Zadanie 5
W budynku jednokondygnacyjnym o schemacie jak na rysunku zastosowano wiskotyczny tłumik
drgań. Budynek jest narażony na działanie harmonicznej siły wymuszającej o charakterystyce
sinusoidalnej.
Wyznaczyć:
1. częstość drgań własnych budynku (bez tłumika drgań)
2. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli zdemontowany jest tłumik drgań
3. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli wspóczynnik tłumienia tłumika drgań
wynosi ct
4. współczynnik tłumienia tłumika wiskotycznego, przy którym całkowite tłumienie budynku osiąga
wartość krytyczną.
Przy jakiej częstości siły wymuszającej amplituda drgań ustalonych bez tłumika drgań jest
największa i ile wynosi?.
� � �
Sztywna kondygnacja o masie m
F(t)
c
t
EI, c EI, c
3
kN := 10 N
6
MN := 10 N
3
Dane - masa kondygnacji
M := 10�"10 kg
- wysokość kondygnacji
L := 10m
2
- sztywność giętna jednego słupa
EI := 15MN�"m
kg
4
- współczynnik tłumienia konstrukcyjnego jednego słupa
c := 2�"10
s
kg
4
- ustalony współczynnik tłumienia tłumika drgań
ct := 4�"10
s
- amplituda siły wymuszającej
F0 := 24kN
rad
- częstość siły wymuszającej
�w := 6
s
12EI
Współczynnik sztywności jednego słupa wyznacza się z wzoru:
Uwaga:
k :=
3
L
N
5
k = 1.8 � 10
m
L
Rozwiązanie
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
d2 �#d ś#
wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego ma postać:
M�" x + 2c�" + 2k�"x = F(t)
ś#dtxź#
2
�# #
dt
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
d2
tłumika drgań ma postać:
M�" x + + ct + 2k�"x = F(t)
(2c )�"�#dtxś#
ś#d ź#
2
�# #
dt
2
d2 x + 2bk�"�#d ś#
Lub po przekształceniach - równanie 1
+ � �"x = f (t)
ś#dtxź#
2
�# #
dt
2
d2 x + 2bt�"�#d ś#
równanie 2
+ � �"x = f (t)
ś#dtxź#
2
�# #
dt
1
c + ct
c 2 2k
gdzie:
bk := bt := � := bk = 2Hz bt = 4Hz � = 6Hz
M M M
Odpowiedz
na pytanie 1
Częstość drgań własnych z uwzględnieniem wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego wynosi
2
2
�k := � - bk �k = 5.657 Hz 4�" 2 = 5.657
Odpowiedz
na pytanie 2
F0 q0
1
q0 := Bk := �" Bk = 0.1 m
M 2
2
�
2 2
Ą# ń#
�w bk �w
ó# �# ś# Ą# �# ś#
+ ś#2�" �" ź#
ó#1 - ś# ź# Ą#
� � �
Ł# �# # Ś# �# #
Odpowiedz
na pytanie 3
F0 q0
1
q0 := Bt := �" Bt = 0.05 m
M 2
2
�
2 2
Ą# ń#
�w bt �w
ó# �# ś# Ą# �# ś#
+ ś#2�" �" ź#
ó#1 - ś# ź# Ą#
� � �
Ł# �# # Ś# �# #
Odpowiedz
na pytanie 4
2
2
Współczynnik tłumienia krytycznego wyznacza się z zależności: wtedy:
� - bkr = 0 bkr := �
1
c + ctkr
2 kg
4
Więc stąd (��"M )
bkr = = � ctkr := 2�" - c ctkr = 8 � 10
M s
Odpowiedz
na pytanie 5
Największa amplituda drgań w ruchu ustalonym bez tłumika drgań wystąpi przy częstości siły
wymuszającej równej i wyniesie:
�k
q0
1
Bmax := �" Bmax = 0.104 m
2
2
�
2 2
Ą# ń#
�k bk �k
ó# �# ś# Ą# �# ś#
+ ś#2�" �" ź#
ó#1 - ś# ź# Ą#
� � �
Ł# �# # Ś# �# #