Pola figur płaskich

125

Pola figur płaskich

Zad. 1:
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest
równy 21, a cosinus największego kąta wynosi

−

. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Odp.: 5, 7, 9.

Zad. 2:
Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury, wiedząc, że:
a) bok kwadratu ABCD ma długość k, punkty E, F, G, H są środkami odpowiednich boków
D G C

H F

A E B
(dotyczy to figury HEFG);
b) promień okręgu wynosi m, punkt O jest środkiem okręgu,

|∠

ABD

|∠

ABC

= 30

A
D C

O

B
(dotyczy to figury DBCA);
c) bok trójkąta równobocznego ABC ma długość n, punkty D, E, F są środkami odpowiednich
boków
C

F D

A E B
(dotyczy to figury FEDC);
d) promień okręgu wynosi t, punkt O jest środkiem okręgu

A O

(dotyczy to figury zawierającej punkty A i O).

126

Odp.: Wyniki zestawione są w poniższej tabeli:

Podpunkt

Pole

Obwód

( )

−

3 3

π +

6 3

π +

3 3

− π

(

)

3 3

π −

Zad. 3*:
W kole o promieniu R poprowadzono trzy równoległe cięciwy w taki sposób, że zawierają się
w jednym półkolu. Długości tych cięciw są równe odpowiednio długościom boków sześcio-
kąta foremnego, kwadratu i trójkąta równobocznego wpisanych w to koło. Znajdź stosunek
pola tej części koła, która jest zawarta między najkrótszą z tych cięciw i cięciwą średniej dłu-
gości, do pola części zawartej między najdłuższą i średnią cięciwą.

Odp.:

π
π

−

3 3

Zad. 4:
W równoległoboku, w którym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego, kąt ostry ma

miarę 60

, a dłuższa przekątna ma długość

4 7

. Oblicz:

a) pole (obwód) tego równoległoboku;
b) długość krótszej przekątnej;
c) objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół dłuższego boku.

Odp.: a)

16 3

(Obw. = 24); b)

4 3

; c) V = 76

Zad. 5:
W trapezie równoramiennym ABCD dane są długości podstaw:

= 10 cm,

= 2 cm.

Oblicz:
a) pole trapezu ABCD, wiedząc, że można w niego wpisać okrąg;
b) pole trapezu ABCD, wiedząc, że pole trójkąta ABO, gdzie O jest punktem przecięcia prze-
kątnych trapezu, jest równe 25 cm

;

c) miarę kąta między przekątnymi trapezu ABCD, wiedząc, że przekątne te mają długość

4 3

cm.

Odp.: a)

12 5

; b)

4 13

; c) 120

Zad. 6:
Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13 cm i 15 cm, a pole trapezu wynosi
168 cm

. Oblicz pola czterech trójkątów, na jakie przekątne dzielą trapez.

Odp.: P

189

Zad. 7:
a) W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz obwód i pole czworokąta, wiedząc,
ż

|∠

ADC

= 120

i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2 : 1.

*b) Trójkąt równoboczny XYZ jest wpisany w okrąg. Punkt K należy do krótszego z łuków XY.
Udowodnij, że

127

Odp.: a) Obwód czworokąta jest równy

14 3

3 21

, a pole wynosi

189 3

Zad. 8*: (profil matematyczno-fizyczny)
Wykaż, że jeżeli boki trójkąta ABC spełniają warunek

⋅

, to jeden z

kątów tego trójkąta jest dwa razy większy od drugiego.

Zad. 9: (profil matematyczno-fizyczny)
Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R) są styczne zewnętrznie. Prosta l nie przechodzi przez
punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do nich obu. Znajdź promień okręgu stycznego
zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej l. Rozważ wszystkie możliwe przy-
padki.

Odp.:

(

)

(

)

−

lub

Zad. 10: (profil matematyczno-fizyczny)
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są długości odcinków

= q oraz

= p. Oblicz długość przekątnej BD. Jaki warunek muszą spełniać p i q, aby

zadanie miało rozwiązanie?

Odp.: BD

−

, gdzie 0 < q < p 2 .

Zad. 11:
Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Cosinus naj-
większego kąta w trójkącie jest równy

−

1
4

. Znajdź długości boków oraz pole tego trójkąta.

Odp.: Boki trójkąta mają długości 4, 6, 8. Pole trójkąta jest równe

3 15

Zad. 12:
Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, a obwód trójkąta jest równy

(

)

. Oblicz długości boków tego trójkąta oraz objętość bryły otrzymanej w wyniku

obrotu trójkąta wokół krótszej przyprostokątnej.

Odp.: Boki trójkąta mają długości 6 3 2 2 6

(kąty trójkąta mają miary 30

, 60

i 90

Objętość rozważanej bryły jest równa

6 6

Zad. 13:
W trójkącie ostrokątnym ABC wysokości opuszczone z wierzchołków A, B przecinają się w
punkcie M i mają odpowiednio długości 6 i 8. Miara kąta AMB wynosi 150

a) Oblicz pole trójkąta ABC.
*b) Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie A

, gdzie A

, B

, oznaczają spodki wy-

sokości trójkąta ABC opuszczonych z wierzchołków A, B.
c) Oblicz objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu trójkąta AA

wokół prostej AC.

Odp.: a) P = 48; b)

−

2 75 36 3

; c) V = 108

Zad. 14:
Długości boków trójkąta prostokątnego są kolejnymi liczbami naturalnymi. W odległości 1,6
cm od wierzchołka kąta prostego poprowadzono prostą równoległą do przeciwprostokątnej,
rozcinającą trójkąt na dwie figury. Oblicz pole oraz długości przekątnych odciętego trapezu.

128

Odp.: P

, przekątne mają długość

2 5

145

cm i

Zad. 15:

Pole trapezu równoramiennego jest równe 39 3

cm . Ramię trapezu ma długość 6 3 cm i

tworzy z dłuższą podstawą kąt 30

. Oblicz obwód i długość przekątnej tego trapezu.

Odp.: Obwód trapezu jest równy

(

)

2 13

6 3

cm , a przekątna ma długość 14 cm.

Zad. 16:
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna ma długość 8 cm i tworzy z dłuższą podstawą
kąt 30

. Różnica długości podstaw trapezu jest równa 4 cm. Oblicz pole i obwód tego trape-

zu.

Odp.: Pole trapezu jest równe 8 16 3

cm , a obwód wynosi 8

4 2

8 3

cm .

Zad. 17:
W trapezie równoramiennym ABCD dane są długości podstaw:

= 10 cm,

= 6 cm.

Oblicz:
a) pole trapezu ABCD, wiedząc, że kąt ostry ma miarę 60

;

b) obwód trapezu ABCD, wiedząc, że trapez jest wpisany w okrąg o średnicy 10 cm;
c) długości przekątnych trapezu ABCD, wiedząc, że przekątne tworzą kąt 120

Odp.: a) P

16 3

; b)

(

)

4 4

cm ; c) 16 cm lub

16 3

cm .

Zad. 18:
W trapezie równoramiennym ABCD dane są długości podstaw:

= 8 cm,

= 2 cm.

Oblicz:
a) pole trapezu ABCD, wiedząc, że jest on opisany na okręgu;
b) obwód trapezu ABCD, wiedząc, że pole trójkąta ABO, gdzie O jest punktem przecięcia
przekątnych trapezu, jest równe 16 cm

;

c) miarę kąta między przekątnymi trapezu ABCD, wiedząc, że przekątne te mają długość

10 3

cm .

Odp.: a) P = 20 cm

; b)

(

)

2 5

cm ; c)

|∠

AOB

= 120

Zad. 19:
O trapezie ABCD wiadomo, że jest wpisany w okrąg, AB  CD,

= 14,

|∠

BAD

= 60

8
5

. Oblicz pole i obwód trapezu oraz promień okręgu.

Odp.: Pole trapezu jest równe

55 3

, obwód wynosi 42. Promień okręgu ma długość

14 3

Zad. 20:
Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego dłuższa podstawa ma długość
4r. Znajdź pole tego trapezu oraz stosunek długości jego przekątnych.

Odp.: P

. Stosunek długości przekątnych wynosi 65 15

129

Zad. 21*:
Na kole o promieniu R opisano romb, którego dłuższa przekątna jest równa 4R. Oblicz pole
tej części rombu, która leży poza kołem.

Odp.:

8 3

−













R .

Zad. 22:
Przekątna wychodząca z wierzchołka kąta ostrego rombu ma długość 16 cm. Oblicz pole
tego rombu, wiedząc, że:
a) kąt ostry ma miarę 60

;

b) wysokość rombu ma długość 8 2 cm ;
c) okrąg przechodzący przez trzy wierzchołki rombu dzieli daną przekątną na odcinki długo-
ś

ci 10 cm i 6 cm.

Odp.: a) P

128 3

; b) P = 128 cm

; c) P = 64 cm

Zad. 23:
Obwód równoległoboku jest równy 72 cm. Stosunek długości wysokości równoległoboku
wynosi 5 : 7, a stosunek miar jego kątów wewnętrznych jest równy 1 : 2. Oblicz długości
boków i wysokości tego równoległoboku.

Odp.: Boki równoległoboku mają długości 21 cm i 15 cm, a wysokości

15 3

cm i

21 3

cm (kąt ostry ma miarę 60

Zad. 24:
W równoległoboku ABCD boki mają długości:

= 10,

= 6. Odległość wierzchołka

od prostej BC wynosi 6. Oblicz długości przekątnych i pole tego równoległoboku.

Odp.: AC

2 58

2 10

; P = 36.

Zad. 25*:
W kole o środku O poprowadzono prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM, przecina-
jącą średnicę CD w punkcie K. Jaką miarę powinien mieć kąt BAM, aby w czworokąt OBMK
można było wpisać okrąg?
Odp.:

|∠

BAM

= 30

Zad. 26:
W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciw-
prostokątnej jest równy

1
2

a) Oblicz sinusy kątów ostrych tego trójkąta.
b) Oblicz stosunek pola trójkąta do pola koła opisanego na tym trójkącie.
c) Wiedząc, że krótsza przyprostokątna ma długość 2 cm, oblicz promień koła wpisanego w
trójkąt.

Odp.: a)

− +

; b)

; c)

−

130

Zad. 27:

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są:

= b oraz

|∠

ACB

, gdzie

( )

∈

;

Z wierzchołka B przez środek okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono prostą, prze-
cinającą bok AC w punkcie D. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz długość
odcinka BD.

Odp.:

(

)

( )

sin

3
2

Zad. 28:
W trójkącie równoramiennym stosunek długości ramienia do długości podstawy jest równy
3 : 2. Suma promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i promienia okręgu opisanego na trój-
kącie jest równa 13. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Odp.: 8 2 12 2 12 2

Zad. 29:
Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt M, że pole trójkąta ACM jest
cztery razy mniejsze od pola trójkąta ABM. Oblicz sinusy kątów CAM i MAB.

Odp.: sin

, sin

∠

CAM

MAB

2 7

Zad. 30:
W trójkącie KLM poprowadzono prostą AB równoległą do boku KL tak, że A

∈

KM, B

∈

LM i

. Wiedząc, że

= c,

|∠

MKL

|∠

KLM

, oblicz obwód

trapezu KLBA.

Odp.:

(

)

(

)

sin

α β

Zad. 31:
Nierównoległe boki AD i BC trapezu ABCD zawierają się w prostych prostopadłych,

|∠

DAC

|∠

ABC

= 30

= 8 cm. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Odp.: Pole trapezu jest równe 64 3

cm , a obwód wynosi

(

)

8 5

cm .

Zad. 32:
Dany jest trapez ABCD, w którym

|∠

DAB

|∠

CDA

= 90

a) Wiedząc, że przekątne mają długości 13 i

, a różnica długości podstaw jest równa 8,

oblicz obwód trapezu ABCD. Czy w ten trapez można wpisać okrąg?
b) Okrąg o promieniu R przechodzi przez punkty A, C, D i przecina odcinki AB i BC w punk-
tach odpowiednio M i N tak, że

= 1 : 3. Oblicz pole trapezu ABCD.

c) Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Pola trójkątów ABS i DCS są równe
odpowiednio 9 i 4. Oblicz pole trapezu.

Odp.: a) Obwód trapezu jest równy

. W trapez ten nie można wpisać okręgu.

b) P

4 5

. c) P = 25.

131

Zad. 33: (profil matematyczno-fizyczny)

W trójkącie ABC dane są:

= b i

|∠

ACB

, gdzie

(

)

∈

2
3

;

. Z wierzchołka B

przez środek okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono prostą przecinającą prostą AC
w punkcie D. Znajdź długość odcinka BD.

Odp.: BD

sin

3
2

Zad. 34: (profil matematyczno-fizyczny)
Oblicz długości boków równoległoboku ABCD o obwodzie 26, w którym promień r okręgu

wpisanego w trójkąt ABD ma długość

i kąt ABC ma 120

Odp.: 5 i 8.

Zad. 35: (profil matematyczno-fizyczny)
Nierównoległe boki AD i BC trapezu ABCD zawierają się w prostych prostopadłych. Oblicz
pole tego trapezu, wiedząc, że

|∠

DAC

|∠

ABC

= a i

Odp.:

(

)

−

1
2

cos

α α

Zad. 36: (profil matematyczno-fizyczny)
W okrąg o promieniu R wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny, mające wspólny wierzcho-
łek. Oblicz pole i obwód części wspólnej obu figur.

Odp.: Pole rozważanej figury jest równe

11 3

−

R , a obwód wynosi

(

)

R 4 3

2 6

3 2

−

Zad. 37:
Długości boków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 30 cm tworzą ciąg arytme-
tyczny. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Odp.: Promień ma długość 6 (boki trójkąta mają długości 18, 24, 30).

Zad. 38:
a) Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Oblicz
objętość i pole powierzchni całkowitej bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta do-
okoła prostej zawierającej przeciwprostokątną.
*b) Wykaż, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność

(

)

+ +

, gdzie a, b, c oznaczają długości boków trójkąta.

Odp.: a) V

(boki trójkąta mają długości 3, 4, 5).

Zad. 39:
Punkt D leży na boku BC trójkąta równobocznego ABC. Stosunek pola trójkąta ADB do pola
trójkąta ADC jest równy

1
3

a) Wiedząc, że bok trójkąta ABC ma długość m, oblicz odległość BD.
b) Znajdź sinus kąta DAB.
c) Uzasadnij, że suma odległości punktu D od boków AB i AC jest równa wysokości trójkąta
ABC

Odp.: a) BD

1
4

; b)

sin

∠

DAB

132

Zad. 40:

Znajdź długość środkowej AD trójkąta ABC, w którym:

= 10,

= 6, AC

4 5 .

Niech D’ będzie obrazem punktu D w symetrii osiowej względem prostej AB. Uzasadnij, że
w czworokąt ADBD’ można wpisać okrąg. Oblicz długość tego okręgu.

Odp.:

= 9. Długość okręgu jest równa

4
3

Zad. 41:
Romb, którego bok ma długość a, kąt ostry zaś ma miarę

, podzielono prostymi poprowa-

dzonymi z wierzchołka kąta ostrego na trzy części o równych polach. Oblicz długości odcin-
ków wyciętych z tych prostych przez brzeg rombu.

Odp.: Każdy z odcinków ma długość

1
3

13 12

cos

Zad. 42:
W trapezie o podstawach a i b (a > b) kąty ostre mają miary 30

i 60

. Oblicz wysokość, pole

i obwód tego trapezu.

Odp.:

(

)

(

)

b P

Obw

−

Zad. 43:
Dany jest trapez równoramienny opisany na okręgu.
a) Oblicz długość przekątnej trapezu, wiedząc, że kąt ostry tego trapezu ma miarę 30

, a suma

długości podstaw jest równa 8 cm.
b) Oblicz długości podstaw tego trapezu, wiedząc, że jego pole jest równe 20 cm

, a promień

okręgu wpisanego wynosi 2 cm.
c) Udowodnij, że kwadrat średnicy okręgu wpisanego w ten trapez jest równy iloczynowi
długości podstaw.

Odp.: a)

2 5

; b) 8 i 2.

Zad. 44:

Promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny wynosi

, a kąt ostry trapezu ma

miarę 60

. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Odp.: R

2
3

14 .

Zad. 45:
W czworokącie ABCD dane są:

= 13,

= 11,

= 7,

= 1,

|∠

DAB

= 90

Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Odp.: P = 45, BD

170

3
5

Zad. 46:
Dane jest półkole o średnicy

= 2r. Okrąg o środku B i promieniu R (R

≥

r) przecina

rednicę AB w punkcie C, a łuk AB w punkcie D.

a) Oblicz sin

|∠

CBD

, wiedząc, że R

3
2

b) Oblicz wysokość trójkąta ABD poprowadzoną z punktu D, wiedząc, że cos

∠

CBD

2
3

133

c) Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABD, wiedząc, że

2
3

Odp.: a)

sin

∠

CBD

; b)

4 5

r ; c)

(

)

1
4

−

r .

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pola figur płaskich - ćwiczenia, materiały szkolne, wielokąty
pola figur płaskich na bdb
Pola figur płaskich tekst piosenki 6a
pola figur plaskich 2
ppt Pola Figur Płaskich
pola figur plaskich
pola figur plaskich
Pola Figur Płaskich Test klasa V
pola figur płaskich zadania
pola figur plaskich
Pola figur płaskich, jednostki
Pola i obwody figur płaskich

więcej podobnych podstron