Kinematyka punktu  opis ruchu punktu, układu punktów, bryły sztywnej lub układów brył sztywnych,
bez wnikania w przyczyny ruchu.
Wielkościami charakteryzującymi ruch są: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie.
W celu opisania ruchu posługujemy się układami odniesienia względem których badamy ruch.
Kartezjański płaski układ odniesienia w którym ruch punktu opisujemy względem osi X i Y względem
punktu O.
Jednoznaczny opis ruchu w postaci wektorowej r(t) po przez określenie przyrostu wektora.
Kartezjański płaski układ współrzędnych.
r(t) +� D�r =� r(t +� D�t)
r(t) =� x(t)i +� y(t) j
Układ biegunowy.
r =� r(t)
��
��
��j� =� j�(t)
x =� r �� cosj�
��
��
y =� r �� sin j�
��
Kartezjański przestrzenny układ współrzędnych.
r =� r(t)
��
��
��j� =� j�(t)
��Q� =� Q�(t)
��
Układ walcowy.
r =r(t)
j� =� j�(t)
z=z(t)
wektorowe równanie ruchu  jednoznacznie określa położenie.
r =� r(t)
Prędkość punktu
r =� r +� D�r
B A
Wyznaczanie wektora prędkości punktu. Prędkość średnia jest stosunkiem
przyrostu D�r do przyrostu "t.
��
D�r D�r d r dr
v =� v =� lim v =� =� r
śr
D�t��0
D�t D�t dt dt
Przyspieszenie punktu.
Przyspieszeniem średnim nazywamy stosunek przyrostu prędkości "v do przyrostu czasu "t.
v
a =�
śr
D�t
D�v
a =� lim
D�t��0
D�t
2
dv d r
a =� =�
dt dt2
1
Miejsce geometryczne końców wektorów prędkości, których początki sprowadzono do jednego punktu
nazywamy hodografem prędkości.
Klasyfikacja ruchu:
Wielkości charakterystyczne: tor, prędkość, przyspieszenie.
a) tor  ruch prostoliniowy i krzywoliniowy,
b) prędkość  ruch jednostajny i zmienny,
c) przyspieszenie  ruch jednostajnie przyspieszony i zmienny.
Kinematyka bryły sztywnej:
Bryłą sztywna  nazywamy zbiór punktów, których wzajemne odległości są stałe.
Liczbą stopni swobody  nazywamy liczbę niezależny współrzędnych potrzebnych do określenia
położenia punktów lub ryły w przestrzeni.
Położenie bryły w przestrzeni określone przez trzy punkty.
A(xA, xA, xA)
B(xB, xB, xB)
C(xC, xC, xC)
Równania maja postać:
2 2 2
��
(�xA -� xC )� +� (�yA -� yC )� +� (�zA -� zC )� =� a2
��
2 2 2
(�xB -� xA )� +� (�yB -� yA )� +� (�zB -� zA )� =� b2
��
2 2 2
��
(�xC -� xB )� +� (�yC -� yB )� +� (�zC -� zB )� =� c2
��
Sześć współrzędnych wystarcza do określenia jednoznacznie dowolnego
ruchu swobodnego. Dowolna bryła ma sześć stopni swobody lub mniej. Przykłady:
Jeden stopień swobody.
Trzy stopnie swobody.
Klasyfikacja ruchu brył:
1) Ruch postępowy ( ruch jednoparametrowy ).
2) Ruch obrotowy.
3) Ruch płaski.
4) Ruch złożony ( względny ).
5) Ruch kulisty.
6) Ruch ogólny.
Ruchem postępowym bryły sztywnej nazywamy taki ruch w którym wszystkie punkty bryły doznają
tych samych przesunięć. Jest to najprostszy przypadek ruchu bryły sztywnej zwany jednoparametrowym
( wystarczy podać tylko jedną wielkość określającą ruch aby jednoznacznie opisać ruch bryły ).
Równania ruchu poszczególnych punktów:
r (�t)� =� r (t0 ) +� r(�t)�
A A
r (�t)� =� r (t0 ) +� r(�t)�
B B
r (�t)� =� r (t0 ) +� r(�t)�
C C
Prędkość punktów w ruchu postępowym, wektor
prędkości:
dr(�t)�
v =� v =� v =�
A B C
dt
Wektor przyspieszenia:
2
d r(�t)�
a =� a =� a =�
A B C
2
dt
2
Ruch obrotowy bryły sztywnej. Jeżeli unieruchomimy dwa dowolne punkty bryły sztywnej, to wszystkie
punkty leżące na prostej łączącej dwa unieruchomione punkty ( będące nieruchome, stanowiące oś
obrotu ) będą mogły poruszać się po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu o środkach
na niej leżących.
Tor każdego ciała poruszającego się ruchem obrotowym jest okręgiem leżącym w
płaszczyz
nie prostopadłej do osi obrotu o środku leżącym na tej osi i opisany jest
promieniem o długości równej odległości punktu od osi obrotu.
sC=Ć(t)�r
Prędkość liniowa punktu:
dsC dj�
&�
v =� =� r �� =� j�(�t)��� r =� v� (�t)��� r
dt dt
Prędkość kątowa �.
WIELKOŚCI K
TOWE W RUCHU OBROTOWYM WIELKOŚCI LINIOWE W RUCHU OBROTOWYM
( określają ruch całej bryły ) ( dotyczą tylko określonego punktu )
)�
j�
s
j� =� j�(�t)� - droga [rad] sC =� sC (�t)� [m]
&�
&� s
j� dj� dsC
=� v� - prędkość [rad/s]
=� v [m/s]
c
dt
dt
&�&� &�&�
j� dv� dvC
s
=� e� - przyspieszenie [rad/s2]
=� a [m/s2]
C
dt
dt
sc=Ć(t)�r
v =� w� �� r
c c
n t�
a =� a +� a
c c c
n
2
a =� w� �� r Kierunek przyspieszenia normalnego równoległy do promienia CO, zwrot od C do O.
c
t�
Przyspieszenie styczne: a =� e� �� r Kierunek przyspieszenia stycznego prostopadły do promienia, zwrot
c
zgodny ze zwrotem �.
n t�
a ^� a
c c
v =� w� �� r
a =� e� �� r +� w� ��(�w� �� r)�
t� n
a a
dv d(�w� �� r)�=� dw� dr
a =� =� �� r +� w� �� =� e� �� r +� w� ��(�w� �� r)�
dt dt dt dt
Ruch płaski bryły sztywnej. Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy ruch w którym wszystkie
punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.
Ruch płaski bryły sztywnej można przedstawić:
a) jako przemieszczenie i obrót,
b) jako obrót wokół szczególnego punktu.
Ruch płaski jako złożenie przemieszczenia i obrotu:
Równania:
xA=xA(t) xB=xB(t)
yA=yA(t) yB=yB(t)
Rych obrotowy:
j� =� j�(�t)�
3
Obrót wokół chwilowego środka obrotu:
Twierdzenie Oilera  dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyz
nie, może być dokonane za
pomocą pewnego punktu zwanego środkiem obrotu. Wokół każdego środka, obrót trwa nieskończenie
krótko, dlatego też punkty te nazywamy chwilowymi środkami obrotu.
a, b  symetralne odcinków
C  środek obrotu  wraz z ruchem ciała przemieszcza się
Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim:
1. Metoda analityczna.
2. Metoda rzutów prędkości.
3. Metoda superpozycji.
4. Metoda chwilowego środka obrotu.
5. Metoda prostej przechodniej.
6. Metoda prędkości odwróconych.
Ad1. Metoda analityczna  polega na zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu rozpatrywanego
punktu ciała sztywnego.
Ad2. Metoda rzutów prędkości  oparta jest na twierdzeniu Charlesa.
Twierdzenie Charlesa  w bryle sztywnej podczas dowolnego ruchu, rzuty
wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty
są sobie równe.
vAcosą=vBcos�
Zad. Korzystając z rzutów prędkości wyznaczyć prędkość B ogniwa
mechanizmu korbowo-wodzikowego w położeniu przedstawionym na
rysunku, jeśli korba OA obraca się z prędkością �=2[rad/s]=const.
OA=0,2m; AB=0,6m; ą=60�.
v =� w� �� OA
A OA
v =� w� �� r �� sin 90��
A OA
v =� 2 �� 0,2 =� 0,4[m / s]
A
Kierunek prędkości B jest znany gdyż ogniwo 3 może poruszać się tylko w jeden sposób.
Ad3. Metoda superpozycji:
r =� r +� r
B A
dr d r dr
B A
v =� =� +�
B
dt dt dt
dr
A
=� v r =� const r - zmienia się zwrot i kierunek
A
dt
dr
=� w� �� r v =� v +� w� �� r v +� w� �� AB =� v v =� v +� v
B A A B B A BA
dt
4
Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim stanowi sumę geometryczną wektora punktu przyjętego
jako biegun oraz wektora prędkości w ruchu obrotowym punktu szukanego względem bieguna.
v =� v +� v
B A BA
v ^� BA Kierunek prędkości v jest prostopadły do odcinka BA,
BA BA
a dodani v i v daje wartość v .
A BA B
v =� w� �� AB
AB
vAB ^� AB
� taka sama
v =� v
AB BA
v =� v +� v
B A BA
vB||do prowadnic
vBA ^� BA
v =� w�BA �� BA
BA
Odkładamy siłę vA ( znamy ją ) oraz kierunki sił vB, i vBA  tworzymy plan prędkości z
którego odczytujemy wartości sił nieznanych.
vBA
w�BA =�
BA
Tocząca się tarcza.
V0
VC=0 w�T =�
r
VC =� Vo +� VC 0
V =� V0 +�V V =� w�T �� A0
A A0 A0
V =� w�T �� r
C 0
V =� V0 +�V kVA0 ^� A0 V =� V
B B0 D 0 0
kVC0 ^� C0
V =� V0 +�V V =� V kVD0 ^� D0
0 D0 B0 0
kVB0 ^� B0
V =� 2V
A 0
V =� 2 V
B 0
V =� 2 V
D 0
V0
w�T =�
r
Ad4. Metoda chwilowego środka prędkości. Przemieszczenie ciała w ruchu płaskim można przedstawić
jako obrót dokoła punktu zwanego chwilowym środkiem obrotu.
Chwilowym środkiem obrotu nazywamy w danym położeniu, taki punkt S przekroju dla którego w
danej chwili prędkość liniowa równa jest zero.
5
VS =� VA +� V
SA
VSA VA
-�V =� V
SA A
w� =� =�
SA SA
VSA ^� SA
VA
SA =�
V =� V
SA
A w�
V =� w� �� SA V =� w� �� x
SA B
V =� w� �� SA ��1 V =� w� �� BS
SA B
W celu wyznaczenia chwilowego środka prędkości wystawiamy prostopadłe do kierunków prędkości
dwóch punktów badanego przekroju poruszającego się ruchem płaskim, punkty przecięcia dają chwilowy
środek prędkości.
�� S VS =� 0
V =� w� �� BS
B
V =� w� �� AS
A
UWAGA! Może być ułożenie wektorów prędkości dla których niema punktu chwilowego obrotu.
DEFINICJA CENTROIDY:
Ruch płaski możemy rozpatrywać jako wiele następujących po sobie obrotów
chwilowych w około przemieszczającego się ośrodka obrotu. Kolejne położenia
środków w układzie nieruchomym nazywamy cętroidą stałą, zaś w układzie
ruchomym cętroidą ruchomą.
V =� w� �� AC
A
V0
v� =�
r
V =� 2V0
A
V =� w� �� BC =� w� �� r 2
B
1�2�4�
4� 3�
V �� 2
0
V =� w� �� r 2
D
Przyspieszenie w ruchu płaskim.
Metoda super pozycji.
V =� V +�V
B A BA
V =� w� �� BA
BA BA
dV dV dV d(�w� �� BA)�
B A BA BA
=� +� =� a +�
A
dt dt dt dt
1�3�
2�
aT =� e� �� BA
BA BA
aB
n 2
aBA =� w�BA �� BA
dw� d BA
BA
�� BA +� w� ��
BA
n
dt
aT ^� BA aBA || BA
{�
1�dt3�
2�
BA
e�BA w� ��BA
BA
a =� a +� e� �� BA +� w� (�w� �� BA)�
B A BA
1� 3�
4�2�4�
1�BA 4�2�4�4�3�
4�� BA
n
aT
BA aBA
n
aB =� a +� aT +� aBA
A
BA
6
Bą�A
T n
aC =� a0 +� aC 0 +� aC 0
2
n vC 0 2
n 2
a || C0 C �� 0 aC 0 =� w�C 0 �� C0 =� =� w� �� C0
C 0
C0
T T
aC 0 ^� C0 aC 0 =� e� ��C0 ��1
{� {�
?? r
n
a =� a0 +� aT +� a
A A0
A0
T
aC 0
=� e�C 0 =� e�
C0
t n
a =� a0 +� aB0 +� aB0
B
n
2
a =� w� �� B0
B0
t
a =� e� �� B0
B0
Chwilowy środek przyspieszeń.
W ruchu płaskim bryły w każdej chwili istnieje punkt , którego przyspieszenie jest równe zero  punkt
ten nazywamy chwilowym środkiem przyspieszeń.
I
aB
A
Zakładając, że ap=0 przyspieszenie punktu P obliczonego metodą
B
I
aA
superpozycji, będzie wynosić:
a =� a +� a
P A PA
Ir
n t
a =� a +� a
PA PA PA
I I
I
an aPA
aP  przyspieszenie chwilowe środka przyśpieszeń: a =� -�a
PA A
PA
n 2
aPA =� w� �� AP
IaA t
aA PaPA
I
I
I
t
aPA =� e� �� AP
2 2
AP w� +� e� =� a
P
Odległość chwilowego środka prędkości od punktu A wynosi:
a
P
AP =�
2 2
w� +� e�
t
e� �� AP
a e�
PA
tga� =� =� =� aB =� BP
n 2
2
w�
w� �� AP
a
PA
A
Dane: aA=2m/s2+ aB=4m/s2 l=1m �=30�
I
aB
I
aA
Szukane: �, �=?
P P=?
B
7
n t
aB =� aA +� aBA +� aBA
n
a || BA
BA
t
a ^� Ba
BA
I
aB
I
I
t t
P
I
aPA aBA
a =� 3,5m / s2
BA
I IaA n
P
I
an
a =� 3,5m / s2
BA
PA
a =� 5m / s2
BA
t
a
BA
e� =� =� 3,5m / s2
BA
n
n
a =� w�BA �� BA
BA
n
a 3,5
BA
w� =� =�
BA 1
2
w� =� 3,5m / s
w� =� 1,8m / s
Ruch punktu bryły sztywnej poruszającej się ruchem złożonym  ruch złozony punktu.
Z
Z
Ik1
0
Y
I
i1
I
r
I
j1
Ruch punktu M względem nieruchomego punktu
M
IrM
I
r0 X
odniesienia 0XYZ nazywamy ruchem bezwzględnym.
I
k
Ruch punktu M względem ruchomego układu
I
j
0 Y
odniesienia 0 xyz nazywamy ruchem względnym.
Ii
Ruch układu ruchomego 0 xyz względem układu nieruchomego 0XYZ nazywamy ruchem
unoszenia.
X
Prędkość i przyspieszenie w ruchu złożonym.
r =� r +� r '
M 0
v dr ' dr
r 0
v =� =� +�
M
dt dt dt
{� {� {�
bezwzglęez a unoszenia wzglęzgl
dr
- zmienia kierunek bez zmiany wartości
dt
d r ś�r
=� +� w� �� r
dt ś�t
d r d r 0 ś�r
M
=� +� w� �� r +�
dt dt ś�t
{� 1�4�2�4�3� {�
v bezwzglęeza v wzglęwzg
v unoszenia
v =� v +� v
bM u w
8
Z
� =2rad/s
u
ś(t)=2t2[m]
I
a
V
Vu VB l=8m
I
u
I
VB
Szukane:
Vm(tl)
(t)
I
m V
I
w
Vw v =� v +� v
b u w
I
I
a
v =� w� �� r
u u
r =� l v =� 2[�rad / s]���8[�m]��� sin 90��
u
Y
v ^� plaszczyznyw� ��z� v =� 16m / s
u u u
ś�z� (�t)� ś�z�
2
v =� v =� =� 4t z� (�t)� =� 2t =� 8 �� t =� 2s v =� 4 �� 2 =� 8m / s
w w w
X
ś�t ś�t
2 2
v =� v +� v v =� 256 +� 64 v =� 320
B u w B B
Przyspieszenie punktów w ruchu złożonym.
v =� v '+�w� �� r +� r
bM 0 w
Przyspieszenie bezwzględne punktu M= a jest równe pochodnej względem czasu prędkości
bM
bezwzględnej v tego punktu
bM
dv dv ' d(�w� �� r)�+� dvr
bM o
=� +�
dt dt dt dt
dv dv ' dw� dv dv
bM 0 w
=� +� �� r +� w� �� +�
dt dt dt dt dt
dv ś�v
gdzie: =� +� w� �� r
dt ś�t
dv '
0
=� a0 '
dt
d(�v� �� r)�=� dw� dv
�� r +� w� ��
dt dt dt
dw�
=� e�
dt
dv ś�v
w w
=� +� w� �� v
u w
dt dt
ć� ��
dv dv ' ś�v ś�V
bM 0 w
�� ��
więc: =� +� e� �� v +� w� �� +� w� �� r +� +�v� �� v
u w
�� ��
dt dt ś�t ś�t
Ł� ł�
ś�v
w
=� a 2w� �� v =� a - coriolisa
w u w c
dt
a '+�w� ��(�w� �� r)�+� e� �� r =� a
0 u
dv dv ' ś�v
bM 0 w
=� +� e� �� r +� w� ��(�w� �� r)�+� +� 2w� �� v
u
1� 3�
4�2�4�w
dt dt ś�t
1�4�4�4� 3� {�
4�2�4�4�4�4� a coriolisa
a wzgledne
a unoszenia
Przyspieszenie coriolisa jest podwójnym iloczynem wektorowym prędkości kątowej unoszenia i
prędkości względnej: a =� 2w� �� v
c u w
Przyspieszenie coriolisa nie występuje czyli jest równe zero, kiedy:
1. Ruchem unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny, prosty i postępowy: w� =� 0
u
2. Gdy wektory prędkości kątowej w� jest równoległy do wektora prędkości względnej v
w
w� || v
u w
9
3. W przypadku kiedy prędkość względna v będzie równa zero w� =� 0 , przyspieszenie coriolisa
w
jest wektorem ^� do płaszczyzny utworzonej przez wektory w� , v .
u w
Zwrot przyspieszenia coriolisa zgodny jest z regułą śruby prawo skrętnej a ^� w� i v
c u w
Wartość: a =� 2 �� w� �� v �� sin(�w�,v )�
I
v c u w w
W
I
a
C
r=0,2m
ą=60�
I
(t)
rad
B w� =� 2
A
s
2
z� (�t)� =� 6t
t=3[s]
a =� ?
c
v =� v +� v
B A BA
vA =vB
vA=vB
I(t)
v =� v =� v
A B
V
U
V V
A B B
A
w� =� 0
u
V
B
V
A
Ruch postępowy, a więc przyspieszenie coriolisa jest równe zero.
a =� 0 bo prędkość unoszenia jest równoległa do prędkości
c
Z
Z
rad m m
I
(t)
a =� 2 ��w� �� v a =� 2 �� 2 ��8 ��1 =� 32
c u w c
s s s2
V
B
I
(t)
V
I
u
Ruch kulisty  jest to taki ruch ciała sztywnego podczas którego jeden punkt zwany środkiem ruchu
kulistego jest nieruchomy, zaś torami pozostałych punktów są powierzchnie kuli o środku w punkcie
będącym środkiem ruchu kulistego.
Ruch kulisty opisujemy przy pomocy kątów Eulera.
Ć  kąt obrotu własnego
�  kąt precesji
Z
J�  kąt nutacji
Z
12
Płaszczyzna
Zeta Teta
Zeta
teta - xi
Teta
0
Y
1
2
0
Y
123
Płaszczyzna
XY
X
3
Xi
Krawędz
przecięcia X
N
płaszczyzn
Xi
10
N
Kąty Eulera:
Podczas ruchu ciała sztywnego wartości kątów obrotu własnego, precesji, nutacji zmieniają się w czasie:
J� =� f1(�t)�
Y� =� f2(�t)�
j� =� f3(�t)�
Aby jednocześnie określić ruch należy podać trzy równania.
Ruch ciała sztywnego w ruchu kulistym ma trzy stopnie swobody.
Prędkość kątowa w ruchu kulistym.
dj�
w� =� - prędkość kątowa obrotu własnego
1
dt
I
l
dY�
w� =� - prędkość kątowa precesji
2
0
dt
dJ�
w� =� - prędkość kątowa nutacji
3
dt
Prędkość kątowa wyrażona jest jako suma geometryczna: w� =� w� +� w� +� w�
1 3
Prędkość dowolnego punktu w ruchu kulistym.
dv
v =� =� w� �� r
dt
OBROTOWY KULISTY
I
l=const.
v =� w� �� r
� - chwilowa
v =� w� �� r
I
r
I
r
Przyspieszenie w ruchu kulistym.
dv d(�w� �� r)�=� dw� dr
a =� =� �� r +� w� ��
dt dt dt dt
dv
=� w� �� r =� v
dt
dw�
=� e� , stąd:
dt
6�v8�
7�
a =� e� �� r +� w� (� �� )�
{�
1��2�4�r
4�w� 3�
a0
aD
ao  przyspieszenie obrotowe,
aD  przyspieszenie do osiowe.
a =� a +� a
o D
Precesja regularna: kąt nutacji jest stały, a prędkość nutacji równa się zero  wartości prędkości obrotu
własnego i precesji są stałe.
��J� =� const. �� w� 3 =� 0
��
��
w� =� const.
1
��
��
w� =� const.
2
��
��
11
dJ�
Prędkość kątowa precesji wynosi: w� +� =� 0
3
dt
Suma geometryczna: w� =� w� +� w�
1 2
Przyspieszenie kątowe: e� =� w� ��w�
2
Wektor przyspieszenia kątowego e� jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej wektorami w� oraz w� .
1
Z
Z
1
12
1.
Chwilowa oś obrotu,
2
1
na niej znajduje się
2
1
Y
Y
Szukamy chwilowej
osi obrotu dla 0 danego
położenia.
1
Prędkość
w� =� w�1 +� w� 2
2
2
X
X
punktów leżących na chwilowej osi obrotu jest równa 0.
2. Szukamy punktów nieruchomych ( 1, 2 ) jest to oś w� .
2
e� =� w� ��w� v =� w� �� rA a =� e� �� r +� w�(�w� r )�
2 AC u m
1�� An
4�2�4�
3�
Vm
1
Ruch bryły swobodnej.
Z
Z
Położenie bryły sztywnej w ruchu dowolnym będzie
jednoznacznie określone jeżeli w danej chwili
czasowej będą znane współrzędne ruchomego układu
0
x0(t), y0(t), z0(t) oraz kąty y�(�t)�, j�(�t)�, J�(�t)�.
Y
X
01
Y
X
12
Naturalny układ współrzędnych
Podczas ruchu punktu po dowolnym torze możemy poprowadzić do toru
płaszczyznę ściśle styczną(Ąss), płaszczyznę normalną (Ąn) i płaszczyznę prostującą
(Ąp) w miejscu w którym znajduje się aktualnie rozważany punkt. Krawędzie
przecięcia się płaszczyzn są osiami: styczną normalną główną i binormalną.
��Trójścian FRENETA
Twierdzenie o ruchu prostej: rzuty prędkości dwóch dowolnych punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te
punkty są sobie równe.
(WEKTOROWO)
r0" r0=|r0|2 =const
(rB-rA)2-r02=0 po zróżniczkowaniu względem czasu i przyjęciu oznaczeń:
rB+rA=r, (rA) =VA, (rB) =VB dajeą� rVB=rVA czyli ą�
rVAcos(r,VA)=rVBcos(r,VB) ą� VAcos(r,VA)=VBcos(r,VB)
Aksoidy
Aksoida ruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych osi obrotu w układzie ruchomym.
Aksoida nieruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych osi obrotu w układzie nieruchomym
13