Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 20 stycznia 2005

1. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim

x→0

3

√

1+x

2

−(1+ax+bx

2

)

x

2

= 0 , naste

,

pnie obliczy´c granice

,

lim

x→0

√

1+x−(1+ax+bx

2

)

x

3

.

2. Niech f (t) = e

at

dla t ∈ R . Obliczy´c f

0

(t) i f

00

(t) . Znale´z´c wszystkie liczby a, ω ∈ R takie,

˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c f

00

(t) − 5f

0

(t) + 6f (t) = 0 .

3. Znale´z´c granice

lim

x→+∞

√

x cos x

x

,

lim

x→+∞

ln x

x

oraz

lim

x→+∞

3

√

x + ln x −

3

p

x +

√

x

.

4. Na paraboli y = x

2

znale´z´c punkt le˙za

,

cy najbli˙zej punktu (2, 0) . Znale´z´c ka

,

t mie

,

dzy odcin-

kiem la

,

cza

,

cym punkt (2, 0) ze znalezionym.

5. Niech f (x) = (x + 1)

5/3

x

2

+ 2x

1/3

.

Wiemy, ˙ze f

0

(x) =

1
3

(x + 1)

2/3

x

2

+ 2x

−2/3

7x

2

+ 14x + 2

, niewymiernymi pierwiast-

kami funkcji f

0

sa

,

x

5

≈ −1.845 oraz x

6

≈ −0.155 , ma ona r´ownie˙z pierwiastek wymierny,

f

00

(x) =

2
9

(x + 1)

−1/3

x

2

+ 2x

−5/3

14x

4

+ 56x

3

+ 61x

2

+ 10x − 4

, pierwiastkami drugiej

pochodnej sa

,

x

1

≈ 0.177 , x

2

≈ −2.177 , x

3

≈ −0.492 , x

4

≈ −1.508 , sa

,

one niewymierne.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca; przedzia ly, na kt´orych funkcja f

jest maleja

,

ca; przedzia ly, na kt´orych ta funkcja jest wypuk la; przedzia ly, na kt´orych jest

wkle

,

s la. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej. W jakich punktach funkcja

f ma lokalne ekstrema? Znale´z´c punkty przegie

,

cia wykresu funkcji f . Znale´z´c granice jed-

nostronne funkcji f w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja

,

cych sie

,

na jej dziedzine

,

oraz

granice jednostronne funkcji f

0

(pochodnej funkcji f ) w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow

sk ladaja

,

cych sie

,

na jej dziedzine

,

.

Naszkicowa´

c wykres funkcji f uwzgle

,

dniaja

,

c otrzymane rezultaty.

6. Znale´z´c ca lke

,

nieoznaczona

,

R

sin x cos x sin(sin x)dx ,

a naste

,

pnie ca lke

,

oznaczona

,

R

π

4

π

6

sin x cos x sin(sin x)dx .