Dynamika cieplna
przegród budowlanych
Wprowadzenie do symulacji energetycznej
budynków
Piotr Narowski, dr inż.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 1
Narowski
Jak obliczyć dostarczaną moc
cieplną lub temperaturę
wewnętrzną?
W warunkach ustalonych  projektowanie obciążenia
cieplnego lub chłodniczego
W warunkach nieustalonych  symulacja energetyczna
Q = ?
tw = ?
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 2
Narowski
1
Oddziaływanie środowiska na
zjawiska cieplne w budynku
Azymut i wysokość
Promieniowanie słoneczne
Słońca
całkowite i rozproszone
nieboskłon
opad
Promieniowanie
Zachmurzenie
długofalowe
ogólne
atmosfera
Kierunek i prędkość
wiatru
Temperatura i
wilgotność
otoczenie
powietrza
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 3
Narowski
Środowisko wewnętrzne
Temperatura powietrza wewnętrznego
Temperatura powierzchni wewnętrznych przegród
Strumień powietrza wentylacyjnego
Wewnętrzne zyski ciepła  ludzie, oświetlenie, urządzenia
Dostarczana moc cieplna
tsi
ti
Qz Qg
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 4
Narowski
2
Model dynamiki procesów
cieplnych w budynku
METEO
INF
�
Temp.
przegród
t
STPD
KPZ
tI 1
vw
tI 2
dw
...
cc
tI n
BMAT
�
It NPD
RNPS
KPW Temp.
powietrza
CTF
GEO
ti 1
NPSR
ti 2
Dane
geograficzne POZS
...
NPSB ti n
MSOW
KONST
Dane o
ISOW
konstrukcji i
geometrii
budynku
DNPS HWZC KRSO
NPKS
MODEL DYNAMIKI CIEPLNEJ BUDYNKU
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 5
Narowski
Model dynamiki procesów
cieplnych w budynku
moduł funkcji CTF dynamiki przewodzenia ciepła przegród
METEO godzinowe dane meteorologiczne CTF
wielowarstwowych
model dystrybucji natężenia promieniowania krótkofalowego
GEO dane lokalizacji orientacji budynku DNPS
wewnątrz stref budynku
KONST dane geometryczne konstrukcyjne budynku STPD model promieniowania długofalowego strefie budynku (MRT)
RPNS model podziału natężenia promieniowania słonecznego BCPW bilans ciepła powierzchni wewnętrznych przegród budynku
natężenie promieniowania krótkofalowego wytworzonego
POZS pozycja Słońca na nieboskłonie NPKS
wewnątrz stref
model natężenia promieniowania długofalowego środowiska model konwekcji ciepła na powierzchniach wewnętrznych
NPD KPW
zewnętrznego przegród
NPSR model rozproszonego natężenia promieniowania słonecznego HWZC harmonogramy wewnętrznych zysków ciepła
NPSB model bezpośredniego natężenia promieniowania słonecznego bilans ciepła powietrza strefach budynku
BCPS
model przejmowania ciepła na powierzchniach zewnętrznych
KPZ MSOW model systemu ogrzewania i /lub wentylacji
przegród
BCPZ bilans ciepła powierzchni zewnętrznych przegród budynku ISOW instalacja ogrzewania i /lub wentylacji
model transmisji promieniowania słonecznego przez przegrody
TRNS KRSO model krzywej regulacji systemu ogrzewania lub wentylacji
zewnętrzne
INF model infiltracji powietrza do budynku T. prz. godzinowe wartości temperatury powierzchni przegród budynku
BMAT biblioteka właściwości fizycznych materiałów budowlanych T. pow. godzinowe wartości temperatury powietrza strefach budynku
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 6
Narowski
3
BCPZ
BCPS
BCPW
TRNS
Jak obliczyć strumień ciepła
przenikający przez przegrodę przy
zmiennej temperaturze
zewnętrznej i wewnętrznej?
ti(�)
qe(�)
qi(�)
te(�)
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 7
Narowski
Równanie Fouriera  3W *)
Model matematyczny przewodnictwa r
"qy
r
qy + �" dy
cieplnego "y
dz
r
dAz qz
r
r dy r "qx
qx dAx
qx + �" dx
dV "x
�# ś#
"T "2T "2T "2T
r
ś# ź#
= a �"ś# + +
r "qz
y
qz + �" dz
dAy
"t "x2 "y2 "z2 ź# "z
�# #
dx
x r
qy
"T
z
= a"2T = a"T
Przy braku wewnętrznego z
ródła ciepła
"t
gv=0
 m2
a =
gdzie:
Równanie dyfuzji cieplnej zwane równaniem Fouriera
cp �" � s
to współczynnik dyfuzji cieplnej lub współczynnik wyrównania temperatury.
Oznaczenia: T =T(x,y,z,t) temperatura; x,y,z 
*)  patrz wykład nr 3.
zmienne geometryczne; t - czas
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 8
Narowski
4
Metoda różnic skończonych
Zatem dla schematu różnicowego jednowymiarowego pola temperatury w
stanie nieustalonym otrzymujemy tzw gwiazdę pięciopunktową:
"x
Ti,j+1
tj+2
Tij+1
Ti-1,j Ti+1,j
Ti,j
tj+1 Ti-1j Tij Ti+1j
tj
Tij-1
"t
Ti,j-1
tj-1
Podstawiając za f(x) funkcję
tj-2
temperatury T(x,t) otrzymamy:
xi-2 xi xi+1 xi+2
xi-1
Ti, j -Ti, j-1
"T
�# ś#
'
= T H"
ś# ź# i, j
Pierwsza pochodna cząstkowa temperatury
"t "t
�# #i, j
w punkcie i,j względem czasu t
Ti-1, j - 2Ti, j + Ti+1, j
�# ś#
"2T
Druga pochodna cząstkowa temperatury w ''
ś# ź# = T H"
i, j
punkcie i,j względem zmiennej ś# ź#
"x2 "x2
�# #i, j
geometrycznej x
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 9
Narowski
Metoda różnic skończonych
Układ równań dla przegrody wielowarstwowej z nierównomiernym
podziałem na warstwy elementarne i III warunkiem brzegowym
przyjmuje następującą postać:
1 Biw
Ą# ń# Ą# ń#
1 - L L 0
ó#1+ Ą#
ó# Ą# T0, j Biw �"Tw, j
Ą# ń#
1+ Biw
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
M T1, j ó# T1, j-1 Ą#
ó#- h1 h1 + k1 +1 - k1 Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
M - h2 h2 + k2 +1 - k2 T2, j ó# T2, j-1 Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
M M
O O O � =
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# ó#Tn-2, j Ą#
- hn-2 hn-2 + kn-2 +1 - kn-2 M Tn-2, j-1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Tn-1,
M - hn-1 hn-1 + kn-1 +1 - kn-1 ó#Tn-1, j Ą# j-1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
1
Tn, ó# Biz �"Tz, Ą#
0 L L - 1 Ł# Ś#
ó# ó# Ą#
3
1+ Biz Ą# 12j Ł#1+ j
Biz
Ł# Ś#
144444444444444444424444444444444444443 X 14243
4 4Ś#
A B
i"t i+1"t
hi = i ki = dla i = 1,2,K, n -1
cpi�i �" "xi"xi+1 cpi�i �" "xi+12
gdzie:
ąw"x1 ąz"xn
Biw = i Biz =
1 n
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 10
Narowski
5
Pole temperatury w ścianie
Wykres zmian temperatury w przegrodzie w wyniku skoku temperatury
powietrza po stronie wewnętrznej o 1 K.
Tw(t)
1
Beton -
0.9
keramzyt
1200
0.8
Beton -
keramzyt
0.7
1400
0.6
Wełna
mineralna
0.5
0.4
0.3
Beton -
keramzyt
0.2
1400
0.1
Tz(t)
0
0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Warstwy [m]
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 11
Narowski
Pole temperatury w ścianie
Wykres zmian temperatury w przegrodzie w wyniku skoku temperatury
powietrza po stronie zewnętrznej o 1 K.
1
Tz(t)
0.9
0.8
0.7
0.6
Beton -
0.5 Beton -
keramzyt
keramzyt
1400
1200
0.4
Beton -
0.3
keramzyt
1400
0.2
Wełna
0.1
mineralna
Tw(t)
0
0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Warstwy [m]
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 12
Narowski
6
Temperatura [C]
Temperatura [C]
Funkcje odpowiedzi przegrody
Każdą funkcję ciągłą f(t) można przedstawić w postaci szeregu
impulsów o wartości odpowiadających wartości funkcji w punkcie.
T
Dla "t -> 0 funkcja dyskretna dąży do funkcji ciągłej.
T(t)
t
"t
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 13
Narowski
Funkcje odpowiedzi przegrody
Jeżeli poznamy odpowiedz
przegrody na wymuszenie impulsowe
wówczas odpowiedz
na dowolne wymuszenie termiczne będzie sumą
odpowiedzi serię impulsów.
Wymuszenie impulsowe
Odpowiedz
na impuls
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 14
Narowski
7
Funkcje odpowiedzi przegrody
q [W/m2]
8
ąw
Odpowiedz
przegrody (gęstość strumienia ciepła) na
7
powierzchni przy której wystąpił skok temperatury.
6
Dla t->0 wartość funkcji hw(t) wynosi ąw ponieważ,
5
qw=ąw(1-0), natomiast dla t->" hw(t) dąży do wartości
współczynnika przenikania ciepła U, ponieważ w
4
stanie ustalonym qw=U*(Tw-Tz) = U*(1-0).
3
2
hw(t)
1
U
t [h]
0
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 15
Narowski
Funkcje odpowiedzi przegrody
q [W/m2]
0,7
U
0,6
0,5
Odpowiedz
przegrody (gęstość
strumienia ciepła) na przeciwległej
0,4
powierzchni niż ta przy której wystąpił
skok temperatury.
0,3
hz(t)
Dla t->0 wartość funkcji hz(t) wynosi 0
0,2
ponieważ, qz=ąz(0-0), natomiast dla t->" hz(t)
dąży do wartości współczynnika przenikania
0,1 ciepła U, ponieważ w stanie ustalonym
qz=U*(Tw-Tz) = U*(1-0).
0
t [h]
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 16
Narowski
8
2
5
8
7
0
9
1
0
3
2
4
11
14
1
2
23
26
2
32
35
38
4
44
47
5
5
56
59
6
65
68
71
7
77
80
2
5
8
1
7
3
6
9
2
8
1
4
7
0
3
9
2
5
8
4
0
1
14
20
2
2
2
3
35
3
4
4
5
6
71
7
8
1
4
5
5
56
6
6
77
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
W celu określenia odpowiedzi przegrody budowlanej na pojedynczy
impuls temperatury należy określić wartości funkcji podanej poniżej
dla zakresu t należącego do przedziału <0, +"):
�
q(t)= T(t)�" h(0+ )+ -� )h'(� )d�
+"T(t
0
W funkcji tej mamy pochodną odpowiedzi na skok temperatury, którą
można wyznaczyć poprzez numeryczne różniczkowanie funkcji h(t):
h(t + "� ) - h(t)
h'(t)E"
"�
Oraz funkcję temperatury w postaci jednostkowego
T(t)= � (t)
impulsu:
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 17
Narowski
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
16
ąz
14
12
10
Tw
8 Tz
z
6
4
gzz(t)
2
0 t
-2
Funkcja odpowiedzi przegrody na impuls temperatury zewnętrznej dla
powierzchni zewnętrznej przegrody.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 18
Narowski
9
0
4
8
2
6
0
0
4
8
6
0
4
8
2
6
0
4
8
2
6
0
4
8
2
6
4
8
2
7
12
1
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
6
6
6
7
80
8
8
9
96
1
1
10
10
10
1
1
12
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
0,02
gwz(t)
0,018
0,016
0,014
0,012
Tw
Tz
0,01
0,008
w
0,006
0,004
0,002
t
0
Funkcja odpowiedzi przegrody na impuls temperatury zewnętrznej dla
powierzchni wewnętrznej przegrody.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 19
Narowski
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
6
ąw
5
4
Tw
Tz
w
3
2
gww(t)
1
0 t
-1
-2
Funkcja odpowiedzi przegrody na impuls temperatury wewnętrznej dla
powierzchni wewnętrznej przegrody.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 20
Narowski
10
0
4
8
2
6
0
0
4
8
8
2
0
8
8
6
4
6
12
16
20
24
2
3
36
4
44
4
52
56
60
64
6
72
7
80
8
88
92
9
1
10
10
10
11
1
12
0
4
8
0
0
4
8
2
0
6
1
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
8
84
88
92
9
12
16
10
10
10
1
1
12
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
0,02
gzw(t)
0,018
0,016
0,014
Tw
0,012
Tz
0,01
z
0,008
0,006
0,004
0,002
t
0
Funkcja odpowiedzi przegrody na impuls temperatury wewnętrznej dla
powierzchni zewnętrznej przegrody.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 21
Narowski
Splot funkcji
Dla "� dążącego do zera suma dąży do całki, którą można zapisać:
"
Splot funkcji f i g: y(t) = f (� )�" g(t -� ) �"d� = f " g
+"
0
"
Zamieniając argumenty funkcji f i g
y(t) = f (t -� ) �" g(� ) �"d� = f " g
otrzymujemy identyczną wartość splotu: +"
0
Podstawiając za funkcję f funkcję temperatury w czasie T(t) otrzymujemy splot temperatury i
odpowiedzi na impuls temperatury czyli funkcję gęstości strumienia ciepła na powierzchni
przegrody q(t):
"
q(t) = (t -� ) �" g(� ) �"d� = T " g
+"T
0
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 22
Narowski
11
0
4
8
2
6
0
0
4
8
8
2
0
8
8
6
4
6
12
16
20
24
2
3
36
4
44
4
52
56
60
64
6
72
7
80
8
88
92
9
1
10
10
10
11
1
12
Splot funkcji
W przypadku funkcji dyskretnych splot funkcji można zobrazować
następująco:
Odpowiedz
na impuls
g
jednostkowy:
Odpowiedz
na przeskalowany
g
impuls:
Odpowiedz
na przeskalowany i
g
przesunięty w czasie impuls:
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 23
Narowski
Splot funkcji
W przypadku funkcji dyskretnych splot funkcji można zobrazować
następująco:
g
Superpozycja dwóch
odpowiedzi
impulsowych:
g
g
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 24
Narowski
12
Odpowiedz
przegrody na
wymuszenie impulsowe
Wykorzystując powyższe rozważania gęstości strumieni ciepła na
powierzchni wewnętrznej qw i powierzchni zewnętrznej qz
przegrody w odpowiedzi na zmienne w czasie temperatury
powietrza po stronie wewnętrznej Tw i stronie zewnętrznej Tz w
dowolnej chwili czasu i można zapisać w postaci równań:
n n
qw(i) = ( j) �"Tw(i - j) �" "� - ( j) �"Tz (i - j) �" "�
"gww "gwz
j=0 j=0
n n
qz (i) = ( j) �"Tw(i - j) �" "� - ( j) �"Tz (i - j) �" "�
"gzw "gzz
j=0 j=0
W powyższych równaniach za dodatni przyjęto kierunek przepływu
ciepła od powierzchni wewnętrznej przegrody do jej powierzchni
zewnętrznej.
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 25
Narowski
Umiemy zatem obliczyć strumień
ciepła przenikający przez
przegrodę przy zmiennej
temperaturze zewnętrznej i
wewnętrznej
ti(t)
qe(t)
qi(t)
te(t)
11/29/2007 Dynamika cieplna przegród budowlanych - Piotr 26
Narowski
13