Rozdział 4
Równanie Schrödingera
4.1 Równanie falowe Schrödingera
4.2 Obserwable, stany stacjonarne,
wartości średnie
4.3 Nieskończona studnia potencjału
4.4 Skończona studnia potencjału
4.5 Trójwymiarowa nieskończona
studnia potencjału
4.6 Degeneracja
4.7 Oscylator harmoniczny
4.8 Bariery i tunelowanie
Erwin Schrödinger (1887-1961)
4.9 Studnia potencjału 0
Wnikliwa analiza procesu obserwacji w fizyce atomowej wykazała, że
czÄ…steczki subatomowe nie majÄ… znaczenia jako pojedyncze jednostki,
ale mogą być rozumiane wyłącznie w kontekście przygotowanego
eksperymentu i dokonanego pomiaru.
- Erwin Schrödinger
Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech, www.physics.gatech.edu/frog/lectures
Opinie o mechanice kwantowej
Myślę, że śmiało można
powiedzieć, że nikt nie rozumie
mechaniki kwantowej. Jeśli nie
musisz nie zadawaj sobie
pytania: "Ale jak to może tak
być?", bo zabrniesz w ślepą
uliczkę, z której nikt jeszcze nie
uciekł. Nikt nie wie, jak może tak
być.
- Richard Feynman
Ci, którzy spotkawszy się po raz
pierwszy z mechanikÄ… kwantowÄ…
nie sÄ… w szoku, prawdopodobnie
nie rozumiejÄ… jej..
Richard Feynman (1918-1988)
- Niels Bohr
4.1: Równanie falowe Schrödingera
Jednowymiarowe równanie falowe Schrödingera, zależne od czasu,
dla czÄ…stek o energii E poruszajÄ…cych siÄ™ w potencjale V :
"¨ x,t "2¨ x,t
( ) !2 ( )
gdzie V = V(x,t)
i! = - +V ¨ x,t
( )
"t 2m "x2
gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.
Równanie Schrodingera jest FUNDAMENTALNYM równaniem
Mechaniki Kwantowej.
Porównajmy je z równaniem falowym dla elektromagnetyzmu:
"2¨ 1 "2¨
- = 0
"x2 v2 "t2
Rozwiązanie ogólne równania falowego
Schrödingera dla V = 0
"¨(x,t) !2 "2¨(x,t)
i! = -
"t 2m "x2
Sprawdz
my rozwiÄ…zanie:
i ( kx -Ét )
¨ ( x, t) = Ae = A[cos( kx - Ét) + i sin( kx - Ét)]
"2¨
"¨
= -k2¨
= -iÉ Aei(kx-Ét ) = -iɨ
"x2
"t
"¨ -!2 "2¨ !2k2
i! = (i!)(-iÉ)¨ = !É ¨ = ¨
"t 2m "x2 2m
Równanie jest spełnione jeśli:
!2k2 p2 Co oznacza, że
całkowita energia jest
!É = h½ = E = =
2m 2m
energiÄ… kinetycznÄ….
Ogólne rozwiązanie równania falowego
Schrödingera dla V = 0
W próżni (kiedy V = 0), ogólna postać funkcji falowej jest:
¨ ( x, t) = Aei ( kx -Ét ) = A[cos(kx - Ét) + i sin(kx - Ét)]
funkcja ta opisuje falÄ™ poruszajÄ…cÄ… siÄ™ w kierunku x. Amplituda
fali może w ogólności być liczbą zespoloną.
Funkcja falowa również nie musi być rzeczywista.
W ogólnym przypadku jest ona funkcją zespoloną.
Tylko mierzalne fizycznie wielkości takie jak
prawdopodobieństwo, pęd i energia muszą być rzeczywiste.
Prawdopodobieństwo i normalizacja
Prawdopodobieństwo P(x) dx znalezienia cząstki między x i x + dx jest
dane równaniem:
P(x)dx = ¨"(x,t)¨(x,t)dx
wielkość ¨"¨ nazywamy gÄ™stoÅ›ciÄ… prawdopodobieÅ„stwa.
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x1 a x2 jest dane
równaniem
x2
"
P = ¨ ¨ dx
+"
x1
Funkcja falowa musi być znormalizowana, więc prawdopodobieństwo
znalezienia cząstki między gdziekolwiek na osi musi być =1
"
¨"(x,t)¨(x,t)dx = 1
+"
-"
Warunki jakie muszą spełniać funkcje falowe
Warunki na funkcje falowe:
1. W celu uniknięcia nieskończonych prawdopodobieństw, funkcja
falowa musi być wszędzie skończona.
2. Funkcja falowa musi być jednowartościowa.
3. Funkcja falowa musi być dwukrotnie różniczkowalna. Oznacza to,
że ona i jej pochodna muszą być ciągłe. (Wyjątkiem od tej reguły
jest przypadek, gdy potencjał V jest nieskończony.)
4. W celu normalizacji, funkcja falowa musi dążyć do zera jak x dąży
do (plus, minus) nieskończoności.
Rozwiązania, które nie spełniają tych właściwości z reguły nie
odpowiadajÄ… rozwiÄ…zaniom akceptowalnym fizycznie.
Bezczasowe równanie falowe Schrödingera
W wielu przypadkach potencjał nie zależy explicite od czasu.
ZależnoÅ›ci od czasu i poÅ‚ożenia w równaniu Schrödingera mogÄ… być
wówczas rozdzielone. Niech:
¨(x,t) =È (x) f (t)
co daje:
"f (t) !2 f (t) "2È (x)
i!È (x) = - +V (x)È (x) f (t)
"t 2m "x2
, = -
Po podzieleniu przez È(x) f(t):
nie zależy od
1 df (t) !2 1 "2È (x)
i! = - +V (x)
f (t) "t 2m È (x) "x2
Lewa strona zależy tylko od t, a prawa tylko od x.
1 df
i! = B
Każda strona musi więc być równa stałej. Dla
f "t
strona zależnej od czasu otrzymujemy:
Bezczasowe równanie falowe Schrödingera
"f
Mnożąc obie strony przez f(t)/i'
:
= B f / i!
"t
To równanie różniczkowe jest łatwe do rozwiązania:
Stałą przed f(t) możemy zignorować,
f (t) = eBt /i! = e-iBt /!
gdyż jej wartość będzie określona z
warunku normalizacji
Przypomnijmy rozwiÄ…zanie dla czÄ…stki swobodnej: ¨(x,t) = ei(kx-Ét)
W którym f(t) = exp(-iÉt), wiÄ™c: É = B / '
lub B = '
É, co oznacza, że: B = E!
f (t) = e-iEt/!
Mnożąc przestrzennÄ… część równ. Schrödingera przez È(x), otrzymujemy:
2
!2 d È (x)
- +V (x)È (x) = EÈ (x)
2m dx2
Bezczasowe równanie falowe Schrödingera
2
!2 d È (x)
- +V (x)È (x) = EÈ (x)
2m dx2
Równanie to jest znane jako bezczasowe (niezależne od czasu)
równanie falowe Schrödingera, i na równi z peÅ‚nym równaniem
falowym Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki
kwantowej
$
È = EÈ
Równanie to ma postać równania własnego,
!2 "2
gdzie:
jest operatorem energii.
$

$
= - +V
2m "x2
2
!2 d È (x)
4.2: Obserwable
- +V (x)È (x) = EÈ (x)
2m dx2
Operatory odgrywają w mechanice kwantowej ważną rolę.
Wszystkie wielkości mierzalne mają odpowiadające im
operatory które nazywamy obserwablami.
Operatorem energii kinetycznej jest:
"#
!2 "2
K = -
2m "x2
Inne operatory są na ogół prostsze, zazwyczaj zawierają operacje
mnożenia, dodawania.
Operator energii potencjalnej jest po prostu mnożeniem przez V(x).
VÈ (x) = V (x)È (x)
Stany stacjonarne
Załóżmy, że mamy funkcję falową postaci:
¨(x,t) =È (x)e-iÉt
Gęstość prawdopodobieństwa tej funkcji jest równa:
*
¨*¨ =È (x) eiÉt È (x) e-iÉt
2
= È (x)
Jest to rozkład prawdopodobieństwa niezależny od czasu.
Taki stan, (reprezentowany przez falÄ™ stojÄ…cÄ…) nazywamy stanem
stacjonarnym.
Wartości średnie obserwabli
W mechanice kwantowej często obliczamy wartości oczekiwane.
Wartość oczekiwana jest średnią ważoną tej wielkości.
Ogólnie rzecz biorąc, wartość oczekiwaną jest:
x = P1x1 + P2x2 +ï"+ PN xN =
i
"P xi
i
Jeśli zmienna może przyjmować nieskończenie wiele wartości oraz
jest ciągła to:
x =
+"P(x) x dx
W mechanice kwantowej:
x = ¨*(x) x ¨(x) dx
+"¨(x) ¨*(x) x dx = +"
Wartość oczekiwana dowolnej obserwabli zależnej od w
stanie jest :
A = ¨*(x) A(x) ¨(x) dx
+"
¨
Notacja Bra-Ket
Poprzednie równanie jest na tyle ważne, że fizycy mają dla niego
specjalna notacjÄ™.
*
A =
+"¨ (x) A(x) ¨(x) dx a" ¨ | A | ¨
¨
Całe to wyrażenie jest rozumiane jako  bracket czyli nawias
)# *#
Wyrażenie | nazywamy bra podczas gdy | nazywamy ket.
Warunek normalizacji w tej notacji jest:
¨| ¨ = 1
Operator pędu
Aby znalez
ć wartość oczekiwaną , musimy najpierw wyrazić
poprzez i . Rozważmy pochodną funkcji falowej cząstki swobodnej
względem :
"¨ "
i (kx -Ét )
= [ei( kx -Ét ) ] = ike = ik¨
"x "x
ale k = p / '
więc mamy
"¨ p
= i ¨
"x !
mnożąc obie strony przez - !
"¨(x,t)
Ć
p[¨(x,t)] = -i! = p¨(x,t)
"x
"
Ć
p = -i!
To sugeruje, że operatorem pędu powinniśmy nazwać
"x
WartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… pÄ™du w stanie ¨ jest wiÄ™c
"
"¨(x,t)
Ć
p = ¨ | p | ¨ = -i! ¨*(x,t) dx
+"
-"
¨
"x
Operatory położenia i energii
Operatorem położenia jest mnożenie przez x.
Operator energii: Pochodna po czasie funkcji falowej czÄ…stki
swobodnej jest:
"¨ "
= [ei (kx -Ét ) ] = -iÉei (kx -Ét ) = -iɨ
"t "t
,
PodstawiajÄ…c É = • / '
mamy [ , ] = !
"
Operatorem energii jest więc:
Ę = i!
"t
WartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… energii w stanie ¨ jest:
"
"¨(x,t)
E = i! ¨*(x,t) dx
+"
-"
¨
"x
Operatorowa postać równania Schrödingera
2
p
p2
Ò! E¨ = ¨ +V¨
Energia całkowita jest: E = K +V = +V
2m
2m
PodstawiajÄ…c operatory:
"¨
E¨ = i!
:
"t
2
2
p 1 "
ëÅ‚ öÅ‚
¨ +V¨ = -i! ¨ +V ¨
+ :
ìÅ‚ ÷Å‚
2m 2m "x
íÅ‚ Å‚Å‚
!2 "2¨
= - +V ¨
2m "x2
"¨ !2 "2¨
i! = - +V ¨
mamy:
"t 2m "x2
Czyli pełne równanie falowe Schrodingera
Dwa rozwiązania równań różniczkowych
2
d È
Rozważmy równanie różniczkowe:
k jest rzeczywiste
= k2È
dx2
Jako, że k2 jest dodatnie, rozwiązaniem równania jest:
1
Można też te
cosh(kx) = (ekx + e-kx )
2
rozwiÄ…zania
È (x) = Aekx + Be-kx
1
sinh(kx) = (ekx - e-kx )
2
v v
zapisać jako:
2
d È
Teraz rozważmy inne równanie różniczkowe:
= -k2È
dx2
Ponieważ stała -k2 jest ujemna, rozwiązaniem jest:
È (x) = Aeikx + Be-ikx albo Asin(kx) + B cos(kx)
v v
4.3: Nieskończona prostokątna studnia potencjału
Najprostszym przykładem tego systemu jest
cząstka uwięzione w pudełku o nieskończenie
twardych ścianach których cząstka nie może
przeniknąć. Potencjał ten nazywany jest również
nieskończoną prostokątną studnią:
" x d" 0, x e" L
Å„Å‚
V (x) =
òÅ‚
x
0 L
0 0 < x < L
ół
W obszarze gdzie potencjał jest nieskończony funkcja falowa musi być
równa zeru.
W obszarze zerowego potencjału (wewnątrz studni), bezczasowe
Energia jest tylko kinetyczna
równanie Schrödingera można zapisać jako:
i dlatego dodatnia
2
2
!2 d È (x) 2mE
d È
k = 2mE / !2
- = - +V2(xÈ ( ) =2ÈÈ (x) gdzie
)È=x-k E
2
dx !
2m dx2
Ogólne rozwiązanie tego równania: = sin + cos
Kwantowanie
Warunki brzegowe potencjału stanowią, że
funkcja falowa musi być równa zeru w punktach
= 0 oraz = . Aby tak mogło być dla musi
być, że kL = nĄ dla całkowitych .
nĄx
ëÅ‚ öÅ‚
È (x) = A sin x
0
ìÅ‚ ÷Å‚ L
Funkcja falowa jest więc:
n
L
íÅ‚ Å‚Å‚
½ - ½ cos(2nÄ„x/L)
NormalizujÄ…c jÄ…:
L
"
nĄ x
öÅ‚dx =1 Ò! A = 2 / L
*
Ò!
A2 0 sin2 ëÅ‚
Èn(x)Èn(x) dx =1
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
+"
-"
L
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymamy znormalizowanÄ…
2 nĄx
ëÅ‚ öÅ‚
È ( x) = sin
ìÅ‚ ÷Å‚
n
funkcjÄ™ falowa:
L L
íÅ‚ Å‚Å‚
Taka sama funkcja opisuje drgajÄ…cÄ… strunÄ™ umocowanÄ… na obu
końcach!
Skwantowana energia
nĄ 2mEn
Skwantowana liczba falowa wynosi więc: kn = =
L !2
Co oznacza
2
energiÄ™:
2 nĄx
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ !2
È ( x) = sin
ìÅ‚ ÷Å‚
En = n2 (n =1, 2, 3,...)
n
L L
íÅ‚ Å‚Å‚
2mL2
Zauważmy, że energia zależy od liczby naturalnej . Stąd energia jest
skwantowana i niezerowa.
Przypadek szczególny
Energia
gdy n = 1 nazywamy
stanem podstawowym.
2
Ä„ !2
E1 =
2mL2
Położenie
4.4: Skończona
prostokÄ…tna studnia
potencjału
Skończona prostokątna studnia
jest dana przez potencjał:
Załóżmy:
E < V0
V0 x d" 0 Region I
Å„Å‚
ôÅ‚
V (x) = 0 0 < x < L Region II
òÅ‚
ôÅ‚V
Położenie
x e" L Region III
ół 0
Równanie Schrödingera 2
!2 d È
na zewnÄ…trz studni w
- +V0È = EÈ
2m dx2
obszarach I i III jest:
2
d È 2m
2
2
gdzie: Ä… = 2m(V0 - E) / !2
Ò! = (V0 - E)È = Ä… È
dx2 !2
Biorąc pod uwagę, że funkcja
Region I, x < 0
È (x) = AeÄ… x
I
falowa musi być zero w (minus,
Region III, x > L
È (x) = Be-Ä… x
III
plus) nieskończoności mamy:
Rozwiązania dla skończonej prostokątnej
studni potencjału
Wewnątrz studni, gdzie potencjał V jest zero, równanie falowe jest
D
= - gdzie = 2 ) ! (tak jak dla nieskończonej studni).
È (x) = Asin kx + B cos kx Region II, 0 < x < L
RozwiÄ…zaniem tu jest:
II
Warunki brzegowe È = È dla x = 0 oraz È = È dla x = L
I II II III
wymagajÄ… aby:
È ' = È ' dla x = 0 oraz È ' = È ' dla x = L
I II II III
Funkcja falowa
tzn. aby w miejscu
sklejenia obszarów
funkcja i jej pochodna
były ciągłe.
Ekspotencjalna
Zauważmy, że funkcja
falowa poza studniÄ… nie
jest równa zeru.
Energia
Cząstki wnikają do ściany!
Głębokość wnikania to
Funkcja falowa
odległość od ścianki
studni powyżej której
prawdopodobieństwo
znalezienia czÄ…stki
znaczÄ…co maleje. Jest to:
Ekspotencjalna
1 !
´ x H" =
Ä…
2m(V0 - E)
Głębokość penetracji
jest proporcjonalna do
stałej Plancka.
Uzyskane zjawisko jest
sprzeczne z fizykÄ…
klasycznÄ…!
Region I, x < 0
È (x) = AeÄ… x
I
Region III, x > L
È (x) = Be-Ä… x
III
4.5: Trójwymiarowa, nieskończona
studnia potencjału
Funkcja falowa zależy od trzech wymiarów przestrzennych.
Tak jak dodaje się składowe wektora, tak aby zdefiniować trójwymiarowy
operator pędu dodajmy do siebie trzy przestrzenne składowe pędu :
Ć Ć Ć Ć
p2 = px2 + py2 + pz2
gdzie
"È
"È
"È
Ć
pyÈ = -i! Ć
pzÈ = -i!
Ć
pxÈ = -i!
"y
"z
"x
Tak wiÄ™c trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
!2 "2È "2È "2È
!2
- ìÅ‚ ÷Å‚
+ + = EÈ
lub - "2È +VÈ = EÈ
2mìÅ‚ "x2 "y2 "z2 ÷Å‚+VÈ
2m
íÅ‚ Å‚Å‚
Trójwymiarowa, nieskończona
studnia potencjału
Kiedy = 0 Å‚atwo znalez
ć rozwiązanie:
È (x, y, z) = A sin(kxx) sin(ky y) sin(kzz)
gdzie: kx = Ä„ nx / Lx ky = Ä„ ny / Ly kz = Ä„ nz / Lz
2
2 2 2
Ä„ !2 ëÅ‚ nx ny nz öÅ‚
En ,ny ,nz = + +
ìÅ‚ ÷Å‚
oraz:
x
ìÅ‚
2m L2 L2 L2 ÷Å‚
x y z
íÅ‚ Å‚Å‚
È (x, y, z) = A sin(Ä„ nxx / Lx ) sin(Ä„ ny y / Ly ) sin(Ä„ nzz / Lz )
nx ,ny ,nz
Kiedy więc mamy cząstkę w sześciennym pudle:
2
Ä„ !2 2
2 2
En ,ny ,nz = nx + ny + nz
( )
x
2mL2
2
Ä„ !2 2
2 2
En ,ny ,nz = nx + ny + nz
( )
x
2mL2
4.6: Degeneracja
E10,4,3 = E8,6,5
wez
my 10, 4, 3 oraz 8, 6, 5:
È `" È
ale:
1 0 , 4 , 3 8 , 6 , 5
Widzimy, że dwie różne funkcje falowe mogą mieć tą samą energię.
Trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera wprowadza trzy
liczby kwantowe energii. Tej samej energii mogą odpowiadać różne
zestawy liczb kwantowych.
Jeśli istnieje więcej niż jedna funkcja falowa dla danej energii, to taki
stan kwantowy nazywamy zdegenerowanym.
Degeneracja jest wynikiem szczególnych własności energii
potencjalnej, która opisuje system. Zaburzeniem energii potencjalnej
można usunąć degenerację.
4.7: Prosty oscylator harmoniczny
Prosty oscylator
harmoniczny opisuje
wiele fizycznych
sytuacji od sprężyny,
poprzez czÄ…steczki
dwuatomowe do sieci
Położenie
Położenie
krystalicznych równowagi
Prosty ruch
Rozwińmy potencjał w szereg
harmoniczny
Taylora:
1
V (x) = V0 +V1(x - x0) + V2(x - x0)2 + ...
Molekuła
2
dwuatomowa
Energia potencjalna
Energia potencjalna
Prosty oscylator
paraboliczna
studnia potencjału
harmoniczny
Wez
my pod uwagÄ™ wyrazy
drugiego rzędu rozwinięcia
Taylora potencjału:
1
V (x) = º (x - x0)2
2
Położenie
Jest to paraboliczna studnia potencjału
2
PodstawiajÄ…c to do
!2 d È (x)
- +V (x)È (x) = EÈ (x)
równania Schrödingera:
2m dx2
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d È 2m º x2 2mE mº x2
gdzie przyjęliśmy
= - E - - +
÷Å‚È = ìÅ‚
x0 = 0
dx2 !2 ìÅ‚ 2 !2 !2 ÷Å‚È
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
d È
2
Niech = oraz = , co daje: = (Ä… x2 - ² )È
2
! !
dx
Energia potencjalna
Paraboliczna
studnia potencjału
Funkcjami falowymi sÄ…
gdzie Hn(x)
to wielomiany Hermite a
rzędu n.
1
Funkcje falowe
Ä… 1
ëÅ‚ öÅ‚4
È (x) = Ä… x(2Ä… x2 - 3)e-Ä… x2 /2
3 ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„
3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Ä… 1
ëÅ‚ öÅ‚4 (2Ä… x2 -1)e-Ä…
x2 / 2
È (x) =
2 ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚4 2Ä… xe-Ä…
x2 / 2
È (x) =
1 ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚4 e-Ä…
x2 / 2
È (x) =
0 ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
Paraboliczna
Ô!
studnia potencjału
Klasycznie,
prawdopodobieństwo
Ô!
znalezienia masy jest
największe na końcach
studni a najmniejsze w
centrum.
Ô!
Kwantowo największe
prawdopodobieństwo
znalezienia czÄ…stki w
najniższym stanie energii
jest w centrum studni
Ô!
potencjału.
Dalsza analiza studni parabolicznej
Kiedy jednak liczby kwantowe rosną, rozwiązanie zbliża się do
wyniku klasycznego. Na tym przykładzie prostego oscylatora
harmonicznego widzimy że Zasada Korespondencji jest spełniona.
Paraboliczna studnia
potencjału
Poziomy energetyczne sÄ… dane
przez:
1 1
En = (n + )! º / m = (n + )!É
2 2
Energia stanu
podstawowego
jest nazywana
granicÄ…
Heisenberga:
1
E0 = !É
2
4.8: Bariery potencjału i tunelowanie
Rozważmy cząstkę o energii E zbliżającą się do bariery potencjału o
wysokości V0, poza którą potencjał wszędzie jest zero.
Najpierw rozważmy przypadek kiedy energia cząstki jest większa od
potencjalnej bariery.
2mE
kI = kIII =
W obszarach I i III, liczby falowe sÄ…:
!
W obszarze bariery zaÅ›:
2m(E -V0)
kII = gdzie V = V0
!
PadajÄ…ca
Przepuszczona
CzÄ…stka
Odbita
Odbicie i przejście
Funkcja falowa będzie składać się z fali padającej, fali odbitej oraz fali
która przeszła barierę.
PotencjaÅ‚y oraz równania falowe Schrödingera dla trzech obszarów sÄ…:
2
d È 2m
I
Region I (x < 0) V = 0
+ EÈ = 0
Wszystkie
dx2 !2 I
2 trzy stałe są
d È 2m
II
+ (E - V0 )È = 0
Region II (0 < x < L) V = V0
ujemne tzn.:
II
dx2 !2
2
d È
2
= -k2È
d È 2m
III
+ EÈ = 0
dx2
V = 0
Region III (x > L)
dx2 !2 III
Odpowiednie rozwiÄ…zania sÄ…:
I
Region I (x < 0) È = Aeik x + Be- ikI x
I Sinusy i kosinusy
II
we wszystkich
Region II (0 < x < L) È = Ceik x + De- ikII x
II
I obszarach
È = Feik x + Ge- ikI x
Region III (x > L)
III
Jako, że fala porusza się od lewej strony można zidentyfikować rozwiązania:
I
È (padajÄ…ca) = Aeik x
Fala padajÄ…ca
I
È (odbita) = Be- ikI x
Fala odbita
II
I
È (przepuszczona) = Feik x
Fala, która przeszła
III
Prawdopodobieństwa odbicia i przejścia
Prawdopodobieństwa odbicia cząstki R, oraz przejścia T są:
2
È (odbita)
B*B
I
R = =
2
A*A
È (padajÄ…ca)
I
2
È (przekazana)
F*F
III
T = =
2
A*A
È (padajÄ…ca)
I
Ponieważ cząstka musi się odbić lub przejść:
R + T = 1
-1
Po zastosowaniu warunków brzegowych
îÅ‚
V02 sin2(kII L)Å‚Å‚
T =
dla x = 0, and x = L, uzyskujemy
ïÅ‚1+ 4E(E -V0) śł
ðÅ‚ ûÅ‚
prawdopodobieństwo przejścia:
Zauważmy, że prawdopodobieństwo przejścia może być nawet
równe 1.
Tunelowanie
Zjawisko
klasyczne
Teraz rozważmy sytuację, w
której klasyczna cząstka nie
ma wystarczającej ilości
energii do pokonania bariery
potencjału, E < V0.
Wynik mechaniki kwantowej jest jednÄ… z najbardziej
niezwykłych cech współczesnej fizyki. Istnieje skończone
prawdopodobieństwo, że cząstka przenika przez barierę i pojawia
siÄ™ po drugiej stronie!
2m(V0 - E)
È = Ceº x + De-º x gdzie º =
Funkcja falowa w
II
!
obszarze II jest:
-1
Współczynnik przejÅ›cia dla îÅ‚
V02 sinh2(ºL)Å‚Å‚
T =
ïÅ‚1+ 4E(V0 - E) śł
tunelowania jest:
ðÅ‚ ûÅ‚
Energia
Tunnelownie funkcji falowej
Zjawisko
kwantowe
Ekspotencjalnie
Sinusoidalnie
Sinusoidalnie
To naruszenie fizyki klasycznej jest dozwolone przez zasadÄ™
nieokreśloności. Cząstka może naruszać klasyczne zachowanie
o "E przez krótki czas, "t ~ '
/ "E.
Ewolucja funkcji falowej i gęstości
prawdopodobieństwa w czasie
Analogia do optyki falowej
Jeśli światła przechodzące przez pryzmat
szklany odbija się od wewnętrznej powierzchni
pod kątem większym od kąta krytycznego,
zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie.
Jednak pole elektromagnetyczne tuż za
pryzmatem nie jest dokładnie zero. Jak
pokazują eksperymenty, jeśli umieścić kolejny
pryzmat bardzo blisko pierwszego, to fala
elektromagnetyczna (światło) pojawia się w
również w drugim pryzmacie. Sytuacja jest
analogiczna do opisanego wyżej tunelowania.
Efekt ten został zaobserwowany przez
Newtona i może być wykonany, za pomocą
dwóch pryzmatów i lasera. Intensywność
drugiej wiązki światła zmniejsza się
ekspotencjalnie, kiedy odległość między
pryzmatami wzrasta.
4.9: Studnia potencjału )
Rozważmy cząstkę przechodzącą
CzÄ…stka o
przez studnie potencjału a nie barierę.
energii E
Klasycznie, czÄ…stka ta powinna
przyspieszyć w rejonie studni gdyż:
= 0 0
K = mv2 / 2 = E + V0
= -
Kwantowomechanicznie, fala ulegnie odbiciu i transmisji a jej długość
wewnÄ…trz studni zmniejszy siÄ™.
Gdy szerokość studni potencjału jest dokładnie równa połowie lub
całkowitej wielokrotności długości fali, fala odbita będzie w przeciwfazie lub
w fazie fali padającej odpowiednio, czego skutkiem będzie wygaszenie lub
rezonans.
Wygaszenie bÄ…dz
wzmocnienie fal może spowodować całkowite przejście
= 0, = 1) lub całkowite odbicie = 1, = 0 . Jeśli, na przykład, na
prawym brzegu studni = fala biegnÄ…ca w prawo jest w przeciwfazie
do fali odbitej, efektem będzie zerowa amplituda (brak cząstki) wewnątrz
studni.
Przykładowe rozwiązania równania falowego
Schrödingera dla jednowymiarowych pól potencjalnych
Rozpad Alfa
Zjawisko tunelowania wyjaśnia rozpad alfa, ciężkich jąder
promieniotwórczych.
Wewnątrz jądra, cząstka alfa czuje silne, krótkozasięgowe
przyciąganie jądrowe, oraz Kulombowską siłę odpychającą.
Oddziaływanie jądrowe jest silniejsze wewnątrz jądra a wypadkowy
potencjał może być opisany za pomocą studni potencjału.
Poza promieniem jÄ…dra dominuje
siła Kulomba.
Energia
potencjalna
Bariera potencjalna na granicy
Kulomba
jądrowej jest kilka razy większa
niż energia cząstki alfa.
W mechanice kwantowej, jednak
Promień
cząstka alfa może tunelować przez
barierÄ™. Jest to obserwowane jako
zjawisko rozpadu promieniotwórczego..
Energia