Fale materii
FALE MATERII
Hipoteza de Broglie a (1924, Nagroda Nobla w 1929)
W 1924 r. de Broglie zapostulował, że skoro światło ma
dwoistą, falowo-cząstkową, naturę, to także materia może
mieć taką naturę.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu światło o energii E ma pęd p = E/c
h
pf =

Hipoteza długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który
stosuje się do światła
h
 =
p
Wyrażenie to wiąże pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii
1
Przykład: Jaka długość fal materii odpowiada  masywnym obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaka  lekkim elektronom przyspieszonych
napięciem 100 V?
h 6.6 Å"10-34 Js
 = = = 6.6 Å"10-35 m
Dla piÅ‚ki p = mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
p 10 kgm/s
 E" 0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu) doświadczenia prowadzone na takim obiekcie
nie pozwalają na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe.
Elektrony przyspieszone napięciem
2Ek 2Å"1.6Å"10-17J
100 V uzyskujÄ… energiÄ™ kinetycznÄ… v = = = 5.9Å"106m s
m 9.1Å"10-31kg
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
h h 6.6Å"10-34Js
 = = = =1.2Å"10-10m = 0.12 nm
p mv 9.1Å"10-31 Å"5.9Å"106kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbadać falową naturę materii? Może zbadać obraz po przejściu przez szczeliny ?
obraz dla czÄ…stek
obraz dla fal
2
PRZYPOMNIENIE:
Dyfrakcja promieni Roentgena (promienie X- fale elektromagnetyczne)
Kryształ   naturalna siatka dyfrakcyjna Dyfrakcja Lauego
prawo Bragga
2d sin¸ = m,
m = 1, 2, 3,.....(maksima)
Pomiar dyfrakcja promieni X jest
doświadczalną metodą badania
rozmieszczenia atomów w
5
kryształach.
Dyfrakcja elektronów (elektrony to cząstki)
Doświadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane są napięciem U
Wiązka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym kÄ…tem Õ
Rejestrowane jest natężenie wiązki
ugiętej na krysztale dla różnego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla Õ = 50° przy U = 54 V.
2d sin¸ = 
¸ = 90° - Õ /2 = 65 °
dla niklu (d = 0.091 nm)  = 0.165 nm
długość fali de Broglie a
h h
 = = = 0.165 nm
p= 2meEk = 2meeU
p
2eUme
3
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nałożenie warunków
fizycznych, analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej
na obu końcach.
Mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bieżącą)
w strunie mogą występować tylko pewne długości fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacją długości fal wynikającą z
ograniczeń nałożonych na falę.
Orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a
h
2Ä„ r = n   =
p
h
h
2Ä„ r = n L = pr = n n = 1, 2,.....
p
2Ä„
Warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu jest konsekwencją przyjęcia założenia,
że elektron jest reprezentowany przez falę materii.
Postulat de Broglie'a wiąże elektron ze stojąca falą materii.
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wiąże elektron ze stojąca falą materii ale....
" nie daje informacji o sposobie rozchodzenia siÄ™ fal materii,
" nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja opisująca fale materii, jak ją
wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schrödinger (Nagroda Nobla 1933)
W 1926 roku E. Schrödinger sformuÅ‚owaÅ‚ mechanikÄ™ falowÄ…
(jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem
falowych własności materii  uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
pakiet falowy interferencja
wielu fal o różnych pędach
(analogia do dudnień)
4
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schrödingera (1926)
2 2 rozwiÄ…zanie :
" y 1 " y
" Fale mechaniczne np. w strunie sÄ… opisywane przez
= ( kx -É t )
równania mechaniki Newtona (równanie falowe
" x2 v2 " t2 y = y0 ei v = É / k
d'Alamberta):
2 2
2 2
" B 1 " B
" E 1 " E
=
" Fale EM są opisywane przez równania Maxwella =
i
" x2 c2 " t2
" x2 c2 " t2
(równanie falowe d'Alamberta):
rozwiazania : Ey = E0 y ei(kx-É t), Bz = B0z ei(kx-É t); c = É / k
" Fale materii sÄ… opisywane przez równanie Schrödingera:
2 2
! " ¨ ( x , t ) " ¨ ( x , t ) h
- + U ( x )¨ ( x , t ) = i! ! =
2
2 m " x " t 2 Ä„
dla stanu stacjonarnego U (x) jej energią potencjalną zależną tylko od jej położenia
(dla uproszczenia rozważamy równanie jednowymiarowe, zależne od x)
rozwiÄ…zanie - fala materii:
E
É =
¨ (x,t) =È (x)Å"e-iÉt
!
modulacja
zmienność
przestrzenna
w czasie
Równanie Schrödingera (1926)
równanie w jednym wymiarze:
Rozwiązanie (podobnie jak dla linii długiej):
!2 "2¨ (x,t) "¨ (x,t) E
- +U (x)¨ (x,t) = i!
¨ (x,t) =È (x) Å"e-iÉt gdzie : É =
2m "x2 "t
!
!2 "2È (x)
- +U (x)È (x) = EÈ (x)
2m "x2
È (x) = ?
E jest energią całkowitą cząstki, U (x) jej energią potencjalną zależną od jej położenia
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera polega na znalezieniu funkcji falowej È(x) i wartoÅ›ci
energii cząstki E przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną
U (x) .
ostateczne rozwiÄ…zanie:
¨ (x,t) =È (x)Å"e-iÉ t
5
Przykład 1: elektron w " studni potencjału spełnia
równanie Schrödingera dla U=0:
!2 "2È (x)
x < 0
- = EÈ (x)
2m "x2
x > L
U (x) "
2Ä„
0 d" x d" L È (x) = Asin(kx) gdzie : k =

U (x) = 0
Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia
Analogia do struny umocowanej
czÄ…stki = 0 È (0) = 0 i È (L) = 0
na obu końcach.
 2L nĄ
długość fali jest skwantowana
L = n Ò!  = lub k = ; n = 1, 2, ...
2 n L
równanie fali stojącej:
spełnia równanie
2
nĄx
Ä„ !2
Schrödingera
È (x) = Asin , n = 1, 2, ......
E = n2 , n = 1, 2, ......
L dla energii:
2mL2
lub inaczej z relacji de Broglie a:
2
p2 (h / )2 Ä„ !2
Dla cząstki związanej występuje
E = = = n2 , n = 1, 2, ......
kwantyzacja energii !!
2m 2m 2mL2
rozwiÄ…zanie równania Schrödingera to funkcja falowa fali stojacej  czÄ…stka jest zwiÄ…zana
(uwięziona) w studni potencjału ! :
Interpretacja M. Borna: wielkość
h2
E = n2 , n = 1, 2, ......
IÈ I2 w dowolnym punkcie
8mL2
przedstawia tzw. gęstość
prawdopodobieństwa, że cząstka
znajdzie się w pobliżu tego
punktu. Prawdopodobieństwo, że
znajdziemy czÄ…stkÄ™ w przedziale
[x, x+dx] wynosi IÈ (x)I2dx.
nĄx
È (x) = Asin
L
Nagroda Nobla 1954
2 nĄx
È (x) = A2 sin2ëÅ‚ öÅ‚,
ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
n =1, 2, ......
UWAGA: Opisując zachowanie cząstki funkcją falową (spełniającą
równania Schrödingera) wyjaÅ›niliÅ›my przyczynÄ™ kwantyzacji energii !!
6
Przykład 2: elektron w skończonej studni potencjału
!2 "2È (x)
- +U (x)È (x) = EÈ (x)
2m "x2
Elektronowe fale materii
przenikajÄ… do obszaru o U (x) = U0
niedostępnego według klasycznej
mechaniki Newtona
Przykład 3: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału
E < U0 !!!
klasycznie elektron odbije siÄ™ od bariery
kwantowo istnieje prawdopodobieństwo,
że elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barierÄ™
dla x < 0 obserwujemy falę stojącą powstałą
w wyniku nałożenia się elektronowej fali
padajÄ…cej i odbitej od bariery
Elektron może przejść przez  ścianę mimo, że
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
7
Atomy - równanie Schrödingera
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera dla atomu wodoru
Szukamy funkcji falowych speÅ‚niajÄ…cych równanie Schrödingera dla elektronu zwiÄ…zanego w polu
elektrycznym jÄ…dra. Energia potencjalna dla takiego elekronu dana jest wzorem:
e2
U (r) = -
4Ä„µ0r
Orbitale można traktować jako rozkłady ładunku elektronu wokół jądra.
n=1, l=0, m=0 n=2, l=1, m=0 n=2, l=1, m=1
n=1, l=0, m=0 n=2, l=0, m=0
n=4, l=2, m=2
n=3, l=2, m=1 n=3, l=2, m=2
n=2, l=1, m=0
8
Sens fizyczny liczb kwantowych
Energia elektronu
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera dla atomu wodoru dostarcza oprócz funkcji
falowych również wartości energii elektronu związanego w atomie.
me4 E1
En = - = n = 1, 2,.....
2
8µ0 h2n2 n2
n  główna liczba kwantowa
Wartości zgodne z doświadczalniem
weryfikacja teorii Schrödingera.
Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego
obraz struktury atomu podstawy kwantowego
opisu atomów wieloelektronowych, cząsteczek oraz
jÄ…der atomowych.
Opis falowy mikroświata jest już dzisiaj dobrze
ugruntowanÄ… teoriÄ….
Orbitalny moment pędu
L = r × mev = r ×p
Mechanika klasyczna
" Dla elektronu krążącego wokół jądra można dokładnie
wyznaczyć długość L oraz wartość jednej jego składowej
np. Lz .
" Pozostałe składowe Lx i Ly mają wartości nieokreślone.
" Wartości L oraz Lz są skwantowane
L = ! l(l +1) , Lz = !ml
l = 0, 1, 2, ..(n-1); ml = 0, Ä…1, Ä…2, Ä…3, ...., Ä… l
Wartość orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie i jego rzut na oś z przyjmują
ściśle określone wartości zależne od liczb kwantowych:
l (pobocznej liczby kwantowej) i ml (magnetycznej liczby kwantowej).
9
W atomie srebra na zewnętrznej powłoce znajduje
Spin elektronu
się pojedynczy elektron, którego spin nie jest
"równoważony" przez elektron ze spinem
przeciwnym.
Doświadczenie Sterna-Gerlacha
Elektrony posiadają wewnętrzny moment pędu spinowy moment pędu (spin).
Spin jest skwantowany przestrzennie dla danego stanu orbitalnego są możliwe
dwa kierunki spinu rzut wektora spinu na oś z może przyjmować tylko dwie
wartości magnetyczna spinowa liczba kwantowa ms , która może przyjmować
dwie wartoÅ›ci ms = Ä… ½.
Moment pędu atomu jest sumą momentów pędów orbitalnych i spinów
wszystkich elektronów w atomie i jest też skwantowany przestrzennie.
Sens fizyczny liczb kwantowych - podsumowanie
" Funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb kwantowych n, l,
ml otrzymanych z równania Schroedingera oraz liczby ms
wynikającej z efektów relatywistycznych.
" Główna liczba kwantową n jest związana z kwantowaniem energii
całkowitej elektronu w atomie wodoru.
" Liczby kwantowe l, ml opisują wartość i rzut wektora momentu
pędu elektronu (obie wielkości są skwantowane) .
" Spinowa liczba kwantowa ms , która może przyjmować dwie
wartoÅ›ci ms = Ä… ½ opisuje rzut wektora spinu na oÅ› z.
10
Atom wieloelektronowy
Mendelejew (1869 r.) większość własności pierwiastków chemicznych jest
okresową funkcją liczby atomowej Z (liczba elektronów w atomie) układ
okresowy pierwiastków.
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się jeżeli zebrać je w
grupy zawierające 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.
Zasada Pauliego - nagroda Nobla 1945
W 1925 r. Pauli podał zasadę (nazywaną zakazem
Pauliego), dzięki której automatycznie są generowane
grupy o liczebności 2, 8, 18, 32.
Wolfgang Pauli
W atomie wieloelektronowym w tym samym stanie kwantowym, może znajdować
się co najwyżej jeden elektron.
Stan kwantowy charakteryzuje zespół czterech liczb kwantowych:
n = 1, 2, 3, .....
l = 0,1, 2, ...... , n -1
ml = 0, Ä…1, Ä… 2, ..... , Ä… (l -1), Ä… l
1
ms = Ä…
2
W atomie wieloelektronowym elektrony muszą się różnić przynajmniej jedną
liczbÄ… kwantowÄ….
11
Przykład: Na orbicie pierwszej n = 1 mogą znajdować się tylko dwa elektrony bo
dla n = 1 odpowiednie liczby kwantowe wynoszÄ…
(n, l, ml, ms) = (1,0,0,Ä… ½)
dla n = 2 (n, l, ml, ms) = (2,0,0,Ä… ½)
(2,1,1,Ä… ½), (2,1,0,Ä… ½), (2,1,-1,Ä… ½)
w stanie n = 2 może być 8 elektronów
dla n = 3
(n, l, ml, ms)= (3,0,0,Ä… ½)
(3,1,1,Ä… ½), (3,1,0,Ä… ½), (3,1,-1,Ä… ½)
(3,2,2,Ä… ½), (3,2,1,Ä… ½), (3,2,0,Ä… ½), (3,2,-1,Ä… ½), (3,2,-2,Ä… ½)
w stanie n = 3 może być 18 elektronów
Zasada (zakaz) Pauliego obowiązuje dla każdego układu zawierającego elektrony,
nie tylko dla elektronów w atomach.
Układ okresowy pierwiastków
" Korzystamy z zasady Pauliego
" Konwencja: numer powłoki (n) piszemy cyfrą, natomiast podpowłoki (orbitale):
l = 0, 1, 2, 3, oznaczmy literami s, p, d, f itd.
" Wskaz
nik górny przy symbolu podpowłoki liczba znajdujących się w niej
elektronów, wskaz
nik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka wartość Z.
Wodór (Z = 1) 1H : 1s1
Od boru (Z = 5) do neonu (Z = 10)
Hel (Z = 2) 2He : 1s2
bor (Z = 5) 5B : 1s22s22p1
węgiel (Z = 6) 6C : 1s22s22p2
Lit (Z = 3) 3Li : 1s22s1
azot (Z = 7) 7N : 1s22s22p3
tlen (Z = 8) 8O : 1s22s22p4
Beryl (Z = 4) 4Be : 1s22s2
fluor (Z = 9) 9F : 1s22s22p5
neon (Z = 10) 10Ne : 1s22s22p6
12
" W obrębie jednego okresu powłoka walencyjna jest zajmowana przez kolejne elektrony. Po zapełnieniu
całej powłoki następuje przejście do nowego okresu i powstanie kolejnej powłoki elektronowej.
" Można więc powiedzieć, że atomy występujące w tych samych okresach mają taką samą liczbę powłok
elektronowych, a występujące w tych samych grupach mają taką samą liczbę elektronów na powłokach
walencyjnych (tzn. zewnętrznych).
Różnice energii pomiędzy
niektórymi podpowłokami są tak
małe, że może zostać
odwrócona kolejność ich
zapełniania.
13
Grupy zazwyczaj wypisuje się w kolumnach, a okresy w rzędach. Grupy dzieli się
na grupy główne i grupy poboczne.
W grupach głównych (A) elektrony z powłoki walencyjnej zajmują orbitale s i p (na
powłokach tego typu mieści się dokładnie 8 elektronów)
W grupach pobocznych (B) elektrony z powłoki walencyjnej zajmują orbitale s i d, a
w grupie lantanowców i aktynowców orbitale: s, d i f.
Układ okresowy dzielimy na bloki: s i p (grupy główne), d (grupy poboczne) oraz f
(lantanowce i aktynowce).
14
Promieniowanie atomów wieloelektronowych - przykłady
1) Promienie X
Elektrony przyspieszane przez wysokie napięcie rzędu 104 V uderzają w anodę (tarczę).
W anodzie elektrony są hamowane aż do ich całkowitego zatrzymania. Zgodnie z fizyką
klasyczną, występuje emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ciągłym.
hc
'
hv = = Ek - Ek

Gdy elektron traci całą energię w jednym procesie zderzenia
Ek' = 0
hc hc
= Ek
Ek = eU
min =
min
eU
min zależy jedynie od napięcia U, a nie zależy np. od materiału z jakiego zrobiono tarczę.



Widmo rentgenowskie
" Istnieje dobrze określona minimalna długości fali min widma ciągłego.
" Wartość min zależy jedynie od napięcia U i jest taka sama dla wszystkich
materiałów, z jakich wykonana jest anoda.
" Obserwuje się charakterystyczne linie widmowe (maksima natężenia)
występujące dla ściśle określonych długości fal.
" Zaobserwowano, że widmo liniowe zależy od materiału (pierwiastka) anody.
15
Na gruncie fizyki kwantowej można wyjaśnić powstawanie
widma liniowego (charakterystycznego).
" Elektron przelatując przez atom anody może wybić
elektrony z różnych powłok atomowych.
" Na opróżnione miejsce (po wybitym elektronie) może
przejść elektron z wyższych powłok emisja fotonu o
ściśle określonej energii.
" Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu
podstawowego składa się z kilku kroków przy czym
każdemu towarzyszy emisja fotonu.
W ten sposób powstaje widmo liniowe - charakterystyczne
dla atomów pierwiastka anody.
Prawo Moseleya
ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
v = (Z - a)2 RcìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
k j2
íÅ‚ Å‚Å‚
me4 | E0 |
R = = | E0 |=13.6eV
2
8µ0 h3c h
- stała Rydberga
a- stała ekranowania
(zależy od serii tj. K, L, M...)
2) Lasery
Wykorzystanie zjawisk kwantowych w praktyce: kwantowy generator światła - laser.
Laser - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Światło laserowe
" monochromatyczność i mała szerokość linii emisyjnej duża moc w wybranym
obszarze widma,
" spolaryzowanie wiązki światła,
" spójność wiązki w czasie i przestrzeni,
" bardzo małą rozbieżność
16
Emisja spontaniczna i wymuszona
hv = Ex - E0
emisja wymuszona
przyspieszenie emisji energii
przez oświetlenie atomów
wzbudzonych odpowiednim
promieniowaniem.
W emisji spontanicznej mamy do czynienia z fotonami, których fazy
i kierunki są rozłożone przypadkowo. Natomiast foton wysyłany w
procesie emisji wymuszonej ma takÄ… samÄ… fazÄ™ oraz taki sam kierunek
ruchu jak foton wymuszajÄ…cy.
Rozkład Boltzmana
E określa ile atomów jest w stanie podstawowym (stanie o
-
kT
najniższej energii), a ile w stanach wzbudzonych (o wyższych
N(E) = Ae
energiach) w danej temperaturze
W danej temperaturze liczba atomów w stanie podstawowym jest większa niż
liczba atomów w stanach o wyższej energii. W takim układzie atomów (cząsteczek)
obserwujemy absorpcjÄ™ promieniowania, emisja wymuszona jest znikoma.
Żeby w układzie przeważała emisja wymuszona, to w wyższym stanie
energetycznym powinno znajdować się więcej atomów (cząsteczek) niż w stanie
niższym. Mówimy, że rozkład musi nastąpić inwersja obsadzeń.
17
Inwersję obsadzeń mozna wywołać na kilka sposobów min. za pomocą zderzeń
z innymi atomami lub za pomocÄ… tzw. pompowania optycznego czyli
wzbudzania atomów na wyższe poziomy energetyczne przez ich oświetlanie.
Przepływ prądu przez mieszaninę
He  Ne zderzenia elektronów
z atomami He wzbudzenia He
do stanu E3
Zderzenia He (E3)  Ne wzbudzenia
Ne do stanu E2
Inwersja obsadzeń stan E2
obsadzony liczniej niż stan E1
Przejście na poziom E1 zachodzi
wskutek emisji wymuszonej
Inny sposób  odwrócenia rozkładu boltzmanowskiego jest wykorzystany w
laserze rubinowym.
Laser zbudowany na ciele
stałym składa się z pręta
wykonanego
Rubin
z kryształu Al2O3, w którym
jonami czynnymi sÄ… atomy
domieszki np. atomy chromu.
Promieniowanie "pompujące" jest wytwarzane przez lampę błyskową umieszczoną
wokół kryształu. Absorbując światło z lampy błyskowej atomy chromu przechodzą
do stanu wzbudzonego.
Obecnie działają zarówno lasery impulsowe jak i lasery o pracy ciągłej.
Ośrodkami czynnymi w laserach są gazy, ciała stałe i ciecze, a zakres długości fal
jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny aż do nadfioletu.
18
DODATEK: Jon wodoropodobny
Pojedynczy elektron porusza siÄ™ po orbitach
kołowych o promieniu r pod wpływem siły
Coulomba. W jądrze jest Z protonów.
1 Ze2 v2
1 Ze2
= m
Ek = mv2 =
4Ä„µ0 r2 r
2 8Ä„µ0r
Ze2
E = Ek + Ep = -
8Ä„µ0r
h
Ze2
L = mvr = n , n =1, 2,.....
Ep = -
2Ä„
energia
4Ä„µ0r
całkowita < 0
Ze2
v =
4Ä„µ0mr
2
Z me4 1 E1
h2µ0 1 2
En = - = Z
rn = n2 = n2 r1
2
h
8µ0 h2 n2 n2
ZÄ„ me2 Z
v = n
2Ä„mr
E1 = -13.6 eV
n =1, 2,.... n =1, 2,....
wartości energii dozwolonych stanów
stacjonarnych
E1
2
1
rn = n2 r1 En = Z n2
Z
19