Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 29 listopada 2005

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 90 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. (1.1) Zdefiniowa´c log

c

d pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o c i d . Rozwia

,

za´c r´ownanie:

log

x+6

2

+ log(9 − x

2

) = 1 +

1
3

log 8 .

(1.2) Wykaza´c, ˙ze log 2 <

3

10

.

2. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

log

3

2 sin(ϕ +

π

3

)

=

1
2

.

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tego r´ownania na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Poda´c definicje

,

sinusa dowolnego ka

,

ta dodatniego. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: sin t ≤

1
2

.

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tej nier´owno´sci na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

4. Rozwia

,

za´c r´ownanie: sin 3ψ = cos 4ψ .

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tego r´ownania na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

5. Niech a

n

=

15−1410n

2

+7n

4n

3

−11n+2005

, b

n

=

(n−1025n

2

)(11−n

11

)

n

13

+3n+3

i c

n

= 0,9 +

1

n

n

dla n = 1, 2, 3, . . . .

Wyja´sni´c, czy setny wyraz ka˙zdego z trzech cia

,

g´ow (a

n

), (b

n

), (c

n

) jest wie

,

kszy, r´owny czy

mniejszy ni˙z 1. A wyraz dwusetny?

Znale´z´c granice:

lim

n→∞

15−1410n

2

+7n

4n

3

−11n+2005

,

lim

n→∞

(n−1025n

2

)(11−n

11

)

n

13

+3n+3

,

lim

n→∞

0,9 +

1

n

n

.

6. Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow, kt´ore tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach x + 2y + 2z = 9 i

x + 4y − 8z = −3 . Niech A = (1, 1, 1) , B = (2, 3, 3) i D = (2, 5, −7) . Znale´z´c taki punkt

C , by czworoka

,

t ABCD by l r´ownoleg lobokiem o przeka

,

tnych AC i BD . Znale´z´c pole

r´ownoleg loboku ABCD i jego ´srodek symetrii. Znale´z´c d lugo´sci bok´ow tego r´ownoleg lo-

boku i sinus ka

,

ta mie

,

dzy nimi.

inf. Informacje przer´o˙zne (przydatne albo i nie):

sin

5π

6

=

1
2

;

sin

5π

4

= −

√

2

2

;

1 + x ≤ e

x

dla x ∈ R ;

sin x < x < tg x , gdy

π

2

> x > 0 .

2

7

= 128 , 2

10

= 1024 , 2

12

= 4096 , 2

20

= 1048576 , 3

4

= 81 , 3

8

= 6561 , 3

13

= 1594323 .