Klas´
owka poprawkowa, matematyka A, 20 stycznia 2005
1. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim
x→0
3
√
1+x
2
−(1+ax+bx
2
)
x
2
= 0 , naste
,
pnie obliczy´c granice
,
lim
x→0
√
1+x−(1+ax+bx
2
)
x
3
.
2. Niech f (t) = e
at
dla t ∈ R . Obliczy´c f
0
(t) i f
00
(t) . Znale´z´c wszystkie liczby a, ω ∈ R takie,
˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c f
00
(t) − 5f
0
(t) + 6f (t) = 0 .
3. Znale´z´c granice
lim
x→+∞
√
x cos x
x
,
lim
x→+∞
ln x
x
oraz
lim
x→+∞
3
√
x + ln x −
3
p
x +
√
x
.
4. Na paraboli y = x
2
znale´z´c punkt le˙za
,
cy najbli˙zej punktu (2, 0) . Znale´z´c ka
,
t mie
,
dzy odcin-
kiem la
,
cza
,
cym punkt (2, 0) ze znalezionym.
5. Niech f (x) = (x + 1)
5/3
x
2
+ 2x
1/3
.
Wiemy, ˙ze f
0
(x) =
1
3
(x + 1)
2/3
x
2
+ 2x
−2/3
7x
2
+ 14x + 2
, niewymiernymi pierwiast-
kami funkcji f
0
sa
,
x
5
≈ −1.845 oraz x
6
≈ −0.155 , ma ona r´ownie˙z pierwiastek wymierny,
f
00
(x) =
2
9
(x + 1)
−1/3
x
2
+ 2x
−5/3
14x
4
+ 56x
3
+ 61x
2
+ 10x − 4
, pierwiastkami drugiej
pochodnej sa
,
x
1
≈ 0.177 , x
2
≈ −2.177 , x
3
≈ −0.492 , x
4
≈ −1.508 , sa
,
one niewymierne.
Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna
,
ca; przedzia ly, na kt´orych funkcja f
jest maleja
,
ca; przedzia ly, na kt´orych ta funkcja jest wypuk la; przedzia ly, na kt´orych jest
wkle
,
s la. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej. W jakich punktach funkcja
f ma lokalne ekstrema? Znale´z´c punkty przegie
,
cia wykresu funkcji f . Znale´z´c granice jed-
nostronne funkcji f w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja
,
cych sie
,
na jej dziedzine
,
oraz
granice jednostronne funkcji f
0
(pochodnej funkcji f ) w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow
sk ladaja
,
cych sie
,
na jej dziedzine
,
.
Naszkicowa´
c wykres funkcji f uwzgle
,
dniaja
,
c otrzymane rezultaty.
6. Znale´z´c ca lke
,
nieoznaczona
,
R
sin x cos x sin(sin x)dx ,
a naste
,
pnie ca lke
,
oznaczona
,
R
π
4
π
6
sin x cos x sin(sin x)dx .