Klas´
owka poprawkowa, matematyka A, 22 stycznia 2005
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektro-
nicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie wolno korzysta´c z tablic ani
notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia udowodnione
na zaje
,
ciach.
Rozwia
,
zanie ka˙zdego zadania nale˙zy napisa´c na oddzielnej kartce. Ka˙zda
,
kartke
,
nale˙zy podpisa´
c
swoim nazwiskiem, imieniem, numerem grupy ´
cwiczeniowej i numerem swego indeksu
1. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim
x→0
cos x−(1+ax+bx
2
)
x
2
= 0 , naste
,
pnie obliczy´c granice
,
lim
x→0
cos x−(1+ax+bx
2
)
x
4
.
2. Niech f (t) = c cos ωt
√
5
+ d sin ωt
√
5
− cos t dla t ∈ R . Obliczy´c f
0
(t) i f
00
(t) .
Znale´z´c wszystkie tr´ojki liczb ω, c, d ∈ R takie, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c
f
00
(t) + 5f (t) + 4 cos t = 0 .
3. Znale´z´c granice
lim
x→+∞
cos x
x
,
lim
x→+∞
ln x
x
oraz
lim
x→+∞
3
√
x + ln x −
3
p
x +
√
x cos x
.
4. Znale´z´c najmniejsza
,
warto´s´c funkcji x
2
+
125x
2
(x−1)
2
na p´o lprostej otwartej (1, +∞) lub wykaza´c, ˙ze ta
funkcja na p´o lprostej (1, ∞) najmniejszej warto´sci nie ma.
5. Znale´z´c ca lke
,
nieoznaczona
,
R
x
3
cos x
2
dx , a naste
,
pnie ca lke
,
oznaczona
,
niew la´sciwa
,
R
π
4
0
x
3
cos x
2
dx .
6. Niech f (x) = 9
3
q
3x
2
−2
2x
2
−1
dla x 6= ±
q
1
2
, wiadomo, ˙ze f
0
(x) = 6x(3x
2
− 2)
−2/3
(2x
2
− 1)
−4/3
,
f
00
(x) = −2(54x
4
− 23x
2
− 6)(3x
2
− 2)
−5/3
(2x
2
− 1)
−7/3
oraz ˙ze f
00
(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
x = ±
1
18
p
69 + 15
√
73 ≈ ±0.78 .
a. Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna
,
ca;
przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest maleja
,
ca;
przedzia ly, na kt´orych ta funkcja jest wypuk la;
przedzia ly, na kt´orych jest wkle
,
s la.
b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znale´z´c punkty przegie
,
cia wykresu funkcji f .
e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja
,
cych sie
,
na jej
dziedzine
,
.
f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f
0
(pochodnej funkcji f ) w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow
sk ladaja
,
cych
sie
,
na jej dziedzine
,
.
Naszkicowa´
c wykres funkcji f uwzgle
,
dniaja
,
c otrzymane rezultaty.
Dodatek dla os´ob z niezaliczonym pierwszym kolokwium
7. Poda´c definicje
,
logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza
,
spe lnia´c liczby a, x , by
mo˙zna by lo zdefiniowa´c log
a
x ?
Obliczy´c:
log
5
1
5
,
log
10
1
√
10
,
log
4
2
log
9
√
3 .
8. Poda´c definicje
,
sinusa dowolnego ka
,
ta dodatniego. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c | sin t| ≥
1
2
i zaznaczy´c
odpowiednie fragmenty okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
inf. Informacje przer´o˙zne (po˙zyteczne lub zbe
,
dne):
sin
5π
6
=
1
2
;
sin
5π
4
= −
√
2
2
;
1 + x ≤ e
x
dla x ∈ R ;
sin x < x < tg x ,
gdy
π
2
> x > 0 ;
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ;
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ;
cos
2
x + sin
2
x = 1 .