
"x2 "y2
gdzie Q = (x0 + �"x, y0 + �"y), � " (0, 1). Zatem mamy
2 2
1 "2f "2f "2f "2f
f(P ) - f(P0) = (Q)dx + 2 (Q)dxdy + (Q)dy
"x"y "x"y
"2f "x2 "x2
2 (Q)
"x2
2
"2f "2f "2f
+ (Q) (Q) - (Q) (dy)2 ,
"x"y
"y2 "y2
2
1 "2f "2f
= (Q)dx + (Q)dy + W .
2
"x"y
"x2
2" f (Q)
"x2
Zauważmy, że
2
"2f "2f
(Q)dx + (Q)dy + W > 0.
"x"y
"x2
"2f
Wobec tego jeśli (x0, y0) > 0, to f(P ) - f(P0) > 0 i funkcja w punkcie (x0, y0) osiaga
"x2
"2f
minimum lokalne. Jeżeli natomiast (x0, y0) < 0, to f(P ) - f(P0) < 0 i wtedy funkcja
"x2
w punkcie (x0, y0) ma maksmum lokalne.
54
Zadanie 10.5.1. Wyznacz ekstrema lokalne podanych funkcji
a) f(x, y) = xy2(1 - x - y)3, c) f(x, y) = (x + y) 1 - x2 - y2,
y
b) f(x, y) = x - y + arctg , d) f(x, y) = x3 + y3 - 3xy.
x
10.6. Ekstrema funkcji uwiklanych.
Niech w obszarze D " R2 określona bedzie funkcja F (x, y).
Definicja 10.6.1. Jeżeli istnieje funkcja y = f(x) spelniajaca w każdym punkcie obszaru
D równanie
F (x, f(x)) = 0, (10.6.1)
to funkcje ta nazywamy funkcja uwiklana określona na zbiorze D równaniem F (x, y) = 0.
Przyklad 10.6.1. Funkcja y = f(x) określona na zbiorze < -1, 1 > w nastepujacy sposób
"
f(x) = 1 - x2 jest funkcja uwiklana określona równaniem
x2 + y2 - 1 = 0, (10.6.2)
ponieważ
x2( 1 - x2)2 - 1 = 0.
x"<-1,1>
Zauważmy, że nie jest to jedyna funkcja spelniajaca równanie (10.6.2), na przyklad funkcja
"
f(x) = - 1 - x2 też je spelnia. Takich funkcji możemy wyznaczyć nieskończenie wiele,
ale tylko te dwie funkcje sa ciagle. Wykres każdej funkcji ciaglej spelniajacej równanie
(10.6.2) jest jak latwo zauważyć, pólokregiem o środku (0, 0) i promieniu r = 1.
Jeżeli wiec zależność miedzy x i y wyrażona jest równaniem (10.6.1), to funkcja y =
f(x) jest funkcja uwiklana. Nie zawsze jednak można rozwiazać to równanie wzgledem
y i wyrazić zależność miedzy x i y wzorem y = f(x). Okazuje sie, że czasami przejście
od funkcji uwiklanej do jej postaci jawnej jest niemożliwe lub calkowicie nieprzydatne
ze wzgledu na skomplikowana postać wzoru y = f(x). Jednakże można zbadać wiele
wlasności funkcji uwiklanej bez znajomości jej postaci jawnej poslugujac sie wiadomościami
dotyczacymi funkcji dwóch zmiennych F (x, y).
Ważnym problemem jest oczywiście samo istnienie funkcji uwiklanej spelniajacej rów-
nanie (10.6.1). Nie każde bowiem równanie, w którym wystepuja dwie zmienne określa
funkcje uwiklana. Przykladem może tu być równanie
x2 + y2 + 1 = 0,
które nie ma rozwiazania.
55
Podamy wiec warunki na to by równanie (10.6.1) określalo funkcje uwiklana, która
bylaby funkcja ciagla.
Dla uproszczenia pewnych zapisów wprowadzimy nastepujace oznaczenia
"F "F
Fx(x, y) = (x, y), Fy(x, y) = (x, y).
"x "y
oraz
"2F "2F
Fxx(x, y) = (x, y), Fxy(x, y) = (x, y),
"x"y
"x2
"2F "2F
Fyx(x, y) = (x, y), Fyy(x, y) = (x, y).
"y"x
"y2
Twierdzenie 10.6.1. Jeżeli funkcja F (x, y) w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) jest
ciagla wraz ze swoimi pochodnymi czastkowymi pierwszego rzedu oraz

F (x0, y0) = 0 '" Fy(x0, y0) = 0,
to istnieje dokladnie jedna ciagla funkcja uwiklana y = f(x) określona na otoczeniu punktu
x0 równaniem F (x, y) = 0 i spelniajaca warunek f(x0) = y0.
Z poprzednich rozdzialów wiemy, że wiele wlasności funkcji można określić za pomoca
zachowania sie jej pochodnych. Wobec tego zajmiemy sie teraz problemem wyznaczenia
pochodnych pierwszego i drugiego rzedu funcji uwiklanej y = f(x) określonej równaniem
F (x, y) = 0. Korzystajac ze wzoru na pochodna funcji zlożonej otrzymujemy
Fx(x, y) + Fy(x, f(x))f (x) = 0.
Ponieważ na podstawie twierdzenia 10.6.1 mamy Fy = 0, to

Fx
y = f (x) = - .
Fy
Różniczkujac powyższe równanie dostajemy
(Fxx + Fxyy )Fy - (Fyx + Fyyy )Fx
y = -
(Fy)2
1 Fx Fx
= - FxxFy - Fxy Fy - FxyFx + Fyy Fx
(Fy)2 Fy Fy
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
= - .
(Fy)3
56
Ostatecznie wiec otrzymaliśmy nastepujace wzory na pochodne funkcji uwiklanej y = f(x)
Fx
y = - ,
Fy
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fy)3
Zauważmy, że jeśli dla pewnego punktu (x0, y0) pochodna funkcji F spelnia warunek
Fx(x0, y0) = 0, to
Fxx(x0, y0)
y (x0) = 0 i y (x0) = - .
Fy(x0, y0)
Korzystajac zatem z warunków koniecznych i dostatecznych istnienia ekstremum funkcji
jednej zmiennej otrzymujemy nastepujace twierdzenie.
Twierdzenie 10.6.2. Niech funkcja F (x, y) ma ciagle pochodne czastkowe drugiego rzedu
w otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech spelnia warunki
1. F (x0, y0) = 0,
2. Fx(x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) = 0,

Fxx(x0, y0)
3. U(x0, y0) = - = 0.

Fy(x0, y0)
Wtedy funkcja uwiklana y = f(x) określona równaniem F (x, y) = 0 ma w punkcie x0
ekstremum lokalne wlaściwe i jest to:
a) minimum, gdy U(x0, y0) > 0,
b) maksimum, gdy U(x0, y0) < 0.
Zatem aby wyznaczyć ekstrema funkcji uwiklanej y = f(x) określonej równaniem F (x, y) =
0 należy
1. Wyznaczyć punkty, w których funkcja uwiklana może mieć ekstrema, korzystajac z
warunków koniecznych
F (x, y) = 0, Fx(x, y) = 0, Fy(x, y) = 0.

2. W otrzymanych punktach zbadać znak wyrażenia U(x, y) i na tej podstawie określić
rodzaj ekstremum.
Równanie F (x, y) = 0 możemy również potraktować jak równanie określajace funkcje
uwiklana x = g(y). Wtedy twierdzenia 10.6.1 i 10.6.2 przyjmuja postać.
Twierdzenie 10.6.3. Jeżeli funkcja F (x, y) w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) jest
ciagla wraz ze swoimi pochodnymi czastkowymi pierwszego rzedu oraz
F (x0, y0) = 0 '" Fx(x0, y0) = 0,

57
to istnieje dokladnie jedna ciagla funkcja uwiklana x = g(y) określona na otoczeniu punktu
y0 równaniem F (x, y) = 0 i spelniajaca warunek g(y0) = x0.
Twierdzenie 10.6.4. Niech funkcja F (x, y) ma ciagle pochodne czastkowe drugiego rzedu
w otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech spelnia warunki
1. F (x0, y0) = 0,
2. Fx(x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) = 0,

Fyy(x0, y0)
3. U(x0, y0) = - = 0.

Fx(x0, y0)
Wtedy funkcja uwiklana x = g(y) określona równaniem F (x, y) = 0 ma w punkcie y0
ekstremum lokalne wlaściwe i jest to:
a) minimum, gdy U(x0, y0) > 0,
b) maksimum, gdy U(x0, y0) < 0.
Zadanie 10.6.1. Wyznacz ekstrema funkcji uwiklanych y = f(x) i x = g(y) określonych
równaniami
a) x2 + 4y2 - 2x - 16y + 13 = 0, b) x3 + y3 - 8xy = 0,
c) x4 - 2xy2 - x2 + y2 + y = 0, d) x2 + y2 - xy - 2x + 4y = 0.
10.7. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Mnożniki Lagrange a.
Niech funkcje f i g beda funkcjami określonymi w pewnym obszarze D �" R2. Niech
ponadto
E = {P (x, y) " R2 : g(x, y) = 0}.
Definicja 10.7.1. Jeżeli P0(x0, y0) " E )" D oraz istnieje takie otoczenie punktu P0, że
dla wszystkich P " E należacych do tego otoczenia, zachodzi nierówność
f(x, y) d" f(x0, y0),
to funkcja f ma w punkcie P0 maksimum warunkowe wzgledem warunku E.
Jeżeli natomiast istnieje takie otoczenie punktu P0, że dla wszystkich P " E należa-
cych do tego otoczenia, zachodzi nierówność
f(x, y) e" f(x0, y0),
to funkcja f ma w punkcie P0 minimum warunkowe wzgledem warunku E.
Zbiór E nazywać bedziemy wiezami, funkcje f nazywamy funkcja celu, a funkcje g
funkcja wiezów. Równanie g(x, y) = 0 nazywa sie równaniem wiezów.
Najprostsza metoda wyznaczania ekstremum warunkowego jest metoda eliminacji,
która polega na rozwiklaniu równania wiezów wzgledem jednej ze zmiennych i podstawienie
58
jej do wzoru na funkcje celu. Pozwala to na badanie ekstremum funkcji jednej zmiennej
metodami poznanymi w paragrafie 4.5. Metode ta można oczywiście stosować tylko w
ograniczonym zakresie, tj. gdy możliwe jest rozwiazanie równania wiezów. W ogólnym
przypadku stosuje sie metode mnożników Lagrange a. Polega ona na zdefiniowaniu nowej
funkcji
L(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
zwanej funkcja Lagrange a. Do funkcji tej stosuje sie metody wyznaczania ekstremum
lokalnego funkcji dwóch zmiennych, omówione w paragrafie 10.5, traktujac  zwane mno-
żnikiem Lagrange a, jako parametr. Zachodza nastepujace twierdzenia bedace podstawa
znajdowania ekstremum warunkowego.
Twierdzenie 10.7.1. (warunek konieczny) Jeśli dla funkcji celu f i funkcji wiezów g
określonych na zbiorze D, istnieje w punkcie (x0, y0) ekstremum warunkowe funkcji f na
zbiorze rozwiazań równania g(x, y) = 0, to punkt (x0, y0) jest punktem stacjonarnym
funkcji g oraz punkt (x0, y0) wraz z mnożnikiem  jest punktem stacjonarnym funkcji
Lagrange a, tzn.
"L "L
(x0, y0) = 0 '" (x0, y0) = 0 '" g(x0, y0) = 0.
"x "y
Twierdzenie 10.7.2. (warunek dostateczny) Jeżeli dla funkcji celu i i funkcji wiezów
g określonych na zbiorze D punkt (x0, y0) z mnożnikiem Lagrange a 0 jest punktem
stacjonarnym funkcji Lagrange a, to istnienie w tym punkcie ekstremum warunkowego
funkcji f zależy od znaku różniczki zupelnej drugiego rzedu funkcji Lagrange a w punkcie
(x0, y0).
Jeżeli d2L(x0, y0) < 0, to funkcja w punkcie (x0, y0) ma maksimum warunkowe, a jeśli
d2L(x0, y0) > 0, to funkcja w punkcie (x0, y0) ma minimum warunkowe.
Badanie znaku różniczki drugiego rzedu można w pewnych przypadkach zastapić badaniem
znaku wyznaczników (patrz paragraf 10.5).
Na zakończenie zauważmy jeszcze, że jeżeli w punkcie (x0, y0) funkcja celu osiaga
swoje ekstremum warunkowe, to różniczka zupelna pierwszego rzedu funkcji wiezów w
tym punkcie jest równa zero. Uwage ta w pewnych przypadkach można wykorzystać przy
określeniu znaku różniczki zupelnej drugiego rzedu funkcji Lagrange a.
Zadanie 10.7.1. Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) przy zadanym warunku
g(x, y) = 0
a) f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y,
b) f(x, y) = x4 + y4, g(x, y) = x2 + y2 - 9,
1 1 1
c) f(x, y) = x + y, g(x, y) = + - .
x2 y2 2
59
11. RACHUNEK CALKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.
W rozdziale 5 nauczyliśmy sie obliczania objetosci bryl obrotowych oraz pól powierz-
chni obszarów plaskich za pomoca calki oznaczonej Riemanna funkcji jednej zmiennej.
Bedziemy chcieli teraz rozszerzyć definicje calki oznaczonej na funkcje wielu zmiennych.
Umiejetność wyznaczania calek wielokrotnych pozwoli nam miedzy innymi na obliczanie
objetości dowolnych bryl oraz pól powierzchni obszarów przestrzennych.
11.1. Calka podwójna.
Rozważmy w przestrzeni trójwymiarowej bryle V ograniczona od góry powierzchnia
z = f(x, y), z boków powierzchnia walcowa o tworzacych równoleglych do osi OZ i z dolu
obszarem plaskim D na plaszczyz
nie OXY . Naszym zadaniem jest obliczenie objetości
bryly V . Podobnie jak w rozdziale 5 dla rozwiazania tego problemu poslużymy sie metoda
polegajaca na podziale szukanej objetości na mniejsze cześci, przybliżonym wyznaczeniu
objetości każdej z cześci, zsumowaniu i przejściu do granicy. W tym celu obszar D podzie-
limy siatka krzywych na rozlaczne parami cześci P1, P2, . . . , Pn i rozważymy zbiór malych
walców majacych te cześci za podstawy i skladajacych sie na bryle V . W celu obliczenia
objetóści pojedynczego walca obierzmy w każdej figurze Pi, 1 d" i d" n dowolny punkt
(ai, bi). Jeżeli w przybliżeniu walec o podstawie Pi zastapimy walcem o podstawach
równoleglych i o wysokości równej rzednej f(ai, bi), to objetość pojedynczego walca wynosi
f(ai, bi) | Pi |, gdzie | Pi | oznacza pole figury Pi. Wówczas przybliżona objetość bryly V
wyraża sie wzorem
n
| V |= f(ai, bi) | Pi | .
i=1
Aby zwiekszyć dokladność tego przybliżenia zmniejszamy wymiary pól | Pi | zwiekszajac
ich liczbe. Dokladna wartość objetości bryly V otrzymamy przechodzac do granicy z
najwieksza średnica � obszarów Pi. Mamy wówczas
n
| V |= lim f(ai, bi) | Pi | .
�0
i=1
Definicja 11.1.1. Granice
n
lim f(ai, bi) | Pi | .
�0
i=1
nazywać bedziemy calka podwójna z funkcji f(x, y) po obszarze D i oznaczać symbolem
f(x, y)dxdy.
D
Widać stad, że calka podwójna jest uogólnieniem pojecia calki oznaczonej Riemanna na
przypadek funkcji dwóch zmiennych.
60
Można udowodnić, że istnieje calka podwójna z funkcji ograniczonych lub ciaglych
oraz z funkcji ograniczonych, które posiadaja nieciaglość na skończonej ilości krzywych.
Funkcje takie nazywamy funkcjami calkowalnymi.
Wlasności calki podwójnej
1. [f(x, y) + g(x, y)] dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy,
D D D
2. [f(x, y) - g(x, y)] dxdy = f(x, y) dxdy - g(x, y) dxdy,
D D D
3. c � f(x, y) dxdy = c � f(x, y) dxdy,
D D
4. f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy, gdzie D1 *" D2 = D.
D D1 D2
Niech | D | oznacza pole obszaru D.
Definicja 11.1.2. Liczbe
1
� = f(x, y) dxdy,
| D |
D
nazywamy wartościa średnia funkcji f w obszarze D.
Twierdzenie 11.1.1. (calkowe o wartości średniej ) Jeżeli funkcja f jest ciagla w obszarze
D, to
f(x, y) dxdy = f(x0, y0) | D | .
(x0,y0)"D
D
Twierdzenie 11.1.2. Jeżeli f jest ciagla w prostokacie
P = {(x, y) : a d" x d" b '" c d" y d" d},
to
b d
f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx
a c
D
oraz
d b
f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy.
c a
D
61
Calki wystepujace po prawych stronach powyższych równości nazywa sie calkami iterowa-
nymi.
Twierdzenie 11.1.3. Jeżeli istnieja funkcje jednej zmiennej g i h ciagle odpowiednio na
przedzialach (a, b) i (c, d) oraz takie, że f(x, y) = g(x) � h(y), to
b d
f(x, y) dxdy = g(x)dx � h(y)dy.
D a c
Definicja 11.1.3. Domkniety obszar D nazywamy obszarem normalnym wzgledem osi
OX, jeżeli można go opisać w nastepujacy sposób
D = {(x, y) : a d" x d" b '" g(x) d" y d" h(x)},
gdzie fukcje g i h sa funkcjami ciaglymi na (a, b) oraz dla każdego x " (a, b) g(x) < h(x).
Domkniety obszar D nazywamy obszarem normalnym wzgledem osi OY , jeżeli można
go opisać w nastepujacy sposób
D = {(x, y) : c d" y d" d '" p(y) d" x d" q(y)},
gdzie fukcje p i q sa funkcjami ciaglymi na (c, d) oraz dla każdego y " (c, d) p(y) < q(y).
Twierdzenie 11.1.4. Jeżeli f jest ciagla w obszarze D normalnym wzgledem osi OX, to
h(x)
b
f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx
D a
g(x)
Jeżeli f jest ciagla w obszarze D normalnym wzgledem osi OY , to
q(y)
d
f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy.
D c
p(y)
11.2. Zamiana zmiennych w calce podwójnej.
Niech dane beda dwie plaszczyzny z ukladami wspólrzednych OXY i OUV . Niech na
plaszczyz
nie OUV dany bedzie obszar G oraz niech dane bedzie przeksztalcenie
x = x(u, v)
Ś :
y = y(u, v), (u, v) " G,
62
które każdemu punktowi (u, v) " G plaszczyzny OUV przyporzadkowuje dokladnie jeden
punkt P (x, y) " D plaszczyzny OXY .
Definicja 11.2.1. Jakobianem przeksztalcenia Ś nazywamy wyznacznik
"x "x
"u "v
JŚ = .
"y "y
"u "v
Twierdzenie 11.2.1. Jeżeli
x = x(u, v)
1.o odwzorowanie Ś : przeksztalca wnetrze obszaru D na
y = y(u, v), (u, v) " G,
wnetrze obszaru G,
2.o funkcje x(u, v) i y(u, v) sa ciagle wraz z pochodnymi czastkowymi pierwszego rzedu
na G,
3.o funkcja f(x, y) jest ciagla w obszarze D,
4.o jakobian przeksztalcenia Ś jest różny od zera w obszarze D,
to
f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) | JŚ | dudv.
D G
Najcześciej na plaszczyz
nie z prostokatnym ukladem wspólrzednych dokonuje sie za-
miany zmiennych (x, y) na wspólrzedne biegunowe (r, �). Dowolnemu punktowi P (x, y) na
plaszyz
nie możemy przyporzadkować dwie liczby, z których pierwsza równa jest odleglości
tego punktu od poczatku ukladu wspólrzednych, a druga równa jest mierze kata miedzy
osia OX, a wektorem o poczatku O(0, 0) i końcu P (x, y). Zależność miedzy wspólrzednymi
kartezjańskimi, a wspólrzednymi biegunowymi określaja nastepujace wzory
x = r cos �,
Ś : (11.2.1)
y = r sin �.
x
cos � =
r
y
sin � =
r
63
Zauważmy, że
cos � -r sin �
JŚ = = r.
sin � r cos �
Przyklad 11.2.1. Wyznaczymy obrazy pewnych zbiorów otrzymane poprzez przek-
sztalcenie Ś określone wzorem (11.2.1).
zbiór obraz
{(x, y) : x2 + y2 d" a2} {(r, �) : 0 d" r d" a '" 0 d" � d" 2Ą}
Ą Ą
{(x, y) : (x - a)2 + y2 d" a2} {(r, �) : 0 d" r d" 2a cos � '" - d" � d" }
2 2
{(x, y) : x2 + (y - a)2 d" a2} {(r, �) : 0 d" r d" 2a sin � '" 0 d" � d" Ą}
Przyklad 11.2.2. Obliczmy objetość bryly ograniczonej powierzchniami z = xy3, z = 0,
xy = 1, xy = 2, y = x i y = 2x. W tym celu zauważmy, że bryla ta ograniczona jest od
góry powierzchnia z = xy3. Należy zatem za funkcje podcalkowa przyjać f(x, y) = xy3.
Obszar calkowania wyznaczaja walce xy = 1, xy = 2, y = x i y = 2x. Ponadto możemy
zauważyć, że nasza bryla jest symetryczna wzgledem osi OZ. Wobec tego
| V |= 2 xy3 dxdy,
D
gdzie obszar D leży w pierwszej ćwiartce plaszczyzny OXY i jest ograniczony przez krzywe
xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x. Zauważmy, że aby zamienić powyższa calka na calki
iterowane musimy dokonać podzialu zbioru D na trzy rozlaczne obszary normalne (sam
zbiór D nie jest obszarem normalnym). Można tego uniknać wprowadzajac nowe zmienne
(u, v) wedlug wzorów
u = xy
y 1 d" u d" 2, 1 d" v d" 2.
v = ,
x
Stad mamy
1 1
2 2
x = u v-
� :
1 1
2 2
y = u v
oraz
1 1 1 3
1 1
2 2 2 2
u- v- - u v- 1
2 2
1 1
J� = = u0v-1 + u0v-1 = .
1 1 1 1
4 2v
1 1
2 2 2 2
u- v u v- 4
2 2
64
Zatem mamy
2 2 2 2
1 1 1 3 3 7
2 2 2 2
| V |= 2 u v- u v v-1 du dv = u2du dv = .
2 3
1 1 1 1
Zastosowania calki podwójnej
I. geometryczne
1. pole obszaru plaskiego zawartego w plaszczyz
nie OXY
| D |= dxdy,
D
2. objetość bryly ograniczonej od góry przez powierzchnie z = f(x, y), a od dolu przez
z = g(x, y)
| V |= [f(x, y) - g(x, y)] dxdy,
D
gdzie D jest rzutem cześci wspólnej obu powierzchni, na plaszczyzne OXY
3. pole plata powierzchniowego S = {(x, y, z) : z = f(x, y) '" (x, y) " D}
2 2
"f "f
| S |= 1 + (x, y) + (x, y) dxdy,
"x "y
D
II. fizyczne
1. masa obszaru D �" R2 o gestości powierzchniowej (x, y)
m = (x, y) dxdy,
D
2. momenty statyczne wzgledem osi ukladu obszaru D �" R2 o gestości powierzchniowej
(x, y)
wzgledem osi OX : Mx = y (x, y) dxdy,
D
wzgledem osi OY : My = x (x, y) dxdy,
D
65
3. momenty bezwladności wzgledem osi ukladu obszaru D �" R2 o gestości powierzch-
niowej (x, y)
wzgledem osi OX : Ix = y2 (x, y) dxdy,
D
wzgledem osi OY : Iy = x2 (x, y) dxdy,
D
4. moment bezwladności wzgledem punktu (0, 0) obszaru D �" R2 o gestości powierzchnio-
wej (x, y)
IO = (x2 + y2) (x, y) dxdy,
D
5. wspólrzedne środka cieżkości obszaru D �" R2 o gestości powierzchniowej (x, y)
My Mx
x0 = y0 = .
m m
Zadanie 11.2.1. Oblicz podane calki podwójne
a) (x + 2xy)dxdy, gdzie D = {(x, y) : 1 d" x d" 2, 0 d" y d" 1},
D
b) (x2 + y)dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = x2 i y2 = x,
D
x2
c) dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi xy = 1, y = 4x i x = 3,
y2
D
y
d) arctg dxdy, gdzie D jest cześcia kola x2+y2 d" 1 leżaca w pierwszej ćwiartce ukladu
x
D
wspólrzednych.
Zadanie 11.2.2. Oblicz objetość bryly ograniczonej plaszczyznami ukladu wspólrzednych,
plaszczyznami x = 1, y = 4 oraz powierzchnia z = x2 + y2 + 1.
Zadanie 11.2.3. Oblicz objetość bryly ograniczonej paraboloidami x2 + y2 + z = 4 i
x2 + y2 - 2z + 2 = 0.
Zadanie 11.2.4. Znalez
ć pole plata powierzchniowego wycietego walcem x2 + y2 = R2 z
paraboloidy hiperbolicznej z = xy.
Zadanie 11.2.5. Wyznacz momenty statyczne wzgledem osi ukladu, trójkata ograniczo-
x y
nego prostymi + = 1, (a > 0, b > 0), x = 0 i y = 0.
a b
66
11.3. Calka potrójna.
Niech w przestrzeni R3 dany bedzie prostopadlościan
P = {(x, y, z) : a d" x d" b, c d" y d" d, p d" z d" q}.
Podzielmy ten prostopadlościan plaszczyznami równoleglymi do plaszczyzn ukladu wspól-
rzednych na rozlaczne prostopadlościany P1, P2, . . . , Pn. Niech "xk, "yk, "zk beda dlu-
gościami krawedzi prostopadlościanu Pk, 1 d" k d" n. Wtedy dlugość przekatnej prostopa-
dlościanu Pk wynosi dk = ("xk)2 + ("yk)2 + ("zk)2. Niech � = max{dk : 1 d" k d" n} i
niech (ak, bk, ck) bedzie dowolnym punktem należacym do wnetrza prostopadlościanu Pk.
Definicja 11.3.1. Niech funkcja f określona na prostopadlościanie P bedzie funkcja
ograniczona. Skończona granice
n
lim f(ak, bk, ck)"xk"yk"zk
�0
k=1
nazywamy calka potrójna z funkcji f po prostopadlościanie P i oznaczamy jednym z symboli
f(x, y, z) dV f(x, y, z) dxdydz.
P P
Definicja 11.3.2. Niech f bedzie funkcja ograniczona określona na obszarze V �" R3 oraz
niech P bedzie dowolnym prostopadlościanem zawierajacym obszar V . Niech ponadto
f(x, y.z), (x, y, z) " V,
f"(x, y, z) =
0, (x, y, z) " P - V.
Calke potrójna po obszarze V definiujemy wzorem
f(x, y, z) dV = f"(x, y, z) dV,
V P
o ile calka po prawej stronie istnieje.
Wlasności calki potrójnej
1. [f(x, y, z) + g(x, y, z)] dV = f(x, y, z) dV + g(x, y, z) dV ,
V V V
2. [f(x, y, z) - g(x, y, z)] dV = f(x, y, z) dV - g(x, y, z) dV ,
V V V
67
3. c � f(x, y, z) dV = c � f(x, y, z) dV ,
V V
4. f(x, y, z) dV = f(x, y, z) dV + f(x, y, z) dV , gdzie V1 *" V2 = V .
V V1 V2
Twierdzenie 11.3.1. Jeżeli funkcja f jest ciagla na prostopadlościanie
P = {(x, y, z) : a d" x d" b, c d" y d" d, p d" z d" q},
to
q
b d
f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z)dz dy dx.
a c p
P
Twierdzenie 11.3.2. Jeżeli istnieja funkcje g, h, l ciagle na przedzialach (a, b), (c, d),
(p, q) odpowiednio i takie, że f(x, y, z) = g(x)h(y)l(z), to
q
b d
f(x, y, z) dxdydz = g(x)dx h(y)dy l(z)dz.
a
V c p
Definicja 11.3.3. Obszar domkniety V " R3 nazywamy obszarem normalnym wzgledem
plaszczyzny OXY , jeżeli można go opisać w nastepujacy sposób
V = {(x, y, z) : (x, y) " D '" d(x, y) d" z d" g(x, y)},
gdzie D jest obszarem regularnym (normalnym lub bedacym skończona suma rozlacznych
obszarów normalnych) zawartym w plaszczyz
nie OXY , a funkcje d i g sa ciagle na D i
takie, że
d(x, y) < g(x, y).
(x,y)"D
Obszar domkniety V " R3 nazywamy obszarem normalnym wzgledem plaszczyzny OXZ,
jeżeli można go opisać w nastepujacy sposób
V = {(x, y, z) : (x, z) " D '" d(x, z) d" y d" g(x, z)},
gdzie D jest obszarem regularnym na OXZ, a funkcje d i g sa ciagle na D i takie, że
d(x, z) < g(x, z).
(x,z)"D
Obszar domkniety V " R3 nazywamy obszarem normalnym wzgledem plaszczyzny OY Z,
jeżeli można go opisać w nastepujacy sposób
V = {(x, y, z) : (y, z) " D '" d(y, z) d" z d" g(y, z)},
68
gdzie D jest obszarem regularnym na OY Z, a funkcje d i g sa ciagle na D i takie, że
d(y, z) < g(y, z).
(y,z)"D
Twierdzenie 11.3.3. Jeżeli funkcja f jest ciagla na obszarze normalnym
V = {(x, y, z) : (x, y) " D '" d(x, y) d" z d" g(x, y)},
to
g(x,y)
f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy.
V D
d(x,y)
Ponadto jeśli
D = {(x, y, z) : a d" x d" b '" k(x) d" y d" h(x)},
to
h(x) g(x,y)
b
f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dx dy.
a
V
k(x) d(x,y)
Analogiczne twierdzenia możemy sformulować w przypadku obszarów normalnych
wzgledem plaszczyzny OXZ i OY Z.
11.4. Zamiana zmiennych w calce potrójnej.
Niech dane beda przestrzenie z ukladami wspólrzednych OXY Z i OUV W . Niech ponadto
ńł
x = x(u, v, w)
�ł
�ł
Ś : y = y(u, v, w)
�ł
ół
z = z(u, v, w), (u, v, w) " V �" R3
bedzie przeksztalceniem, które każdemu punktowi obszaru V przyporzadkowuje dokladnie
jeden punkt obszaru G.
Twierdzenie 11.4.1. Jeżeli
ńł
x = x(u, v, w)
�ł
�ł
1.o odwzorowanie Ś : y = y(u, v, w) przeksztalca wnetrze obszaru V na
�ł
ół
z = z(u, v, w), (u, v, w) " G
wnetrze obszaru G,
2.o funkcje x(u, v, w), y(u, v, w) i z(u, v, w) sa ciagle wraz z pochodnymi czastkowymi
pierwszego rzedu na G,
3.o funkcja f(x, y, z) jest ciagla w obszarze V ,
69
4.o jakobian przeksztalcenia Ś jest różny od zera w obszarze V ,
to
f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) | JŚ | dudvdw.
V G
Najcześciej w przestrzeni oprócz wspólrzednych prostokatnych (x, y, z) rozważa sie
nastepujace wspólrzedne
1. walcowe ( , �, z), gdzie
jest odleglościa punktu P (x, y, z) od poczatku ukladu wspólrzednych O(0, 0, 0),
� jest miara kata miedzy osia OX, a wektorem, którego poczatkiem jest punkt
O(0, 0, 0), a końcem rzutu punktu P na plaszczyzne OXY ,
z jest odleglościa punktu P od plaszczyzny OXY .
y
sin � =
x
cos � =
W tym przypadku mamy
ńł
x = cos �
�ł
�ł
Ś : y = sin �
�ł
ół
z = z
oraz
"x "x "x
cos � - sin � 0
" "� "z
"y "y "y
JŚ = = sin � cos � 0 =
" "� "z
"z "z "z
0 0 1
" "� "z
70
2. sferyczne ( , �, �) , gdzie
jest odleglościa punktu P (x, y, z) od poczatku ukladu wspólrzednych O(0, 0, 0),

� jest miara kata miedzy osia OX, a wektorem OP , którego poczatkiem jest punkt
O(0, 0, 0), a końcem rzut punktu P na plaszczyzne OXY ,


� jest miara kata miedzy wektorem OP , a wektorem OP .
y
sin � =
r
x
cos � =
r
r
cos � =
z
sin � =
W tym przypadku mamy
ńł
x = cos � cos �
�ł
�ł
�1 : y = cos � sin �
�ł
ół
z = sin �
oraz
"x "x "x
cos � cos � - cos � sin � - sin � cos �
" "� "�
"y "y "y
J� = = cos � sin � cos � cos � - sin � sin �
1
" "� "�
"z "z "z
sin � 0 cos �
" "� "�
2 2
= sin �( cos � sin � sin2 � + cos � sin � cos2 �) + cos �( cos2 � cos2 � + cos2 � sin2 �)
2
= cos �.
3. sferyczne ( , �, �) , gdzie
jest odleglościa punktu P (x, y, z) od poczatku ukladu wspólrzednych O(0, 0, 0),
71

� jest miara kata miedzy osia OX, a wektorem OP , którego poczatkiem jest punkt
O(0, 0, 0), a końcem rzutu punktu P na plaszczyzne OXY ,

� jest miara kata miedzy wektorem OP , a osia OZ.
y
sin � =
r
x
cos � =
r
r
sin � =
z
cos � =
W tym przypadku mamy
ńł
x = sin � cos �
�ł
�ł
�2 : y = sin � sin �
�ł
ół
z = cos �
oraz
"x "x "x
sin � cos � - sin � sin � cos � cos �
" "� "�
"y "y "y
J� = = sin � sin � sin � cos � cos � sin �
2
" "� "�
"z "z "z
cos � 0 - sin �
" "� "�
2 2
= cos �(- cos � sin � sin2 � - cos � sin � cos2 �)- sin �( sin2 � cos2 � + sin2 � sin2 �)
2
= - sin �.
Przyklad 11.4.1. Niech dana bedzie kula o poczatku O(0, 0, 0) i promieniu R. Obrazem
tej kuli poprzez przeksztalcenie
�1 jest prostopadlościan
Ą Ą
P = {( , �, �) : 0 d" d" R, 0 d" � d" 2Ą, - d" � d" },
2 2
�2 jest prostopadlościan
P = {( , �, �) : 0 d" d" R, 0 d" � d" 2Ą, 0 d" � d" Ą}.
72
Zastosowania calki potrójnej
I. geometryczne
1. objetość obszaru V �" R3
| V |= dxdydz,
V
II. fizyczne
1. masa obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
m = (x, y, z) dxdydz,
V
2. momenty statyczne wzgledem plaszczyzn ukladu obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
wzgledem OXY : Mxy = z (x, y, z) dxdydz,
V
wzgledem OXZ : Mxz = y (x, y, z) dxdydz,
V
wzgledem OY Z : MY z = x (x, y, z) dxdydz,
V
3. momenty bezwladności wzgledem osi ukladu obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
wzgledem osi OX : Ix = (x2 + y2) (x, y, z) dxdydz,
V
wzgledem osi OY : Iy = (x2 + z2) (x, y, z) dxdydz,
V
wzgledem osi OZ : Iz = (x2 + y2) (x, y, z) dxdydz,
V
4. moment bezwladności wzgledem punktu (0, 0) obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
IO = (x2 + y2 + z2) (x, y, z) dxdydz,
V
73
5. wspólrzedne środka cieżkości obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
Myz Mxz Mxy
x0 = y0 = z0 = .
m m m
Zadanie 11.4.1. Oblicz z dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym plaszczyznami
V
x = 0, y = 0, z = 0 i x + y + z = 1.
Zadanie 11.4.2. Oblicz (x2 + y2) dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym
V
plaszczyzna z = 2 i powierzchnia x2 + y2 - 2z = 0.
Zadanie 11.4.3. Dana jest jednorodna bryla V o gestości ograniczona powierzchniami
x2 + y2 = 1 - z i z = 0 (x d" 0, y d" 0). Znalez
ć momenty statyczne wzgledem plaszczyzn
ukladu wspólrzednych oraz wspólrzedne środka cieżkości bryly V .
74
11.5. Calka krzywoliniowa skierowana. Twierdzenie Greena.
W paragrafie tym podamy definicje calki po pewnej krzywej, której nadano kierunek.
W tym celu ustalimy pewna terminologie.
Lukiem zwyklym nazywać bedziemy zbiór punktów P (x, y) określonych równaniami
parametrycznymi
x = x(t)
(11.5.1)
y = y(t), t "< ą, � >,
gdzie funkcje x(t), y(t) sa ciagle i różnowartościowe na przedzile < ą, � >. Krzywa
zamknieta nazywać bedziemy taki luk zwykly, dla którego x(ą) = x(�) i y(ą) = y(�).
Powiemy, że luk zwykly jest lukiem gladkim jeśli funkcje x(t), y(t) maja ciagle pochodne
pierwszego rzedu. Bardzo czesto zwykla krzywa zamknieta nazywa sie krzywa Jordana.
Obszarem jednospójnym nazywa sie obszar, w którym zawiera sie wnetrze każdej
leżacej w nim krzywej Jordana.
Lukowi gladkiemu określonemu równaniami (11.5.1) nadajmy kierunek przyjmujac za
jego poczatek punkt A(x(ą), y(ą)), a za koniec punkt B(x(�), y(�)). Kierunek ten jest
zgodny ze wzrostem parametru t. Taki luk nazywamy skierowanym i oznaczamy przez
AB. Ponadto bedziemy pisać AB = -BA.
Niech wiec dany bedzie luk gladki skierowany AB o przedstawieniu (11.5.1) i niech
dana bedzie uporzadkowana para funkcji dwóch zmiennych [P (x, y), Q(x, y)] określonych
na luku AB. Podzielmy przedzial < ą, � > na n podprzedzialów punktami t1, t2, . . . , tn-1,
tak aby
ą = t0 < t1 < t2 < . . . < tn-1 < tn = �.
Podzialowi temu odpowiada podzial luku AB na n cześci punktami A1, A2, . . . , An-1, tak
że
Ak(xk, yk) = (x(tk), y(tk)), k = 0, 1, 2, . . . , n.
W każdym przedziale < tk-1, tk > wybierzmy dowolny punkt �k, któremu odpowiada
punkt C(ak, bk) = (x(�k), y(�k)) na luku AB. Oznaczmy "xk = xk - xk-1 i "yk =
yk - yk-1 i określmy wektory
"lk = ["xk, "yk], Rk = [P (ak, bk), Q(ak, bk)].
Rozważmy nastepujaca sume
n n
Sn = Rk ć% "lk = [P (ak, bk)"xk + Q(ak, bk)"yk].
k=1 k=1
Przez
�n = max{tk - tk-1 : k = 1, 2, . . . , n}
oznaczmy średnice podzialu.
75
Definicja 11.5.1. Jeżeli dla każdego ciagu podzialów przedzialu < ą, � > takiego, że
średnica daży do zera, gdy n daży do nieskończoności, ciag sum Sn jest zbieżny do tej
samej granicy wlaściwej niezależnej od wyboru punktów �k, to granice ta nazywamy calka
krzywoliniowa skierowana pary funkcji [P (x, y), Q(x, y)] po luku AB i oznaczamy
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB
Interpretacja fizyczna calki skierowanej

Jeżeli F = [P (x, y), Q(x, y)] jest wektorem sily o zmiennych wzdluż luku AB wspólrzednych
P (x, y) i Q(x, y), to calka
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB

przedstawia prace sily F podrodze AB.
Twierdzenie 11.5.1. Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) sa ciagle na otwartym luku gladkim
AB o przedstawieniu parametrycznym
x = x(t)
y = y(t), t "< ą, � >,
to
�
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P x(t), y(t) x (t) + Q x(t), y(t) y (t) dt.
ą
AB
Wlasności calki krzywoliniowej skierowanej
1o. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy + P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
AB AC CB
gdzie C " AB,
2o. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = - P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
AB BA
3o. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB AB AB
76
Niech teraz dana bedzie krzywa zamknieta K kawalkami gladka, tj. skladajaca sie ze
skończonej ilości luków gladkich. Jeżeli poruszajac sie po tej krzywej zgodnie ze wzrostem
parametru t jej wnetrze znajdować bedzie sie po naszej lewej stronie to powiemy, że krzywa
jest zorientowana dodatnio, w przeciwnym razie ujemnie.
Niech w przestrzeni dany bedzie gladki luk
ńł
x = x(t),
�ł
�ł
y = y(t),
�ł
ół
z = z(t), t "< ą, � >,
skierowany od punktu A(x(ą), y(ą), z(ą)) do punktu B(x(�), y(�), z(�)). Rozważmy upo-
rzadkowana trójke funkcji [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]. Calke krzywoliniowa skierowa-
na trójki funkcji [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] po luku AB definiujemy analogicznie jak
na plaszczyz
nie i oznaczamy symbolem
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
AB
�
= P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t) dt.
ą
Twierdzenie 11.5.2. (Greena) Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) maja pochodne czastkowe
pierwszego rzedu ciagle w obszarze D normalnym wzgledem osi OX i OY , przy czym brzeg
K tego obszaru jest gladka krzywa zamknieta skierowana dodatnio, to
"Q "P
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (x, y) - (x, y) dxdy. (11.5.2)
"x "y
K D
Dowód. Zalóżmy, że krzywa K nie zawiera odcinka polożonego na prostych x = a, x = b,
y = c, y = d. Niech ponadto K = L1 *" L2 i niech
D = {(x, y) : a d" x d" b '" �(x) d" y d" �(x)} = {(x, y) : c d" y d" d '" ą(y) d" x d" �(y)}.
Wówczas
�(x)
b
"P "P
(x, y)dxdy = (x, y)dy dx
"y "y
a
D
�(x)
b b
�(x)
= P (x, y) dx = [P (x, �(x)) - P (x, �(x))]dx.
�(x)
a a
77
Ponieważ K = L1 *" L2 oraz
x = t, x = t,
L1 : L2 :
y = �(t), t "< a, b >, y = �(t), t "< a, b >,
przy czym luk L1 jest zgodnie zorientowany, a L2 - niezgodnie, to
b
P (t, �(t))dt = P (x, y)dx = - P (x, y)dx
a
-L2 L2
oraz
b
P (t, �(t))dt = P (x, y)dx.
a
L1
Zatem
"P
(x, y)dxdy = - P (x, y)dx - P (x, y)dx
"y
D L2 L1
= - P (x, y)dx.
K
Z drugiej strony K = C1 *" C2, gdzie
x = ą(t), x = �(t),
C1 : C2 :
y = t, t "< c, d >, y = t, t "< c, d >,
przy czym luk C2 jest zgodnie zorientowany, a C1 - niezgodnie. Wobec tego otrzymujemy
�(y)
d
"Q "Q
dxdy = (x, y)dx dy
"x "x
c ą(y)
D
d d
�(y)
= Q(x, y) dy = [Q(�(y), y) - Q(ą(y), y)]dx.
ą(y)
c c
d d
= Q(�(t), t)dt - Q(ą(t), t)dt
c c
= Q(x, y)dy - Q(x, y)dy
C2 -C1
78
= Q(x, y)dy + Q(x, y)dy = Q(x, y)dy,
C2 C1 K
co daje wzór (11.5.2).
Aby zakończyć dowód tego twierdzenia pozostaje rozpatrzeć przypadek krzywej K
która zawiera odcinki prostych x = a, x = b, y = c, y = d. Zauważmy, że odcinek CD
prostej x = a, t "< c, d > można sparametryzować nastepujaco
x = a,
y = t
i wówczas x (t) = 0. Zatem
P (x, y)dx = 0
CD
Podobnie mamy w przypadku pozostalych odcinków.
Twierdzenie 11.5.3. Jeżeli P (x, y) i Q(x, y) maja ciagle pochodne czastkowe pierwszego
rzedu w obszarze jednospójnym D, to spelnienie równości
"P "Q
(x, y) = (x, y)
"y "x
(x,y)"D
jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby calka krzywoliniowa skierowana
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
AB
po otwartym kawalkami gladkim luku AB �" D niezależala od ksztaltu tego luku, a tylko
od punktów A i B.
Z twierdzeń 11.5.1. i 11.5.2 otrzymujemy nastepujacy wniosek
Wniosek 11.5.1. Jeżeli P (x, y) i Q(x, y) maja ciagle pochodne czastkowe pierwszego
rzedu w obszarze jednospójnym D i spelniony jest warunek
"P "Q
(x, y) = (x, y),
"y "x
(x,y)"D
to
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
C
79
dla każdej krzywej C zamknietej kawalkami gladkiej zawartej w D.
Wyprowadzimy teraz jedno z zastosowań geometrycznych calki krzywoliniowej skiero-
wanej.
Rozważmy calke
xdy - ydx,
K
gdzie K jest zamknieta krzywa gladka zorientowana dodatnio. W tym przypadku mamy
Q(x, y) = x i P (x, y) = -y.
Zatem
"Q "P
(x, y) = 1 i (x, y) = -1.
"x "y
Stosujac twierdzenie Greena otrzymujemy
xdy - ydx = (1 + 1)dxdy = 2 | D |,
K D
gdzie | D | oznacza pole obszaru D ograniczonego krzywa K. Otrzymaliśmy wiec na-
stepujacy wzór na pole obszaru ograniczonego krzywa K zamknieta gladka dodatnio
zorientowana
1
| D |= xdy - ydx.
2
K
Zadanie 11.5.1. Oblicz podane calki krzywoliniowe skierowane
a) 2xydx + x2dy, gdzie K jest odcinkiem (i) prostej (ii) paraboli
K
laczacym punkty O(0, 0) i A(1, 1),
b) (x - y2)dx + 2xydy, gdzie K jest odcinkiem (i) prostej (ii) paraboli
K
laczacym punkty O(0, 0) i A(1, 1),
x = a cos3 t,
y2d - x2dy
c) , gdzie AB jest lukiem asteroidy od punktu A(0, a) do
5 5
3 3 y = a sin3 t
x + y
AB
punktu B(a, 0);
d) (1 - x2)dx + (1 + y2)dy, gdzie K jest okregiem x2 + y2 = R2 skierowanym dodatnio.
K
80
Zadanie 11.5.2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego asteroida
x = a cos3 t,
y = a sin3 t, t "< 0, 2Ą).

Zadanie 11.5.3. Obliczyć prace jaka wykona sila F = [xy+y, xy+x] wzdluż zorientowanej
dodatnio krzywej L = {(x, y) : x2 + y2 - 2x = 0}.
11.6. Calka krzywoliniowa nieskierowana.
Rozważmy nieskierowany luk gladki
x = x(t),
L :
y = y(t), t "< ą, � > .
Niech w każdym punkcie tego luku określona bedzie funkcja dwóch zmiennych f(x, y).
Przedzial < ą, � > podzielmy na n podprzedzialów punktami t1, t2, . . . , tn-1, tak aby
ą = t0 < t1 < t2 < . . . < tn-1 < tn = �.
Podzialowi temu odpowiada podzial luku L na n cześci punktami A1, A2, . . . , An-1, takimi
że
Ak(xk, yk) = (x(tk), y(tk)), k = 0, 1, 2, . . . , n.
Każda z tych cześci ma dlugość dana wzorem
tk
"lk = [x (t)]2 + [y (t)]2dt, k = 1, 2, . . . , n.
tk-1
W każdym przedziale < tk-1, tk > wybierzmy dowolny punkt �k, któremu odpowiada
punkt C(ak, bk) = (x(�k), y(�k)) na luku L. Utwórzmy sume
n
Sn = f(ak, bk)"lk.
k=1
Definicja 11.6.1. Jeżeli dla każdego ciagu podzialów przedzialu < ą, � > takiego, że
średnica �n daży do zera przy n dażacym do nieskończoności ciag {Sn} jest zbieżny do tej
samej granicy wlaściwej niezależnej od wyboru punktów �k, to granice ta nazywamy calka
krzywoliniowa nieskierowana funkcji f(x, y) po luku L i oznaczamy
f(x, y) dl.
L
81
Interpretacja geometryczna calki krzywoliniowej nieskierowanej
Jeżeli f(x, y) = 1, to dl równa jest dlugości luku L.
L
Jeżeli f(x, y) > 0 i f jest funkcja ciagla na luku L, to f(x, y) dl równa jest polu
L
powierzchni walcowej z = f(x, y), (x, y) " L.
Interpretacja fizyczna calki krzywoliniowej nieskierowanej
Jeżeli (x, y) jest gestościa luku L, to calka
(x, y) dl przedstawia mase luku L,
L
x (x, y) dl przedstawia moment statyczny luku L wzgledem osi OY ,
L
y (x, y) dl przedstawia moment statyczny luku L wzgledem osi OX,
L
x2 (x, y) dl przedstawia moment bezwladności luku L wzgledem osi OY ,
L
y2 (x, y) dl przedstawia moment bezwladności luku L wzgledem osi OX.
L
Twierdzenie 11.6.1. Jeżeli funkcja f(x, y) jest ciagla na zwyklym luku gladkim L o
przedstawieniu parametrycznym
x = x(t),
y = y(t), t "< ą, � >,
to istnieje calka krzywoliniowa nieskierowana funkcji f(x, y) po luku L i dana jest wzorem
�
f(x, y) dl = f(x(t), y(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2dt.
L ą
Zwiazek miedzy calkami krzywoliniowymi
Niech K = AB bedzie gladkim lukiem zwyklym. Jako parametr obierzmy dlugość l
tego luku. Wówczas przedstawienie parametryczne AB jest postaci
x = x(l),
y = y(l), l "< 0, a > .
82
Niech x(l) i y(l) maja ciagle pochodne. Przez ą oznaczmy kat jaki tworzy syczna do luku
AB z osia OX. Wtedy mamy
"x "y
cos ą = sin ą = .
"l "l
Jeśli wiec "l 0, to
cos ą = x (l) sin ą = y (l).
Niech wzdluż luku AB określona bedzie ciagla funkcja f(x, y). Wtedy
a
f(x, y)dx = f(x(l), y(l)) cos ą dl = f(x, y) cos ą dl,
AB 0 K
oraz
a
f(x, y)dy = f(x(l), y(l)) sin ą dl = f(x, y) sin ą dl.
AB 0 K
W ogólnym przypadku możemy wiec napisać
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (P (x, y) cos ą + Q(x, y) sin ą)dl,
K K
gdzie calka po lewej stronie jest calka krzywoliniowa skierowana, a calka po stronie lewej
jest calka nieskierowana.
Zadanie 11.6.1. Oblicz podane calki krzywoliniowe nieskierowane
a) x2y dl, gdzie L jest cześcia okregu leżaca w pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych;
L
b) xy dl, gdzie L jest brzegiem prostokata o wierzcholkach A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2) i
L
D(0, 2).
"
Zadanie 11.6.2. Obliczyć pole powierzchni walca y = 2px, p > 0 zawartej miedzy
8
plaszczyznami z = y, x = p i z = 0.
9
Zadanie 11.6.3. Znalez
ć wspólrzedne środka cieżkości jednorodnego luku cykloidy
x = a(t - sin t),
y = a(1 - cos t), t "< 0, 2Ą); a > 0.
Zadanie 11.6.4. Obliczyć momenty bezwladności jednorodnej obreczy kola o promieniu
a i środku (0, 0), o gestości (x, y) = 1 wzgledem osi ukladu wspólrzednych.
83
11.7. Calka powierzchniowa niezorientowana.
Niech dany bedzie zbiór punktów przestrzeni o wspólrzednych (x, y, z) spelniajacych
warunek
z = f(x, y); (x, y) " D �" R, (11.1.7)
gdzie D jest obszarem jednospójnym, a funkcja f funkcja określona na D.
Definicja 11.7.1. Powiemy, że zbiór zadany przez warunek (11.7.1) jest gladkim wzgledem
plaszczyzny OXY platem powierzchniowym jeżeli funkcja f ma ciagle pochodne czastkowe
pierwszego rzedu.
Podobnie jeżeli funkcja g ma ciagle pochodne czastkowe pierwszego rzedu dla (x, z) "
D �" R, to równanie y = g(x, z) opisuje gladki wzgledem plaszczyzny OXZ plat powierzch-
niowy. Ponadto równanie x = h(y, z) (y, z) " D �" R opisuje gladki wzgledem plaszczyzny
OY Z plat powierzchniowy, gdy funkcja h ma ciagle pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
Powierzchnie która można podzielić na skończona liczbe gladkich platów powierzch-
niowych nazywać bedziemy powierzchnia regularna.
Zauważmy, że gladki plat powierzchniowy można również opisać równaniami parame-
trycznymi
ńł
x = x(u, v),
�ł
�ł
y = y(u, v),
�ł
ół
z = z(u, v), (u, v) " D.
Niech teraz S bedzie gladkim wzgledem plaszczyzny OXY platem powierzchniowym
opisanym równaniem
z = f(x, y), (x, y) " D
i niech funkcja F (x, y, z) bedzie określona w każdym punkcie tego plata. Przez P oznaczmy
prostokat określony nierównościami
a d" x d" b, c d" y d" d,
gdzie
a = inf{x : (x, y) " D}, b = sup{x : (x, y) " D},
c = inf{y : (x, y) " D}, d = sup{y : (x, y) " D}.
Prostokat P podzielmy na n prostokatów P1, P2, . . . , Pn o polach | P1 |, | P2 |, . . . , | Pn |
odpowiednio. W każdym z tych prostokatów obierzmy punkt A k(xk, yk), który jest rzutem
na plaszczyzne OXY punktu Ak(xk, yk, zk) " S, zk = f(xk, yk). przez "Sk oznaczmy
pole tej cześci plaszczyzny stycznej do plata S w punkcie Ak, której rzutem na OXY jest
prostokat Pk. Niech �n oznacza najwieksza z przekatnych prostokatów P1, P2, . . . , Pn.
Utwórzmy sume
n
Sn = F (xk, yk, zk)"Sk.
k=1
84
Definicja 11.7.2. Jeżeli dla n dażcych do nieskończoności ciag śrenic �n zmierza do zera,
a ciag sum Sn jest zbieżny do tej samej granicy wlaściwej niezależnej od wyboru punktów
A k, to granice te nazywamy calka powierzchniowa niezorientowana z funkcji F (x, y, z) po
gladkim placie powierzchniowym S i oznaczamy symbolem
F (x, y, z) dS.
S
W analogiczny sposób definiuje sie calki powierzchniowe niezorientowane po gladkich pla-
tach powierzchniowych wzgledem plaszczyzn OXZ i OY Z.
Interpretacja geometryczna calki poweirzchniowej niezorientowanej
Jeżeli F (x, y, z) = 1 dla każdych (x, y, z) " S, to calka F (x, y, z) dS równa jest polu
S
powierzchi plata S.
Interpretacja fizyczna calki poweirzchniowej niezorientowanej
Niech (x, y, z) oznacza gestość gladkiego plata powierzchniowego S. Wtedy calka
(x, y, z) dS równa jest masie tego plata.
S
Jeśli �(x, y, z) opisuje getość powierzchniowa ladunku elektrycznego rozlożonego na
placie powierzchniowym S, to calka powierzchniowa niezorientowana �(x, y, z) dS można
S
obliczyć calkowity ladunek elektryczny plata S.
Twierdzenie 11.7.1. Jeżeli funkcja F (x, y, z) jest ciagla na gladkim placie powierzch-
niowym S : z = f(x, y), (x, Y ) " D, to calka powierzchniowa niezorientowana z funkcji F
po placie S istnieje oraz
2 2
"f "f
F (x, y, z) dS = F (x, y, f(x, y)) (x, y) + (x, y) + 1 dxdy.
"x "y
S D
W analogiczny sposób można zamienić na calki podwójne calki powierzchniowe określone
na gladkich platach wzgledem plaszczyzn OXZ i OY Z.
Zauważmy teraz, że jeśli gladki plat powierzchniowy S dany jest równaniami parame-
trycznymi
ńł
x = x(u, v),
�ł
�ł
y = y(u, v), (11.7.2)
�ł
ół
z = z(u, v), (u, v) " D,

to wektor normalny n plaszczyzny stycznej w punkcie P (x, y, z) do plata S jest iloczynem
wektorowym wektorów
"x "y "z "x "y "z
, , � , , .
"u "u "u "v "v "v
85
Wobec tego
�ł "y "z "z "x "x "y łł
,
, ,

�ł "u "u , "u "u , "u "u �ł
n = .
"y
"z "x
"z
"x, "y
,
,
"v "v
"v "v "v "v
Zatem
2 2
2
"y "y
"z "x
"z "x
,
, ,
"u "u
"u "u "u "u
| n |= + + . (11.7.3)
"y "y
"z "x
"z "x
,
, ,
"v "v
"v "v "v "v
Twierdzenie 11.7.2. Jeżeli funkcja F (x, y, z) jest ciagla na gladkim placie powierzch-
niowym S określonym równaniami parametrycznymi (11.7.2), to calka powierzchniowa
niezorientowana z funkcji F po placie S istnieje oraz

F (x, y, z) dS = F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) | n | dudv,
S D

gdzie | n | jest dlugościa wektora normalnego plaszczyzny stycznej do do plata S w punkcie
(x, y, z) dana wzorem (11.7.3).
Zastosowania calki powierzchniowej niezorientowanej
Niech dany bedzie gladki wzgledem plaszczyzny OXY plat powierzchniowy S o gestości
(x, y, z). Calke powierzchniowa niezorientowana możemy wykorzystać do obliczania na-
stepujacych wielkości fizycznych wedlug podanych wzorów
1. momentów statycznych wzgledem
" plaszczyzny OXY : Mxy = z (x, y, z) dS,
S
" plaszczyzny OXZ: Mxz = y (x, y, z) dS,
S
" plaszczyzny OY Z: Myz = x (x, y, z) dS,
S
" osi OX: Mx = y2 + z2 (x, y, z) dS,
S
" osi OY : My = x2 + z2 (x, y, z) dS,
S
86
" osi OZ: Mz = x2 + y2 (x, y, z) dS,
S
" punktu O(0, 0, 0): M0 = x2 + y2 + z2 (x, y, z) dS,
S
2. momentów bezwladności wzgledem
" plaszczyzny OXY : Bxy = z2 (x, y, z) dS,
S
" plaszczyzny OXZ: Bxz = y2 (x, y, z) dS,
S
" plaszczyzny OY Z: Byz = x2 (x, y, z) dS,
S
" osi OX: Bx = y2 + z2 (x, y, z) dS,
S
" osi OY : By = x2 + z2 (x, y, z) dS,
S
" osi OZ: Bz = x2 + y2 (x, y, z) dS,
S
3. wspólrzednych środka cieżkości
Myz Mxz Mxy
x0 = , y0 = , z0 = ,
m m m
gdzie m = (x, y, z) dS oznacza mase plata S.
S
Zadanie 11.7.1. Obliczyć pole cześci sfery x2+y2+z2 = 4, zawartej miedzy plaszczyznami
z = 0, z = 3.
Zadanie 11.7.2. Obliczyć mase plata powierzchniowego opisanego warunkami
1
z = (x2 + y2), z d" 2 o gestości powierzchniowej (x, y, z) = x2 + y2.
2
87
Zadanie 11.7.3. Obliczyć moment bezwladności powierzchni bocznej stożka o promieniu
podstawy r, wysokości h, masie m i gestości (x, y, z) = 1 wzgledem osi symetrii stożka.
(x, y, z) = 1
Zadanie 11.7.4. Znalez
ć polożenie środka masy plata powierzchniowego opisanego wa-
runkami
z = 2 x2 + y2, 2 d" z d" 6, którego gestość w każdym punkcie równa jest 1.
11.8. Calka powierzchniowa zorientowana. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkie-
go i twierdzenie Stokesa.
Zalóżmy, że przestrzeń liniowa R3 zostala zorientowana, tzn. wprowadzony zostal
uklad wspólrzednych OXY Z. Każda plaszczyzna dana w tej przestrzeni dzieli ja na
dwa zbiory, które nazywać bedziemy stronami tej plaszczyzny. Jeżeli jedna z tych stron
wyróżnimy jako dodatnia, to powiemy, że plaszczyzna ta zostala zorientowana. Ponadto
bedziemy zakladać, że wektor normalny plaszczyzny zorientowanej jest skierowany od jej
strony ujemnej do dodatniej.
Niech dany bedzie gladki plat powierzchniowy majacy w każdym punkcie plaszczyzne
styczna. Powiemy, że plat ten jest zorientowany, jeżeli każdemu punktowi tego plata

przyporzadkowano jednostkowy wektor normalny n w taki sposób, że jest on jednoznaczna

funkcja wektorowa punktu ciagla na calym placie. Wybór funkcji wektorowej n jest
odpowiednikiem wyboru dodatniej strony plaszczyzny stycznej.
Powierzchnie na której możliwe jest wyróżnienie dwóch stron nazywać bedziemy po-
wierzchnia dwustronna. Istnieja jednak powierzchnie jednostronne, na których rozróżnienie
dwóch stron jest niemożliwe. Przykladem takiej powierzchni jest wstega M�biusa, która
otrzymać możemy na przyklad przez sklejenie przeciwleglych boków prostokata ABCD w
taki sposób, że wierzcholek A sklejamy po przekatnej, z wierzcholkiem C, a wierzcholek B
z wierzcholkiem D.
Dla platów powierzchniowych zamknietych za stone dodatnia przyjmuje sie jego strone
zewnetrzna. Dla platów, które sa wykresami funkcji z = f(x, y), x = g(y, z), y = h(x, z),
za strone dodatnia przymujemy zwykle górna cześć takiego plata.

Ważna role w orientacji plata powierzchniowego odgrywa wektor normalny n pla-

szczyzny stycznej. Jeżli przez ą oznaczymy kat miedzy osia OX, a wektorem n, przez

�-kat miedzy sia OY , a wektorem n oraz przez ł-kat miedzy osia OZ, a tym wektorem,
to jego wspólrzedne sa postaci

n = [cos ą, cos �, cos ł].
W poprzednim paragrafie podane zostaly wspólrzedne wektora normalnego wyznaczone
z postaci parametrycznej plata powierzchniowego. Zauważmy, że jeśli plat opisany jest
88
równaniem z = f(x, y), to jego parametryzacja może mieć nastepujaca postać
ńł
x = x
�ł
�ł
y = y
�ł
ół
z = f(x, y)
i wtedy
"f "f

n = (x, y), (x, y), 1 .
"x "y
Niech teraz dany bedzie gladki wzgledem plaszczyzny OXY zorientowany plat po-
wierzchniowy S : z = f(x, y), (x, y) " D oraz w każdym punkcie tego plata niech

bedzie określona funkcja wektorowa F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]. Obszar
D podzielmy prostymi równoleglymi do osi OX i OY na zbiory D1, D2, . . . , Dn. W
każdym z tych zbiorów obierzmy punkt (xi, yi), któremu odpowiada punkt Pi(xi, yi, zi),
gdzie zi = f(xi, yi), na placie S. Z plaszczyzny stycznej w punkcie Pi wycinamy element
"Si taki, aby jego rzutem na plaszczyzne OXY byl zbiór Di, i = 1, 2, . . . , n. Oznaczmy
przez "yi "zi pole rzut elementu "Si na plaszczyzne OY Z, przez "zi "xi pole rzut
elementu "Si na OXZ i "xi "yi pole rzut elementu "Si na OXY . Ponadto niech �n
oznacza najwieksza ze średnic zbiorów D1, D2, . . . , Dn. Utwórzmy sume
n

Sn = F (xi, yi, zi) ć% "Si
i=1
n
= P (xi, yi, zi)"yi "zi + Q(xi, yi, zi)"zi "xi + R(xi, yi, zi)"xi "yi .
i=1
Definicja 11.8.1. Jeżeli dla �n dażacych do zera przy n zmierzajacym do nieskończoności,
ciag Sn ma granice wlaściwa niezależna od wyboru punktów i taka sama dla każdego
podzialu D1, D2, . . . , Dn, to granice ta nazywamy calka powierzchniowa zorientowana z

funkcji wektorowej F (x, y, z) po gladkim placie powierzchniowym S i oznaczamy symbolem
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy.
S
Twierdzenie 11.8.1. Jeżeli zorientowany plat powierzchniowy S dany jest wzorem

z = f(x, y), (x, y) " D i funkcja wektorowa F jest ciagla na S, to calka powierzchniowa
zorientowana istnieje oraz
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy
S
89
"f "f
= - P (x, y, f(x, y)) (x, y) - Q(x, y, f(x, y)) (x, y) + R(x, y, f(x, y)) dxdy.
"x "y
D
Twierdzenie 11.8.2. Jeżeli zorientowany plat powierzchniowy S zadany jest równaniami

parametrycznymi (11.7.2) i funkcja wektorowa F jest ciagla na S, to calka powierzchniowa
zorientowana istnieje oraz
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy
S
P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
"y
"x "z
(u, v) (u, v) (u, v)
= dxdy
"u "u "u
D
"y
"x "z
(u, v) (u, v) (u, v)
"v "v "v
"y "z "z "y
= P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v) (u, v) - (u, v) (u, v)
"u "v "u "v
D
"z "x "x "z
+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v) (u, v) - (u, v) (u, v)
"u "v "u "v
"x "y "y "x
+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v) (u, v) - (u, v) (u, v) .
"u "v "u "v
Zastosowania calki powierzchniowej zorientowanej
1. geometryczne
Jeżeli V oznacza powierzchnie zamknieta zorientowana na zewnatrz, to objetość obszaru
ograniczonego ta powierzchnia wyraża sie wzorem
1
| V |= x dydz + y dzdx + z dxdy.
3
V
2. fizyczne
Calka powierzchniowa
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy
S
90

równa jest strumieniowi pola wektorowego F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]
przez powierzchnie zorientowanego plata powierzchniowego S.
Podamy teraz dwa ważne twierdzenia dotyczace sposobów obliczania calki powierzchniowej
zorientowanej za pomoca calki potrójnej oraz calki krzywoliniowej skierowanej.
Twierdzenie 11.8.3. (Gaussa-Ostrogradzkiego)
Jeżeli S jest zorientowanym dodatnio, kawalkami gladkim zamknietym platem powierzch-
niowym i ponadto jeżeli S jest brzegiem obszaru domknietego V " R3 oraz jeżeli pole wek-

torowe F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest różniczkowalne w sposób ciagly na
V , to
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy
S
"P "Q "R
= (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) dxdydz.
"x "y "z
V
Twierdzenie 11.8.3. (Stokesa)
Jeżeli S jest zorientowanym dodatnio, kawalkami gladkim platem powierzchniowym, które-
go brzegiem jest kawalkami gladki luk K zorientowany dodatnio oraz jeżeli pole wektorowe

F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest różniczkowalne w sposób ciagly na S, to
"R "Q "P "R "Q "P
(x, y)- (x, y) dydz+ (x, y)- (x, y) dzdx+ (x, y)- (x, y) dxdy
"y "z "z "x "x "y
S
= P (x, y) dx + Q(x, y) dy + R(x, y) dz.
K

Zauważmy, że w przypadku, gdy F = [P, Q, 0] i S �" OXY , twierdzenie Stokesa staje sie
twierdzeniem Greena.
Zadanie 11.8.1. Obliczyć podane calki powierzchniowe zorientowane
a) x dydz+y dzdx+z dxdy, gdzie S jest wewnetrzna strona pólsfery x2+y2+z2 = R2,
S
z d" 0;
b) xz dydz + xy dzdx + yz dxdy, gdzie S jest zewnetrzna strona powierzchni zlożonej
S
z walca x2 + y2 = R oraz plaszczyzn z = 0 i z = H, H > 0;
91
c) x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy, gdzie S jest zewneytrzna strona powierzchni czwo-
S
rościanu ograniczonego plaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 3.

Zadanie 11.8.2. Obliczyć strumień pola wektorowego F (x, y, z) = [1 - 2x, 2y, 2z] przez
plat zamkniety utworzony z powierzchni stożka z = x2 + y2 oraz plaszczyzny z = 4.
Zadanie 11.8.3. Korzystajac z twierdzenia Stokesa obliczyć calke
(y2 + z2)dx + (z2 + x2)dy + (x2 + y2)dz.
K
92
11.9. Elementy teorii pola.
Definicja 11.9.1. Polem skalarnym lub funkcja skalarna nazywamy funkcje, która ka-
żdemu punktowi pewnego obszaru V �" R3 przyporzadkowuje określony skalar.
Powiemy, że pole skalarne jest gladkie jeśli wszystkie pochodne czastkowe pierwszego
rzedu tego pola sa ciagle.
Definicja 11.9.2. Polem wektorowym lub funkcja wektorowa nazywamy funkcje, która
każdemu punktowi pewnego obszaru V �" R3 przyporzadkowuje określony wektor.
Pole wektorowe nazywamy gladkim jeżeli jego skladowe maja ciagle pochodne czastko-
we pierwszego rzedu.
Definicja 11.9.3. Operator Hamiltona (nabla) określony jest wzorem

" " "
= i + j + k .
"x "y "z
Jeżeli funkcja skalarna f ma pochodne czastkowe pierwszego rzedu, to gradientem funkcji
f nazywamy wektor
"f "f "f
grad f = f = , , .
"x "y "z
Niech f i g beda polami skalarnymi określonymi na tym samym obszarze V �" R3 i niech
a, b beda liczbami rzeczywistymi.
Wlasności gradientu.
1o. grad (af + bg) = a � grad f + b � grad g;
2o. grad (f � g) = g � grad f + f � grad g;
f 1
3o. grad = g � grad f - f � grad g ;
g g2
4o. grad f = [0, 0, 0] wtedy i tylko wtedy gdy pole skalarne jest stale;
5o. grad h(f) = h (f)grad f, gdzie h jest różniczkowalna funkcja jednej zmiennej.
Dowód wlasności 1.
Korzystajac z wlasności pochodnych czastkowych mamy
" " "
grad (af + bg) = (af + bg), (af + bg), (af + bg)
"x "y "z
93
"f "g "f "g "f "g
= a + b , a + b , a + b
"x "x "y "y "z "z
"f "f "f "g "g "g
= a , , + b , , = a � grad f + b � grad g.
"x "y "z "x "y "z
Dowód wlasności 2.
Korzystajac ze wzoru na pochodna iloczynu mamy
"f "g "f "g "f "g
grad (f � g) = g + f , g + f , g + f
"x "x "y "y "y "y
"f "f "f "g "g "g
= , , g + f , , = g � grad f + f � grad g
"x "y "y "x "y "y
Dowód wlasności 3.
Wykorzystujac wzór na pochodna ilorazu otrzymujemy
"f "g
"f "g "f "g
g - f
g - f g - f
f
"y "y
"x "x "z "z
grad = , ,
g g2 g2 g2
1 "f "f "f "g "g "g
= , , g - , , f
g2 "x "y "z "x "y "z
1
= g � grad f - f � grad g .
g2
Dowód wlasności 5.
Korzystajac ze wzoru na pochodna funkcji zlożonej otrzymujemy
"f "f "f
grad h(f) = h (f) , h (f) , h (f)
"x "y "z
"f "f "f
= h (f) , , = h (f)grad f.
"x "y "z

Definicja 11.9.4. Pole wektorowe F nazywamy potencjalnym na obszarze V �" R3 jeśli

istnieje taka funkcja U : V R, że F = grad U. Funkcje U nazywamy potencjalem pola

F .

Niech F = [P, Q, R] bedzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na ob-
szarze V �" R3, tj. polem którego każda skladowa jest różniczkowalna w każdym punkcie
obszaru V .

Definicja 11.9.5. Rotacje pola wektorowego F określamy wzorem

rot F = � F .
94
Zauważmy, że

i j k

" " "
rot F =
"x "x "x
P Q R

"R "Q "P "R "Q "P
= - i + - j + - k .
"y "z "z "x "x "y

Niech F = [P, Q, R] i G = [U, V, W ] beda różniczkowalnymi polami wektorowymi, tzn.
każda ze skladowych tych pól ma pochodne czastkowe, niech f bedzie funkcja skalarna o
ciaglych pochodnych drugiego rzedu i niech a, b beda pewnymi stalymi.
Wlasności rotacji.

1o. rot(aF + bG) = a � rot F + b � rot G;

2o. rot(f � F ) = (grad f) � F + f � rot F ;
3o. rot(grad f) = [0, 0, 0].
Dowód wlasności 1.
Zauważmy, że

aF + bG = [aP + bU, aQ + bV, aR + bW ].
Zatem mamy

i j k

" " "
rot(aF + bG) =
"x "x "x
aP + bU aQ + bV aR + bW

" " " "
= (aR + bW ) - (aQ + bV ) i + (aP + bU) - (aR + bW ) j
"y "z "z "x

" "
+ (aQ + bV ) - (aP + bU) k
"x "z

"R "W "Q "V "P "U "R "W
= a + b - a - b i + a + b - a - b j
"y "y "z "z "z "z "x "x

"Q "V "P "U
+ a + b - a - b k
"x "x "z "z

"R "Q "P "R "Q "P
= a - i + - j + - k
"y "z "z "x "x "z
95

"W "V "U "W "V "U
+b - i + - j + - k
"y "z "z "x "x "z

= a � rot F + b � rot +G .
Dowód wlasności 2.
Ponieważ

fF = [f � P, f � Q, f � R]
to korzystajac ze wzoru na pochodna iloczynu mamy

i j k

" " "
rot(f � F ) =
"x "x "x
f � P f � Q f � R

"f "R "f "Q "f "P "f "R
= R + f - Q - f i + P + f - R - f j
"y "y "z "z "z "z "x "x

"f "Q "f "P
+ Q + f - P - f k
"x "x "y "y

"f "f "f "f "f "f
= R - Q i + P - R j + Q - P k
"y "z "z "x "x "y

"R "Q "P "R "Q "P
+f - i + - j + - k
"y "z "z "x "x "y

i j k

"f "f "f
= + frot F
"x "x "x
f � P f � Q f � R

= (grad f) � F + f � rot F .
Dowód wlasności 3.

i j k
" " "
rot(grad f) =
"x "x "x
"f "f "f
"x "y "z

"2f "2f "2f "2f "2f "2f
= - i + - j + - k
"y"z "z"y "z"x "x"z "x"y "y"x
96
Co kończy dowód na mocy twierdzenia Schwarza.

Definicja 11.9.6. Dywergencje pola wektorowego F określamy wzorem

div F = ć% F .
Oczywiście mamy

"P "Q "R
div F = + + .
"x "y "z

Niech F i G beda różniczkowalnymi polami wektorowymi i niech a, b beda liczbami rzeczy-
wistymi.
Wlasności dywergencji.

1o. div(aF + bG) = a � div F + b � div G;

2o. div(f � F ) = (grad f) ć% F + f � div F ;

3o. div(F � G) = G ć% rot F - F ć% rot G;

4o. div(rot F ) = 0, gdzie skladowe pola wektorowego F maja ciagle pochodne czastkowe
drugiego rzedu.
Dowód wlasności 1.

" " "
div(aF + bG) = (aP + bU) + (aQ + bV ) + (aR + bW )
"x "y "x
"P "Q "R "U "V "W
= a + + + b + +
"x "y "z "x "y "z

= a � div F + b � div G.
Dowód wlasności 2.

div(f � F ) = div[f � P, f � Q, f � R]
"F "P "f "Q "f "R
= P + f + Q + f + R + f
"x "x "y "y "z "z
"P "Q "R "f "f "f
= f + + + P + Q + R
"x "y "z "x "y "z

= (grad f) ć% F + f � div F .
97
Dowód wlasności 3.

i j k

div(F � G) = div
P Q R
U V W
= div[RU - V Q, UQ - W P, P V - UR]
"R "U "V "Q "U "Q "P "W
= U + R - Q - V + Q + U - W - P
"x "x "x "x "y "y "y "y
"P "V "U "R
+ V + P - R - U
"z "z "z "z
"Q "R "P "Q "R "P "U "W
= U - + V - + W - + P -
"y "z "z "x "x "y "z "y
"U "V "W "U
+Q - + R -
"y "x "x "z

i j k i j k
" " " " " "
= [U, V, W ] ć% - [P, Q, R] ć%
"x "y "z "x "y "z
P Q R U V W

= G ć% rot F - F ć% rot G.
Dowód wlasności 4.

i j k

" " "
div(rot F ) = div
"x "y "z
P Q R
"R "Q "P "R "Q "P
= div - , - , -
"y "z "z "x "x "y
" "R "Q " "P "R " "Q "P
= - + - + -
"x "y "z "y "z "x "z "x "y
"2R "2Q "2P "2R "2Q "2P
- + - + - = 0.
"x"y "x"z "y"z "y"x "z"x "z"y
Twierdzenie 11.9.1. (Gaussa) Jeżeli S jest zorientowanym kawalkami gladkim platem
zamknietym, którego brzegiem jest obszar domkniety V �" R3 i jeżeli w każdym punkcie
98

plata S zdefiniowane jest pole wektorowe F = [P, Q, R] różniczkowalne w sposób ciagly na
V , to

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(xy, z) dxdy = div F dxdydz.
S V
Twierdzenie 11.9.2. (Gaussa-Ostrogradzkiego) Jeżeli S jest zorientowanym kawalkami
gladkim platem zamknietym, którego brzeg K jest lukiem kawalkami gladkim zorien-
towanym zgodnie z orientacja plata S i jeżeli w każdym punkcie plata S zdefiniowane

jest pole wektorowe F = [P, Q, R] różniczkowalne w sposób ciagly na V , to

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = rot F dS.
K S
99