"!#
%$
&')(*%*,+
Na rozwia
-
zanie wszystkich zada´
n jest 90 minut
Rozwia
-
zania r´
o˙znych zada´
n maja
-
znale´z´c sie
-
na r´
o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza
-
cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
-
cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
-
dze´
n
elektronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza
-
by´
c schowane i wy la
-
czone!
Nie wolno korzysta´
c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
-
na twierdzenia,
kt´
ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1.
Rozwia
-
za´c r´
ownanie:
1
2
log(x + 11) + log(
5x−10)
6
= 1 .
2.
Zdefiniowa´c log
d
c
nie zapominaja
-
c o za lo˙zeniach o c i d .
Niech a = log
1000
2 ,
b
= log
10
14 . Wyrazi´c za pomoca
-
a
i b :
log
10
5 i log
10
35 . Wykaza´c, ˙ze log 2 <
12
19
log 3 .
3.
Rozwia
-
za´c r´
ownanie:
2 log
3
sin(ϕ −
π
4
) = −1 . Zilustrowa´c rozwia
-
zanie tego r´
ownania na
okre
-
gu x
2
+ y
2
= 1 .
4.
Poda´c definicje
-
kosinusa dowolnego ka
-
ta dodatniego. Rozwia
-
za´c nier´
owno´s´c: cos t ≥ −
1
2
.
Zilustrowa´c rozwia
-
zanie tej nier´
owno´sci na okre
-
gu x
2
+ y
2
= 1 .
5.
Rozwia
-
za´c r´
ownanie: sin 2ψ = cos 2ψ . Zilustrowa´c rozwia
-
zanie tego r´
ownania na okre
-
gu
x
2
+ y
2
= 1 .
6.
Znale´z´c naste
-
puja
-
ce granice:
lim
n→∞
15+7n−1410n
2
4n
2
−11n+2005
,
lim
n→∞
966n−1025n
2
n
13
−3n+3
,
lim
n→∞
0,99 +
1
n
n
.
W ka˙zdym z trzech przypadk´
ow odpowiedzie´c na pytanie: czy setny wyraz badanego cia
-
gu
jest wie
-
kszy, r´
owny czy mniejszy ni˙z 1? a wyraz dwusetny?
7.
Znale´z´c kosinus ka
-
ta nierozwartego utworzonego przez proste o r´
ownaniach 7x + y = 16
i 4x − 3y = 2 . Narysowa´c te proste w uk ladzie wsp´
o lrze
-
dnych kartezja´
nskich. Niech
A
= (2, 2) , B = (8, 3) i D = (6, −1) . Znale´z´c taki punkt C , by czworoka
-
t ABCD
by l r´
ownoleg lobokiem. Znale´z´c pole r´
ownoleg loboku ABCD i jego ´srodek symetrii.
8.
Znale´z´c kosinus ka
-
ta nierozwartego, kt´
ory tworza
-
p laszczyzny o r´
ownaniach y + z = 0 i
2x + 2y + z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´
ow ~v = [0, 1, 1] i ~
w
= [2, 2, 1] oraz ka
-
t
jaki tworzy wektor ~v × ~
w
z prosta
-
wsp´
olna
-
obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c
~
u ·
(~v × ~
w
) .
inf.
Informacje przer´
o˙zne (przydatne albo i nie):
sin
5π
6
=
1
2
;
sin
5π
4
= −
√
2
2
;
1 + x ≤ e
x
dla x ∈
.
;
sin x < x < tg x , gdy
π
2
> x >
0 .
2
7
= 128 , 2
9
= 1024 , 2
12
= 4096 , 2
20
= 1048576 , 3
4
= 81 , 3
8
= 6561 , 3
13
= 1594323 .