Fale materii i równanie
Schrodingera
FALE MATERII
Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)
W 1924 r. de Broglie zapostulował, \
e skoro światło ma
dwoistÄ…, falowo-czÄ…stkowÄ…, naturÄ™, to tak\
e materia mo\
e
mieć taką naturę.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu światło o energii E ma pęd p = E/c
E hv hc  h
p = = = =
f
c c c 
Hipoteza długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który
stosuje się do światła
h
 =
p
Wyra\
enie to wiÄ…\
e pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii
1
Przykład: Jaka długość fal materii odpowiada  masywnym obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaka  lekkim elektronom przyspieszonych
napięciem 100 V?
h 6.6 Å"10-34 Js
 = = = 6.6 Å"10-35 m
Dla piÅ‚ki p = mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
p 10 kgm/s
 E" 0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu) doświadczenia prowadzone na takim obiekcie
nie pozwalają na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe.
Elektrony przyspieszone napięciem
2Ek 2Å"1.6Å"10-17J
100 V uzyskujÄ… energiÄ™ kinetycznÄ… v = = = 5.9Å"106m s
m 9.1Å"10-31kg
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
h h 6.6Å"10-34Js
 = = = =1.2Å"10-10m = 0.12 nm
p mv 9.1Å"10-31 Å"5.9Å"106kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbadać falową naturę materii? Mo\
e zbadać obraz po przejściu przez szczeliny ?
obraz dla czÄ…stek
obraz dla fal
2
Dyfrakcja promieniowania X (fale elektromagnetyczne)
Kryształ   naturalna siatka dyfrakcyjna
X ~ 0.1- 0.2 nm
Dyfrakcja Lauego
2d sin¸ = m, m = 1, 2, 3,.....(maksima)
prawo Bragga
Dyfrakcja promieni X jest doświadczalną metodą badania rozmieszczenia atomów w
kryształach.
e = 0.12 nm
Elektrony przyspieszone napięciem 100 V
Czy mo\
na więc zbadać falową naturę materii próbując uzyskać obraz dyfrakcyjny dla wiązki
elektronów padających na kryształ analogicznie jak dla promieni Roentgena?
Doświadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane są napięciem U
Wiązka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym kÄ…tem Õ
Rejestrowane jest natÄ™\
enie wiÄ…zki
ugiętej na krysztale dla ró\
nego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla Õ = 50°przy U = 54 V.
¸ = 90° - Õ /2 2d sin¸ = 
dla niklu (d = 0.091 nm)  = 0.165 nm
długość fali de Broglie a
2Ek 2eU
h h
v = =
 = = = 0.165 nm
m m
p mv
3
Dyfrakcja czÄ…stek (np.
elektronów lub neutronów)
2d sin¸ = 
3500
3500
3000
promieniowanie X 3000 neutrony
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
40 50 60 70 80 90 100 110 120 0
40 50 60 70 80 90 100 110 120
2theta
2theta
Zarówno cząstki naładowane jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal.
Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną u\
ywanÄ… do
badania struktury ciał stałych.
Zarówno dla materii, jak i dla światła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich
charakteru.
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nało\
enie warunków
fizycznych,
analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu
końcach.
Mamy wtedy do czynienia z falÄ™ stojÄ…cÄ… (a nie bie\
Ä…cÄ…)
w strunie mogą występować tylko pewne długości fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacją długości fal wynikającą z
ograniczeń nało\
onych na falÄ™.
Orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a
h
2Ä„ r = n   =
p
h
h
2Ä„ r = n L = pr = n n = 1, 2,.....
p
2Ä„
Warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu jest konsekwencją przyjęcia zało\
enia,
\
e elektron jest reprezentowany przez falÄ™ materii.
Postulat de Broglie'a wiÄ…\
e elektron ze stojÄ…ca falÄ… materii.
4
intensity
intensity
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wiÄ…\
e elektron ze stojÄ…ca falÄ… materii ale....
" nie daje informacji o sposobie rozchodzenia siÄ™ fal materii,
" nie odpowiadał na pytanie jaką postać mo\
e mieć funkcja opisująca fale materii, jak ją
wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schrödinger (Nagroda Nobla 1933)
W 1926 roku E. Schrödinger sformuÅ‚owaÅ‚ mechanikÄ™ falowÄ…
(jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem
falowych własności materii  uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
" Elektron w stanie stacjonarnym w atomie mo\
e być opisany za pomocą stojących fal
materii, przy czym podstawÄ™ stanowi zwiÄ…zek de Broglie'a p = h/ wiÄ…\
ący własności
czÄ…steczkowe z falowymi.
" Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym.
" Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale
materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a
zachowaniem funkcji falowej opisujÄ…cej czÄ…stki.
Funkcja falowa
Fale opisujemy za pomocą funkcji przedstawiających wybraną wielkość fizyczną, która zmienia
się w taki falowy sposób np.:
" fala mechaniczna w strunie funkcja opisujÄ…ca poprzeczne wychylenie struny,
" fala EM funkcja opisujÄ…ca wektor natÄ™\
enia pola elektrycznego E (lub B),
" do opisu własności falowych cząstek będziemy posługiwać się funkcją reprezentującą falę de
Broglie'a, tak zwanÄ… funkcjÄ… falowÄ… ¨ (zale\
ną od czasu i współrzędnych przestrzennych):
¨(x, y, z,t) =È (x, y, z)Å"e-iÉt
Interpretacja M. Borna: wielkość IÈ I2 w dowolnym punkcie przedstawia
miarę prawdopodobieństwa (na jednostkę objętości), \
e czÄ…stka
znajdzie siÄ™ w pobli\
u tego punktu to znaczy w jakimś obszarze wokół
tego punktu np. w przedziale x, x+dx.
Nagroda Nobla 1954
IÈ I2 jest wiÄ™c gÄ™stoÅ›ciÄ… prawdopodobieÅ„stwa. PrawdopodobieÅ„stwo, \
e znajdziemy czÄ…stkÄ™ w
przedziale [x, x+dx] wynosi IÈ(x)I2dx.
Ta interpretacja funkcji È daje statystyczny zwiÄ…zek pomiÄ™dzy falÄ… i zwiÄ…zanÄ… z niÄ…
cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.
Poniewa\
funkcja falowa mo\
e przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat
moduÅ‚u funkcji falowej. IÈ I2 jest zawsze dodatnia i rzeczywista. Znaczenie fizyczne ma wiÄ™c
IÈ I2 , a nie È
5
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schrödingera (1926)
2 2
" y 1 " y
" Fale mechaniczne np. w strunie są opisywane przez równania =
" x2 v2 " t2
mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):
2 2
2 2
" E 1 " E
" B 1 " B
" Fale EM są opisywane przez równania Maxwella (równanie
=
= i
falowe d'Alamberta):
" x2 c2 " t2 " x2 c2 " t2
" Fale materii sÄ… opisywane przez równanie Schrödingera:
rozwiÄ…zanie:
h "2¨(x,t) "¨(x,t) h
- +U (x)¨(x,t) =h h=
i
¨(x,t) =È (x)Å"e-iÉt
2m "x2 "t 2Ä„
modulacja
zmienność
przestrzenna
w czasie
2
E
d È (x) 2m
oraz e-iÉt gdzie : É =
= - [E -U (x)]È (x)
h
d x2 h2
E jest energią całkowitą cząstki, U (x) jej energią potencjalną zale\
ną od jej poło\
enia
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera polega na znalezieniu funkcji falowej È(x) i wartoÅ›ci
energii cząstki E przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną
U (x) .
część przestrzenna:
Przykład: swobodna cząstka
d2È(x) 2m
= - [E-U(x)]È(x)
dx2 h2
U (x) = 0 czÄ…stka
mv2 p2
d2È
2
E = Ek = =
swobodna = -k È
2 2m
dx2
d2È 2m
È = AeÄ…ikx
= - EÈ
dx2 h2
h
p 2Ä„ 2Ä„p
2mE
 =
k = =
k =
p
h  h
h
otrzymaliśmy relację
de Broglie
z części zale\
nej od czasu:
¨(x,t) =È (x) Å"e-iÉt
E
2Ä„E 2Ä„E
É =
2Ä„½ = 2Ä„½ = E = h½
h
h h
otrzymaliśmy relację analog. do wzoru
Einsteina dla światła
Brak kwantyzacji  dowolne wartości energii i pędu!
Gęstość prawdopodobieństwa:
2
È = Aeikx Å" Ae-ikx = A2 = const.
jednakowe prawdopodobieństwo znalezienia
czÄ…stki w ka\
dym punkcie toru ruchu
6
Napiszmy równanie z niezerowym stałym potencjałem:
d2È(x) 2m
h2 d2È(x)
= - [E-U]È(x)
- +UÈ(x) = EÈ(x)
dx2 h2
2m dx2
Ale:
2
d È(x)
= -k2 È(x)
h2k2
d x2
+U = E
2m
p2
+U = E Zasada zachowania energii !!
2m
Ogólnie:
h2 d2È(x)
- +U(x)È(x) = EÈ(x)
2m dx2
Energia kinetyczna Energia potencjalna Energia całkowita
Przykład: elektron w " studni potencjału
x < 0
U (x) "
x > L
0 d" x d" L U (x) = 0
Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia
Analogia do struny umocowanej
czÄ…stki = 0 È (0) = 0 i È (L) = 0
na obu końcach.
 2L
długość fali jest skwantowana
L = n lub  = n = 1, 2, ...
2 n
nĄx
È (x) = Asin , n = 1, 2, ......
L
7
2 nĄx
È (x) = A2 sin2ëÅ‚ öÅ‚, n = 1, 2, ......
ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
 2L h
L = n lub  = n = 1, 2, ...  =
2 n p
nh
p =
2L
mv2 p2
E = Ek = =
2 2m
h2
E = n2 , n = 1, 2, ......
8mL2
kwantyzacja energii !!
Przykład: elektron w skończonej studni potencjału
d2È(x) 2m
= - [E-U(x)]È(x)
dx2 h2
Elektronowe fale materii
przenikajÄ… do obszaru o U (x) = U0
niedostępnego według klasycznej
mechaniki Newtona
8
Przykład: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału
E < U0 !!!
klasycznie elektron odbije siÄ™ od bariery
kwantowo istnieje prawdopodobieństwo,
\
e elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barierÄ™
dla x < 0 obserwujemy falę stojącą powstałą
w wyniku nało\
enia siÄ™ elektronowej fali
padajÄ…cej i odbitej od bariery
Elektron mo\
e przejść przez  ścianę mimo, \
e
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
Zasada nieoznaczoności Heisenberga (Nagroda Nobla 1954)
JednÄ… z konsekwencji falowo-czÄ…steczkowej natury materii jest
to, \
e jedyne czego mo\
emy dowiedzieć się o ruchu elektronów
to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni.
Czy mo\
emy "dokładnie" opisać ruch elektronu tzn. równocześnie określić jego poło\
enie
i prędkość? Negatywna odpowiedz
jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.
GÅ‚osi ona, \
e iloczyn nieokreśloności pędu cząstki i nieokreśloności jej poło\
enia w
danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka
"px"x e"h/ 2 È = AeÄ…ikx
pęd ściśle określony
"py"y e"h/ 2
czÄ…stka niezlokalizowana
"pz"z e"h/ 2
p = kh
im dokładniej mierzymy pęd,
pakiet falowy czÄ…stka
np. zmniejszamy "px, tym
È
È
È
È
zlokalizowana czyli pęd
bardziej rośnie
rozmyty interferencja
nieoznaczoność poło\
enia
wielu fal o ró\
nych pędach
"x.
x
9
przykład: dyfrakcja na szczelinie
h
"px e" p sin¸min = sin¸min

"x sin¸min = 
"x Å" "px e" h e"h/ 2
Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie
tego pomiaru.
Je\
eli cząstka posiada energię E, to dokładność jej wyznaczenia "E
"E"t e"h/ 2
zale\
y od czasu pomiaru "t zgodnie z relacjÄ…
Im dłu\
ej cząstka jest w stanie o energii E tym dokładniej mo\
na tę energię wyznaczyć (np.
w stanie stacjonarnym energia jest stała w czasie)
Ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami
aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury czÄ…stek.
10