Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 22 stycznia 2005

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie wolno korzysta´c z tablic ani

notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia udowodnione

na zaje

,

ciach.

Rozwia

,

zanie ka˙zdego zadania nale˙zy napisa´c na oddzielnej kartce. Ka˙zda

,

kartke

,

nale˙zy podpisa´

c

swoim nazwiskiem, imieniem, numerem grupy ´

cwiczeniowej i numerem swego indeksu

1. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim

x→0

cos x−(1+ax+bx

2

)

x

2

= 0 , naste

,

pnie obliczy´c granice

,

lim

x→0

cos x−(1+ax+bx

2

)

x

4

.

2. Niech f (t) = c cos ωt

√

5

+ d sin ωt

√

5

− cos t dla t ∈ R . Obliczy´c f

0

(t) i f

00

(t) .

Znale´z´c wszystkie tr´ojki liczb ω, c, d ∈ R takie, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c

f

00

(t) + 5f (t) + 4 cos t = 0 .

3. Znale´z´c granice

lim

x→+∞

cos x

x

,

lim

x→+∞

ln x

x

oraz

lim

x→+∞

3

√

x + ln x −

3

p

x +

√

x cos x

.

4. Znale´z´c najmniejsza

,

warto´s´c funkcji x

2

+

125x

2

(x−1)

2

na p´o lprostej otwartej (1, +∞) lub wykaza´c, ˙ze ta

funkcja na p´o lprostej (1, ∞) najmniejszej warto´sci nie ma.

5. Znale´z´c ca lke

,

nieoznaczona

,

R

x

3

cos x

2

dx , a naste

,

pnie ca lke

,

oznaczona

,

niew la´sciwa

,

R

π

4

0

x

3

cos x

2

dx .

6. Niech f (x) = 9

3

q

3x

2

−2

2x

2

−1

dla x 6= ±

q

1
2

, wiadomo, ˙ze f

0

(x) = 6x(3x

2

− 2)

−2/3

(2x

2

− 1)

−4/3

,

f

00

(x) = −2(54x

4

− 23x

2

− 6)(3x

2

− 2)

−5/3

(2x

2

− 1)

−7/3

oraz ˙ze f

00

(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

x = ±

1

18

p

69 + 15

√

73 ≈ ±0.78 .

a. Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca;

przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest maleja

,

ca;

przedzia ly, na kt´orych ta funkcja jest wypuk la;

przedzia ly, na kt´orych jest wkle

,

s la.

b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej.

c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?

d. Znale´z´c punkty przegie

,

cia wykresu funkcji f .

e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja

,

cych sie

,

na jej

dziedzine

,

.

f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f

0

(pochodnej funkcji f ) w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow

sk ladaja

,

cych

sie

,

na jej dziedzine

,

.

Naszkicowa´

c wykres funkcji f uwzgle

,

dniaja

,

c otrzymane rezultaty.

Dodatek dla os´ob z niezaliczonym pierwszym kolokwium

7. Poda´c definicje

,

logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza

,

spe lnia´c liczby a, x , by

mo˙zna by lo zdefiniowa´c log

a

x ?

Obliczy´c:

log

5

1
5

,

log

10

1

√

10

,

log

4

2

log

9

√

3 .

8. Poda´c definicje

,

sinusa dowolnego ka

,

ta dodatniego. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c | sin t| ≥

1
2

i zaznaczy´c

odpowiednie fragmenty okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

inf. Informacje przer´o˙zne (po˙zyteczne lub zbe

,

dne):

sin

5π

6

=

1
2

;

sin

5π

4

= −

√

2

2

;

1 + x ≤ e

x

dla x ∈ R ;

sin x < x < tg x ,

gdy

π

2

> x > 0 ;

sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ;

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ;

cos

2

x + sin

2

x = 1 .