plik

System szesnastkowy, czyli inaczej heksadecymalny to system zawierający cyfry od 0 do 9 oraz litery od A do F (odpowiadający systemie liczbom od 10 do 15). System szesnastkowy jest używany między innymi do tworzenia unikalnych

adresów MAC (adres fizyczny karty sieciowej) oraz do adresowania za pomocą protokołu internetowego wersji 6.

Systemy liczbowe

SYSTEM SZESNASTKOWY

SPIS TREŚCI

Wstęp

Konwersja w systemie szesnastkowym

Działania na liczbach szesnastkowych

Wstęp

System szesnastkowy, czyli inaczej heksadecymalny to system zawierający cyfry od 0 do 9 oraz litery od A do F (odpowiadający systemie liczbom od 10 do

15). System szesnastkowy jest używany między innymi do tworzenia unikalnych adresów MAC (adres fizyczny karty sieciowej) oraz do adresowania za pomocą

protokołu internetowego wersji 6. Jest doskonały do tworzenia unikatowych oraz zajmujących stosunkowo mało miejsca na zapis liczb.

Chociażby zapis informacji o kolorze gdzie dla porównania zapis kolor szarego to 100 100 100 w systemie dziesiętnym, natomiast 40 40 40 w systemie

szesnastkowym – zajmuje dwie pozycje na zapis jednego koloru zamiast trzech (maksymalne wartości dla koloru to FF w szesnastkowym). Przyjmuje się, aby liczby

zaczynające się literą z lewej strony poprzedzać 0, czyli zamiast A zapisać 0A – jednak nie jest to konieczne.

Konwersja w systemie szesnastkowym

Aby dokonać konwersję z liczb dziesiętnych na szesnastkowe, możemy skorzystać z dwóch sposobów. Pierwszy z nich to konwersja na system binarny, podział na

sekcje zawierający po 4 bity a następnie obliczenie wartości szesnastkowej danych 4 bitów. Poniżej tabela zamiany 4 bitowych liczb binarnych na szesnastkowe.

Za przykład dajmy sobie liczbę 239 .

1) Zamieniamy na binarny:

239 = 11101111

2) Dzielimy na sekcje zawierający:

1110 | 1111

3) Zmieniamy sekcję:

E | F

4) Gotowe!:

0EF

Jednak szybszym sposobem zamiany liczb dziesiętnych na szesnastkowe jest dokonania dzielenia podobnego do dzielenia które wykonywaliśmy wcześniej w

systemie binarnym.

0EF to reszta z dzielenia liczb 239 oraz 14 przez 16.

Konwersję szesnastkowego na dziesiętny przeprowadzamy w sposób podobny do pierwszego opisanego: zamieniamy z szesnastkowego na binarny i dokonujemy

zamiany z binarnego na dziesiętny. Przedstawiono poniżej po lewej stronie.

0EF = 1110 | 1111 = 239 0EF = 15 * 16 + 16 * 16 = 239

Możemy również pomnożyć rzędy danej liczby przez kolejne potęgi szesnastu i zsumować je ze sobą – co jednak będzie bardziej skomplikowane. Proces

przedstawiony po prawej stronie powyżej.

Działania na liczbach szesnastkowych

Również w systemie szesnastkowym, jak w każdym systemie liczbowym występują działania na liczbach. Jednak działania na liczbach szesnastkowych nie są zbyt

często wykorzystywane. Głównie podstawowe działania (dodawanie i odejmowanie) mogą być podczas obliczania koloru podczas projektowania kolorystyki strony.

Dlatego mogę zaproponować konwersję na liczby binarne, dokonanie działań na binarnych i powrót z binarnych do szesnastkowych. Dalej jednak postaram

się omówić operacje na liczbach szesnastkowych, pomijając szczegółowe opisanie wcześniej zaproponowanego sposobu.

Dodawanie:

Dokonujemy je zwykle za pomocą działania pisemnego. W poniższym przykładzie dodamy liczbę 0E do 0AF. System przesunięcia nadmiaru działa podobnie jak w

systemie binarnym dając 1 tego systemu liczbowego. Przedstawiłem tutaj po lewej dodawanie w systemie szesnastkowym, po prawej w systemie binarnym.

Przy tym należy pamiętać że system nadmiaru działa tylko wtedy, kiedy suma poszczególnych cyfr przekracza cyfrę F.

Odejmowanie:

Odejmujemy również za pomocą działania pisemnego. W poniższym przykładzie odejmiemy 4F od 0F45 . Również tutaj pożyczka działa podobnie jak w systemie

binarnym. Przedstawiłem tutaj po lewej odejmowanie w systemie szesnastkowym, po prawej w systemie binarnym.

Mnożenie:

Mnożenie jest bardziej skomplikowaną sprawą niż wcześniej przedstawione działania i wymaga pewnego przyzwyczajenia oraz oderwania się od tradycyjnego,

dziesiętnego modelu mnożenia. Oczywiście schemat sam w sobie jest podobny do mnożenia pisemnego dziesiętnego, jednak występowanie 16 cyfr (zamiast 10)

wymaga zastosowania pewnego systemu.

W tym systemie:

1. Zamieniamy każdy człon liczby szesnastkowej na liczby dziesiętne,

2. Mnożymy każdy człon liczby mnożonej przez każdy człon mnożnika,

3. Wyniki zamieniamy na liczby szesnastkowe,

4. Zapisujemy je w działaniu pisemnym tak samo jak liczby dziesiętnym, np:

5. Kontynuujemy dalej według zasad dodawania liczb szesnastkowych.

W poniższym przykładzie pomnożymy liczbę 0F44 przez 0D5 . Wynikiem mnożeniem będzie liczba 832404 . Po lewej stronie jest przedstawione działanie w

formie pisemnej, natomiast po prawej poszczególne wyniki mnożenia liczb dziesiętnych i zamiany ich na szesnastkowe. W tym wypadku pozwoliłem sobie od razu

dodać do siebie pokazać wynik mnożenia liczby 0F44 przez cyfry mnożnika 0D5 .

Dzielenie:

Dzielenie w systemie szesnastkowym jest również podobne do dzielenia w systemie pisemnym dziesiętnym. W poniższym przykładzie dzielimy liczbę 223 przez 5 .

Wynikiem dzielenia jest liczba 44 z resztą 3 . Należy pamiętać o tym, by zmieniać liczby heksadecymalne na dziesiętne podczas dzielenia, by ustrzec się błędów

wynikających z braku konwersji.

Binarny

Działania Arytmetyczne

E.12

EE.08

Heksadecymalny

Konwersja z dziesiętnych