Moduł 6  Wzrost długookresowy
W okresie długim wzrost gospodarczy zależy od czynników podażowych, zupełnie
odmiennie niż w okresie krótkim, w którym siłę napędową gospodarki stanowiły czynniki
popytowe. Funkcja produkcji, znana z mikroekonomii, stanowi podstawę długookresowych
modeli wzrostu gospodarczego. Dlatego też rozumowanie nasze rozpoczniemy od krótkiego
opisu właściwości funkcji produkcji.
Ogólna postad funkcji produkcji przedstawia się następująco:
Y=f (K, N),
gdzie:
K  nakłady kapitałowe
N  nakłady pracy (zatrudnienie)
Funkcja produkcji jest rosnąca zarówno względem kapitału, jak i zatrudnienia. Ceteris paribus
im wyższy poziom kapitału tym wyższy poziom produkcji (dochodu), im wyższy poziom
zatrudnienia tym wyższy poziom produkcji (dochodu), co można zapisad:
ś�Y
ś�Y
>� 0 Ł� >� 0
ś�K ś�N
Dla celów przedstawienia funkcji produkcji często jest wykorzystywana - ze względu na jej
właściwości - funkcja Cobba-Douglasa. Funkcja produkcji wyrażona za pomocą funkcji Cobba-
Douglasa przedstawia się następująco:
a� b�
Y =� AK N
gdzie:
A  postęp technologiczny
a� Ł� b� '� (�0,1)� Ł� A >� 0
Mówimy, że ta funkcja jest jednorodna stopnia ą+�.
Przykład
Mówimy, że funkcja jest jednorodna stopnia ł (gamma) jeżeli pomnożenie każdego z
argumentów funkcji przez dowolną liczbę n spowoduje zmianę wartości funkcji w proporcji
nł. Na przykład kiedy funkcja jest jednorodna trzeciego stopnia:
f (�x,w�, z)�=� 6x3 +� 2xw�z
f (�nx,nw�,nz)�=� 6(nx)3 +� 2(�nx)�(�nw�)�(�nz)�=� n3 f (�x,w�, z)�
f (�nx,nw�,nz)�=� 6(nx)3 +� 2(�nx)�(�nw�)�(�nz)�=� n3 f (�x,w�, z)�
W powyższym przykładzie jeżeli n=2 wówczas wartośd funkcji wzrośnie ośmiokrotnie (23)
podczas gdy każdy z argumentów funkcji wzrasta tylko dwukrotnie.
Stopieo jednorodności funkcji pozwala nam określid charakter tzw. efektów skali.
Jeżeli (a� +� b�) >�1, wówczas mamy do czynienia z tzw. rosnącymi efektami skali.
Jeżeli (a� +� b�) =� 1 wówczas mamy do czynienia z tzw. stałymi efektami skali.
Jeżeli (a� +� b�) <� 1 wówczas mamy do czynienia z tzw. malejącymi efektami skali.
Stałe efekty skali  kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do proporcjonalnej zmiany
wielkości produkcji.
Malejące efekty skali  kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do mniej niż
proporcjonalnej zmiany wielkości produkcji.
Rosnące efekty skali  gdy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do więcej niż
proporcjonalnego wzrostu produkcji. Taki przypadek nazywamy korzyściami skali.
Posługując się funkcją produkcji, wykorzystując jej właściwości, dokonamy analizy
długookresowego wzrostu gospodarczego. W tym celu dzielimy funkcję produkcji przez
liczbę zatrudnionych osób w gospodarce i otrzymujemy następującą jej postad:
Y K N K
ć� �� ć�
=� f , =� f ,1��
�� �� �� ��
N N N N
Ł� ł� Ł� ł�
Zamiast posługiwad się wielkościami absolutnymi - tj. poziomem zagregowanej produkcji od
Y
tego miejsca będziemy posługiwad się terminem produktu na pracownika ć� �� .
�� ��
N
Ł� ł�
W gospodarce zamkniętej, jak pamiętamy z modelu IS-LM zachodzi tożsamośd: I = S.
Po uwzględnieniu istnienia sektora rządowego w gospodarce tożsamośd powyższa przyjmuje
następującą postad:
I = S + (T  G)
Dla uproszczenia przyjmujemy zasadę zrównoważonego budżetu tj: T = G.
Jednocześnie keynesowskiej funkcji oszczędności wyrażona jest następującą formułą: S = s Y
gdzie:
s  stopa oszczędności.
Teraz wracamy do pierwszej tożsamości, wstawiając w miejsce oszczędności powyższy wzór i
jednocześnie uwzględniając czas:
It = s Yt
Jak widzimy inwestycje są proporcjonalne w stosunku do dochodu, co wykorzystamy w
dalszych rozważaniach.
Jak wiemy z mikroekonomii w okresie długim możemy obserwowad zmiany produkcji
wywołane zmianami kapitału. Analogicznie dla wzrostu PKB w okresie długim będzie mied
znaczenie proces akumulacji kapitału. Czyli ilośd kapitału zgromadzonego w gospodarce w
kolejnych okresach. A zatem właściwe zrozumienie procesu akumulacji kapitału w
gospodarce pozwoli nam lepiej rozpoznad czynniki mające wpływ na wzrost gospodarczy w
okresie długim. Żeby kapitał mógł przyrastad trzeba najpierw odtworzyd jego częśd, która
podlega deprecjacji. Zakładając, ze kapitał podlega procesowi deprecjacji w tempie równym
� (delta), inaczej � to stopa deprecjacji kapitału. Oczywiście nie wystarczy odtworzyd części
kapitału równej d�Kt aby zapewnid gospodarce wzrost w okresie długim. Do tego niezbędne
są inwestycje. Powyższe zależności zostały zapisane w następującym równaniu:
Kt+�1 =� (�1-�d� )� Kt +� It
Zasób kapitału na początku roku t+1 równy jest zasobowi kapitału na początku roku t dodad
nowy zasób kapitału utworzony w trakcie roku t, to znaczy inwestycje poczynione w trakcie
roku t.
Teraz możemy wykorzystad wcześniej wyprowadzone zależności pomiędzy dochodem a
inwestycjami jednocześnie dzieląc obie strony równania przez liczbę zatrudnionych N:
Kt Yt
Kt+�1
=� (�1-�d� )� +� s
N N N
Następnie przekształcamy powyższe równanie tak by otrzymad po lewej stronie zmianę
zasobu kapitału na zatrudnionego dla dwóch różnych okresów, a zatem otrzymujemy:
Kt+�1 Kt Yt Kt
-� =� s -�d�
N N N N
Równanie to mówi nam, że zmiana w zasobie kapitału na zatrudnionego zależy od stopy
oszczędności i stopy deprecjacji kapitału.
Jeżeli wykorzystamy pierwotną postad funkcji produktu na zatrudnionego, wówczas
otrzymamy następujące równanie:
Kt+�1 Kt Yt Kt Yt Kt
ć� ��
-� =� s -�d� Ł� =� f ��
�� ��
N N N N N N
Ł� ł�
Kt+�1 Kt Kt Kt
ć� ��
-� =� sf -�d�
�� ��
N N N N
Ł� ł�
Reasumując zmiana kapitału na zatrudnionego zależy od:
�� Inwestycji na zatrudnionego sf(Kt/N). Poziom kapitału na zatrudnionego w danym
roku wpływa na poziom produktu na zatrudnionego w tym samym roku. Przy danej
stopie oszczędności product na zatrudnionego z kolei determinuje oszczędności na
zatrudnionego a zatem określa poziom inwestycji na zatrudnionego w tym samym
roku.
�� Deprecjacja na zatrudnionego �(Kt /N). Zasób kapitału na zatrudnionego określa
wielkośd deprecjacji na zatrudnionego.
A zatem dochodzimy do wniosku, że jeżeli inwestycje na zatrudnionego będą większe niż
deprecjacja na zatrudnionego nastąpi przyrost kapitału w czasie i odwrotnie.
Równowagę długookresową można zdefiniowad, jako sytuację, w której produkt na
zatrudnionego i kapitał na zatrudnionego już nie podlegają zmianom, a zasób kapitału na
zatrudnionego w równowadze wynosi dokładnie tyle, że oszczędności na zatrudnionego są
wystarczające by pokryd deprecjację na zatrudnionego, co można zapisad:
ć� ��
K*� K*�
�� ��
sf =� d�
�� ��
N N
Ł� ł�