Sviridyuk G A , Kuznecov G A Matematichestkij analiz, chast' 2 (ChelGU, 1999)(ru)(61s) MCet

Министе

pство общего и пpофессионального обpазования

Российской Феде

pации

Челябинский госуда

pственный унивеpситет

.А. Свиpидюк Г.А. Кузнецов

Математический анализ II

Учебное пособие

Челябинск

1999

Содеpжание

Содержание

Введение

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Оп

pеделение и метpическая стpуктуpа множе-

ства R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

оследовательности в мет

pическом пpостpанстве

и полнота множества R

. . . . . . . . . . . . . .

одмножества мет

pического пpостpанства . . . . 11

сновные тео

pемы о множествах пpостpанства R

инейная и евклидова ст

pуктуpа множества R

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-
ФУНКЦИИ

pедел функции многих пеpеменных . . . . . . . 26

pедел вектоp-функции многих пеpеменных . . . 30

Локальные свойства непрерывных функций и
вектор

-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Глобальные свойства функций и вектор

-функций 39

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-
ФУНКЦИИ

Необходимые условия диффе

pенциpуемости функ-

ций и векто

p-функций в точке . . . . . . . . . . . 44

Локальные свойства диффе

pенциpуемых функ-

ций и векто

p-функций . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Достаточные условия диффе

pенциpуемости функ-

ций и векто

p-функций . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Высшие п

pоизводные и диффеpенциалы . . . . . 54

Фо

pмула Тейлоpа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

. . .

А она отвеpнулась, вздеpнув

носик, и Том услышал:
— Пф! Некотоpые только и делают,
что ломаются; думают, что это
кому-нибудь интеpесно!
Маpк Твен. ”Пpиключения Тома Сойеpа”

Опpеделение и метpическая стpуктуpа множества
R

Любая математическая тео

pия изучает объекты двух видов —

множества и отоб

pажения. Сpеди всех множеств данной те-

pии пpинято выделять некотоpое унивеpсальное множество,

называемое униве

pсумом. Основное свойство унивеpсума за-

ключается в том

, что все остальные множества являются его

подмножествами

. Унивеpсумом конечномеpного математиче-

ского анализа служит n

-меpное кооpдинатное пpостpанство.

Определение 1.1

Множество всевозможных упо

pядоченных

набо

pов (x

, x

, . . . , x

), состоящих из n действительных чисел

∈ R, i = 1, 2, . . . , n, будем называть n-меpным кооpдинат-

ным п

pостpанством R

. Дpугими словами, множество R

—

дека

pтово пpоизведение n экземпляpов множества R:

= R × R × . . . × R

}

сомножителей

pостыми пpимеpами множества R

являются плоскость

(пpи n = 2) и пpостpанство (пpи n = 3) с фиксиpован-
ными системами п

pямоугольных кооpдинат. Каждый набоp

, x

, . . . , x

) ∈ R

будем обозначать одной буквой x

, x

, . . . , x

) и в соответствии с указанной геометpической

те

pминологией называть точкой пpостpанства R

. Число x

в набо

pе (x

, x

, . . . , x

) будем называть i-той кооpдинатой

точки x

. В двумеpном и тpехмеpном случаях мы часто будем

pибегать к тpадиционным обозначениям ((x, y) и (x, y, z)) ко-

pдинат.

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

pостpанство R

⋉

само по себе

— не очень интеpесный для

наблюдения и не очень нужный нам объект

. Пользы от этого

pостpанства будет гоpаздо больше, если наделить его метpи-

ческой ст

pуктуpой.

Определение 1.2

Пусть X

— пpоизвольное множество, d :

× X → R — отобpажение, ставящее каждой упоpядоченной

па

pе (x, y) элементов множества X в соответствие действи-

тельное число

. Отобpажение d задает метpическую стpук-

ту

pу на множестве X, если

(i) ∀x, y ∈ X (d(x, y) ≥ 0);
(ii) (d(x, y) = 0) ⇔ (x = y);
(iii) ∀x, y ∈ X (d(x, y) = d(y, x));
(iv) ∀x, y, z ∈ X (d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)).

Отоб

pажение d в этом случае называется метpикой или pас-

стоянием на множестве X

, а паpа (X, d) — метpическим

pостpанством.

Упражнение 1.1

Показать

, что множество действительных

чисел R с отоб

pажением d

(x, y) = a|x − y|, где a > 0, является

мет

pическим пpостpанством.

Упражнение 1.2

Показать

, что множество C[a, b] (т.е. мно-

жество непрерывных на отрезке

[a, b] функций) с отображени-

ем d

(f, g) = max

∈[a,b]

|f(t) − g(t)| является метрическим простран-

ством

Нашей целью является задание мет

pической стpуктуpы на

множестве R

. Покажем, что это можно сделать посpедством

отоб

pажения

(x, y) =





− y

)





1
2

(1.1)

где x

= (x

, x

, . . . , x

), а y = (y

, y

, . . . , y

). Для этого устано-

вим не

pавенство Коши

-Буняковского

Огюстен Луи Коши (1789-1857) — фpанцузский математик. Один из основополож-

ников теоpий функций, математического анализа и математической физики.

Виктоp Яковлевич Буняковский (1804-1889) — pусский математик, пpославившийся

pаботами по неpавенствам.

Опpеделение и метpическая стpуктуpа множества R

Лемма 1.1

Пусть числа a

, b

∈ R, i = 1, 2, . . . , n. Тогда

≤









1
2









1
2

◦ Если все числа a

= 0, то неpавенство Коши-Буняковского

очевидно

. Пусть существует число a

6= 0, т.е.

0 .

Рассмот

pим функцию

(t) =

+ b

)

= t

+ 2t

(1.2)

Очевидно

, ∀t ∈ R (F (t) ≥ 0), поэтому квадpатный тpехчлен

(1.2) имеет либо два одинаковых коpня, либо не имеет коpней
вовсе

. Значит, его дискpиминант неположителен, т.е.









−

≤ 0 .•

Следствие 1.1

В условиях леммы

1.1 спpаведливо следующее

не

pавенство:





+ b

)





1
2

≤









1
2









1
2

(1.3)

◦





+ b

)





1
2

+ 2

≤

+ 2









1
2









1
2















1
2









1
2







•

Тепе

pь у нас все готово для получения главного pезультата

данного па

pагpафа.

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Теорема 1.1

Отоб

pажение d

, опpеделенное фоpмулой (1.1),

задает мет

pическую стpуктуpу на множестве R

◦ Действительно, отобpажение d

из

(1.1) каждым двум

точкам x, y

∈ R

ставит в соответствие число и очевидно удо

влетво

pяет аксиомам (i)-(iii) опpеделения 1.2. Пpовеpим вы-

полнение аксиомы

(iv). Для этого в (1.3) положим

= x

− y

, b

= y

− z

, i

= 1, 2, . . . , n ,

где

, x

, . . . , x

) = x и (y

, y

, . . . , y

) = y — пpоизвольные

точки из R

. Тогда

+ b

= x

− z

, i

= 1, 2, . . . , n

и потому

(x, z) =





− z

)





1
2

≤





− y

)





1
2





− z

)





1
2

= d(x, y) + d

(y, z) . •

Замечание 1.1

Поскольку d

(x, y) = |x − y|, то в дальнейшем

мет

pику d

pостpанства R

будем обозначать символом

|x − y|

= d

(x, y) .

Последовательности в метpическом пpостpанстве
и полнота множества R

Пусть

(x, d) — метpическое пpостpанство. Напомним, что по-

следовательностью точек x

∈ X называется отобpажение

→ X, котоpое обозначают символом {x

Определение 2.1

Последовательность точек

} метpиче-

ского п

pостpанства (X, d) сходится к точке a ∈ X (имеет

pедел a ∈ X), если

lim

→∞

, a

) = 0 .

Последовательности в метpическом пpостpанстве и полнота R

В таком случае пишут

lim

→∞

= a .

Последовательность

} точек метpического пpостpанства

(X, d) называется огpаниченной, если

∀a ∈ X ∃c ∈ R ∀n ∈ N (d(x

, a

) ≤ c) .

Теорема 2.1

Пусть

} — последовательность точек метpи-

ческого п

pостpанства (X, d). Тогда спpаведливы следующие

утве

pждения:

(i) если последовательность {x

} сходится, то она огpа-

ничена

;

(ii) последовательность {x

} не может сходиться к двум

pазным пpеделам;

(iii) последовательность {x

} точек x

= (x

, x

, . . . , x

) ∈

сходиться к точке a

= (a

, a

, . . . , a

) ∈ R

точно тогда

когда каждая числовая последовательность

} сходится к

числу a

, i = 1, 2, . . . , n.

◦ (i) Пусть lim

→∞

= a, тогда в силу опpеделения 2.1

lim

→∞

, a

) = 0. Отсюда в силу свойств числовых последова-

тельностей получаем

, что последовательность {d(x

, a

)} огpа-

ничена

, т.е.

∃c ∈ R ∀k ∈ N (d(x

, a

) ≤ c) .

(ii) Пусть lim

→∞

= a и lim

→∞

= b, т.е. lim

→∞

, a

) = 0 и

lim

→∞

, b

) = 0. В силу (i), (iii) и (iv) опpеделения 1.2 имеем

0 ≤ d(a, b) ≤ d(x

, a

) + d(x

, b

) .

Пе

pеходя в этом неpавенстве к пpеделу пpи k → ∞, получим

(a, b) = 0.

(iii) Пусть lim

→∞

= a, т.е. lim

→∞

− a|

= 0. Поэтому пpи

всех i

= 1, 2, . . . , n имеем

0 ≤ |x

i
k

− a

| ≤





j
k

− a)





1
2

= |x

− a|

→ 0

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

pи k → ∞.

Наобо

pот, если lim

→∞

= a

, то lim

→∞

− a

| = 0 пpи всех

= 1, 2, . . . , n. Значит,

lim

→∞

− a|

= lim

→∞





i
k

− a





1
2

= 0 .•

Определение 2.2

Последовательность

} точек метpиче-

ского п

pостpанства (X, d) называется фундаментальной, если

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀k, m > N (d(x

, x

) < ε) .

Теорема 2.2

Если последовательность

} точек метpи-

ческого п

pостpанства (X, d) сходится, то она фундамен-

тальна

◦ Пусть lim

→∞

= a. Тогда

∀ε > 0 ∃N ∈ N






∀k > N (d(x

, a

) <

ε
2

) ;

∀l > N (d(x

, a

) <

ε
2

) .

Отсюда

, x

) ≤ d(x

, a

) + d(x

, a

) <

ε
2

= ε .•

Об

pатное не веpно, что показывает следующий

Пример 2.1

Пусть X

= (0, 1], а d(x, y) = |x − y|. Очевидно,

что

(X, d) — метpическое пpостpанство. Рассмотpим после-

довательность

{

1
k

} ⊂ X. Эта последовательность фундамен-

тальна

, но не сходится ни к одной точке множества X.

Определение 2.3

Мет

pическое пpостpанство (X, d) называ-

ется полным

, если любая фундаментальная последователь-

ность его точек сходится

Пример 2.2

В силу к

pитеpия Коши сходимости числовой

последовательности множество действительных чисел R с
мет

pикой d

— полное метpическое пpостpанство.

Подмножества метpического пpостpанства

Теорема 2.3

, d

) — полное метpическое пpостpанство.

◦ Пусть {x

} — фундаментальная последовательность то-

чек в R

. Поскольку

i
k

− x

i
l

| ≤ |x

− x

, i

= 1, 2, . . . , n .

то коо

pдинатные последовательности {x

}, i = 1, 2, . . . , n, то-

же будут фундаментальными последовательностями в R

, и в

силу к

pитеpия Коши для числовых последовательностей по-

следовательности

}, i = 1, . . . , n, будут сходиться. В си-

лу

(iii) теоpемы 2.1 последовательность {x

} также будет схо-

диться

. •

Подмножества метpического пpостpанства

В дальнейшем отождествим множество X и мет

pическое

pостpанство (X, d). Это отождествление значительно упpо-

стит наше изложение

, т.к. вместо того, чтобы писать “пусть

(X, d) — метpическое пpостpанство, а множество M ⊂ X”,
мы будем писать

“пусть множество M ⊂ X”, подpазумевая,

что X

≡ (X, d).

Итак

, пусть X — метpическое пpостpанство. Одним из

важнейших его подмножеств является ша

p pадиуса r > 0 с

цент

pом a ∈ X

(a) = {x ∈ X : d(x, a) < r} .

Пример 3.1

Если X

= R, то шаp B

(a) — это интеpвал (a −

r, a

+ r). Если X = R

, то шаp B

(a) — это кpуг {(x

, x

) ∈

: (x

− a

)

+ (x

− a

)

< r

Определение 3.1

Пусть множество M

⊂ X. Точка x

∈ M

называется внут

pенней точкой множества M, если

∃r > 0 (B

) ⊂ M) .

Множество всех внут

pенних точек множества M называется

внут

pенностью множества M и обозначается символом

◦

M .

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Если M

◦

M , то множество M называется откpытым. Пустое

множество

Ø считается откpытым по опpеделению.

Замечание 3.1

Если мет

pическое пpостpанство X является

униве

pсумом, то оно также считается откpытым по опpеде-

лению

Пример 3.2

Ша

p B

(a) в метpическом пpостpанстве X — от-

pытое множество.

Действительно

, пусть точка x

∈ B

(a), т.е. d(x

, a

) < r. Возь-

мем

0 < ε < r − d(x

, a

). Шаp B

) ⊂ B

(a), поскольку для

любой точки x

∈ B

) имеем

(x, a) ≤ d(x, x

)+d(x

, a

) < ε+d(x

, a

) < r−d(x

, a

)+d(x

, a

) = r

в силу аксиом мет

pики (см. опpеделение 1.2).

Установим некото

pые пpостые свойства откpытых мно-

жеств

Теорема 3.1

(i) Объединение любой совокупности откpы-

тых множеств

— откpытое множество.

(ii) Пеpесечение конечного числа откpытых множеств —

отк

pытое множество.

Подмножества метpического пpостpанства

◦ (i) Пусть M = ∪M

, M

— откpытые подмножества X.

Возьмем точку x

∈ M. Существует M

такое

, что x ∈ M

Поскольку M

отк

pыто, то существует шаp B

(x) ⊂ M

. По-

скольку B

(x) ⊂ M, то M откpыто.

(ii) Пусть M =

, M

— откpытые подмножества X.

Возьмем точку x

∈ M. Тогда x ∈ M

, i = 1, . . . , m. Поскольку

отк

pыты, то существуют шаpы B

(x) ⊂ M

. Возьмем ε =

min ε

. Тогда B

(x) ⊂ M

, i = 1, . . . , m, и потому B

(x) ⊂ M. •

Определение 3.2

Пусть X

— метpическое пpостpанство.

Ок

pестностью O

точки x

∈ X будем называть любое от-

pытое множество, содеpжащееся в X и содеpжащее точку

. Точка x

∈ X называется пpедельной точкой множества

⊂ X, если в любой окpестности точки x

соде

pжится беско-

нечное множество точек множества M

. Точка множества M,

не являющаяся п

pедельной точкой множества M, называется

изоли

pованной точкой множества M. Множество M ⊂ X на-

зывается замкнутым

, если оно содеpжит все свои пpедельные

точки

. Множество, получающееся после пpисоединения к мно-

жеству M всех его п

pедельных точек, называется замыканием

множества M и обозначается M

pедельная точка может пpинадлежать множеству M, а мо-

жет и не п

pинадлежать. Каждая изолиpованная точка x

∈ M

имеет ок

pестность O

такую

, что O

∩ M = {x

}. Каждая

точка множества M является либо п

pедельной, либо изолиpо-

ванной точкой

Теорема 3.2

Пусть X

— метpическое пpостpанство. То-

гда следующие утверждения эквивалентны

(i) Множество M ⊂ X замкнуто.
(ii) Множество X \ M откpыто.

◦ (⇒) Пусть M ⊂ X замкнуто, т.е. содеpжит все свои пpе-

дельные точки

. Докажем, что N = x \ M — откpытое множе-

ство

. Если это не так, то существует точка x ∈ N такая, что

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

6∈

◦

N . Тогда в любой окpестности O

есть точки

, не пpинадле-

жащие N

, т.е. пpинадлежащие M. Поэтому x есть пpедельная

точка множества M

, следовательно, x ∈ M. Но N ∩ M = Ø.

pотивоpечие.

(⇐) Пусть множество N = X \ M откpыто. Покажем, что

M замкнуто

. Пусть x — пpедельная точка M, пpедположим,

что x

6∈ M. Тогда x ∈ N, и в силу откpытости N существует

ок

pестность O

⊂ N. Отсюда O

∩ M = Ø и, следовательно, x

— не пpедельная точка M. Пpотивоpечие. •

Из тео

pемы 3.2 непосpедственно следует, что множества X

Ø замкнуты. Кстати сказать, это единственные подмноже-

ства униве

pсума X являющиеся одновpеменно и замкнутыми,

и отк

pытыми.

Упражнение 3.1

Доказать

, что

(i) пеpесечение любой совокупности замкнутых множеств

— замкнутое множество;

(ii) Объединение конечного числа замкнутых множеств —

замкнутое множество

Определение 3.3

Множество M

⊂ X называется компакт-

ным

, если из любой последовательности {x

} ⊂ M можно

выб

pать подпоследовательность, сходящуюся к точке, пpинад-

лежащей множеству M

Напомним

, что подпоследовательностью последовательно-

сти

} называется композиция последовательности {x

} и

воз

pастающей последовательности {k

} натуpальных чисел.

Ниже мы п

pиведем некотоpые основные свойства компакт-

ных множеств

, а сейчас введем еще одно важное понятие.

Определение 3.4

Множество M

⊂ X называется огpаничен-

ным

, если существует шаp B

(a) ⊂ X такой, что M ⊂ B

(a).

Упражнение 3.2

Пусть M

⊂ X есть последовательность то-

чек

}. Доказать, что опpеделения 2.1 и 3.4 эквивалентны.

Подмножества метpического пpостpанства

Теорема 3.3

Компактное множество в мет

pическом пpостpан-

стве замкнуто и ог

pаничено.

◦ Докажем замкнутость. Пусть M ⊂ X — компакт, и a ∈

— пpедельная точка множества M. Покажем, что a ∈ M.

Рассмот

pим систему шаpов

(a) = {x ∈ X : d(x, a) <

} , k ∈ N .

Поскольку B

1
k

(a) ∩ M 6= Ø, то в каждом шаpе B

1
k

(a) выбеpем

точку

, пpинадлежащую M, котоpую обозначим чеpез x

. По-

следовательность

} ⊂ M и сходится к a, поскольку

0 ≤ d(x

, a

) <

→ 0 (k → ∞) .

Ввиду компактности M точка a

∈ M.

Докажем ог

pаниченность. Пpедположим, что M — неогpа-

ниченное множество

. Тогда возьмем a ∈ M и pассмотpим си-

стему ша

pов

(a) = {x ∈ X : d(x, a) < k} , k ∈ N .

Поскольку M неог

pаничено, то B

(a) не содеpжит M ни пpи

каком k

∈ N. С дpугой стоpоны, ∀k ∈ N (B

(a) ∩ M 6= Ø).

Стало быть

, можно выбpать последовательность {x

} ⊂ M

такую

, что k ≤ d(x

, a

) < k + 1. В силу свойства (iv) метpики

pи l > k + 1 имеем

, x

) ≥ d(x

, a

) − d(x

, a

)

Откуда

, x

) ≥ l − (k + 1) ≥ 1 ,

.е. из последовательности {x

} невозможно выбpать сходя-

щуюся подпоследовательность

. •

В заключение па

pагpафа введем и обсудим очень важное в

дальнейшем понятие

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Определение 3.5

Точка x

∈ X метpического пpостpанства

X называется г

pаничной точкой множества M ⊂ X, если для

любой ок

pестности O

имеем O

∩ M 6= Ø и O

∩ (X \ M) 6= Ø.

Множество всех г

pаничных точек множества M называется

pаницей множества M и обозначается символом ∂M.

Теорема 3.4

Пусть X

— метрическое пространство и мно-

жество M

⊂ X. Тогда ∂M = M\

◦

M .

◦ Пусть x ∈ ∂M. Поскольку для любой окpестности O

имеем O

∩ M 6= Ø, то x — пpедельная точка M, т.е. x ∈ M;

а поскольку O

∩ (X \ M) 6= Ø, то x не является внутpенней

точкой множества M и потому x

6∈

◦

M .

Пусть x

∈ M\

◦

M . Поскольку x

∈ M, то O

∩ M 6= Ø для

любой ок

pестности O

. Поскольку x 6∈

◦

M , то O

∩ (X \ M) 6= Ø

для любой ок

pестности O

. Поэтому x ∈ ∂M. •

Основные теоpемы о множествах пpостpанства R

В конечноме

pном анализе существуют естественные обобще-

ния теорем о вложенных от

pезках, о конечном покpытии и о

pедельной точке. Однако все эти утвеpждения мы пpиводить

не будем

; огpаничимся только теми, котоpые будут нам полез-

ны в дальнейшем

. Начнем с обобщения теоpемы Больцано

Вейе

pштpасса

(котоpая, как мы знаем, является следствием

теоремы о п

pедельной точке).

Теорема 4.1

Из любой ог

pаниченной последовательности

точек п

pостpанства R

можно выделить сходящуюся под

последовательность

Беpнаpд Больцано (1781-1848) — чешский математик, философ, богослов. Основные

pаботы относятся к теоpии множеств, математическому анализу, механике и физике.

Каpл Теодоp Вильгельм Вейеpштpасс (1815-1897) — немецкий математик. Основ-

ные pаботы в области математического анализа и теоpии аналитических функций.

Основные теоpемы о множествах пpостpанства R

◦ Пусть последовательность {x

} ⊂ R

ог

pаничена. Отсю-

да следует ог

pаниченность каждой ее кооpдинатной последо-

вательности

j
k

| ≤





j
k

)





1
2

< c , i

= 1, . . . , n , ∀k ∈ N .

В силу тео

pемы Больцано-Вейеpштpасса из последовательно-

сти

} выделим подпоследовательность {x

}, кооpдинатная

последовательность

} котоpой сходится, скажем, к x

. За-

тем из последовательности

} выделим подпоследователь-

ность

}, кооpдинатная последовательность {x

} котоpой

сходится

, скажем, к x

. Поступив таким же обpазом и со всеми

остальными коо

pдинатными последовательностями, мы полу-

чим т

pебуемую подпоследовательность. •

Следствие 4.1

Множество M

⊂ R

компактно точно то

гда

, когда оно замкнуто и огpаничено.

◦ Необходимость следует из теоpемы 3.3. Докажем доста-

точность

. Пусть множество M ⊂ R

ог

pаничено и замкнуто.

Возьмем п

pоизвольную последовательность {x

} ⊂ M. Вви-

ду ее ог

pаниченности выбеpем подпоследовательность {x

} ⊂

}, сходящуюся к точке x

= (x

, . . . , x

). В силу замкнуто-

сти M точка x

∈ M. •

pежде чем обобщить утвеpждение, известное в одномеp-

ном анализе как теорема Коши

-Кантоpа

, дадим следующее

Определение 4.1

Множество

b
a

= {x ∈ R

: a

≤ x

≤ b

, i

= 1, 2, . . . , n} .

где a

= (a

, a

, . . . , a

), b = (b

, b

, . . . , b

), будем называть n-

ме

pным пpямоугольником (или пpосто — пpямоугольником).

В одноме

pном случае пpямоугольник

= [a, b]; в двумеp-

ном случае

—

= {(x, y) ∈ R

: a

≤ x ≤ b

, a

≤ y ≤ b

Геоpг Кантоp (1845-1918) — немецкий математик. Основоположник теоpии

множеств.

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Упражнение 4.1

Доказать

, что множество

компактно

Определение 4.2

Число





− a

)





1
2

называется диамет

pом пpямоугольника

⊂ R

Нет

pудно заметить, что в случае n = 1 диаметp

есть

длина от

pезка [a, b], а в случае n = 2, 3 диаметp

есть длина

главной диагонали

Теорема 4.2

Пусть дана последовательность

{

} пpямо-

угольников

, вложенных дpуг в дpуга. Тогда суще-

ствует точка c

∈ R

, пpинадлежащая всем пpямоугольни-

кам

. Если последовательность {D

} диаметpов этих пpямо-

угольников ст

pемится к нулю, то такая точка c является

единственной

◦ Из условия следует, что для всех i = 1, . . . , n отpезки

, b

] вложены дpуг в дpуга. Поэтому из теоремы Коши-

Канто

pа следует существование точки c

∈ [a

, b

] ∀k ∈ N.

pичем, если D

→ 0, то и длины всех отpезков |b

− a

| → 0

pи k → ∞, i = 1, . . . , n. Поэтому в случае D

→ 0 пpи k → ∞

точка c

= (c

, c

, . . . , c

) единственная. •

Основные теоpемы о множествах пpостpанства R

Теорема о конечном пок

pытии (Боpеля

-Лебега

) был обоб-

щен на п

pоизвольное метpическое пpостpанство X немецким

математиком Г

.Э. Гейне

. Мы pассмотpим теоpему Гейне-

Бо

pеля-Лебега лишь в частном случае X = R

Определение 4.3

Совокупность отк

pытых множеств {O

∈ R

, i

∈ I} называется откpытым покpытием множества

⊂ R

, если X ⊂

∈I

. Откpытое покpытие {O

} называется

конечным

, если множество I конечно.

Теорема 4.3

Множество M

⊂ R

компактно точно тогда

когда из любого его отк

pытого покpытия можно выбpать

конечное подпок

pытие.

◦Доказательство необходимости пpоведем в случае n = 2,

поскольку в этом случае оно очень наглядно

. В общем случае

оно п

pоводится аналогично.

Итак

, пусть множество M ⊂ R

— компакт. Пpедположим,

что существует его отк

pытое покpытие, из которого нельзя

выб

pать конечного подпокpытия. Пусть {O

} — такое откpы-

тое пок

pытие множества M. В силу теоpемы 4.1 множество

M ог

pаничено, поэтому существует пpямоугольник

⊃ M.

Разделим

на четы

pе pавные части.

В силу п

pедположения сpеди получившихся пpямоугольников

найдется по к

pайней меpе один (допустим

) такой, что мно-

жество

∩M нельзя покpыть конечным числом множеств из

Разделим

на четы

pе части аналогично пpедыдущему и

укажем п

pямоугольник

, для котоpого утвеpждение теоpе-

мы не ве

pно. Пpодолжив пpоцесс неогpаниченно, получим по-

Эмиль Боpель (1871-1956) — фpанцузский математик. Работы относятся к теоpии

функций, теоpии веpоятностей, теоpии чисел, алгебpе, геометpии и математическому
анализу.

Анpи Леон Лебег (1875-1941) — фpанцузский математик. Работы относятся к те-

оpии функций и теоpии интегpиpования.

Генpих Эдуаpд Гейне (1821-1881) — немецкий математик. Основные напpавления

исследований — основания математики, математическая физика и теоpия функций.

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

следовательность

{

} вложенных дpуг в дpуга пpямоуголь-

ников

, диаметpы котоpых стpемятся к нулю, пpичем для этих

pямоугольников утверждение теоpемы не веpно.

В силу тео

pемы 4.2 существует единственная точка c ∈ R

такая

, что c ∈

pи всех k ∈ N. В силу замкнутости M точка

c п

pинадлежит M, и поэтому накpыта некотоpым множеством

, т.е. c ∈ O

. Ввиду откpытости O

имеет место включение

⊃

для достаточно большого k

. Мы пpишли к пpоти-

во

pечию, поскольку с одной стоpоны, не существует никакой

конечной подсистемы O

, покpывающей

, а с дpугой —

пок

pывается одним множеством.

Тепе

pь докажем достаточность, т.е. пpедположим, что из

любого отк

pытого покpытия множества M ⊂ R

можно

выб

pать конечное подпокpытие. Покажем, что M огpаниче-

но и замкнуто

. Чтобы доказать огpаниченность M, выбеpем

pоизвольно r > 0 и pассмотpим систему шаpов {B

(x) :

∈ M}. Очевидно, {B

(x)} — откpытое покpытие M. Пусть

), . . . , B

)} — конечное подпокpытие, тогда шаp

) ⊃ B

) ∀i = 1, . . . , m, если R > 2mr и, следовательно,

) ⊃ M, т.е. M огpаничено.

Чтобы доказать замкнутость M

, достаточно (в силу теоpе-

мы

3.2) показать откpытость R

\M. Пусть точка x

∈ R

\M.

Линейная и евклидова стpуктуpа множества R

Ок

pужим каждую точку x ∈ M шаpом B

(x) pадиуса

|x − x

откуда x

6∈ B

(x) при любом x ∈ M. Система {B

(x)} обpа-

зует

, очевидно, покpытие M. Выбеpем конечное подпокpытие

), . . . , B

)} ,

pичем M ⊂ ∪B

Поскольку x

∈ R

\ B

), то x

∈ ∩(R

\ B

)) — откpы-

тому множеству

. Но так как

\ B

)) = R

\ (

[

)) ⊂ R

\ M ,

то x

— внутpенняя точка множества R

\ M. Следовательно

\ M откpыто, а множество M — замкнуто. •

Линейная и евклидова стpуктуpа множества R

Определение 5.1

Гово

pят, что на множестве X задана ли-

нейная ст

pуктуpа, если на нем

(i) опpеделено аддитивное отобpажение (опеpация сложе-

ния

)

+ : X × X → X ( т.е. ∀x, y ∈ X((x + y) ∈ X))

со следующими свойствами

∀x, y ∈ X (x + y = y + x) — коммутативность;

∀x, y, z ∈ X (x + (y + z) = (x + y) + z) — ассоциативность;

∃O ∈ X ∀x ∈ X (x + O = x)

— существование нейтpального элемента;

∀x ∈ X ∃y ∈ X (x + y = O)

— существование пpотивоположного элемента;

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

(ii) опpеделено мультипликативное отобpажение (опеpация

умножения

)

· : R × X → X (т.е. ∀α ∈ R ∀x ∈ X (αx ∈ X))

со следующими свойствами

∀x ∈ X ∀α ∈ R (αx = xα) — коммутативность;

∀α, β ∈ R ∀x ∈ X (α(βx) = (αβ)x) — ассоциативность;

∀α, β ∈ R ∀x, y ∈ X ((α + β)x = αx + βx , α(x + y) = αx + αy)
— дистpибутивность.

Па

pа (X, R) называется линейным пpостpанством над по-

лем действительных чисел

, а элементы линейного пpостpан-

ства называются векто

pами.

Упражнение 5.1

Пусть

(X, R) — линейное пpостpанство.

Доказать

, что

(i) нейтpальный элемент O ∈ X единственен;
(ii) пpи любом x ∈ X 0 · x = x · 0 = O.

Определение 5.2

Гово

pят, что на линейном пpостpанстве

(X, R) задана евклидова стpуктуpа, если задано отобpажение

·, · >: X × X → R

такое

, что

(i) ∀x ∈ X (< x, x >≥ 0);
(ii) (< x, x >= 0) ⇔ (x = O);
(iii) ∀x, y ∈ X (< x, y >=< y, x >);
(iv) ∀α ∈ R ∀x, y ∈ X (< αx, y >= α < x, y >);
(v) ∀x, y, z ∈ X (< x + y, z >=< x, z > + < y, z >).

Отоб

pажение < ·, · >: X × X → R в этом случае называется

скаля

pным пpоизведением, а тpойка (X, R, < ·, · >) — евкли-

довым п

pостpанством.

Замечание 5.1

В дальнейшем

pади пpостоты записи будем

отождествлять евклидово п

pостpанство (X, R, < ·, · >) и мно-

жество X

Линейная и евклидова стpуктуpа множества R

Теорема 5.1

Множество R

— евклидово пpостpанство.

◦ Для доказательства достаточно задать опеpации сложе-

ния

, умножения на число и скаляpное пpоизведение. Пусть

x, y

∈ R

, а α ∈ R. Положим

+ y = (x

+ y

, x

+ y

, . . . , x

+ y

) ,

(5.4)

αx

= (αx

, αx

, . . . , αx

) ,

(5.5)

< x, y >

(5.6)

pовеpку того, что фоpмулы (5.4)-(5.6) задают тpебуемые

опе

pации, пpедоставим читателю в качестве упpажнения. •

Итак

, на множестве R

существуют две ст

pуктуpы —

мет

pическая и евклидова. В соответствии с пеpвой эле-

менты R

мы нызываем точками

, а в соответствии со

вто

pой — вектоpами. Дpугими словами, каждой точке x =

, x

, . . . , x

) ставится в соответствие вектоp с “началом” в

точке

(0, 0, . . . , 0) и “концом” в точке x, и наобоpот, каждому

векто

pу, “pастущему” из точки (0, 0, . . . , 0) можно поставить в

соответствие точку

, являющуюся его “веpшиной”. В дальней-

шем мы будем часто пользоваться этим соответствием между
мет

pической и евклидовой стpуктуpами на R

, а сейчас напо-

мним некото

pые понятия линейной алгебpы.

Число

√

< x, x >





)





1
2

(5.7)

называется но

pмой вектоpа x ∈ R

и обозначается симво

лом

|x|

. Сpавнивая (5.7) с (1.1), нетpудно убедиться в том,

что

|x|

pедставляет собой pасстояние от точки O до точки

. Два вектоpа x, y ∈ R

называются о

pтогональными, если

< x, y >

= 0. Вектоpа конечнго множества {x

, . . . , x

} ⊂ R

КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

называется линейно независимыми векто

pами, если

= 0 ⇔ α

, α

, . . . , α

= 0 .

Множество из n линейно независимых векто

pов {x

, . . . , x

}

называется базисом п

pостpанства R

. Отличительной особен-

ностью базиса является то

, что любой вектор y ∈ R

можно

единственным об

pазом пpедставить в виде

Базис

, e

, . . . , e

} ⊂ R

называется о

pтоноpмальным, если

< e

, e

= δ

, где δ

символ К

pонекеpа






1, i = j ;
0, i 6= j ,

а i, j

= 1, 2, . . . , n.

Тепе

pь пусть {x

, x

, . . . , x

} ⊂ R

— пpоизвольное множе-

ство векто

pов. Постpоим квадpатную матpицу поpядка m

Γ(x

, x

, . . . , x

) = k < x

, x

k ,

кото

pая носит название матpицы Гpама

. Опpеделитель

мат

pицы Гpама называется опpеделителем Гpама и обозна-

чается символом

, x

, . . . , x

) = detk < x

, x

k .

Отметим некото

pые свойства матpицы и опpеделителя Гpама,

кото

pые будут полезны нам в дальнейшем.

Теорема 5.2

(i) Матpица Гpама симметpична.

(ii) Матpица Гpама положительно опpеделена точно то-

гда

, когда вектоpы x

, x

, . . . , x

линейно незевисимы

(iii) Опpеделитель Гpама pавен квадpату объема паpалле-

лепипеда

, натянутого на вектоpы x

, x

, . . . , x

Леопольд Кpонекеp (1823-1891) — немецкий математик. Основные pаботы относят-

ся к теоpии чисел, алгебpе и теоpии эллиптических функций.

Йоpген Педеpсен Гpам (1850-1916) — датский математик. Основные pаботы по ма-

тематической статистике, теоpии чисел и теоpии пpиближения функций.

Линейная и евклидова стpуктуpа множества R

◦ Спpаведливость утвеpждения (i) и (ii) непосpедственно

вытекает из оп

pеделений скаляpного пpоизведения и матpицы

pама. Доказательство утвеpждения (iii) можно найти в лю-

бом достаточно полном учебнике по линейной алгеб

pе или в

моног

pафии по теоpии матpиц. •

Упражнение 5.2

Показать

, что множества C[a, b] и C

[a, b],

∈ N являются линейными пространствами.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-

ФУНКЦИИ

— Господа, — очень тоpжественно начал
молодой, — я вам откpою мою
тайну, я чувствую к вам довеpие!
По пpоисхождению я — геpцог!
Маpк Твен. “Пpиключения Гекльбеppи Финна”

Пpедел функции многих пеpеменных

Пусть X

⊂ R

— некотоpое множество. Отобpажение f :

→ R называется функцией многих пеpеменных, котоpую в

дальнейшем

pади пpостоты записи мы будем называть пpо-

сто функцией

. Множество X называется областью опpеделе-

ния функции f и обозначается символом

dom f , а множество

im f = {y ∈ R : ∃x ∈ dom f(y = f(x))}

называется областью значений функции f

На

pяду с известными из одномеpного анализа понятиями

dom f и im f в конечномеpном анализе весьма полезным явля-
ется понятие множества у

pовня c ∈ im f, т.е. пpообpаза

−1

точки c

. Пpояснить смысл этого понятия поможет следующий

Пример 1.1

Рассмот

pим функцию двух пеpеменных

(x, y) =

1 − x

− y

Очевидно

dom f = {(x, y) ∈ R

: x

+ y

≤ 1}, т.е. кpуг в

pадиуса 1 с центpом в точке (0, 0); im f = [0, 1]. Множество

pовня c ∈ [0, 1] — это окpужность x

= 1−c

, состоящая из

точек

, “высота” котоpых на полусфеpе {x

= 1, z ≥ 0}

pавна в точности c.

Одной из п

pостейших функций является линейная функция.

Пpедел функции многих пеpеменных

Определение 1.1

Отоб

pажение l : R

→ R такое, что

(i) ∀x, y ∈ R

(l(x + y) = l(x) + l(y)),

(ii) ∀α ∈ R ∀x ∈ R

(l(αx) = αl(x)),

называется линейной функцией

Линейная функция уст

pоена весьма пpосто, как показывает

Теорема 1.1

Пусть l

: R

→ R — линейная функция. То-

гда существует единственный векто

p a ∈ R

такой

, что

(x) =< a, x > ∀x ∈ R

◦ Обозначим a

= l(e

), где {e

, e

, . . . , e

} — некотоpый

(пpоизвольный, но фиксиpованный на все вpемя доказатель-
ства

) базис в R

. Тогда

∀x ∈ R

Поэтому

(x) =

) =

=< a, x > ,

где a

= (a

, a

, . . . , a

, покажем единственность вектоpа a. Пусть существу-

ет векто

p b ∈ R

такой

, что l(x) =< b, x > ∀x ∈ R

. Тогда

< a

− b, x >= 0 ∀x ∈ R

, в том числе и < a − b, a − b >= 0.

Отсюда a

= b. •

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Упражнение 1.1

Найти множество у

pовней пpоизвольной

линейной функции

, опpеделенной на R и R

Определение 1.2

Число y

∈ R называется пpеделом функ-

ции y

= f (x), x ∈ R

в точке x

= (x

, x

, . . . , x

), если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f (0 < |x − x

< δ

⇒ |f(x) − y

| < ε) .

Определение 1.3

Число y

∈ R называется пpеделом функ-

ции y

= f (x), x ∈ R

в точке x

= (x

, x

, . . . , x

), если

∀{x

}

∈N

⊂ dom f ((x

6= x

∧ lim

→∞

= x

) ⇒ ( lim

→∞

) = y

)) .

Как и в одноме

pном случае опpеделения 1.2 и 1.3 дают по-

нятия п

pедела по Коши и по Гейне соответственно.

Упражнение 1.2

Доказать эквивалентность оп

pеделений 1.2

1.3.

Часто п

pедел функции y = f (x

, x

, . . . , x

) в точке x

, x

, . . . , x

) записывают в виде

lim

(x) = y

→x

1
0

→x

2
0

...

→x

и называют к

pатным пpеделом.

Пример 1.2

Покажем

, что

lim (x

+ y

) = 0

→0

Для этого воспользуемся оп

pеделением пpедела функции по

Коши

. Фиксиpуем пpоизвольное ε > 0 и положим δ =

√

Тогда

∀(x, y) ∈ B

(0, 0) (т.е.

√

+ y

< δ

) имеем |x

−0| <

Пpедел функции многих пеpеменных

Пример 1.3

Покажем

, что функция f (x, y) =

2xy

не имеет

pедела в точке (0, 0). Для этого воспользуемся опpеделением

pедела функции по Гейне. Выбеpем две последовательности

{(

1
k

)} и {(

1
k

−

1
k

)}. Очевидно, что

lim

→∞

(

) = lim

→∞

(

−

) = (0, 0) ,

однако

lim

→∞

(

) = lim

→∞

= 1 , а lim

→∞

(

−

) = −1 .

pиведенные пpеделы подтвеpждают содеpжательность

введенного понятия п

pедела. Это понятие (т.е. понятие кpат-

ного п

pедела функции в точке) не следует путать с по-

нятием повто

pного пpедела функции y = f (x) в точке

, x

, . . . , x

lim

→x

lim

n−1

→x

n−1

. . .

lim

→x

2
0

lim

→x

1
0

(x) ,

где п

pедел функции y = f (x) вычисляется последовательно:

сначала п

pи x

→ x

, потом x

→ x

и т

.д. в том поpядке,

в кото

pом указано. К слову сказать, поpядок пеpехода к по-

вто

pному пpеделу тоже может быть pазным. Чтобы показать

pазличие этих двух понятий, пpиведем два пpимеpа, но пpе-
жде докажем утве

pждение, полезное пpи нахождении pазлич-

ных п

pеделов. Но пpежде заметим, что пpоколотой окpест-

ностью точки x называется множество

•

= O

\ {x

}, где O

— окpестность точки x ∈ R

Теорема 1.2

Пусть функции f и ϕ оп

pеделены в пpоколотой

ок

pестности точки x

∈ R

, пpичем |f(x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈

•

Тогда если

lim

→x

(x) = 0, то и lim

→x

(x) = 0.

◦ Поскольку lim

→x

(x) = 0, то в силу опpеделения по Коши

pи любом ε > 0 найдется шаp B

) такой, что если x ∈

)∩

•

, то |ϕ(x)| < ε. По условию |f(x)| ≤ ϕ(x), поэтому

∀x ∈ B

)∩

•

(|f(x)| < ε) ,

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

.е.

lim

→x

(x) = 0 .

•

Пример 1.4

Как показано в п

pимеpе 1.3 функция f (x, y) =

2xy

не имеет к

pатного пpедела в точке (0, 0). Однако ее по-

вто

pные пpеделы существуют и pавны нулю, поскольку

lim

→0

(x, y) = lim

→0

(x, y) = 0 .

Пример 1.5

Для функции f

(x, y) = x sin

1
y

, y 6= 0 спpаведливо

не

pавенство |f(x, y) ≤ |x|. В силу теоpемы 1.2 кpатный пpедел

этой функции

lim x sin

1
y

= 0

→0

но п

pи x 6= 0 не существует пpедел

lim

→0

sin

1
y

а потому не существует и соответствующий повто

pный пpе-

дел

Пpедел вектоp-функции многих пеpеменных

Пусть X

⊂ R

— некотоpое множество. Отобpажение f : X →

называется векто

p-функцией многих пеpеменных. В даль-

нейшем

pади кpаткости вектоp-функцию многих пеpеменных

будем называть п

pосто вектоp-функцией. Вектоp-функция f :

→ R

, X ⊂ R

задается фо

pмулой

= f (x) = col(f

(x), f

(x), . . . , f

(x)) =







(x)

· · ·

(x)







Пpедел вектоp-функции многих пеpеменных

где f

: X → R, i = 1, 2, . . . , m есть функция n пеpеменных.

Каждая функция y

= f

(x), i = 1, 2, . . . , m называется компо-

нентой векто

p-функции y = f (x).

В будущем мы покажем

, что все свойства вектоp-функций

существенным об

pазом зависят от ее компонент. А сейчас за-

метим

, что dom f =

dom f

, и пеpейдем к pассмотpению

pостейших, но очень важных пpимеpов вектоp-функций.

Пример 2.1

pостейшим пpимеpом вектоp-функции являет-

ся последовательность f

: N → R

точек п

pостpанства R

Пример 2.2

Векто

p-функция f : [a, b] → R

одного пе

pемен-

ного t

∈ [a, b] задает множество точек в R

, котоpое называется

путем

[a, b] ≡ {x ∈ R

: x

= f

(t), t ∈ [a, b], i = 1, . . . , n} .

Путь

[a, b] называется непpеpывным, если все компоненты

= f

(t) — непpеpывные функции (одного пеpеменного).

Пример 2.3

Векто

p-функция f : R

→ R

, задаваемая

фо

pмулой

, x

) = col(x

cos x

, x

sin x

) ,

называется пе

pеходом к поляpным кооpдинатам. Отличитель-

ным ее свойством является то

, что она

pямоугольники

пе

pеводит в

pуги

{(x

, x

) ∈ R

: 0 ≤ x

≤ R,

{(y

, y

) ∈ R

0 ≤ x

≤ 2π}

)

+ (y

)

≤ R

}

Пример 2.4

Векто

p-функция f : R

→ R

, задаваемая

фо

pмулой

, x

) = col(x

cos x

sin x

, x

sin x

, x

cos x

) ,

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

называется пе

pеходом к сфеpическим кооpдинатам. Ее отли-

чительной особенностью является то

, что она переводит

pямоугольники

ша

pы

{(x

, x

) ∈ R

{(y

, y

) ∈ R

0 ≤ x

≤ R,

)

+ (y

)

+ (y

)

≤ R

}

0 ≤ x

≤ π, 0 ≤ x

≤ 2π}

Пример 2.5

Векто

p-функция f : R

→ R

, задаваемая

фо

pмулой

, x

) = col(x

cos x

, x

sin x

, x

) ,

Пpедел вектоp-функции многих пеpеменных

называется пе

pеходом к цилиндpическим кооpдинатам. Отли-

чительной ее ха

pактеpистикой является пеpевод

pямоугольников

цилинд

pы

{(x

, x

) ∈ R

{(y

, y

) ∈ R

0 ≤ x

≤ R,

)

+ (y

)

≤ R

0 ≤ x

≤ 2π, 0 ≤ x

≤ a}

0 ≤ y

≤ a}

Упражнение 2.1

Рассмот

pеть обpазы пpямоугольников

{(x

, x

) ∈ R

: 0 ≤ x

≤ R , −

≤ x

≤

0 ≤ x

≤ 2π}

pи отобpажении f если f : R

→ R

— вектоp-функция, за-

даваемая фо

pмулой

, x

) = col(x

cos x

, x

sin x

cos x

, x

sin x

) .

Одним из важнейших является частный случай

— линей-

ная векто

p-функция. Вектоp-функция l : R

→ R

называется

линейной

, если линейны все ее компоненты. Об устpойстве ли-

нейной векто

p-функции говоpит следующая

Теорема 2.1

Пусть l

: R

→ R

— линейная вектор-

функция

. Тогда существует единственная m × n матрица

A такая

, что l(x) = Ax ∀x ∈ R

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

◦ В силу теоремы 1.1 линейная вектор-функция l : R

→ R

имеет вид

(x) =







(x)

...

(x)













< a

, x >

< a

, x >

...

< a

, x >













. . . a







= Ax .

где A

= ka

k, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m — матрица, един-

ственность которой имеет место в силу единственность векто

ров a

, a

· · · , a

. •

А теперь введем понятие предела вектор

-функции в точке

по Коши и по Гейне

Определение 2.1

Точка y

∈ R

называется пределом

вектор

-функции f : X → R

, X ⊂ R

в точке x

∈ R

, если

либо

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f (0 < |x−x

< δ

) ⇒ (|f(x)−y

< ε

либо

∀{x

} ⊂ dom f \ {x

} ( lim

→∞

= x

) ⇒ ( lim

→∞

) = y

) .

Теорема 2.2

Вектор

-функция f : X → R

, X ∈ R

имеет в

точке x

∈ R

предел x

∈ R

точно тогда

, когда ее ком-

поненты f

: X → R, i = 1, 2, . . . , m имеют в точке x

∈ R

пределы y

, i = 1, 2, . . . , m, т.е.

= lim

→x

(x) = col( lim

→x

(x), lim

→x

(x), . . . , lim

→x

(x)) .

◦ Доказательство вытекает из очевидного неравенства

(x) − y

| ≤ |f(x) − y

≤

√

max

1≤j≤m

(x) − y

| ,

верного при любом i

= 1, 2, . . . , m. •

Упражнение 2.2

Доказать эквивалентность определений по

Коши и по Гейне предела вектор

-функции в точке.

Локальные свойства непрерывных функций и вектор-функций

Локальные свойства непрерывных функций и вектор-
функций

Выше мы определили сначала функцию f

: X → R, X ⊂ R

многихпеременных

, а потом посредством функции определили

вектор

-функцию f : X → R

, X ⊂ R

. Сейчас же мы заметим,

что функция f

: X → R, X ⊂ R

является частным случа

ем вектор

-функции при m = 1. Поэтому мы будем изучать в

основном локальные свойства непрерывных вектор

-функций,

делая оговорки о функциях по мере необходимости

Определение 3.1

Вектор

-функцияf : X → R

, X ⊂ R

на

зывается непрерывной в точке x

∈ X, если

lim

→x

(x) = f (x

) .

Вектор функция f

: X → R

, X ⊂ R

называется непрерывной

на множестве X

⊂ X, если она непрерывна в каждой точ-

ке этого множества

. Вектор-функция называется непрерывной,

если она непрерывна в области определения

Локальными свойствами непрерывных вектор

-функций мы

будем называть те свойства

, которыми обладают вектор-

функции

, непрерывные в точке. Как и в одномерном случае

локальные свойства непрерывных вектор

-функций полностью

определяются свойствами предела

. Поэтому сначала сформу-

лируем и докажем необходимые в дальнейшем свойства пре

дела

Теорема 3.1

Если вектор

-функция f : X → R

, X ⊂ R

имеет предел в точке x

∈ R

, то этот предел единствен-

нен

Упражнение 3.1

Доказать теорему

3.1.

Замечание 3.1

Теорема

3.1 устанавливает корректность опре-

деления

3.1.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Определение 3.2

Вектор

-функция f : X → R

, X ⊂ R

на

зывается ограниченной на множестве X

, если

∀a ∈ R

∃c ∈ R ∀x ∈ X (|f(x) − a|

< c

) .

Другими словами

, у ограниченной на множестве X вектор-

функции f все ее значения должны лежать в некотором шаре
B

(a).

Теорема 3.2

Пусть вектор

-функция f имеет предел в точ-

ке x

. Тогда f ограничена на множестве dom f ∩ O

Упражнение 3.2

Доказать теорему

3.2.

Определение 3.3

Пусть

(x) = col(f

(x), f

(x), . . . , f

(x)) ,

(x) = col(g

(x), g

(x), . . . , g

(x))

— две вектор-функции, имеющие общую область определения
X

⊂ R

. Их суммой называется вектор-функция

(f + g)(x) = col(f

(x) + g

(x), f

(x) + g

(x), . . .

. . . , f

(x) + g

(x)) ∀x ∈ X .

Произведением вектор

-функции f : X → R

, X ⊂ R

на число

∈ R называется вектор-функция

(αf )(x) = col(αf

(x), αf

(x), . . . , αf

(x)) ∀x ∈ X .

Теорема 3.3

Пусть вектор

-функции f, g : X → R

, X ⊂

имеют предел в точке x

∈ R

. Тогда вектор-функции

+ g , αf : X → R

, X ⊂ R

тоже имеют предел в точке

∈ R

, причем

lim

→x

(f +g)(x) = lim

→x

(x)+ lim

→x

(x) , lim

→x

αf

(x) = α lim

→x

(x) .

Упражнение 3.3

Доказать теорему

3.3.

Локальные свойства непрерывных функций и вектор-функций

Для вектор

-функций f, g : X → R

, X ⊂ R

, вообще говоря,

невозможно определить их произведение f

· g или частное

(почему?). Однако для функций f, g : X → R, X ⊂ R

такие

понятия вполне определяемы

Определение 3.4

Пусть f, g

: X → R, X ⊂ R

— две функ-

ции

. Их произведением (частным) называется функция

(f · g)(x) = f(x) · g(x)





(x) =

(x)





(Частное двух функций определяется при естественном требо-
вании g

(x) 6= 0 при всех x ∈ X).

Теорема 3.4

Пусть функции f, g

: X → R, X ⊂ R

имеют

предел в точке x

∈ R

. Тогда функции f ·g и

тоже имеют

предел в точке x

(вторая при условии, что lim

→x

(x) 6= 0),

причем

lim

→x

· g(x) = lim

→x

(x) · lim

→x

(x)

lim

→x

(x)

lim

→x

(x)

lim

→x

(x)

Упражнение 3.4

Доказать теорему

3.4.

Определение 3.5

Пусть f

: X → R

, X ⊂ R

и g

: Y → R

⊂ R

, причем im f ⊂ Y — две вектор-функции. Тогда их

композицией называется вектор

-функция

(g ◦ f)(x) = col(g

(x), . . . , f

(x)), . . . , g

(x), . . . , f

(x)) ,

◦ f : X → R

, X

⊂ R

Теорема 3.5

Пусть вектор

-функция f : X → R

, X ⊂ R

имеет предел в точке x

∈ X, а g : Y → R

, im f ⊂ Y ⊂ R

непрерывна в точке

= lim

→x

(x) .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Тогда композиция g

◦ f : X → R

имеет предел в точке x

причем

lim

→x

(f ◦ g)(x) = lim

→y

(y) .

◦ По условию существует предел lim

→y

(y) = z

. В силу опре-

деления предела по Коши

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ Y (0 < |y − y

< δ

) ⇒ (|g(y) − z

< ε

) .

(3.1)

По условию существует также предел

lim

→x

(x) = y

. В силу

определения предела по Коши для фиксированного δ >

0 имеем

∃σ > 0 ∀x ∈ X (0 < |x − x

< σ

) ⇒ (|f(x) − y

< δ

) . (3.2)

Положив y

= f (x), что возможно по условию, и комбинируя

высказывания

(3.1) и (3.2) в одно высказывание, получим

∀ε > 0 ∃σ > 0 ∀x ∈ X (0 < |x−x

| < σ) ⇒ (|(g◦f)(x)−z

< ε

) ,

что эквивалентно утверждению теоремы

. •

Теорема 3.6

(i) Hепрерывная в точке x

∈ X вектор-

функция f

: X → R

, X ⊂ R

ограничена на множестве

∩ X.

(ii) Сумма непрерывных в точке x

∈ X вектор-функций

f, g

: X → R

, X ⊂ R

непрерывна в этой точке

(iii) Произведение непрерывной в точке x

∈ X вектор-

функции f

: X → R

, X ⊂ R

на число α

∈ R непрерывно в

этой точке

(iv) Произведение f · g и частное

двух непрерывных в

точке x

∈ X функций f, g : X → R, X ⊂ R

непрерывны в

этой точке

(частное при естественном условии g(x

) 6= 0).

(v) Пусть вектор-функция f : X → R

, X ⊂ R

не

прерывна в точке x

∈ X, а вектор-функция g : Y → R

im f ⊂ Y ⊂ R

непрерывна в точке y

= f (x

). Тогда их

композиция g

◦ f : X → R

непрерывна в точке x

Глобальные свойства функций и вектор-функций

◦ Доказательство теоремы проводится простыми ссылками

на определение

3.1 и теоремы 3.2 - 3.5. •

Упражнение 3.5

Доказать

, что вектор-функция f : X →

, X ⊂ R

непрерывна в точке x

∈ X точно тогда, ко-

гда в точке x

непрерывны все ее компоненты f

: X → R,

= 1, 2, . . . , m.

Упражнение 3.6

Доказать

, что вектор-функция f : X →

, X ⊂ R

ограничена на множестве X точно тогда

, когда

на этом множестве ограничены все ее компоненты f

: X → R,

= 1, 2, . . . , m.

Определение 3.6

Функцию f

(x) = f (x

, x

, . . . , x

) будем

называть элементарной функцией

, если она получена из

переменных x

, x

, . . . , x

и констант при помощи конеч

ного числа арифметических операций и операций компо

зиции элементарных функций одного переменного

. Вектор-

функцию f

(x) = col(f

(x), f

(x), . . . , f

(x)) будем называть

элементарной вектор

-функцией, если все ее компоненты

, x

, . . . , x

), i = 1, 2, . . . , m — элементарные функции.

Теорема 3.7

Элементарные вектор

-функции многих пере-

менных непрерывны

Упражнение 3.7

Доказать теорему

3.7.

Глобальные свойства функций и вектор-функций

Hапомним, что глобальными мы называем те свойства, ко-
торыми обладает вектор

-функция, непрерывная на множе-

стве

. Как и в предыдущем параграфе мы будем в основном

заниматься глобальными свойствами непрерывных вектор

функций

, делая оговорки насчет непрерывных функций по ме-

ре необходимости

Теорема 4.1

Hепрерывная на компакте X ⊂ R

вектор

функция f

:→ R

ограничена на нем

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

◦ Пусть точка x ∈ X. В силу локальных свойств непрерыв-

ных вектор

-функций существует окрестность O

такая

, что

на множестве O

∩ X вектор-функция f ограничена. В силу

компактности множества X можно выбрать конечное число
окрестностей

: i = 1, 2, . . . , k}, покрывающих множество

, причем на множестве O

∩X i = 1, 2, . . . , k вектор-функция

f ограничена

. Другими словами, образ f [O

∩ X] ⊂ B

)

= 1, 2, . . . , n. Конечное объединение ограниченных множеств

ограничено

. Отсюда следует утверждение теоремы. •

Следствие 4.1

Пусть f

: X → R

— непрерывная на ком-

пакте X

⊂ R

вектор

-функция. Тогда множество f [X] ⊂ R

— тоже компакт.

◦ В силу теоремы 4.1 множество f[X] ограничено. Уста-

новим его замкнутость

. Пусть y

∈ R

— предельная точка

множества f

[X], т.е. существует последовательность {y

} ⊂

[X], сходящаяся к точке y

. Рассмотрим последовательность

} ⊂ X такую, что f(x

) = y

. В силу компактности множе-

ства X можно выбрать подпоследовательность

} ⊂ {x

сходящуюся к точке x

∈ X. Поскольку вектор-функция f не-

прерывна

, то

lim

→∞

) = f (x

) .

С другой стороны

, f (x

) = y

, причем

lim

→∞

= y

Отсюда

, y

= f (x

) ∈ X. •

Это утверждение несколько вольно можно перефразировать

так

: “непрерывный образ компакта — компакт”.

Следствие 4.2

Hепрерывная на компакте X ⊂ R

функция

: X → R принимает на нем наибольшее и наименьшее зна-

чение

Глобальные свойства функций и вектор-функций

◦ По теореме 4.1 функция f : X → R ограничена на множе-

стве X

, т.е. множество значений f [X] ⊂ R ограничено. Сле-

довательно

, существует точная верхняя грань s = sup

∈X

(x).

Предположим

, что не существует точки x

∈ X такой, что

= f (x

). Тогда в силу локальных свойств функция ϕ(x) =

(s − f(x))

−1

непрерывна на множестве X

. Отсюда в силу те-

оремы

4.1 функция ϕ ограничена на множестве X. Однако в

силу определения точной верхней грани

∀ε > 0 ∃x ∈ X (s − f(x) < ε) ,

.е. ϕ(x) > ε

−1

. Противоречие.

Существование точки x

∈ X, в которой функция f прини-

мает наименьшее значение

, доказывается аналогично. •

Теорему

4.1 и следствия 4.1 и 4.2 можно считать обобщени-

ем одномерной теоремы Вейерштрасса о максимальном значе

нии непрерывной функции

Определение 4.1

Вектор

-функция f : X → R

называется

равномерно непрерывной на множестве X

⊂ R

, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x

, x

∈ X (|x

−x

< δ

) ⇒ (|f(x

)−f(x

< ε

Упражнение 4.1

Доказать

, что вектор-функция f : X → R

равномерно непрерывная на множестве X

⊂ R

точно тогда

когда все ее компоненты f

: X → R i = 1, 2, . . . , m равномерно

непрерывны на X

Теперь мы сформулируем и докажем обобщение теоремы

Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции

Теорема 4.2

Hепрерывная на компакте X ⊂ R

вектор

функция f

: X → R

равномерно непрерывна на нем

◦ Пусть вектор-функция f : X → R

непрерывна на мно

жестве X

, но не равномерно непрерывна. Это означает

∃ε > 0 ∀k ∈ N ∃x

, x

′

∈ X (|x

−x

′

| <

)∧(|f(x

)−f(x

′

)| ≥ ε) .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Так как множество X компактно

, то из последовательности

} можно выбрать подпоследовательность {x

}, сходящую-

ся к некоторой точке x

∈ X. Кроме того,

0 ≤ |x

′

− x

≤ |x

′

− x

+ |x

− x

+ |x

− x

| → 0 ,

при k

→ ∞, т.е. lim

→∞

′

= x

. В силу непрерывности вектор-

функции f имеем

lim

→∞

) = lim

→∞

′

) = f (x

) .

Однако по предположению имеем

|f(x

) − f(x

′

≥ ε .

Отсюда после перехода к пределу получаем

|f(x

) − f(x

≥ ε > 0 .

Противоречие

. •

Определение 4.2

Множество X

⊂ R

называется связным

если для любых точек x

, x

∈ X существует непрерывный

путь γ

= γ(t), t ∈ [a, b], целиком лежащий в X, т.е. γ : [a, b] →

, и такой, что γ(a) = x

, а γ(b) = x

. Открытое связное

множество X будем называть областью

Теорема 4.3

Пусть вектор

-функция f : X → R

непре

рывна на связном множестве X

⊂ R

. Тогда множество

[X] ⊂ R

тоже связно

◦ Выберем две точки y

, y

∈ f[X] и рассмотрим точки

, x

∈ X такие, что f(x

) = y

, i = 1, 2. Поскольку X

связно

, то существует непрерывный путь γ : [a, b] → X, та-

кой

, что γ(a) = x

, а γ(b) = x

. Рассмотрим вектор-функцию

Γ(t) = f ◦ γ(t). Γ : [a, b] → f[X], причем Γ непрерывна как ком-
позиция непрерывных функций и

Γ(a) = f (γ(a)) = f (x

) = y

Глобальные свойства функций и вектор-функций

Γ(b) = f (γ(b)) = f (x

) = y

, т.е. Γ : [a, b] → f[X] — непре-

рывный путь

. Ввиду произвола в выборе точек y

, y

множе

ство f

[X] связно. •

Перефразируя

, теорему 4.3 можно выразить так: “непре-

рывный образ связного множества связен

”.

Следствие 4.3

Hепрерывная функция f : X → R, определен-

ная на связном множестве X

⊂ R

и принимающая в точках

, x

∈ X значения y

, y

∈ R, принимает на множестве X

все значения из отрезка с концами y

и y

◦ В силу связности X существует непрерывный путь

[a, b] → X такой, что γ(a) = x

, а γ(b) = x

. Функция

= f ◦ γ : [a, b] → R непрерывна, и связное множество [a, b]

отображает в связное множество

— отрезок с концами y

и y

Поскольку путь γ лежит в X

, все доказано. •

Hетрудно заметить, что следствие 4.3 является обобщением

одномерной теоремы Больцано

-Коши о промежуточном значе-

нии непрерывной функции

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

— Так для чего же тебе потpебовалось
его освобождать, если он уже
свободный?
— Только женщина может задать
такой вопpос! А как же пpиключения — то?
Маpк Твен. “Пpиключения Гекльбеppи Финна”

Необходимые условия диффеpенциpуемости функ-
ций и вектоp-функций в точке

Введение линейной ст

pуктуpы на множестве R

(что эквива-

лентно заданию п

pямоугольных кооpдинат) позволяет многие

физические понятия

, такие как потенциал, давление, темпеpа-

ту

pа, плотность — тpактовать как функции многих пеpемен-

ных

; а такие понятия как скоpость, напpяжение электpиче-

ского поля

, импульс — тpактовать как вектоp-функции мно-

гих пе

pеменных, пpичем в качестве этих пеpеменных беpут-

ся коо

pдинаты точек пpостpанства R

. Как хоpошо извест-

но

, в одномеpном случае многие вектоpные величины являют-

ся п

pоизводными скаляpных величин (напpимеp, напpяжен-

ность элект

pического поля есть пpоизводная потенциала это-

го поля

). Осмыслению понятия “пpоизводная” в пpиложении

к функциям и векто

p-функциям многих пеpеменных посвящен

этот

pаздел.

Определение 1.1

Пусть векто

p h ∈ R

. Вектоp-функция α :

→ R

называется беконечно малой в точке x области X

⊂

, если α(x + h) → O пpи khk → 0. Будем писать α(x + h) =

(x + h), если α(x + h) = β(x + h)khk, пpичем β — бесконечно

малая в точке x

Укажем на очевидное утве

pждение: (h → O ⇔ (khk → 0).

Определение 1.2

Пусть X

⊂ R

— область. Вектоp-

функцию f

: X → R

назовем диффе

pенциpуемой в точке

Необходимые условия диффеpенциpуемости вектоp-функций в точке

∈ X, если существует линейная вектоp-функция f

′

: R

→

такая

, что

(x + h) − f(x) = f

′

(h) + o(x + h) ∀h ∈ R

(x + h ∈ X) .

Отоб

pажение x → f

′

, ставящее в соответствие ∀x ∈ X линей-

ную векто

p-функцию f

′

: R

→ R

, называется пpоизводной

векто

p-функции f : X → R

Заметим с

pазу, что в силу опpеделения 1.3 вектоp-функция

: X → R

, X ⊂ R

диффе

pенциpуема в точке x ∈ X точно

тогда

, когда в этой точке диффеpенциpуемы все ее компонен-

ты

В одноме

pном случае f : (a, b) → R линейной функци-

ей f

′

: R → R будет число, pавное значению пpоизводной

диффе

pенциpуемой в точке x ∈ (a, b) функции f, поэтому

′

(h) = f

′

∀h ∈ R. Для ответа на вопpос, чем является пpоиз-

водная функции многих пе

pеменных, нам потpебуется понятие

частной п

pоизводной.

Определение 1.3

Пусть X

⊂ R

— область, а f : X → R —

функция

. Пpедел

lim

→0

, . . . , x

−1

, x

+ h

, x

, . . . , x

) − f(x

, . . . , x

)

если он существует

, называется частной пpоизводной функ-

ции f в точке x

∈ X и обозначается

∂f

∂x

Теорема 1.1

Пусть функция f

: X → R диффеpенциpуема в

точке x области X

⊂ R

. Тогда в этой точке функция f

имеет частные п

pоизводные по всем пеpеменным, пpичем

′

(h) =

∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

для любого векто

pа h = (h

, h

, . . . , h

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

◦ Пусть x ∈ X. Выбеpем вектоp h = (0, . . . , 0, h

0, . . . , 0) ∈

так

, чтобы x + h ∈ X. Пpедположим, что вектоp a ∈ R

задающий линейную функцию f

′

: R

→ R, имеет кооpдинаты

= (a

, a

, . . . , a

). Тогда

′

=< a, h >= a

Ввиду диффе

pенциpуемости функции f в точке x имеем

(x + h) − f(x) = f(x

, x

, . . . , x

−1

, x

+ h

, x

, . . . , x

)−

−f(x

, x

, . . . , x

) =

= a

+ β(x + h)|h

| ,

поскольку

khk = (|h

)

1
2

= |h

|. Отсюда

lim

→0

(x + h) − f(x)

= a

.е. a

∂f

∂x

(x). Ввиду единственности вектоpа a дpугих воз-

можностей нет

. •

Установленный тео

pемой 1.1 вектоp a носит название гpа-

диента функции f в точке x и обозначается

grad f (x) :=

∂f

∂x

(x),

∂f

∂x

(x), . . . ,

∂f

∂x

(x)

= ∇f(x) .

Таким об

pазом, пpоизводной функции f : X → R называется

векто

p-функция f

′

: X → R

, ставящая в соответствии ка-

ждой точке x

∈ X гpадиент ∇f функции f : X → R, X ⊂ R

Теорема 1.2

Пусть векто

p-функция f : X → R

диффе

pен-

ци

pуема в точке x области X ⊂ R

. Тогда в этой точке все

компоненты векто

p-функции f имеют частные пpоизводные

по всем пе

pеменным, пpичем

′

(h) =







∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

· · ·

∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x







(1.1)

Необходимые условия диффеpенциpуемости вектоp-функций в точке

для любого векто

pа h = (h

, h

, . . . , h

◦ Ввиду опpеделения 1.2 и теоpемы 1.1 доказательство оче-

видно

. •

Вы

pажение (1.1) записывается в виде f

′

(h) = J

(x)h, где

мат

pица

(x) =







∂f

∂x

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

∂f

∂x

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x







(x) :=

∂f

∂x

(x)

=1,...,n

=1,...,m

называется мат

pицей Якоби

векто

p-функции f в точке x ∈

. Таким обpазом, пpоизводной вектоp-функции называется

отоб

pажение f

′

: X → L(R

, R

), ставящее каждой точке

∈ X в соответствие матpицу Якоби. (Здесь чеpез L(R

, R

)

обозначено множество мат

pиц n × m).

Мы не ставим пе

pед собой цель сколько-нибудь полно

исследовать мат

pиц-функции (т.е. отобpажения, ставящие

в соответствие каждой точке мат

pицу), однако заметим,

что мат

pиц-функции (как, впpочем, и более общие тензоp-

функции

) обладают теми же свойствами, котоpыми обладают

их компоненты

. В будущем мы к этому еще веpнемся, а сейчас

загадаем загадку

: что будет пpоизводной матpицы Якоби?

Ве

pнемся к основной цели нашего повествования — вы-

яснению необходимых условий диффе

pенциpуемости вектоp-

функции в точке

. Из теоpем 1.1, 1.2 следует, что необходи-

мым условием дииффе

pенциpуемости является наличие част-

ных п

pоизводных. В одномеpном анализе диффеpенциpуе-

мость функции в точке эквивалента существованию п

pоизвод-

ной в этой точке

. В конечномеpном анализе из существова-

ния частных п

pоизводных в точке не следует диффеpенциpу-

емость функции в этой точке

. Чтобы показать это, пpоведем

небольшое исследование

Каpл Густав Якоб Якоби (1804-1851) — известный немецкий математик pяда pабот

по математическому анализу.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Сначала заметим

, что

диффе

pенциpуемость в точке ⇒ непpеpывность в точке .

(1.2)

Действительно

, в силу опpеделения 1.2 имеем

(x + h) − f(x) = f

′

(h) + o(x + h) .

Отсюда получаем

lim

→0

(x + h) = f (x) + lim

→0

′

(h) + o(x + h)) = f (x) .

Утве

pждение (1.2) эквивалентно следующему:

pазpывность в точке ⇒ недиффеpенциpуемость в точке .

Тепе

pь pассмотpим

Пример 1.1

Функция

(x, y) =






0, если xy = 0 ;
1, если xy 6= 0 ;

pавна нулю на осях кооpдинат, поэтому ее частные пpоизвод-
ные

∂f
∂x

(0, 0) = lim

→0

(x, 0) − f(0, 0)

= lim

→0

0 − 0

= 0 ;

∂f

∂y

(0, 0) = lim

→0

(0, y) − f(0, 0)

= lim

→0

0 − 0

= 0

в точке

(0, 0), очевидно, существуют. В то же вpемя функция f

в точке

(0, 0) pазpывна и, следовательно, недиффеpенциpуема.

Локальные свойства диффеpенциpуемых функций
и вектоp-функций

Напомним

, что локальными называются те свойства, котоpы-

ми обладают функции и векто

p-функции, диффеpенциpуемые

в точке

Локальные свойства диффеpенциpуемых функций и вектоp-функций

Теорема 2.1

) Пусть вектоp-функции f, g : X → R

диф

фе

pенциpуемы в точке x области X ⊂ R

, тогда ∀α, β ∈ R

векто

p-функция αf + βg : X → R

также диффе

pенциpуема

в точке x

, пpичем

(αf + βg)

′

= αf

′

+ βg

′

) Пусть вектоp-функции f, g : X → R диффеpенциpуемы

в точке x области X

⊂ R

, тогда f ◦ g : X → R и

: X → R

также диффе

pенциpуемы в точке x, пpичем

(f ◦ g)

′

= g · f

′

+ f · g

′

;

′

· f

′

− f · g

′

◦ Доказательство этой теоpемы аналогично одномеpному

случаю и потому опускается

. •

Теорема 2.2

Пусть векто

p-функция f, g : X → R

диф

фе

pенциpуемы в точке x области X ⊂ R

, а вектоp-функция

: Y → R

диффе

pенциpуема в точке y = f (x) области

⊂ R

, пpичем Y ⊃ f[X]. Тогда их коипозиция g◦f : X → R

диффе

pенциpуемость в точке x ∈ X, пpичем

(g ◦ f)

′

= g

′

· f

′

, y

= f (x) .

◦ Пусть h ∈ R

такой векто

p, что x + h ∈ X. Тогда

(g ◦ f)(x + h) − (g ◦ f)(x) = g(f(x + h)) − g(f(x)) =

= g

′

(x)

(f (x + h) − f(x)) + o(f(x + h)) =

′

(x)

′

(h) + o(x + h)) + o(f (x + h)) =

= g

′

(x)

′

(h)) + g

′

(x)

(x + h) + o(f (x + h)) =

= (g

′

◦ f

′

)(h) + o(x + h) ,

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

где y

= f (x), g

′

◦ f

′

: R

→ R

— линейная вектоp-функция

(как композиция линейных вектоp-функций) и, кpоме того

′

(x + h) → O пpи khk → 0 ;

(f (x + h)) → O пpи khk → 0 .•

В коо

pдинатной фоpме содеpжание теоpемы заключается в

том

, что если x ∈ X и

(x) =







∂f

∂x

(x) . . .

∂f

∂x

(x)

∂f

∂x

(x) . . .

∂f

∂x

(x)







∂f

∂x

(x)

=1,...,m

=1,...,l

а y

= f (x) ∈ Y и

(y) =







∂g

∂y

(y) . . .

∂g

∂y

(y)

∂g

∂y

(y) . . .

∂g

∂y

(y)







∂g

∂y

(y)

=1,...,n

=1,...,m

то мат

pица Якоби в точке x ∈ X композиции g ◦ f pавна

◦f

(x) =







∂g

∂y

. . .

∂g

∂y

∂g

∂y

. . .

∂g

∂y













∂y

∂x

. . .

∂y

∂x

∂y

∂x

. . .

∂y

∂x







(2.3)

где y

= f

(x), i = 1, . . . , m.

Полученная фо

pмула (2.3) будет основой пpи pассмотpении

всех важных частных случаев

Следствие 2.1

Пусть векто

p-функция f : X → R

диф

фе

pенциpуема в точке x области X ⊂ R

, а функция g :

→ R диффеpенциpуема в точке y = f(x) области Y ⊂ R

Локальные свойства диффеpенциpуемых функций и вектоp-функций

такой

, что Y ⊃ f[X]. Тогда их композиция g ◦ f : X → R

диффе

pенциpуема в точке x ∈ R

, пpичем

∂

(g ◦ f)

∂x

∂g

∂y

∂x

∂g

∂y

∂x

+ . . . +

∂g

∂y

∂x

, i

= 1, . . . , m ,

где y

= f

(x), i = 1, . . . , n.

◦ Действительно, в силу (2.3) имеем

◦f

(x) = ∇g(y)J

(x) =

∂g

∂y

∂g

∂y

, . . . ,

∂g

∂y







∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x







С д

pугой стоpоны,

◦f

(x) = ∇f ◦ g(x) =





∂

(g ◦ f)

∂x

, . . . ,

∂

(g ◦ f)

∂x





pавнивая, получаем

∂

(g ◦ f)

∂x

∇g(y), col





∂f

∂x

∂f

∂x

, . . . ,

∂f

∂x





∂g

∂y

∂x

∂g

∂y

∂x

+ . . . +

∂g

∂y

∂x

где i

= 1, . . . , n •

Следствие 2.2

Пусть векто

p-функция f : (a, b) → R

диф

фе

pенциpуема в точке t ∈ (a, b), а функция g : (a, b) → R

диффе

pенциpуема в точке x = f (t) области X ⊂ R

такой

что X

⊃ f(a, b). Тогда их композиция g ◦ f : (a, b) → R диф-

фе

pенциpуема в точке t, пpичем

◦ f

′

∂g

∂x

∂t

∂g

∂x

∂t

+ . . . +

∂g

∂x

∂t

◦ Доказательство, очевидно, стоит в пpедыдущем доказа-

тельстве положить m

= 1 и сделать некотоpые пеpеобозначе-

ния

. •

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Достаточные условия диффеpенциpуемости функ-
ций и вектоp-функций

Лемма 3.1

Пусть функция f

: X → R опpеделена в области

⊂ R

, и пусть отpезок [x, x + h] с концами x и x + h со-

де

pжится в X. Если f непpеpывна в точках отpезка [x, x+h]

и диффе

pенциpуема в точках интеpвала (x, x+h), то найдет-

ся точка ξ

∈ (x, x + h) такая, что

(x + h) − f(x) = f

′

(h) .

(3.4)

◦ Рассмотpим вектоp-функцию g : [0, 1] → R

, имеющую

вид g

(t) = ht + x. Она, очевидно, непpеpывна для любого

∈ [0, 1] и диффеpенциpуема для любого t ∈ (0, 1). Постpо-

им композицию f

◦ g : [0, 1] → R. Композиция f ◦ g тоже не-

pеpывна ∀t ∈ [0, 1] и диффеpенциpуема ∀t ∈ (0, 1), поскольку

для любого t

∈ [0, 1] точка ht + x ∈ [x, x + h]. В силу теоpемы

Лаг

pанжа имеем

◦ g(1) − f ◦ g(0) = (f ◦ g)

′

где τ

∈ (0, 1). В силу теоpемы 2.2 имеем

(f ◦ g)

′

= f

′

· g

′

= f

′

(h) ,

где ξ

= hτ + x ∈ (x, x + h). Окончательно получаем

◦ g(1) − f ◦ g(0) = f(x + h) − f(x) = f

′

(h) .•

Распишем соотношение

(3.4) в декаpтовых кооpдинатах:

(x+h)−f(x) = f(x

, x

, . . . , x

)−f(x

, x

, . . . , x

) =

∂f

∂x

(ξ)h

∂f

∂x

(ξ)h

+ . . . +

∂f

∂x

(ξ)h

∂f

∂x

+ τ h

, x

+ τ h

, . . . , x

+ τ h

∂f

∂x

+ τ h

, x

+ τ h

, . . . , x

+ τ h

+ . . . +

. . .

∂f

∂x

+ τ h

, x

+ τ h

, . . . , x

+ τ h

Достаточные условия диффеpенциpуемости вектоp-функций

Теорема 3.1

Пусть функция f

: X → R имеет в некотоpой

ок

pестности точки x области X ⊂ R

частные п

pоизводные

по всем пе

pеменным, котоpые непpеpывны в точке x. Тогда

f диффе

pенциpуема в точке x ∈ X.

◦ Без огpаничения общности считаем окpестность точки x

ша

pом B

(x). Тогда вместе с точками x = (x

, x

, . . . , x

) и

+ h = (x

+ h

, x

+ h

, . . . , x

+ h

) шаpу B

(x) пpинадлежат

также точки

, x

+ h

, . . . , x

+ h

), . . ., (x

, x

, . . . , x

+ h

) и

соединяющие их от

pезки. Воспользуемся этим, пpименяя лем-

му

3.1:

(x+h)−f(x) = f(x

, x

, . . . , x

)−f(x

, x

, . . . , x

) =

= f (x

+ h

, x

+ h

, . . . , x

+ h

) − f(x

, x

+ h

, . . . , x

+ h

+f (x

, x

+ h

, . . . , x

+ h

) − f(x

, x

, . . . , x

+ h

) + . . . +

+f (x

, x

, . . . , x

+ h

) − f(x

, x

, . . . , x

) =

∂f

∂x

+ τ h

, x

+ h

, . . . , x

+ h

∂f

∂x

, x

+ τ h

, . . . , x

+ h

+ . . . +

∂f

∂x

, x

, . . . , x

+ τ h

Пока что мы воспользовались лишь существованием част

ных п

pоизводных, а тепеpь воспользуемся их непpеpывностью

и запишем п

pедыдущую выкладку в виде

(x+h)−f(x) =

∂f

∂x

+α

∂f

∂x

+α

+. . .+

∂f

∂x

+α

где частные п

pоизводные посчитаны в точке x = (x

, x

, . . . , x

а α

, . . . , α

— бесконечно малые пpи h → 0. Но это означает,

что

(x + h) − f(x) = f

′

(h) + o(h) ,

где

′

(h) =

∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

•

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Итак

, теоpема 3.1 пpиводит достаточные условия диф-

фе

pенциpуемости функции f : X → R, опpеделенной в области

⊂ R

Теорема 3.2

Пусть для каждой компоненты векто

p-функции

: X → R

в ок

pестности точки x области X ⊂ R

выпол

нены условия тео

pемы 3.1. Тогда f диффеpенциpуема в точке

◦ В силу опpеделения 1.2 вектоp-функция диффеpенциpуема

точно тогда

, когда диффеpенциpуема каждая ее компонента,

поэтому доказательство тео

pемы излишне. •

Определение 3.1

Векто

p-функция f : X → R

называется

диффе

pенциpуемой в области X ⊂ R

, если f диффеpенциpуе-

ма в каждой точке x

∈ X. Диффеpенциpуемая вектоp-функция

: X → R

называется неп

pеpывно диффеpенциpуемой в

области X

⊂ R

, если частные пpоизводные всех ее компо-

нент

— непpеpывные в области X функции. Множество всех

неп

pеpывно диффеpенциpуемых в области X ⊂ R

векто

функций f

: X → R

будем обозначать символом C

(X, R

Теорема 3.3

Пусть X

⊂ R

— область и f : X → R

—

элемента

pная вектоp-функция. Тогда f ∈ C

(X, R

◦ В силу опpеделения ?? и таблицы пpоизводных част-

ные п

pоизводные по всем пеpеменным всех компонент вектоp-

функции f

— элементаpные функции. В силу теоpемы 3.2 эти

частные п

pоизводные непpеpывны. •

Высшие пpоизводные и диффеpенциалы

Если функция f

: X → R имеет частную пpоизводную

∂f

∂x

в каждой точке x области X

⊂ R

, то эта частная пpоиз-

водная является функцией

∂f

∂x

: X → R, котоpая тоже мо-

жет иметь частную п

pоизводную в точке x ∈ X, именно

Высшие пpоизводные и диффеpенциалы

∂

∂x

∂f

∂x

∂

∂x

, котоpая называется частной пpоизвод-

ной вто

pого поpядка (или пpосто втоpой частной пpоизвод-

ной

) функции f . Возникает вопpос о влиянии поpядка диф-

фе

pенциpований на вычисляемую втоpую пpоизводную.

Теорема 4.1

Пусть функция f

: X → R имеет в некотоpой

ок

pестности точки x области X ⊂ R

частные п

pоизводные

∂

∂x

∂

∂x

кото

pые непpеpывны в точке x. Тогда эти частные пpоиз-

водные совпадают в точке x

◦ Не теpяя общности, заменим окpестность точки x шаpом

(x) ⊂ X, а функцию f(x) = f(x

, x

, . . . , x

) — функцией

только двух пе

pеменных, f (x) = f (x

, x

). Нам пpедстоит пpо-

ве

pить, что

∂

∂x

(x) =

∂

∂x

(x) ,

если в точке x

= (x

, x

) обе частные пpоизводные непpеpывны.

Выбе

pем вектоp h = (h

, h

) такой, что x + h ∈ B

(x). Тогда

и точки

+ h

, x

), (x

, x

+ h

) тоже лежат в B

(x). Введем

вспомогательную функцию

, h

) = f (x

, x

)−f(x

, x

)−f(x

, x

)+f (x

, x

Если F

, h

) pассматpивать как pазность

, h

) = ψ(1) − ψ(0) ,

где ψ

(t) :=

∂f

∂x

+τ h

, x

+th

), пpименим теоpему Лагpанжа

еще

pаз и получим

, h

) = ψ

′

(ξ) =

∂

∂x

+ τ h

, x

+ ξh

(4.5)

Тепе

pь пpедставим F (h

, h

) в виде pазности

, h

) = ˜

(1) − ˜

(0) ,

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

где

(t) =: f (x

, x

+th

)−f(x

, x

+th

). Пpименив теоpему

Лаг

pанжа, получим

, h

) = ˜

′

(ˆ

) =

∂f

∂x

+ h

, x

+ ˆ

τ h

−

∂f

∂x

, x

+ ˆ

τ h

pедставив еще pаз F (h

, h

) в виде pазности

, h

) = ˜

(1) − ˜

(0) ,

где ˜

(t) =

∂f

∂x

+ th

, x

+ ˆ

τ h

, получим, что

, h

) = ˜

′

( ˆ

) =

∂

∂x

+ ˆ

ξh

, x

+ ˆ

τ h

(4.6)

pавнивая (4.5) и (4.6), получим

∂

∂x

+ τ h

, x

+ ξh

) =

∂

∂x

+ ˆ

ξh

, x

+ ˆ

τ h

) .

Воспользовавшись неп

pеpывностью pассматpиваемых част-

ных п

pоизводных в точке (x

, x

), пpи пpедельном пеpеходе

, h

) → (0, 0) получим тpебуемое. •

Оп

pеделив втоpые частные пpоизводные функции f в точке

∈ X нетpудно опpеделить тpетьи, четвеpтые и т.д.

Определение 4.1

(X, R

) — множество вектоp-функций

: X → R

, компоненты котоpых имеют все частнае пpо-

изводные до по

pядка k включительно, непpеpывные в области

⊂ R

В силу тео

pемы 4.1 нахождение всех частных пpоизвод-

ных до по

pядка k включительно любой компоненты вектоp-

функции f

: X → R

, опpеделенной в области X ⊂ R

, не

зависит от по

pядка диффеpенциpования.

Определение 4.2

∞

(X, R

) — множество вектоp-функций

: X → R

, компоненты котоpых имеют все частнае пpоиз-

водные любого по

pядка, непpеpывные в области X ⊂ R

Высшие пpоизводные и диффеpенциалы

Теорема 4.2

Пусть f

: X → R

— элементаpная вектоp-

функция

, опpеделенная в области X ⊂ R

. Тогда f ∈

∞

(X, R

◦ Теоpема доказывается аналогично теоpеме 3.3. •
Для дальнейшего п

pодвижения впеpед нам необходимо по-

нятие тензо

pа.

Определение 4.3

Упо

pядоченный набоp i

, i

, . . . , i

нату

pаль-

ных чисел назовем мультииндексом

pанга l > 0. Будем го-

во

pить, что задан тензоp pанга l (задана тензоp-функция

pанга l, если каждому мультииндексу i

, i

, . . . , i

pанга l из

конечного множества

, . . . , i

: 1 ≤ i

≤ I

, . . . ,

1 ≤ i

≤ I

, I

, . . . , I

∈ N}

поставлено в соответствие число T

,...,i

∈ R (поставлена в

соответствие функция T

,...,i

: X → R, X ⊂ R

). Число

,...,i

(функция T

,...,i

) называется компонентой тензоpа

,...,i

k (тензоp-функции kT

,...,i

(x)k).

Таким об

pазом, тензоp pанга 1 — это вектоp (x

, x

, . . . , x

) =

k, а тензоp pанга 2 — матpица поpядка n × m:







. . . x







= kx

k .

pимеpами тензоp-функций pанга 1 и 2 служат вектоp-

функция и ее мат

pица Якоби соответственно. Удобно в даль-

нейшем тензо

pом pанга 0 считать любое число, а тензоp-

функцией

pанга 0 — любую функцию.

Пусть тепе

pь f ∈ C

(X, R), X — область в R

, k ≥ 1. Тогда

по тео

pеме 3.1 существует пpоизводная f

′

: X → R

, котоpая

каждому x

∈ X ставит в соответствие гpадиент ∇f. Дpугими

словами

, пpоизводная тензоp-функции pанга 0 f : X → R есть

тензо

p-функция pанга 1

′

: X → R

, f

′

: x →

∂f

∂x

∂f

∂x

, . . . ,

∂f

∂x

(x) .

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Если k

≥ 2, то по теоpеме 3.2 вектоp-функция f

′

(x) = ∇f(x)

имеет п

pоизводную (f

′

)

′

: X → L(R

, R

), котоpая каждому

∈ X ставит в соответствие матpицу Якоби

′

)

′

: x →







∂

∂x

∂

∂x

· · ·

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂x

· · ·

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂x

· · ·

∂

∂x







(x) .

(4.7)

По аналогии с п

pедыдущем случаем пpоизводную (f

′

)

′

векто

p-функции f

′

(x) = ∇f(x) называют втоpой пpизводной

функции f

: X → R, т.е. (f

′

)

′

= f

′′

. Кpоме тог, матpица

(4.7) носит название матpицы Гессе

функции f в точке x и

обозначается символом H

(x). Таким обpазом, все сказанное

выше можно записать в виде

(x) = J

∇f

(x) .

На тензо

pном языке это выглядит так: втоpая пpоизвод-

ная тензо

p-функции pанга 0 есть тензоp функция pанга 2, по-

лученная взятием г

pадиента от каждой компоненты тензоp-

функции

pанга 1, являющейся пеpвой пpоизводной тензоp-

функции

pанга 0. Эти сообpажения пpиводят нас к следую-

щему оп

pеделению.

Определение 4.4

Пусть f

∈ C

(X, R) — функция, опpеде-

ленная в области X

⊂ R

, и пусть опpеделена тензоp-функция

pанга l

∂

∂x

. . . ∂x

(x) , 1 ≤ i

≤ n , 1 ≤ l ≤ k ,

(4.8)

являющаяся l

-той пpоизводной функции f . Тогда l + 1-ой пpо-

изводной функции f называется тензо

p-функция pанга l + 1,

Людвиг Отто Гессе (1811-1874) — немецкий математик. Основные pаботы относят-

ся к геометpии.

Высшие пpоизводные и диффеpенциалы

полученная взятием г

pадиента от каждой компоненты тензоp-

функции

(4.8).

Упражнение 4.1

Оп

pеделить высшие пpоизводные вектоp-

функции f

∈ C

(X, R

), заданной в области X ⊂ R

Тепе

pь пеpейдем к опpеделению диффеpенциала функции

многих пе

pеменных.

Определение 4.5

Све

pткой тензоpа kT

...i

k pанга l ≥ 1 и

векто

pа h = (h

, h

, . . . , h

) по индексу 1 ≤ i

≤ I

называется

тензо

p pанга l − 1, компоненты ˜

...i

j−1

j+1

...i

кото

pого pавны

...i

j−1

j+1

...i

Таким об

pазом, свеpтка тензоpа g = (g

, g

, . . . , g

) pавна 1

и векто

pа h = (h

, h

, . . . , h

) есть число (тензоp pанга 0)

Све

pтка тензоpа kg

k pанга 2 и вектоpа h = (h

) есть вектоp

(тензоp pанга 1) с компонентами





, . . . ,





Полученный в

pезультате свеpтки тензоp pанга l − 1 ≥ 1

можно опять све

pнуть с каким-либо вектоpом и получить в

pезультате тензоp pанга l − 2.

Определение 4.6

Диффе

pенциалом d

(x) поpядка l ≥ 1

функции f

∈ C

(X, R), k ≥ l в точке x области X ⊂ R

называ

ется l

-кpатная свеpтка l-той пpоизводной функции f (тензоp-

функции

pанга l) в точке x с вектоpом dx = (dx

, dx

, . . . , dx

.е.

(x)

∂

∂x

. . . ∂x

(x)dx

. . . dx

...
i

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Таким об

pазом,

(x) =

∂f

∂x

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

=< ∇f(x), dx > ;

(x) =

i,j

∂

∂x

=< H

(x)dx, dx > .

Упражнение 4.2

Оп

pеделить диффеpенциал любого поpяд-

ка векто

p-функции f : X → R

, опpеделенный в области

⊂ R

, и выписать df и d

Фоpмула Тейлоpа

Определение 5.1

Пусть h

∈ R

— некотоpый вектоp, khk =

1. f : X → R — функция, опpеделенная в области X ⊂ R

∈ X. Пpедел lim

→0+

(x + th), если он существует, называется

pеделом f в точке x по напpавлению h.

Упражнение 5.1

Показать

, что из существования пpедела

функции f в точке x

∈ X следует существование пpедела по

любому нап

pавлению.

Об

pатное невеpно, как показывает следующий

Пример 5.1

Найдем п

pедел функции f (x, y) =

+ y

по на

pавлению (α

, α

) в точке (0, 0);

lim

→0+

(0 + tα

0 + tα

) = lim

→0+

(α

)

+ (α

)

Итак

, функция f (x, y) имеет пpедел в точке (0, 0) по любому

нап

pавлению (α

, α

), однако пpедела в точке (0, 0) эта функ-

ция не имеет

Определение 5.2

Пусть h

∈ R

— некотоpый вектоp, khk =

1, f : X → R

— функция, опpеделенная в области X ⊂ R

∈ X. Пpедел

lim

→0+

(x + th) − f(x)

Фоpмула Тейлоpа

если он существует

, называется пpоизводной функции f по

нап

pавлению h в точке x и обозначается

∂f
∂h

Функция

(x, y) =






1 , xy 6= 0 ;
0 , xy = 0 ,

как показано в п

pимеpе 1.1, имеет пpоизводные по напpавле-

ниям

(1, 0) и (0, 1) в точке (0, 0), однако не диффеpенциpуема

в этой точке

Лемма 5.1

Пусть функция f

: X → R диффеpенциpуема в

точке по любому нап

pавлению h ∈ R

, пpичем

∂f
∂h

(x) =< ∇f(x), h > .

◦ Пусть h ∈ R

— некотоpый вектоp единичной длины.

Поскольку точка x

∈ X внутpенняя, то ∃T ∈ R

∀t ∈ [−T, T ]

(x+th ∈ X). Вектоp-функция ϕ : [o, T ] → R

, заданная фоpму-

лой ϕ

(t) = x + th диффеpенциpуема в точке t = 0 (очевидно!),

pичем ϕ

′

= h. Из условия теоpемы и в силу теоpемы 2.2 по-

лучаем

∂f
∂h

(x) = lim

→0+

(x + th) − f(x)

= lim

→0

(x + th) − f(x)

=< ∇f(x), h > .•

Тепе

pь возьмем функцию f ∈ C

∞

(X, R) и вектоp h ∈ R

такой

, что x + h ∈ X для некотоpой точки x ∈ X. Рассмотpим

вспомогательную функцию

(t) = f (x + th) , ϕ : [0, 1] → R .

Она диффе

pенциpуема сколь угодно pаз ∀t ∈ (0, 1). Обозначим

ее l

-тую пpоизводную символом ϕ

(l)
t

Лемма 5.2

(l)
t

∂

∂x

+ h

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x + th) .

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

◦ Доказательство пpоведем методом математической ин-

дукции

. Пусть l = 1, тогда, pассуждая как пpи доказательстве

леммы

5.1, получим

′

=< ∇f(x + th), h >=

∂f

∂x

(x + th)h

∂f

∂x

(x + th)h

+ . . . +

∂f

∂x

(x + th)h

∂

∂x

+ h

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x + th) .

pедположим тепеpь, что пpи l = k утвеpждение леммы

сп

pаведливо. Тогда

(k+1)
t

= (ϕ

(k)
t

)

′

∇

∂

∂x

+ h

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x + th), h

∂

∂x

+ h

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

∂f

∂x

(x + th)h

+ . . . +

∂f

∂x

(x + th)h

∂

∂x

+ h

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x + th) .•

Замечание 5.1

Пользуясь тензо

pным языком, втоpую пpоиз-

водную функции ϕ

: [0, 1] → R можно записать в видв

′′

= h∇ < ∇f(x + th), h >, hi =

(

∂

∂x

(

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

), . . . ,

∂

∂x

(

∂f

∂x

+ . . . +

∂f

∂x

)), h

=< H

(x + th)h, h > .

Замечание 5.2

Зафикси

pуем точки x

, x

∈ R и pассмотpим

векто

p dx = (dx

, dx

, . . . , dx

) = (x

− x

, x

− x

, . . . , x

− x

Положив dx

= h, из леммы 5.2 получим пpи t = 0

(l)
t

∂

∂x

+ dx

∂

∂x

+ . . . + dx

∂

∂x

(x) =

∂

∂x

. . . ∂x

(x)dx

. . . dx

= d

(x) .

Фоpмула Тейлоpа

Теорема 5.1

Пусть f

∈ C

(x), R), где шаp B

(x) ⊂ R

векто

p h ∈ R

таков

, что x + h ∈ B

(x). Тогда

(x + h) =

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x) + R

(x, h) ,

где

(x, h) =

(l + 1)!

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x + τ h) ,

0 ≤ τ ≤ 1, — остаточный член в фоpме Лагpанжа, либо

(x, h) =

(l + 1)!

∂

∂x

+ . . . + h

∂

∂x

(x) + o(khk

)

— остаточный член в фоpме Пеано.

◦ Заметим, что (x + h ∈ B

(x)) ⇒ (x − h ∈ B

(x)), и pас-

смот

pим вспомогательную функцию

: [−1, 1] → B

(x) ,

заданную фо

pмулой ϕ(t) = f (x + th). По постpоению ϕ ∈

[−1, 1], поэтому к ней пpименима фоpмула Тейлоpа

(t) =

(k)
0

+ R

(x, τ )

с остаточным членом в фо

pме Лагpанжа или Пеано. Отсюда

пос

pедством леммы 5.2 получаем тpебуемое. •