Fale materii i równanie
Schrodingera
FALE MATERII
Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)
W 1924 r. de Broglie zapostulował, \
e skoro światło ma
dwoistą, falowo-cząstkową, naturę, to tak\
e materia mo\
e
mieć taką naturę.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu światło o energii E ma pęd p = E/c
E hv hc  h
p = = = =
f
c c c 
Hipoteza długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który
stosuje się do światła
h
 =
p
Wyra\
enie to wią\
e pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii
1
Przykład: Jaka długość fal materii odpowiada  masywnym obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaka  lekkim elektronom przyspieszonych
napięciem 100 V?
h 6.6 �"10-34 Js
 = = = 6.6 �"10-35 m
Dla piłki p = mv = 1 kg�10 m/s = 10 kg m/s
p 10 kgm/s
 E" 0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu) doświadczenia prowadzone na takim obiekcie
nie pozwalają na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe.
Elektrony przyspieszone napięciem
2Ek 2�"1.6�"10-17J
100 V uzyskują energię kinetyczną v = = = 5.9�"106m s
m 9.1�"10-31kg
Ek = eU = 100 eV = 1.6�10-17 J
h h 6.6�"10-34Js
 = = = =1.2�"10-10m = 0.12 nm
p mv 9.1�"10-31 �"5.9�"106kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbadać falową naturę materii? Mo\
e zbadać obraz po przejściu przez szczeliny ?
obraz dla cząstek
obraz dla fal
2
Dyfrakcja promieniowania X (fale elektromagnetyczne)
Kryształ   naturalna siatka dyfrakcyjna
X ~ 0.1- 0.2 nm
Dyfrakcja Lauego
2d sin� = m, m = 1, 2, 3,.....(maksima)
prawo Bragga
Dyfrakcja promieni X jest doświadczalną metodą badania rozmieszczenia atomów w
kryształach.
e = 0.12 nm
Elektrony przyspieszone napięciem 100 V
Czy mo\
na więc zbadać falową naturę materii próbując uzyskać obraz dyfrakcyjny dla wiązki
elektronów padających na kryształ analogicznie jak dla promieni Roentgena?
Doświadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane są napięciem U
Wiązka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym kątem �
Rejestrowane jest natę\
enie wiązki
ugiętej na krysztale dla ró\
nego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla � = 50�przy U = 54 V.
� = 90� - � /2 2d sin� = 
dla niklu (d = 0.091 nm)  = 0.165 nm
długość fali de Broglie a
2Ek 2eU
h h
v = =
 = = = 0.165 nm
m m
p mv
3
Dyfrakcja cząstek (np.
elektronów lub neutronów)
2d sin� = 
3500
3500
3000
promieniowanie X 3000 neutrony
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
40 50 60 70 80 90 100 110 120 0
40 50 60 70 80 90 100 110 120
2theta
2theta
Zarówno cząstki naładowane jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal.
Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną u\
ywaną do
badania struktury ciał stałych.
Zarówno dla materii, jak i dla światła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich
charakteru.
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nało\
enie warunków
fizycznych,
analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu
końcach.
Mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bie\
ącą)
w strunie mogą występować tylko pewne długości fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacją długości fal wynikającą z
ograniczeń nało\
onych na falę.
Orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a
h
2Ą r = n   =
p
h
h
2Ą r = n L = pr = n n = 1, 2,.....
p
2Ą
Warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu jest konsekwencją przyjęcia zało\
enia,
\
e elektron jest reprezentowany przez falę materii.
Postulat de Broglie'a wią\
e elektron ze stojąca falą materii.
4
intensity
intensity
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wią\
e elektron ze stojąca falą materii ale....
" nie daje informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii,
" nie odpowiadał na pytanie jaką postać mo\
e mieć funkcja opisująca fale materii, jak ją
wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schr�dinger (Nagroda Nobla 1933)
W 1926 roku E. Schr�dinger sformułował mechanikę falową
(jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem
falowych własności materii  uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
" Elektron w stanie stacjonarnym w atomie mo\
e być opisany za pomocą stojących fal
materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a p = h/ wią\
ący własności
cząsteczkowe z falowymi.
" Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym.
" Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale
materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a
zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki.
Funkcja falowa
Fale opisujemy za pomocą funkcji przedstawiających wybraną wielkość fizyczną, która zmienia
się w taki falowy sposób np.:
" fala mechaniczna w strunie funkcja opisująca poprzeczne wychylenie struny,
" fala EM funkcja opisująca wektor natę\
enia pola elektrycznego E (lub B),
" do opisu własności falowych cząstek będziemy posługiwać się funkcją reprezentującą falę de
Broglie'a, tak zwaną funkcją falową � (zale\
ną od czasu i współrzędnych przestrzennych):
� (x, y, z,t) =� (x, y, z) �"e-i�t =� (x, y, z)(cos�t - i sin �t)
Interpretacja M. Borna: wielkość I� I2 w dowolnym punkcie przedstawia
miarę prawdopodobieństwa (na jednostkę objętości), \
e cząstka
znajdzie się w pobli\
u tego punktu to znaczy w jakimś obszarze wokół
tego punktu np. w przedziale x, x+dx.
Nagroda Nobla 1954
I� I2 jest więc gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo, \
e znajdziemy cząstkę w
przedziale [x, x+dx] wynosi I�(x)I2dx.
Ta interpretacja funkcji � daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią
cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.
Poniewa\
funkcja falowa mo\
e przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat
modułu funkcji falowej. I� I2 jest zawsze dodatnia i rzeczywista. Znaczenie fizyczne ma więc
I� I2 , a nie �
5
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schr�dingera (1926)
2 2
" y 1 " y
" Fale mechaniczne np. w strunie są opisywane przez równania =
" x2 v2 " t2
mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):
2 2
2 2
" E 1 " E
" B 1 " B
" Fale EM są opisywane przez równania Maxwella (równanie
=
= i
falowe d'Alamberta):
" x2 c2 " t2 " x2 c2 " t2
" Fale materii są opisywane przez równanie Schr�dingera:
2
h2 " � ( x, t ) "� ( x, t ) h
- + U ( x )� ( x, t ) = ih h=
2
2m " x " t 2Ą
U (x) jej energią potencjalną zale\
ną od jej poło\
enia
rozwiązanie - fala materii:
szukamy rozwiązanie typu:
� (x,t) =� (x)�"e-i�t
� (x,t) =� (x)�"u(t)
modulacja
zmienność
przestrzenna
w czasie
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schr�dingera (1926)
rozwiązanie:
h2 "2� (x,t) "� (x,t) h
- +U (x)� (x,t) =h h=
i
2m "x2 "t 2Ą
� (x,t) =� (x)�"u(t)
"u (t)
h2 "2� (x)
ih = E u (t )
- +U (x)� (x) = E� (x)
oraz
"t
2m "x2
� (x) = ? E
-i� t
u (t ) = e gdzie : � =
h
E jest energią całkowitą cząstki, U (x) jej energią potencjalną zale\
ną od jej poło\
enia
Rozwiązanie równania Schr�dingera polega na znalezieniu funkcji falowej �(x) i wartości
energii cząstki E przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną
U (x) .
ostateczne rozwiązanie:
� (x,t) =� (x)�"e-i� t
6
Przykład 1: Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)
rozpatrujemy część przestrzenną równania Schr�dingera :
h2 "2� (x)
- +U (x)� (x) = E� (x)
2m "x2
mv2 p2 2Ą h
Ek = =
k = ,h=
2 2m
 2Ą
� = Aeąikx = A(coskx ą i sin kx)
d2� (x) 2m
h
= - [E -U]�(x)
p
 =
d x2 h2
k =
2m(E -U ) 2mEk
p
h
k = =
h h
otrzymaliśmy
relację de Broglie
Poka\
emy, \
e część przestrzenna wyra\
a zasadę zachowania energii:
h2k2
h2 d2�(x) p2
+U = E
- +U�(x) = E�(x) +U = E
2m
2m dx2 2m
Zasada zachowania energii !!
Energia kinetyczna Energia potencjalna Energia całkowita
u(t) = e-i�t
dla części zale\
nej od czasu :
otrzymaliśmy relację analog. do wzoru
Einsteina dla światła:
E
2ĄE 2ĄE
� =
2Ą� = 2Ą� =
E = h�
h
h h
Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)
rozwiązanie równania Schr�dingera to
� (x,t) = A�"eąik x �"e-i�t = A�"eąik x-i�t =
funkcja falowa fali biegnącej  cząstka nie
jest zwiazana ! : = A[cos(-�t ą kx) + i sin(-�t ą kx)]
Brak kwantyzacji dla cząstki niezwiązanej  dowolne wartości energii i pędu!
Gęstość prawdopodobieństwa:
2
� = Aeikx �" Ae-ikx = A2 = const.
jednakowe prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w ka\
dym punkcie toru ruchu
7
Przykład 2: elektron w " studni potencjału
x < 0
U (x) "
x > L
0 d" x d" L U (x) = 0
Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia
Analogia do struny umocowanej
cząstki = 0 � (0) = 0 i � (L) = 0
na obu końcach.
 2L
długość fali jest skwantowana
L = n lub  = n = 1, 2, ...
2 n
nĄx
� (x) = Asin , n = 1, 2, ......
L
rozwiązanie równania Schr�dingera to funkcja falowa fali stojacej 
cząstka jest związana (uwięziona) w studni potencjału ! :
2 nĄx
nĄx
� (x) = Asin � (x) = A2 sin2�ł �ł, n = 1, 2, ......
�ł �ł
L
L
�ł łł
 2L h
L = n lub  = n = 1, 2, ...  =
2 n p
nh
p =
2L
mv2 p2
E = Ek = =
2 2m
h2
E = n2 , n = 1, 2, ......
8mL2
Dla cząstki związanej występuje
kwantyzacja energii !!
UWAGA: Opisując zachowanie cząstki funkcją falową (spełniającą
równania Schr�dingera) wyjaśniliśmy przyczynę kwantyzacji energii !!
8
Przykład 3: elektron w skończonej studni potencjału
d2�(x) 2m
= - [E-U(x)]�(x)
dx2 h2
Elektronowe fale materii
przenikają do obszaru o U (x) = U0
niedostępnego według klasycznej
mechaniki Newtona
Przykład 4: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału
E < U0 !!!
klasycznie elektron odbije się od bariery
kwantowo istnieje prawdopodobieństwo,
\
e elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barierę
dla x < 0 obserwujemy falę stojącą powstałą
w wyniku nało\
enia się elektronowej fali
padającej i odbitej od bariery
Elektron mo\
e przejść przez  ścianę mimo, \
e
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
9
Zasada nieoznaczoności Heisenberga (Nagroda Nobla 1954)
Jedną z konsekwencji falowo-cząsteczkowej natury materii jest
to, \
e jedyne czego mo\
emy dowiedzieć się o ruchu elektronów
to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni.
Czy mo\
emy "dokładnie" opisać ruch elektronu tzn. równocześnie określić jego poło\
enie
i prędkość? Negatywna odpowiedz
jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.
Głosi ona, \
e iloczyn nieokreśloności pędu cząstki i nieokreśloności jej poło\
enia w
danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka
"px"x e"h/ 2 � = Aeąikx
pęd ściśle określony
"py"y e"h/ 2
cząstka niezlokalizowana
"pz"z e"h/ 2
p = kh
im dokładniej mierzymy pęd,
pakiet falowy cząstka
np. zmniejszamy "px, tym
�
�
�
�
zlokalizowana czyli pęd
bardziej rośnie
rozmyty interferencja
nieoznaczoność poło\
enia
wielu fal o ró\
nych pędach
"x.
x
przykład: dyfrakcja na szczelinie
h
"px e" p sin�min = sin�min

"x sin�min = 
"x �" "px e" h e"h/ 2
Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie
tego pomiaru.
Je\
eli cząstka posiada energię E, to dokładność jej wyznaczenia "E
"E"t e"h/ 2
zale\
y od czasu pomiaru "t zgodnie z relacją
Im dłu\
ej cząstka jest w stanie o energii E tym dokładniej mo\
na tę energię wyznaczyć (np.
w stanie stacjonarnym energia jest stała w czasie)
Ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami
aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cząstek.
10