Całkowanie przez części czyli zło w najczystszej postaci.
Całkowanie przez części stosujemy w przypadku całkowania iloczynu dwóch funkcji
(podobno można też więcej, ale wzór się coraz bardziej komplikuje, a nam pewnie się to nie
przyda). Dodatkowo musimy znać funkcję pierwotną jednej z funkcji pod całkowej. Całka
2
taka ma postać: f (x)g (x)dx . Wówczas możemy tę całkę przekształcić do następującej
+"
postaci:
2 2
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)- f (x)g(x)dx
+" +"
Przykład 1: obliczyć następującą całkę: x ln xdx
+"
2
f (x) = ln x g (x) = x
1 1
2
f (x) = g(x) = x2
x 2
1 1 1
x ln xdx = (ln x)× x2 - × x2dx =
+" +"
2 x 2
Widzimy, że powstała nowa całka, którą możemy łatwo wyliczyć. Najpierw skracamy to co
pod całką:
1 1
= x2 ln x - xdx =
+"
2 2
1
jako stałą możemy śmiało wyrzucić przed całkę:
2
1 1
= x2 ln x - xdx =
+"
2 2
Ile wynosi całka z x to wiemy:
1 1 1 1 1
= x2 ln x - × x2 = x2 ln x - x2
2 2 2 2 4
x
Przykład 2: obliczyć całkę: cos xdx
+"e
2
f (x) = cos x g (x) = ex
2
f (x) = -sin x g(x) = ex
x
+"e cos xdx = ex cos x - +"- sin x × exdx =
Z nowopowstałej całki minusa możemy wyrzucić przed całkę:
x
= ex cos x + sin xdx =
+"e
To co nam powstaje ponownie całkujemy przez części:
2
f (x) = sin x g (x) = ex
2
f (x) = cos x g(x) = ex
x
= ex cos x + ex sin x - cos xdx =
+"e
Z wyrażenia przed całką ex możemy wyrzucić przed nawias:
x
= ex(cos x + sin x)- cos xdx
+"e
Zauważmy, że całka, która nam powstała to ta sama, od której zaczynaliśmy, a więc mamy
następujące równanie:
x x
+"e cos xdx = ex(cos x + sin x)- +"e cos xdx
Teraz wystarczy przenieść całkę z prawej strony na lewą stronę równania:
x
2 cos xdx = ex(cos x + sin x)
+"e
Dzielimy obustronnie przez dwa i mamy rozwiÄ…zanie:
1
x
+"e cos xdx = 2 ex(cos x + sin x)
Mam nadzieję, że wytłumaczyłem to w miarę zrozumiale.