Wydział Elektryczny
Mechatronika sem.1
Zestaw 1
Zagadnienia: rachunek wektorowy, kinematyka
r
r r r r
r r
1. Dane są dwa wektory: oraz . Obliczyć: a) długość każdego wektora, b)
A = 2i + 6 j -10k B = -4 j + k
iloczyn skalarny i wektorowy, c) kąt zawarty między wektorami.
r
r r
r
2. Dany jest wektor -3i + 4 j + 2k
. Obliczyć jego długość oraz kosinusy kierunkowe współrzędnych.
a =
r
Zakładając, że wektor ma początek w punkcie P(5, -4, -1), znajdz
współrzędne końca wektora.
a
r
r r r
3. Siła - 2 j + 7k N
działa na punkt P(5, 2, 2) m. Jaki jest moment tej siły względem początku układu
F = 5i
współrzędnych O(0,0,0) a jaki względem punktu Q(0, 5, 0) m?
r r r r
r r r r r r
r r
4. Dana jest trójka wektorów: , oraz zaczepiona w
a = 2i + 6 j -10k b = i - 4 j + k c = -3i + 5 j - k
początku układu współrzędnych. Obliczyć: a) objętość równoległościanu zbudowanego na tych trzech
wektorach; b) pole powierzchni wszystkich ścian równoległościanu.
5. Równania ruchu dwóch punktów materialnych obserwowanych z danego układu odniesienia, są
r r
2
następujące: , . Oblicz: a) prędkość i przyspieszenie punktów; b)
r1(t) = (t + 3t,2 + t,2t) r2 (t) = (1,2t,1+ t)
rzut wektora prędkości na wektor przyspieszenia dla punktu drugiego.
r(t)
6. Położenie ciała w układzie współrzędnych XY opisuje wektor , gdzie t  czas liczony w
r = [t2 + 3t - 4,2]
sekundach. Współrzędne wektora są wyrażone w metrach. W jakiej chwili czasu tx odległość tego ciała od
początku układu współrzędnych jest najmniejsza? Ile ona wynosi?
r r
m m
r r
7. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami oraz . W chwili
vA = 2i vB = 5 j
s s
t0 są one w punktach o współrzędnych PAo =(3m, 0) i PBo =(0, -3m). Znajdz
wektor, który określi położenie
cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie?
8. Punkt materialny porusza się wdłuż osi OX zgodnie z równaniem x(t)=At  Bt2, gdzie A = 3cm/s i B=0,5
cm/s2. Znajdz
średnią prędkość w ciągu pierwszych 2, 6, 10 sekund ruchu oraz czas po którym odległość od
początku układu współrzędnych jest maksymalna. Oblicz średnie przyspieszenie między 5 i 10 sekundą
ruchu i przyspieszenie chwilowe w 11 sekundzie ruchu.
9. Punkt materialny porusza się w płaszczyz
nie XY, przy czym zależność współrzędnych położenia punktu od
czasu podają następujące zależności:
x = At2, y = B + Ct2, gdzie A = 5 m/s2, B = 2 m, C = 4 m/s2.
Opisać ruch ciała przedstawiając na wykresie:
" tor punktu materialnego postaci funkcji y = f(x),
" zależność prędkości oraz przyspieszenia punktu materialnego od czasu.
10. Prędkość nurtu rzeki wynosi v1, natomiast prędkość łodzi względem wody wynosi v2. Oblicz średnią
prędkość łodzi, która płynęła tam i z powrotem pomiędzy dwoma mostami.